【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期（9月）综合自主测试数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，2.584 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2025届高三综合自主测试（9月）数学时量：120分钟分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答

题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合()()140Axxx=+−，20Bxxa=+，且13ABxx

=−，则a=（）A.6B.4C.4−D.6−【答案】D【解析】【分析】先求出集合,AB，再由交集的定义求解即可.【详解】14Axx=−，2aBxx=−，∵13ABxx=−，∴32a−=，∴6a=−，故选：D.2.已知111iiz=−+，则z=（）

.A.2B.22C.2D.1【答案】C【解析】【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由111i1iiz=−=++，得()21i2iz=+=，则2iz

=−，所以2z=.故选：C.3.已知()()πsin3fxx=−N的图象与直线ya=在区间0,π上存在两个交点，则当最大时，曲线()yfx=的对称轴为（）A.ππ244kx=+，kZB.ππ305kx=+，kZC.5ππ244kx=+，kZ

D.ππ65kx=+，kZ【答案】D【解析】【分析】先根据条件求出的取值范围，再求出对称轴.【详解】当0,πx时πππ,π333x−−−，要使得()fx的图象与直线ya=存在两个交点，则ππ11ππ232−，解得5

3566，又因为N，所以1,2,3,4,5，所以max5=，此时曲线()yfx=的对称轴为ππ5π32xk−=+，kZ，解得ππ65kx=+，kZ，故选：D4.函数()222()ln1xxfxxx−+=+−的图像大致为（）A.B.C.D.【答案

】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设()()2ln1gxxx=+−，对任意Rx，21xxx+，所以210xx+−，所以()gx的定义域为R，()()2ln1gxxx−=++()()22211ln1xxx

xxx+++−=+−()()221lnln11xxgxxx==−+−=−+−，所以函数()()2ln1gxxx=+−为奇函数.令()()2ln10gxxx=+−=，可得211xx+−=，即211xx+=+，所以10x+，可得1

x−，由211xx+=+可得()2211xx+=+，解得0x=，所以()222()ln1xxfxxx−+=+−的定义域为0xx，又()()()2222()xxxxgxxfxfgx−−++−−==−=−，所以函数()f

x为奇函数，排除BD选项，当0x时，()221ln1ln1xxxx+−=++是减函数，则()()2ln1ln010ln10xx+−+−==，220xx−+，所以()0fx，排除A选项.故选：C5.若平面单位向量a，b，c满足π6ab=，，0bc=，0ac，则2bcac+=+（）A

.5B.3C.153D.53【答案】A【解析】【分析】先根据题意确定2,3ac=，得到12ac=−，再根据2222242bcbcacaacc++=+++进行求解，或在平面直角坐标系中设出a，b，c的

坐标，利用坐标运算进行求解．【详解】解：法一由,6ab=，0bc=，0ac得2,623ac=+=，所以12ac=−，所以22222452bcbcacaacc++==+++，故选：A．法二

由题意可设()1,0a=，31,22b=，()cos,sinc=（02），则31cossin022bc=+=，得tan3=−，又cos0ac=，则2π3=，故13,22c=−，所以222231132225131022bcac−+

++==+−++．故选：A6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、

临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD，如图（2），砖雕厚度为6cm，80cmAD=，3CDAB=，CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖

雕的表面积为（单位：2cm）（）A.3200πB.480π960+C.6880π960+D.3680π960+【答案】C【解析】【分析】先求出60πcmCD=，20πcmAB=，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环ABCD的面积可得该梅花砖雕的表面积.【详解】延长DA与CB交

于点O．由3CDAB=，80cmAD=，得40cmOA=，120cmOD=．因为CD所对的圆心角为直角，所以60πcmCD=，20πcmAB=．所以该梅花砖雕的侧面积()()26480π960cmSCDABADBC=+++=+侧，扇环ABCD的面积为()()2221π120

π403200πcm4−=，则该梅花砖雕的表面积()2480π96023200π6880π960cmS=++=+表面积．故选：C．7.已知过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F的直线与C交于,AB两点，线段AB的中点为()00,Mxy，且0||21,(,2

