【文档说明】吉林省通榆县一中2021届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案.docx，共(12)页，847.391 KB，由小赞的店铺上传

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通榆一中高三期中考试试题数学（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：集合、常用逻

辑用语、复数、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、立体几何.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3M=，2,3,4N=，则MN=（）A.2,3B.

3,4C.1,4D.1,2,3,42.已知i为虚数单位，则43ii=−（）A.2655i+B.2655i−C.2655i−+D.2655i−−3.命题“00x，0021xx+”的否定是（）A.0x，ln21xx+B.0x，ln21xx+C.0x

，ln21xx+D.0x，ln21xx+4.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（）A

.825两B.845两C.865两D.885两5.若函数()()sincos0fxxx=−的图象关于点()2,0对称，则的最小值是（）A.8B.4C.38D.586.已知等比数列na中，353aa=，公比3q=，则48aa=（）A.

-27B.27C.81D.277.已知数列na是等差数列，其前n项和为nS，若454aa+=，则8S=（）A.16B.-16C.4D.-48.在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1b=，(2sin3cos)3cosaBCA−=，点G是ABC△的重

心，且133AG=，则ABC△的面积为（）A.3B.32C.3或23D.334或39.已知函数11()44xxfx−=−，则()fx（）A.是奇函数，且在()0,+上单调递增B.是

奇函数，且在()0,+上单调递减C.是偶函数，且在()0,+上单调递增D.是偶函数，且在()0,+上单调递减10.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面ABC，ABC△为等边三角形，12ABAA=

=，D，F，G分别为AC，1AA，1CC的中点，P是线段DF上的一点，则直线BP与直线DG的位置关系可能是（）①相交②垂直③异面④平行A.①②B.①②③C.①③④D.②③④11.如图，在正方形ABCD

中，N是线段CD上的一动点，BN交AC于点E，若CNCD=，AEAC=，则()1+=（）A.13B.1C.43D.212.设等差数列na的前n项和为nS，且4523SS=，621S=，若12111222n

SSS+++恒成立，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a=−，(),4bm=−，若ab⊥，则m=_______.14.已知等差数列na的前n项和为nS，若315aa=，则124SS=_______.15.若1c

os()2−=，3cos()5+=−，则coscos=_______.16.已知半径为4的球面上有两点A，B，且23AB=，球心为O，若球面上的动点C满足：OA与ABC△所在截面所成角为60，则四面体OA

BC的体积的最大值为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的公差为()0dd，前n项和为nS，且满足815a=，1a，2a，5a成等比数列.（1）求数列na的

通项公式；（2）若12nnb=，求数列nnab+的前n项和nT.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面四边形ABCD为矩形且24ADAB==，平面PAD⊥平面ABCD，且PAD△是正三角形，E是AD的中点.（1

）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离.19.已知ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2sinBbcC=.（1）求角B的大小；（2）若4b=，ABC△的面积为533，求ABC△的周长.20.如图，在直三棱柱111ABCABC

−中，120ACB=，2AC=，4BC=，16AA=，D为线段AB的中点，E为线段1BB的中点，F为线段1AC的中点.（1）证明：//EF平面ABC；（2）求三棱锥11ABCD−的体积.21.已知在等差数列na中，2513a

a+=，其前8项和860S=.（1）求数列na的通项公式﹔（2）设数列nb满足()33nnnba=−，求nb的前n项和nT.22.设函数()()2()ln10fxxaxa=−+.（1）当2a=时，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx有

2个零点，求实数a的取值范围.通榆一中高三期中考试试题·数学（文科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5：DCACA6-10：BADDB11-12：BA1.D由题意，得1,2,3,4MN=.故选D.2.C44(3)412263(3)(3)1055iiiiiiii+−

+===−+−−+.故选C.3.A根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“00x，00ln21xx+”的否定为：“0x，ln21xx+”.故选A.4.C设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,1

0nan=两银子，设数列na的公差为d，其前n项和为nS，则由题意得8106100aS==，即1176109101002adad+=+=，解得186585ad==−.所以长兄分得865两银子.故选C.5.A(

