【文档说明】湖北省恩施鄂西南三校联盟2023-2024学年高二上学期9月月考试题+数学+含解析.docx，共(30)页，3.050 MB，由小赞的店铺上传

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鄂西南三校高二年级9月联考数学试卷命题人：徐小华审题人：郑伟本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作

答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷、草稿纸上无效．3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在

试卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足()13i

2iz+=，z为z的共轭复数，则z=（）A.102B.105C.1010D.10152.已知集合3{|log(32)1}Axx=−，121{|()3}3xBx−=，则AB=（）A.2,13B.(,1)−C.5(,)3

−D.5(1,)33.如图，l=，,ABl，C，且Cl，直线ABlM=，过,,ABC三点的平面记作，则与的交线必通过（）A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M4.下列结论中正确的是（）A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右

边“拖尾”，则平均数小于中位数B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变C.一个样本的方差222212201(3)(3)(3)20sxxx=−+−++−，则这组样本数据的总和等于60D.数据123,,,,na

aaa的方差为M，则数据1232,2,2,,2naaaa的方差为2M5.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球（上）和一个圆

台（下）组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（）A.1.0米B.1.1米C.1.2米D.1.3米6.如图所示，ABC内有一点G满足0GAGBGC++=，过点G作一直线分别交ABAC，于点DE，.若(0)A

DxABAEyACxy==，，则11xy+=（）A.4B.3C.2D.17.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、31x+想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将

会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（）A110B.35C.71

0D.568.四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）的.A.平均数为3，中位数2B.中位数为3，众数为2C.中位数为3，方差为2.8D.平均数为

2，方差为2.4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设0，函数()3sincosfxxx=−+

在区间π0,2上有零点，则的值可以是（）A.16B.56C.13D.2310.在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.sinsinAB是AB的充要条件B.在ABC中，若42a=，43b=，45A=，则60B=C.若60A=，5a

=，则ABC面积的最大值为2534D.若2ACABAB，则ABC为钝角三角形11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用(),ab表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，记事件A=“关于x的方程()()25

02xabxab−+++=无实根”，事件“4Ba==”，事件C=“4b”，事件D=“ab20”，则（）AA与B互斥B.A与D对立C.B与C相互独立D.B与D相互独立12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段11BD上一动点（包括端点），则（

）A.三棱锥1PABD−的体积为定值13B.当点P与1B重合时，三棱锥1PABD−的外接球的体积为32的.C.过点P平行于平面1ABD的平面被正方体1111ABCDABCD−截得的多边形的面积为62D.直线1PA与平面1ABD所成角的正弦值的范围为36,33三、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(1,2,)at=，(1,4,3)b=−−，若ab⊥，则t=_________．14.三棱锥ABCD−中，2ABACAD===，2BAD=，3BAC=，则ABC

D=______．15.分子式4CH是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题.如图甲烷分子的结构为

正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点,,,ABCD，碳原子位于正四面体的中心O，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同()OAOBOCOD===、键角相等()AOBAOCAOD===.请计算甲

烷碳氢键的键角的余弦值为___________.16.ABC中，23BC=，3AC=，2AB=，D是BC上一点且ADAC⊥，则ABD的面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.

已知向量()cos,cosaxx=，()3sin,cosbxx=−，函数()1fxab=+.（1）求函数()fx的值域和单调递增区间；（2）当()310f=−，且ππ63−时，求πsin43−的值.18.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底

面是边长为1的正方形，侧棱1AA⊥平面ABCD，12AA=，M是1DD的中点．（1）求证：1//BD平面AMC；（2）证明：1ACBD⊥；（3）求三棱锥BMAC−的体积．19.甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次

质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为34，重新加工后再次质检的合格率为12，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质

检的合格率均为23，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．（1）求这2个零件均质检合格概率；（2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.20.在ABC中，三个内角,,ABC所对的边分别是,,abc

，2ADDC=，2BD=，且()sin()acAB−+=()(sinsin)abAB−+．（1）求B；（2）当2ac+取最大值时，求ABC的面积．的21.2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党

章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有

10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概

率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．22.如图，在梯形ABCD中，ABCD，1===ADDCCB，60ABC=，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，1

CF=.（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角ABFC−−的平面角的余弦值；（3）若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的范围.鄂西南三校高二年级9