)ABxQtt=+−−，若点P在抛物线C上，则||PQ的最小值为（）A.324B.322C.334D.32【答案】A【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，()00,Mxy，从而得到1202xxx+=，利用抛物线的定义得到0||2ABxp=+，解得1p=，根据题意可知点Q在直线:20

lxy++=上，故将||PQ的最小值转化为求与l平行的切线与直线l之间的距离.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，由AB的中点为()00,Mxy，得1202xxx+=，由抛物线的定义可得120||2ABxxpxp=+

+=+，又0||21ABx=+，所以1p=，故抛物线C的方程为22yx=．易知点Q在直线:20lxy++=上，设与l平行且与抛物线C相切的直线方程为0xym++=，由202xymyx++==，可得22(22

)0xmxm+−+=，则22(22)40mm=−−=，得12m=，则切线与直线l之间的距离即||PQ的最小值，故||PQ的最小值为1232242−=．故选：A8.已知数列na满足1111113,2,4(1)()nnnnnnaaabaa+++=−==−+，若数列

nb的前n项和为nT，不等式()*3(35)nTn−N恒成立，则的取值范围为（）A.1(,)10+B.1(,)5+C.11(,)102D.12(,)55【答案】D【解析】【分析】求出数列na的通项，再

分奇偶求出nT半探讨其范围，并建立关于的不等式求解即得.【详解】由113,2nnaaa+=−=，得数列na是首项为3，公差为2的等差数列，则21nan=+，于是1111(1)()42123nnbnn+=−+++，当n为偶数时，11111111111114355779911212121

23nTnnnn=+−+++−++++−+=−+++111()4323n−+，当n为奇数时，111114325nnnTTbn++=−=−++111111()()423254323

nnn+=++++，当n为偶数时，1111()432312nTn=−+；当n为奇数时，11112()432315nTTn=+=+，因此()max215nT=，由不等式()*3(35)nTn−N恒成立，得225153−，即2320525

−+，解得1255，所以的取值范围为12(,)55.【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两

项之差和系数之积与原项相等．二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0,0ab，直线12:(2)10,:20l

xaylbxy+−+=+−=，且12ll⊥，则（）A.01abB.2ab+C.222ab+D.23bab+【答案】ABD【解析】【分析】利用12ll⊥，找到2ab+=，结合基本不等式及不等式的性质

逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2llbaab⊥+−=+=，且0,0ab，所以2012abab+=，当且仅当ab=时等号成立，故A正确；2()22()4abababab+=+++=，当且仅当ab=时等号成立，2ab+，故B正确；2222

22(2)2442(1)22abaaaaa+=+−=−+=−+，故C错误；21213bbabbabaabababab++=+=+++=，当且仅当baab=，即1ab==时等号成立，故D正确．故选：ABD.10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点E、F、G分别

在棱11DA、11DC、1AA上，满足11111114DEDFDADC==，11(0)AGAA=，记平面EFG与平面11ABCD的交线为l，则（）A.存在(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B.当34=时，三棱锥

BEFG−体积为32C.当34=时，三棱锥1AEFG−的外接球表面积为34D.当12=时，直线l与平面ABCD所成的角的正弦值为23333【答案】BD【解析】【分析】对于A，对分情况讨论，图形展示即可；对于B，当34=时，1111134AGAEAAAD==，得出1//CB

平面EFG，利用等体积可求体积；对于C，当34=时，三棱锥1AEFG−的外接球心在过线段𝐸𝐺的中点，且垂直于平面11ADDA的直线上，可求出432r=，得表面积；对于D，求出l的方向向量与平面ABCD法向量，利用向量公式可得答案.【详解

】设正方体的棱长为4，以D为原点，以DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A选项，1=时，G在A点，11111114DEDFDADC==，由11//EFAC可知//EFAC，所以截面EFG即为四边形EFCA；(0,1)