)2sin4fxx=−，由其图象关于点()2,0对称，得2()4kkZ−=，即()28kkZ=+，所以的最小值是8，故选A.6.B3444835353(3)27aaaqaqaaq

====.故选B.7.A由()()18458884816222aaaaS++====.故选A.8.D由题可知2sinsin3sincos3sincosABACCA−=，2sinsin3sinABB=，则3sin2A=，3A=或2

3.又133AG=，延长AG交BC于点D，所以132AD=.因为1()2ADABAC=+，所以2241()ADABAC=+，即()22212cos4bcAAbcD=++，当3A=时，3c=，所以ABC△的面积为133sin24bcA=；当23A=时，4c=，所以A

BC△的面积为1sin32bcA=.9.D函数11()44xxfx−=−的定义域为R，()1111()4444xxxxfxfx−−−−−=−=−=

，即()()fxfx−=，所以()fx是偶函数.当0x时，11()44xxfx−=−，14xy=为减函数，14xy−=为增函数，所以()fx在()0,+上单调递减.故选D

.10.B当P点与D点重合时，直线BP与直线DG相交，连接BG，FG，BF，BD，由题意，可得2BC=，1CG=，2FG=，3BD=，BCCG⊥，在RtBCG△中，2222215BGBCCG=+=+=，同理2222112DGDCCG=+=

+=，2222112DFADAF=+=+=，22222(3)(2)5BDDGBG+=+==，所以DGBD⊥，22222(2)(2)4FDDGFG+=+==，所以FDDG⊥.又FDBDD=，,FDBD平面BDF，所以DG⊥平面BDF，又BP平面BDF，所以BPDG⊥

，当P点不与D点重合时，直线BP与直线DG异面.故选B.11.B取向量BA，BC作为一组基底，则有()BEBAAEBAACBABCBA=+=+=+−(1)BABC=−+，BNBCCNBCBA=+=+.因为向量BN与BE共线，所以1−=，即(1)1+=.故选B.12.A因

为4523SS=，所以114325445232adad+=+，得1112181020adad+=+，即1ad=.由621S=，知1656212ad+=，即161521ad+=，所以11ad==，所以(1)(1)22nnnnnSn−+=+=，所以11112(1

)1nSnnnn==−++，所以1211111111111122222311nSSSnnn+++=−+−++−=−++，所以1.故的最小值为1.故选A.二、填空题13.-614.915.120−16.613.-6在因为ab⊥，所以()

()2,3,42120abmm=−−=−−=，解得6m=−.14.9等差数列na中，315aa=，即1125ada+=，所以12da=，1211266Sad=+，4146Sad=+，所以1211411126663394623SadadSadad+

+===++.15.120−因为()1cos2−=，所以1coscossinsin2+=.因为()3cos5+=−，所以3coscossinsin5−=−，所以1131coscos

22520=−=−.16.6设ABC△所在截面圆的圆心为1O，AB中点为D，连接1OA，OD，1OD，则1OAO为OA与ABC△所在截面所成角，即160OAO=，得123OO=，12OA=，由OAOB=，所以ODAB⊥，同理1ODAB⊥.因为4OAO

B==，23AB=，所以13OD=.在1RtODO△中，得11OD=，因为四面体OABC的体积为1111123233232VOOABhh==，连接CD，当CD过1O时，CDAB⊥且最大11123CDODOA=+=+=，所以四面体OABC的体积的最大值1123233632V=

=.三、解答题17.解：（1）由817aad=+，得1715ad+=；由1a，2a，5a成等比数列，得2215aaa=，()()21114adaad+=+，即12da=，解得11a=，2d=，即21nan=−.（2）由（1）得1212nnnabn+=−+，则23111

1[135(21)]2222nnTn=++++−+++++111(121)221212nnn−+−=+−2112nn=+−，即2112nnTn=+−.18.（1）证明：因为侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，所以PEAD⊥.因为平面

PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PE平面PAD，所以PE⊥平面ABCD.又CE平面ABCD，所以PECE⊥.因为平面ABCD为矩形且2ADAB=，所以AEDEABCD===.所以45AEBDEC==.所以454590AEBDEC++==.所

以90BEC=，即BECE⊥.又因为PEBEE=，,PEBE平面PBE，所以CE⊥平面PBE.（2）解：因为24ADAB==，侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，所以2AEDE==.所以由勾股定理得222222

BECE==+=，224223PE=−=，2222(23)(22)25PPBEPCBE=+=+==，所以22221142(25)2822PBCSPCBC=−=−=△.设点E到平面PBC的距离为h，则由EPBCPBCEVV−−=三棱锥三棱锥

，得1114223332PBCSh=△，即11184223332h=，解得3h=.19.解：（1）因为cos2sinBbcC=，由正弦定理得cossin2sinsinBBCC=，所以sincos2BB=，所以2sincoscos222BBB=.因为

()0,B，所以0,22B，所以()cos0,12B，所以1sin22B=，所以26B=，所以3B=.（2）由（1）得3B=，所以ABC△的面积1153sinsin2233SacBac===，得203ac=.由余弦定理得2222222cos()3bacacBaca

cacac=+−=+−=+−.又因为4b=，203ac=，所以()2201633ac=+−，解得6ac+=，所以ABC△的周长为6410abc++=+=.20.证明：（1）取AC的中点为G，分别连接GF，BG.又∵F为线段1AC的中点，∴1//A

AGF，且12AAGF=.∵12BBBE=，据三棱柱111ABCABC−的性质知，11//BBAA，11BBAA=，∴//GFBE，且GFBE=，∴四边形BEFG为平行四边形，∴//EFBG.又∵BG平面ABC，EF平面ABC，∴//EF平面ABC.解：（2）据

题设知，124sin120232ABCS==△，∵111236123ABCABCV−==三棱柱.又∵11112362332AACDBBCDVV−−===三棱锥三棱锥，∴1111236433CABCV−==三

棱锥，∴三棱锥11ABCD−的体积12323234343V=−−−=.21.解：（1）由()()18818842aaSaa+==+()1114782860aadad=++=+=，由2513aa+=，得125

13ad+=，联立11828602513adad+=+=，解得114da==，故4(1)13nann=+−=+.（2）()333nnnnban=−=，所以1231323333nnTn=++++，①234131323333n

nTn+=++++，②由①一②，得1231133233333313nnnnnTnn+++−−=++++−=−−，所以1(21)334nnnT+−+=.22.解：（1）当2a=时，()2()2ln1fxxx=−+，22(2')22xxxxfx

−=−=.令'()0fx=，得1x=或1x=−（舍）.所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，即()fx在1x=处取得极小值，极小值为()11f=−.（2）函数的定义域为()0,+，令2'()220axaxxfxx−=−==，

则22ax=，所以当20,2ax时，'()0fx；当2,2ax+时，'()0fx，所以()fx的单调递增区间是2,2a+，单调递减区间是20,2a.①当2

ae=，22()(ln1)fxxxe=−+的最小值为10fe=，即22()(ln1)fxxxe=−+有唯一的零点1xe=；②当20ae时，()2()ln1fxxax=−+的最小值为2ln1222aaa

f=−+，且2ln10222aaaf=−+，即()2()ln1fxxax=−+不存在零点；③当2ae时，()fx的最小值2ln10222aaaf=−+

，又122ae，2110fee=，所以函数()fx在20,2a上有唯一的零点，又当2ae时，22aa，2()(ln1)(ln1)faaaaaaa=−+=−−，令(

)ln1gxxx=−−，则11'()10xgxxx−=−==，解得1x=，可知()gx在2,1e上递减，在()1,+上递增，所以()()10gag=，所以()0fa，所以函数()fx在2

,2a+上有唯一的零点.所以当2ae时，()fx有2个不同的零点.综上所述，实数a的取值范围是2ae.