月联考数学试卷命题人：徐小华审题人：郑伟本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷、草稿纸上无效．3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足()13i2iz+=，z为z的共轭复数，则z=（）A.102B.105C.1010D.1015【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算和模长公式可得答案.【详解】因为()13

i2iz+=，所以()()()2i13i2i31i13i13i13i55−===+++−z，所以31i55z=−，911025255=+=z.故选：B.2.已知集合3{|log(32)1}Axx=−，121{|()3}3xBx−=，则AB=（）A.2,13B.(,1)−C.5

(,)3−D.5(1,)3【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合,AB，利用交集的运算求出结果.【详解】∵()()33325log321log32log30323,

33Axxxxxx=−=−=−=，()121211113121,1333xxBxxxx−−−===−−=−，∴2,13AB=.故选：A.3.如图，l=，,ABl，C

，且Cl，直线ABlM=，过,,ABC三点的平面记作，则与的交线必通过（）A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项.【详解】∵直线ABlM=，过,,ABC三点的平面记作，

MC=∴与的交线必通过点C和点M，故选：D．4.下列结论中正确的是（）A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差

改变C.一个样本的方差222212201(3)(3)(3)20sxxx=−+−++−，则这组样本数据的总和等于60D.数据123,,,,naaaa的方差为M，则数据1232,2,2,,2naaaa的方差为2M

【答案】C【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差的计算公式和性质逐项分析即可.【详解】对于A，直方图大体如下图：由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，故A选线错误；对于B，设这组数据为12,,,nxxx，则平均数为12nxxxM

n+++=，方差为()21niixMn=−，则减a后，平均数为12nxaxaxaNMan−+−++−==−，方差为()()2211nniiiixaNxMnn==−−−=，所以是平均数改变，方差不变，故B选项错误；对于C，由题意，可知平均数为3，所以总和32060==

，故C选项正确；对于D，设数据123,,,,naaaa的平均数为P，则有123naaaaPn++++=，方差为()21niiaPMn=−=，设数据1232,2,2,,2naaaa的平均数为Q，则12322222naaaaQPn+++

+==，方差为()()22112224nniiiiaQaPDMnn==−−===，故D选项错误.故选：C.5.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球（上）和一个圆台（

下）的组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（）A.1.0米B.1.1米C.1.2米D.1.3米【答案】B【解析】【分析】利用圆台的体积

公式与球体的体积公式，建立方程，求得圆台的高.【详解】由圆台的体积公式()221π3VhRRrr=++，以及球体的体积公式24π3VR=，()3221412π1π111.21.2233h=++，解得1.1h，圆台的高约为1.1米.故选：B.6.如图所

示，ABC内有一点G满足0GAGBGC++=，过点G作一直线分别交ABAC，于点DE，.若(0)ADxABAEyACxy==，，则11xy+=（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心向量表达式，结合共线向量的运算性

质进行求解即可.【详解】因为0GAGBGC++=，所以G为ABC的重心，所以()()()1113AGABACtADtAEtxABtyAC=+=+−=+−，所以13tx=且()113ty−=，所以113xy+=，故选：B7.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、31x+想等，其描述为：任一正整

数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的

运算次数为奇数的概率为（）A.110B.35C.710D.56【答案】C【解析】【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算次数，最后根据古典概型计算公式进行求

解即可.【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为63105168421→→→→→→→→，运算次数为8；正整数7的部分运算过程为722113417522613402010→→→→→→→→→→，当运算到10时，运算次数为10

，由正整数6的运算过程可知，正整数7总的运算次数为10616+=；正整数8的运算次数为3；正整数9的部分运算过程为928147→→→，当运算到7时，运算次数为3，由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为31619+=．正整数10的运算次数为6；故正

整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为：()()()()()()()()()()6,7,6,8,6,9,6,10,7,8,7,9,7,10,8,9,8,10,9,10，

共10种，其中的运算次数均为偶数的方法总数为：()()()6,7,6,10,7,10，共3种，故运算次数均为偶数的的概率为310，故所求概率3711010P=−=．故选：C.8.四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计

四名同学的记录结果，可以判断出的一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数2B.中位数为3，众数为2C.中位数为3，方差为2.8D.平均数为2，方差为2.4【答案】D【解析】【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平

均数以及方差公式，即可得出答案．【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6

时，满足中位数为3，平均数为：1(12336)35x=++++=，方差为2222221[(13)(23)(33)(33)(63)]2.85s=−+−+−+−+−=，可以出现点数6，故C错误；对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差