由图形知，截面EFG为五边形或六边形．故A错误．对于B选项，当34=时，1111134AGAEAAAD==，所以11////EGDACB，所以1//CB平面EFG，11BEFGCEFGGCEFVVV−−−==，又1GA⊥平面1EFC，所以11111133133

322GCEFCEFVSGA−===△，三棱锥BEFG−体积为32，故B正确．对于C选项，当34=时，11AGAE=且11AB⊥平面1AEG，所以根据球的性质容易判断，三棱锥1AEFG−的外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面11AD

DA的直线上，(1,0,4)E，(4,0,1)G，所以EG的中点55,0,22M，可记球心55,,22Ot，(0,1,4)F，外接球的半径2299259(1)4444rOEOFtt===

++=+−+，解得52=t，432r=，所以三棱锥1AEFG−的外接球表面积为43，故C错误．对于D选项，当12=时，(4,4,0)B，1(0,4,4)C，(4,0,2)G，(1,0,4)E，(0,1,4)F，所以1(4,0,4)BC=−，(3,0,2)

GE=−，(1,1,0)EF=−，设平面EFG的一个法向量为()111,,pxyz=，则11113200pGExzpEFxy=−+==−+=，令12x=，则12y=，13z=，所以可取(2,2,3)p=，由1⊥BC平面11AB

CD知，平面11ABCD的法向量为1(4,0,4)BC=−，记平面EFG与平面11ABCD的交线l的一个方向向量为()222,,mxyz=，则2221222230440mpxyzpBCxz=++==−+

=，令22x=，则25y=−，22z=，所以可取(2,5,2)m=−，又平面ABCD的法向量为(0,0,1)n=，则2mn=rr，33m=，1n=，设l与平面ABCD所成的角为，则2233sincos,

3333mnmnmn====，故D正确．故选：BD．11.已知函数()fx，()gx的定义域均为R，()gx为()gx的导函数，且()()1fxgx+=，()()43fxgx−−=，若()gx为奇函数，则（）A.()22

f=B.()()042gg+=−C.()()13ff−=−D.()()44gg−=【答案】ABD【解析】【分析】根据题意分析可知()gx为偶函数，()()42+−=−gxgx，且()gx的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()fx，

()gx的定义域均为R，因为()()1fxgx+=，()()43fxgx−−=，可得()()42+−=−gxgx，又因为()gx为奇函数，则()()gxgx=−−，可得()()gxgx=−，即()gx为偶函

数，则()()42+=−−gxgx，即()()42++=−gxgx，可得()()842+++=−gxgx，所以()()8xgxg+=，可知()gx的周期为8.对于选项A：因为()()42+−=−

gxgx，()()1fxgx+=令2x=，则()()222+=−gg，()()221+=fg，可得()21g=−，()22f=，故A正确；对于选项B：因为()()42+−=−gxgx，令0x=，可得()()042gg+=−，故B正确；对于选项C：因

为()()42+−=−gxgx，且()gx为偶函数，则()()42−++=−gxgx，令1x=−，可得()()132+=−gg，又因为()()1fxgx+=，令1,3x=−，则()()111−+−=fg，()()331+=fg，可得()()()()13132−

++−+=ffgg，可得()()134ff−+=，但由题设条件无法推出()()13ff−=−，故C错误；对于选项D：因为()gx的周期为8，故()()44gg−=，故D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称

性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知nZ，且36n，若31nxx−的展开式中存在常数项，则展开式中4x−的系数为______.【答案】6【解析】【

分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定4n=，再求出展开式中含4x−的项即可得解.【详解】31nxx−展开式的通项公式为341(1)C(1)CrrnrrrrnrrnnTxxx−−−+=−=−，36n因为存在常数项，所以4nr=，故只有当1,

4rn==时满足题意，即求431xx−展开式中含4x−的项的系数，令444r−=−，即2r=，所以展开式中含4x−项为22444(1)C6xx−−−=，的所以展开式中4x−的系数为6.故答案为：613.已知

()fx是定义域为(4,4)−的奇函数.若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是()yfx=图像的一部分，则()fx的解析式为___________.【答案】())()224,0,44,4,0xxxfxxxx−+=−−−−【解析】【分析】求出给定圆

