【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期（9月）综合自主测试数学试题 Word版.docx，共(6)页，1.323 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2025届高三综合自主测试（9月）数学时量：120分钟分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合()()140Axxx=+−，20Bxxa=+，且13ABxx=−，则a=（

）A.6B.4C.4−D.6−2.已知111iiz=−+，则z=（）.A.2B.22C.2D.13.已知()()πsin3fxx=−N的图象与直线ya=在区间0,π上存在两个交点，则当最大时，曲线()yfx=

的对称轴为（）A.ππ244kx=+，kZB.ππ305kx=+，kZC.5ππ244kx=+，kZD.ππ65kx=+，kZ4.函数()222()ln1xxfxxx−+=+−的图像大致为（）A.B.C.D.5.若平面单位向量a，b，c满足

π6ab=，，0bc=，0ac，则2bcac+=+（）A.5B.3C.153D.536.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏

派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD，如图（2），砖雕厚度为6cm，80cmAD=，3CDAB=，CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖

雕的表面积为（单位：2cm）（）A3200πB.480π960+C.6880π960+D.3680π960+7.已知过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F的直线与C交于,AB两点，线段AB的中点为()00,Mxy，且0||21,(

,2)ABxQtt=+−−，若点P在抛物线C上，则||PQ的最小值为（）A.324B.322C.334D.328.已知数列na满足1111113,2,4(1)()nnnnnnaaabaa+++=−==−+，若数列nb

的前n项和为nT，不等式()*3(35)nTn−N恒成立，则的取值范围为（）A.1(,)10+B.1(,)5+C.11(,)102D.12(,)55的.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0,0ab，直线12:(2)10,:20lxaylbxy+−+=+−=，且12ll⊥，则（）A.01abB.2ab+C.222ab+D

.23bab+10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点E、F、G分别在棱11DA、11DC、1AA上，满足11111114DEDFDADC==，11(0)AGAA=，记平面EFG与平面11ABCD的交线为l，则（）A.存在(0,1)

使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B.当34=时，三棱锥BEFG−体积为32C.当34=时，三棱锥1AEFG−外接球表面积为34D.当12=时，直线l与平面ABCD所成的角的正弦值为23

33311.已知函数()fx，()gx的定义域均为R，()gx为()gx的导函数，且()()1fxgx+=，()()43fxgx−−=，若()gx为奇函数，则（）A.()22f=B.()()042gg+=−C.()()13ff−

=−D.()()44gg−=三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知nZ，且36n，若31nxx−的展开式中存在常数项，则展开式中4x−的系数为______.13.已知()fx是定义域为(4,4)−奇函数.若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x轴上方

的部分恰好是()yfx=图像的一部分，则()fx的解析式为___________.14.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点,AB恒有AOB成立，则称角为曲

线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的的G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：12e1,011,016xxxyxx−+=+（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对

于点O的“确界角”为，则sin=____________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女

生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为45，参观科技展的学生中女生占13．（1）根据已知条件，填写下列22列联表，试根据小概率值0.01=的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关

．参观科技展未参观科技展合计男生女生合计（2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X表示女生人数，求X的分布列和数学期望．参考公式和数据：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd

=+++．0．10．050．0250．010．001ax2．7063．8415．0246．63510．82816.在ABCV中，角,,ABC，的对边分别为,,abc，ABCV的面积为S，()2sin2431

3sinABSbB+=+．（1）求角A．（2）若ABCV的面积为33，13a=，D为边BC的中点，求AD的长．17.如图（1），在ABCV中，CDAB⊥，224BDCDAD===，点E为AC中点．将ACD沿CD折起到PCD△的位置，使DEBC⊥，如图（2）．（1）求证：

PBPC⊥．（2）在线段BC上是否存在点F，使得CPDF⊥？若存在，求二面角PDFE−−的余弦值；若不存在，说明理由．18.费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推

出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点()2,0−．平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透

镜，所有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q（点Q

不与F的顶点重合）．若12HQkQAkQB==，1283kk+=−，试求出点Q所有可能的坐标．19.已知函数()()21e2e22xxfxaax=+−−．的（1）若曲线()yfx=在30,2a−处的切线方程为4210axy++=，求a的值及()fx的单调区间．（2

）若()fx的极大值为()ln2f，求a的取值范围．（3）当0a=时，求证：()2535eln22xfxxxx+−+．