221(62)3.22.45s−=，则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分

选对的得2分，有选错的得0分．9.设0，函数()3sincosfxxx=−+在区间π0,2上有零点，则的值可以是（）A.16B.56C.13D.23【答案】BD【解析】【分析】化简得到()π2cos3fxx=+

，根据π20,x得到2πππ333π,x++，从而得到ππ32π2+，求出答案.【详解】()π3sincos2cos3fxxxx=−+=+，因为π20,x，0，所以

2πππ333π,x++，要想()π2cos3fxx=+区间π0,2上有零点，则ππ32π2+，解得13，故的值可以是56，23；故选：BD10.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则

下列说法正确的是（）A.sinsinAB是AB充要条件B.在ABC中，若42a=，43b=，45A=，则60B=C.若60A=，5a=，则ABC面积的最大值为2534D.若2ACABAB，则ABC为钝角三角形【答案】AC

D【解析】【分析】直接利用正弦定理的和大边对大角判断A的结论，利用正弦定理和三角函数的值判断B的结论，利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用判断C的结论，利用向量的数量积和余弦定理的应用判断D的结论．【详解】对于A：由正弦

定理sinsinAB，整理得ab，所以AB，由AB，所以ab，利用正弦定理sinsinAB，故sinsinAB是AB的充要条件，故A正确；对于B：在ABC中，若42a=，43b=，45A=，利用正弦定理：

sinsinabAB=，所以3sin2B=，由于0135B，则60B=或120均符合题意，故B错误；对于C：若60A=，5a=，则2222cosabcbcA=+−，所以2225bcbc+=+，又22

2bcbc+，所以252bcbc+，即25bc，当且仅当5bc==时，等号成立，故113253sin252224ABCSbcA==，故C正确；的对于D：2222cos2bcaACABbcAc+−==，故

222acb+，由于222cos02acbBac+−=，所以ππ2B，故ABC为钝角三角形，故D正确．故选：ACD．11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用(),ab表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，记事件A=“关于x

的方程()()2502xabxab−+++=无实根”，事件“4Ba==”，事件C=“4b”，事件D=“ab20”，则（）A.A与B互斥B.A与D对立C.B与C相互独立D.B与D相互独立【答案】BCD【解析】【分析】先用列举法写出一

次试验的基本事件，再根据条件写出事件,,,ABCD包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.【详解】由题意得()()()()(

)()()()()Ω{1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,(2=，()()()()4),2,5,2,6,3,1,3,2,()()()()()()()()3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2

,4,3,4,4,()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,(6，6)}，包含36个样本点.由()2Δ()100abab=+−+，得010ab+，所

以(){1,1A=，()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2，()()()()()()()()()()()()()3,3,3,4,3,5,3

,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4，()()()6,1,6,2,6,3}，共包含30个样本点，()()()()(){4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,(4B=，6)}，共包含6个样本点，A与B不互斥，故选项A错误；又()()()()(){1,1,1,

2,1,3,2,1,2,2C=，()()()()()()()()()()()()2,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,6,1,6,2,(6,3)}，共包含18个样本点，()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,

6,5,6,6D=，共包含6个样本点，所以A与D对立，故选项B正确；选项C，因为()()()3161181,,3612366362PBCPBPC======，所以()()()PBCPBPC=，故B与C相互独立

，故选项C正确；选项D，因为()()161,36366PBDPD===，所以()()()PBDPBPD=，故B与D相互独立，故选项D正确.故选：BCD.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段11BD上一动点（包括端点），则（）A.三棱锥1PABD

−的体积为定值13B.当点P与1B重合时，三棱锥1PABD−的外接球的体积为32C.过点P平行于平面1ABD的平面被正方体1111ABCDABCD−截得的多边形的面积为62D.直线1PA与平面1ABD所成角的正弦值的范围为36,33【答案】BD【解析】【

分析】利用锥体的体积公式可判断A；求出三棱锥11ABDC−外接球的半径与体积可判断B；作出截面图形，利用三角形的面积公式可判断C；计算出点P到平面1ABD的距离，以及1PA的取值范围，结合线面角的定义可判

断D.【详解】对于A，因为11BBDD∥且11BBDD=，故四边形11BBDD为平行四边形，所以11BDBD∥，11BDQ平面1ABD，BD平面1ABD，11BD平面1ABD，11PBD，所以点P到平面1ABD的距离等于点1D到平面1ABD的距离，1