的方程，再根据给定条件结合奇函数的定义求出()fx的解析式.【详解】以点()2,0为圆心，半径为2的圆的方程为22(2)4xy−+=，则该圆在x轴上方的部分的方程为()2404yxxx=−+，由()fx是奇函数，得(0)0f=，当(4,0)−x时，(0

,4)x−，22()()()4()4fxfxxxxx=−−=−−−+−=−−−，所以()fx的解析式为())()224,0,44,4,0xxxfxxxx−+=−−−−.故答案为：())()224,0,44,4,0xxxfxxxx−+=−−−−14.如图

，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点,AB恒有AOB成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角

”.已知曲线C：12e1,011,016xxxyxx−+=+（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则sin=____________.【答案】1【解析】【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.【详解】函数12e1,011

,016xxxyxx−+=+，因为110,0()exxyx−=+，所以该函数在(,0)−单调递减，在(0,)+单调递增.过原点作1e1xyx−=+的切线，设切点()1111,e1xAxx−+，由()11exyx−=+，则切线OA的斜率为()11111exkx

−=+，直线()()()1111111:e11exxOAyxxxx−−−+=+−过()0,0，∴()11112111e1exxxxx−−−−=−−，∴11211e10(0)xxx−−=，即1121exx−−=，由函数1exy−=与2yx-=

的图象在(0,)+有且只有一个交点，且当11x=时满足方程，故方程有唯一解11x=，则12k=；过原点作21116yx=+的切线，设切点2221,116Bxx+，由81yx=，得切线OB的斜率2218

kx=，则切线()222211:1168OByxxxx−+=−过原点(0,0)，则有22222)11116(80xxx−=−−，∴24x=−，则212k=−，则有121kk=−，∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则π2=，si

n1=.故答案为：1.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作

为样本．据统计：男生参观科技展的概率为45，参观科技展的学生中女生占13．（1）根据已知条件，填写下列22列联表，试根据小概率值0.01=的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．参观科技展未参观科技展合计男生女生合计（2）用分层随机抽样的方式从

参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X表示女生人数，求X的分布列和数学期望．参考公式和数据：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．0．10．050．

0250．010．001ax2．7063．8415．0246．63510．828【答案】（1）列联表见解析，与性别有关（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）根据概率可完善二联表，即可根据卡方公式计算，与临界值比较即可求解，（2）根据分层抽样可得抽男生8人，女生4人，即可利用

超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解.小问1详解】因为男生参观科技展的概率为45，所以参观科技展的男生人数为440325=．因为参观科技展的学生中女生占13，所以参观科技展的人数为3248113=−．则参观科技展

的女生人数为483216−=．结合男、女生各有40人，填写22列联表如下：参观科技展未参观科技展合计男生32840女生162440合计483280零假设为0H：学生参观科技展情况与性别无关．根据列联表中的数据，计算得到()228032248164013.3336.635404048323−

==．根据小概率值0.01=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．【小问2详解】用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，则()6084612

CC10C33PX===，()5184612CC81C33PX===，()4284612CC52C11PX===，()3384612CC83C33PX===，()2484612CC14C33PX===．所以X的分布列为【X01234P133833511833133所以()18581012

3423333113333EX=++++=．16.在ABCV中，角,,ABC，的对边分别为,,abc，ABCV的面积为S，()2sin24313sinABSbB+=+．（1）求角A．（2）若ABCV的面积为33，13a=，D为

边BC的中点，求AD的长．【答案】（1）π3A=（2）372【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式求解角A即可.（2）利用余弦定理得到2225bc+=，再结合向量中线定理转化求解即可.【小问1详解】由题意得243sin2coscos2sin13sinA

BABSbB+=+()22222cossin2sincoscos2cossin2cossinsinsinsinAABAABABACbbbBBB++===，由正弦定理，得2432cos3cASbb=，即431sin2cos32bc

AbcA=，所以tan3A=．又()0,πA，所以π3A=．【小问2详解】因为ABCV的面积为33，所以1πsin3323bc=，所以12bc=．因为13a=，所以22π2cos133bcbc+−=，即22

13bcbc+−=，所以2225bc+=．因为D是边BC的中点，所以()12ADACAB=+，所以()()2222211372cos444ADbcbcAbcbc=++=++=，所以372AD=uuur，所以AD的长为372．17.如图（1），在ABCV中，CDAB⊥，224BDCDAD===

，点E为AC的中点．将ACD沿CD折起到PCD△的位置，使DEBC⊥，如图（2）．（1）求证：PBPC⊥．（2）在线段BC上是否存在点F，使得CPDF⊥？若存在，求二面角PDFE−−的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，64【解析】【

分析】（1）先利用线线垂直推导线面垂直，得DE⊥平面PCB，即得DEPB⊥；同法再证CD⊥平面PDB，得CDPB⊥；则得PB⊥平面PCD，故PBPC⊥；（2）根据题设条件和（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由CPDF⊥求得()1,3,1

DF=，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得.【小问1详解】依题意可知点E为PC的中点，2PDCD==，所以DEPC⊥．又DEBC⊥，BCPCC=，BC，PC平面PCB，所以DE⊥平面PCB．又PB平面PCB，所以D

EPB⊥．依题意可知CDPD⊥，CDBD⊥，BDPDD=，BD，PD平面PDB，所以CD⊥平面PDB．又PB平面PDB，所以CDPB⊥．因为CDDED=，CD，DE平面PCD，所以PB⊥平面PCD．又PC平

面PCD，所以PBPC⊥．【小问2详解】由题意，得222222PCAC==+=，222425BC=+=，由（1）PCPB⊥，所以()()22252223PB=−=．以点D为坐标原点，DP，DC所在直线分别为x轴、z轴，过点D且平行于PB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,

0D，()2,0,0P，()0,0,2C，()1,0,1E，()2,23,0B．所以()2,0,2CP=−，()2,0,0DP=，()1,0,1DE=．设()01BFtBCt=，即()2,23,2BFtBCttt==−−，则()

22,2323,2Fttt−−，()22,2323,2DFttt=−−．若存在点F，使得CPDF⊥，则480CPDFt=−=，解得12t=，则()1,3,1DF=．设平面PDF的法向量为()111,,mxyz=，则111130,20.mDFxyzmDPx=++=

==令11y=，得10x=，13z=−，所以平面PDF的一个法向量为()0,1,3m=−．设平面DEF的法向量为()222,,nxyz=，则222220,30.nDExznDFxyz=+==++=令21x=，得20y=，21z=−，所以平面DEF的一个法向

量为()1,0,1n=−．所以36cos,422mnmnmn===．由图可知，二面角PDFE−−为锐角，故二面角PDFE−−的余弦值为64．18.费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总

光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点()2,0−．平行于x轴的平行光束从左向

右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，

B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q（点Q不与F的顶点重合）．若12HQkQAkQB==，1283kk+=−，试求出点Q所有可能的坐标．【答案】（1）C为双曲线的一部分，解析式为()221213yxx−=−−（

2）()2,0或()2,0−【解析】【分析】（1）设()00,Txy，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；（2）设出H，Q坐标，根据向量的坐标运算得到A，B的坐标，将点

A，B的坐标代入F的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及1283kk+=−建立方程，解方程即可【小问1详解】设C上任意一点()00,Txy，00x，光线从点N至点(2,0)的光程为1，光线穿过凸透镜后从T点折射到点(2,0)的光程为

2，的则2211345=+=，()()2220002212xxy=++−+，由题意得12=，得()()220002225xxy++−+=，化简得()22000122xxy−=−+，2220000014444xx

xxy+−=+−+，220013yx−=．令00y=，得01x=−，C为双曲线的一部分，解析式为()221213yxx−=−−．【小问2详解】由题意知22:13yFx−=．设()0,Hn，()(),01Qmm，(),AAAxy，(),BBBxy，则(),HQmn=−，(),AAQA

xmy=−，(),BBQBxmy=−，12HQkQAkQB==，()11AAmkxmnky=−−=，()22BBmkxmnky=−−=，易知10k，20k，得111AAmkmxknyk+==−，222BBmkmx

knyk+==−，即111,mkmnAkk+−，222,mkmnBkk+−．将点A的坐标代入2213yx−=，得22222112211213mkmkmnkk++−=，化简整理得()2222