11111122ADDSADDD==△，11111111136PABDDABDBADDADDVVVSAB−−−====△，故A错误；对于B，当点P与1B重合时，三棱锥1PABD−的外接球即为正方体1111ABCDABCD−的外接球，正方体1111ABCDABCD−的外接球直径为23

R=，32R=，故三棱锥1PABD−外接球的体积为343ππ32R=，故B正确；对于C，11ABCD∥且11ABCD=，则四边形11ABCD为平行四边形，所以11ADBC，1BC平面1ABD，1AD平面1ABD，所以1BC平面1ABD，又因为11B

D平面1ABD，1111BCBDB=，111,BCBD平面11BCD，所以，平面11BCD平面1ABD，所以，过点P平行于平面1ABD的平面被正方体1111ABCDABCD−截得的多边形为11BCD，11BCD是边长为2的等边三角形，该三角形的面积

为()233242=，故C错误；设点P到平面1ABD的距离为h，由116PABDV−=知，点P到平面1ABD的距离为1113336332PABDABDVhS−===△，当点P在线段11BD上运动时，因为1111ABAD=，若P为11BD的中点时，111PABD⊥，()111min12

22PABD==，当点P为线段11BD的端点时，()ax1m1PA=，即1212PA，设直线1PA与平面1ABD所成角为，136sin,33hPA=，故D正确.故选：BD．【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方

法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,an=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(1,2,)at=，

(1,4,3)b=−−，若ab⊥，则t=_________．【答案】3【解析】【分析】由垂直向量的数量积为零，直接列方程求解即可.【详解】因为(1,2,)at=，(1,4,3)b=−−，且ab⊥，所以()()112430abt=−+−+=，解得：3t=.故答案为：3.14.三

棱锥ABCD−中，2ABACAD===，2BAD=，3BAC=，则ABCD=______．【答案】-2【解析】【分析】根据向量的减法运算，结合数量积的运算，可求得答案.【详解】由题意得2BAD

=，故0ABAD=uuuruuur，()ABCDABADACABADABAC=−=−22cos23=−=−,故答案为：-215.分子式4CH是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作

为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题.如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点,,,ABCD，

碳原子位于正四面体的中心O，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同()OAOBOCOD===、键角相等()AOBAOCAOD===.请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为___________.【答案】13−【解析】【分析】画出几何体，由几何体的结构特征求出碳氢键的键长，利用余弦定理

进行求解即可.【详解】如图：设正四面体的棱长为a，正三角形BCD中，2223()323aBHaa=−=，正四面体的高2236()33AHaaa=−=，设OAR=,则RtBHO中，22222()OBBHHOBHAHAO=+=+−,

即22236()()33RaaR=+−,解得6,4Ra=即6,4OAOBOCODRa=====则AOB中，22222266()()144cos,20366244aaaOAOBABAOBOABaa+−+−===−即甲烷碳氢键的键角的余弦值为1.3−故答案为：1.3−16.AB

C中，23BC=，3AC=，2AB=，D是BC上一点且ADAC⊥，则ABD的面积为______．【答案】210【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，利用诱导

公式可求sinBAD，可求cosBAD，利用两角和的正弦函数公式可求sinADB，在ABC中，由余弦定理可得AB，在ABD中，由正弦定理可得AD，即可根据三角形的面积公式计算得解ABDS的值．【详解】23BC=，3AC=，2AB=，在ABC中

，由正弦定理sinsinBCACAB=，可得：23323sinsin2sincosABBB==，解得：3cos3B=，可得：26sin1cos3BB=−=，21coscos22cos13ABB==−=−，

ADAC⊥，1sinsincos23BADAA=−=−=，可得：222cos1sin3BADBAD=−=，()1322653sinsin33339ADBBADB=+=+=，在ABC中，由余弦定理可得：22233(23)2233ABAB=+−，解得：1AB=，

或3．3ABAC==，2AB=，可得：124BCA===，可得：223332BC=+=，与23BC=矛盾，1AB=，在ABD中，由正弦定理sinsinABADADBB=，可得：sin32sin5ABBADAD

B==，1112sin22310ABDSABADBADABAD===．故答案为210．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查

了数形结合思想的应用，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知向量()cos,cosaxx=，()3sin,cosbxx=−，函数()1fxab=+.（1

）求函数()fx的值域和单调递增区间；（2）当()310f=−，且ππ63−时，求πsin43−的值..【答案】（1）值域是13,22−；πππ,π63kk−++（kZ）（2）2425−【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结