2111203nmkmkm−++−=．同理可得()22222221203nmkmkm−++−=，1k与2k为方程()222221203nmxmxm−++−=的两个解，212221mkkm+=−−．由题知1283kk+=−，22281

3mm−=−−，解得2m=，点Q坐标可能为(2,0)或()2,0−.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系，关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k的二次方程，结合韦达定理求解.19.

已知函数()()21e2e22xxfxaax=+−−．（1）若曲线()yfx=在30,2a−处的切线方程为4210axy++=，求a的值及()fx的单调区间．（2）若()fx的极大值为()ln2f，

求a的取值范围．（3）当0a=时，求证：()2535eln22xfxxxx+−+．【答案】（1）1a=，单调递减区间是(),ln2−，单调递增区间是()ln2,+（2）(),2−−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与4210axy+

+=对比可得1a=，即可利用导数的正负确定函数单调性，（2）求导得()()()ee2xxfxa=+−，即可对a分类讨论求解导数的正负求解单调性，（3）将不等式变形为只需要证明222151e2e2lne222xxxxxxx+−−−−，构造函数()2215e2e222xxhxx=+−−，利用导

数求证()0hx，构造函数()lnxtxx=和()2e12xxx=+，利用导数分别证明()()xtx，即可求证21lne02xxxx−−，进而可求解.【小问1详解】由题意，得()()2e2e2xxfxaa−=+−，所以()01fa=−−．的因为曲线()yfx=在30,2a−

处的切线方程为()312yaax−−=−−，又4210axy++=，所以21aa−=−−，所以1a=．所以()()()2ee2e2e1xxxxfx=−−=−+．令()0fx，得ln2x；令()0fx，得ln2x．所以函数()fx

的单调递减区间是(),ln2−，单调递增区间是()ln2,+．【小问2详解】由题意得()()()()2e2e2ee2xxxxfxaaa=+−−=+−．当0a时，令()0fx，得ln2x；令()0fx，得ln2x．所以()fx在(),ln2−上单调递减，在()ln

2,+上单调递增，此时()fx只有极小值，不符合题意．当a<0时，令()0fx=，得1ln2x=，()2lnxa=−．因为()fx的极大值为()ln2f，所以()ln2lna−，解得2a−．综上，a的取值范围为(

),2−−．【小问3详解】当0a=时，()21e2e2xxfx=−．要证()2535eln22xfxxxx+−+，即证22135e2elne222xxxxxx+−−−，只需证222151e2e2lne222x

xxxxxx+−−−−．先证：2215e2e2022xxx+−−，0x．设()2215e2e222xxhxx=+−−，0x，则()2e2e4xxhxx=+−．设()2e2e4xxmxx=+−，0x，则()()()22e2

e42e1e20xxxxmx=+−=+−．所以函数()mx在()0,+上单调递增，则()()030mxm=，即()0hx，所以函数()hx在()0,+上单调递增，则()()00hxh=，所以2215e2e2022xxx+−−．再证：21lne0

2xxxx−−，0x，即证2lne12xxxx+．设()lnxtxx=，则()21lnxtxx−=．当()0,ex时，()0tx，()tx单调递增；当()e,x+时，()0tx，()tx单调递减．所以()()1eetxt=．设()2e12xxx=+，0x

，则()()32exxxx−=．当()0,2x时，()0x，()x单调递减；当()2,x+时，()0x，()x单调递增．所以()()2e1242x=+．所以22ln1e1e1e422

xxxx++，即2lne12xxxx+．综上，222151e2e2lne222xxxxxxx+−−−−得证．故()2535eln22xfxxxx+−+．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等

关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅

助函数.