合三角恒等变换可得()π1sin262fxx=−+，进而结合三角函数性质运算求解；（2）根据题意可得π4sin265−=−，结合倍角公式运算求解.小问1详解】()213sincoscos1fxabxxx=+=−+311π1sin2cos2sin2222

62xxx=−+=−+，当ππ22π,62xkk−=+Z，即ππ,3xkk=+Z时，()fx取到最大值32；当ππ22π,62xkk−=−Z，即ππ,6xkk=−Z时，()fx取到最大值

12−；所以函数()fx的值域是13,22−；令πππ2π22π,262kxkk−+−+Z，解得ππππ,63kxkk−++Z，所以函数()fx的单调增区间为πππ,π,63kkk−++Z.【小问2详解】因为()π13sin26210f=−+=−

，可得π4sin265−=−，因为ππ63−，则ππ222π6−−，可得2ππ3cos21sin2665−=−−=，所以4324sin4sin222sin2cos22ππππ

36665525−=−=−−=−=−.【18.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面是边长为1的正方形，侧棱1AA⊥平面ABCD，1

2AA=，M是1DD的中点．（1）求证：1//BD平面AMC；（2）证明：1ACBD⊥；（3）求三棱锥BMAC−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）16【解析】分析】（1）根据线线平行，即可证明线面平行；（2）根据线面垂直的性质定理，以及线面垂直

的判断定理，即可求解；（3）利用等体积转化BMACMABCVV−−=，求三棱锥的体积.【小问1详解】证明：设ACBDO=，连接OM．在四棱柱1111ABCDABCD−中，ABCD是正方形，【所以O为BD中点．

又因为M为1DD中点，所以1OMBD．因为OM面1,AMCBD面AMC，所以1BD∥面AMC．【小问2详解】证明：在四棱柱1111ABCDABCD−中，1DD⊥面ABCD．因为AC面ABCD，所以1DDAC⊥．在正方形ABCD中，BDAC⊥．又因为

11,DDBDDDD=面1,BDDBD面1BDD，所以AC⊥面1BDD．因为1BD面1BDD，所以1ACBD⊥．【小问3详解】在四棱柱1111ABCDABCD−中，因为MD⊥面ABCD，所以MD是三棱锥MABC−的高．所以11111113326BMACMABCABCVVSMD−−===

=△．19.甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格

率为34，重新加工后再次质检的合格率为12，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为23，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．（1）求这2个零件均质检合格的概率；（2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格

为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.【答案】（1）79；（2）1718.【解析】【分析】（1）所求事件为两个相互独立事件的积事件AB，先分别将两事件转化为互斥事件的和事件，再利用概率加法公式求它们的概率，最后由相互独立事件的积事件概率乘法公式可求；（2）所求事件为“这2个零件的价

格之和不低于100元”，转化为“两个均质检合格”、“甲不合格乙一等品”、“乙不合格甲一等品”三个互斥事件的和事件，分别求解再利用概率加法公式求解即可.【小问1详解】（Ⅰ）设事件A表示“甲加工的零件质检合格”，事件1A表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件2A表示“甲重新加

工的零件再次质检合格”；设事件B表示“乙加工的零件质检合格”，事件1B表示“乙加工的零件首次质检合格”，事件2B表示“乙重新加工的零件再次质检合格”．由题意知，112()AAAA=，112()BBBB=，且事件1A与12AA，1B与12BB互斥，事件A与B，1A与2A，1B与2B相互

独立.则()()()()()1121123317()14428PAPAPAAPAPAPA=+=+=+−=，()()()()()1121122228()13339PBPBPBBPBPBPB=+=+=+−=.所以787()()()899PABPAPB===.【小问2详

解】（Ⅱ）设事件M表示“这2个零件的价格之和不低于100元”，则()()11()MABABAB=，()()11381[1()]14912PABPAPB=−=−=，()()11721[1()]18312PABPAPB=

−=−=，则11717()1212918PM=++=.20.在ABC中，三个内角,,ABC所对的边分别是,,abc，2ADDC=，2BD=，且()sin()acAB−+=()(sinsin)abAB−+．（1）求B；（2）当2ac+取最大值时，求ABC的面积．【答案】

（1）π3B=（2）332【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）向量化结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为πABC++=，所以()()()()()sinsinsinsinacABacCabAB−+=−=−+，由正弦定理可得()()(

)accabab−=−+，整理得到：222acbac+−=，所以2221cos22acbBac+−==，而()0,πB，故π3B=；【小问2详解】因为2ADDC=，故()2BDBABCBD−=−，故1233BDBAB

C=+，所以21444999BDBABCBABC==++，故2222π3644cos423caaccaac=++=++，整理得到()()2222362364acacac++=++，故243ac+，当且仅当2ac=，即3,23ac=

=时等号成立，故此时，对应的ABC的面积为1333323222=．21.2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（9

5分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知

第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者

，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的

方差．【答案】（1）37.5（2）①35；②10【解析】【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率分布直方图中的数据，计算即可；（2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由方差的计算公式求解即可.【小问1详解】设这m人的平均年龄为

x，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x=++++=（岁)．设第80百分位数为a，方法一：由50.02(40)0.040.2a+−=，解得37.5a=．方法二：由0.

050.350.3(35)0.040.8a+++−=，解得37.5a=．【小问2详解】①由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙．对应的样本空间为：()Ω{,AB=，(A,C)，（A，甲），（A，乙），(,)AD，(,)B

C，（B，甲），（B，乙），(,)BD，（C，甲），（C，乙），(,)CD，（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点．设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则{(MA=，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，

乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，)}D，共有9个样本点．所以，()3()()5nMPMn==．②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x，5x，方差分别为24s，25s，则437x=，543x=，2452s=

，251s=，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为2s．则4542396xxz+==，22222445514[()]2[()]106ssxzsxz=+−++−=．因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．据此，可估计这m人中年

龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10．22.如图，在梯形ABCD中，ABCD，1===ADDCCB，60ABC=，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，1CF=.（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角ABFC−−的平面角的余弦值；（3）若点

M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的范围.【答案】（1）证明见解析（2）77（3）7cos[7，1]2.【解析】【分析】（1）通过证明BCAC⊥结合

平面ACFE⊥平面ABCD可证明结论；（2）取FB中点G，连接AG，CG，通过说明AGFB⊥，CGFB⊥可得AGC为二面角的平面角，后由题目条件结合余弦定理可得答案；（3）当点M在F点时，由（2）可知答案；当M在点E时，过B作BNCF∥，且使BNCF=，连接EN，FN，则由题目条件可得ABC

=；当M与E，F都不重合时，令FM=，延长AM交CF的延长线于N，连接BN，过C作CHNB⊥交NB于H，连接AH，通过说明ACNB⊥，AHNB⊥可得AHC=.后综合三种情况可得答案.【小问1详解】证明：在梯形ABCD中，∥ABCD，1===ADDCCB，60ABC=，AB2

=，2222cos603ACABBCABBC=+−=，222ABACBC=+，BCAC⊥，平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC=，BC平面ABCD，BC⊥平面ACFE.【小问2详解】解：取FB中点G，连接AG，CG，222AFACCF=+=，A

BAF=，AGFB⊥，1CFCB==，CGFB⊥，AGC为二面角的平面角.BCCF=，2FB=，22CG=，142AG=，2227cos27CGAGACAGCCGAG+−==.【小

问3详解】由（2）知：①当M与F重合时，7cos7=；②当M与E重合时，过B作BNCF∥，且使BNCF=，连接EN，FN，则平面MAB平面FCBBN=，BCCF⊥，ACCF⊥，BC平面ABC，AC平面ABC，∩BCACC=，CF⊥平面ABC，BN⊥平面ABC，ABC

=，60=，1cos2=；③当M与E，F都不重合时，令FM=，03，延长AM交CF的延长线于N，连接BN，N在平面MAB与平面FCB的交线上，B在平面MAB与平面FCB的交线上，平面MAB平面FCBB

N=，过C作CHNB⊥交NB于H，连接AH，由（1）知，ACBC⊥，又ACCN⊥，,CNBC平面NCB，∩CNBCC=，AC⊥平面NCB，∵NB平面NCB，ACNB⊥.又CHNB⊥，,ACCH平面ACH，A

CCHC=，NB⊥平面ACH，AHNB⊥，AHC=.在NAC△中，33NC=−，从而在NCB△中，23(3)3CH=−+，90ACH=，22223(3)4(3)3AHACCH−+=+=−+，21cos(3

)4CHAH==−+.03，71cos72.综上所述，7cos[7，1]2.【点睛】方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求

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