【文档说明】上海市实验学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(9)页，737.000 KB，由小赞的店铺上传

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上海实验学校高二期中数学试卷2021.04一.填空题1.若一个圆锥的底面面积为4，母线长为3，则它的侧面积为2.“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的条件（填“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既非充分也非必要”）3.平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为(1

,0,5)u=−，(,5,1)vt=，则t的值为4.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，ABC大小为5.如图所示，水平放置的ABCV的斜二测直观图是图中的ABCV，已知6AC=，4BC=，则AB

边的实际长度是6.若直线a∥平面，直线b在平面内，则直线a与b的位置关系为7.地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30）的球面距离为8.已知三个球的半径1R、2R、3R满足1

233RRR+=，则它们的表面积1S、2S、3S满足的等量关系是9.已知三棱锥PABC−的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC==，ABCV是边长为2的正三角形，点E、F分别是PA、AB的中点，90CEF=o，则球O的体积为10.在三棱锥DABC−中，已知2ABAD=

=，1BC=，3ACBD=−uuuruuur，则CD=二.选择题11.已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥，n∥，则m∥nB.若⊥，⊥，则∥C.若m∥，m∥，则∥D.若m⊥，n⊥，则m∥n12.以下说法正确的是（）A.各

侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D.底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱13.正方体1111ABCDABCD−中，P为面11BBCC内的一动点，若点P到直线BC与直线11DC的距离相等，则动点P的轨迹是（）A.一

条线段B.一段圆弧C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分14.如图，ABCDABCD−为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S为定值，l不为定值B.S不为定值，l为定值C.S与l均为定值

D.S与l均不为定值三.解答题15.如图，正四棱柱1111DCBAABCD−的底面边长为2，41=DA.（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线DA1与AC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.16.如图，四棱锥ABCDS−的底面是

正方形，SD⊥平面ABCD，aADSD==，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：BEAC⊥；（2）当DE长为多少时，BE与平面ABCD所成角的大小为30.17.如图，在圆柱1OO中，它的轴截面11ABBA是一个边长为2的正方形，点C为

棱1BB的中点，点1C为弧11AB的中点.求：（1）异面直线11OCAC与所成角的大小；（2）直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小；（3）三棱锥11COAC−的体积.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面

ABCD，垂足为G，G在AD上，且4PG=，13AGGD=，BGCG⊥，2GBGC==，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若T点是侧棱PB上一

动点，设CT与平面PBG所成的角为，求的取值范围.附加题：19.空间中有四个球，它们的半径分别是2、2、3、3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.20.某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地面所成

角的大小为60o，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得ABBMAM+达到最大值.MHBA上海实验学校高二期中数学试卷参考答案2021.04一.填空题1.【答案】62.【答案】必要非充分3.【答案】

54.【答案】55.【答案】106.【答案】平行或异面7.【答案】3R8.【答案】1233SSS+=9.【答案】610.【答案】7【解析】设,,BACDAC==因为1ACABBC−==所以222cos1ACABACAB

+−=，即24cos3ACAC−=−又因为3ACBD=−所以()3ACADAB−=−，即2cos2cos3ACAC−=−所以222()4CDADACAC=−=+，所以7CD=二.选择题11.【答

案】D12.【答案】B13.【答案】C14.【答案】B三.解答题15.如图，正四棱柱1111DCBAABCD−的底面边长为2，41=DA.（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线DA1与AC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【解析】解：（1）

由题意得322211=−=ADDAAA，则该正四棱柱的表面积为31684322222+=+=全S，体积为383222==V．（2）联结111,DCCA，则AC∥11CA，所以直线DA1与11CA所成的角就是异面直线DA1与AC

所成的角．在11DCA△中，22,321111===CADCDA,由余弦定理得1112121121112cosCADADCCADACDA−+=4222424)22(4222=−+=，则得42arccos11

=CDA，所以，异面直线DA1与AC所成的角的大小42arccos．16.如图，四棱锥ABCDS−的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，aADSD==，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：BEAC⊥；（2）当DE

长为多少时，BE与平面ABCD所成角的大小为30.【解析】（1）证明：联结BD，因为四边形ABCD为正方形，所以，BDAC⊥，又因为SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以SDAC⊥．由=⊥⊥DSDBDSDACBDAC⊥AC平面SBD．又因为BE

平面SED，所以BEAC⊥．（2）解法一：设tED=，因为SD⊥平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角为EBD．在EDBRt中，由tantanEBD=30at2=at36=．所以，当aED36=时，BE与平面ABCD所成角的大小为3017.如图，在圆柱1OO中，它的轴截面11ABBA

是一个边长为2的正方形，点C为棱1BB的中点，点1C为弧11AB的中点.求：（1）异面直线11OCAC与所成角的大小；（2）直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小；（3）三棱锥11COAC−的体积.【解析】解：（1）以点O为原

点，直线1,OBOO分别为,yz轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),OB1(0,1,2),B(0,1,1),C111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).AOC−于是1

1(0,1,1),(1,1,0).OCAC==从而111111(0,1,1)(1,1,0)1cos,,222OCACOCACOCAC===因此，异面直线11OCAC与所成角的大小为.3（2）由于1(0,0,2)OO=是圆柱1OO

底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC=−,设直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小为,则111111(1,1,1)(0,0,2)3sincos,=,332CCOOCCOOCCOO−===

于是，直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小为3arcsin.3（3）由于三棱锥11COAC−的顶点11111,COACCO=到面的距离为而111111111322121121.2222OACOAAOBCAB

CABBASSSSS=−−−=−−−=正方形故1111111311.3322COACOACVSOC−===18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，P

G⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且4PG=，13AGGD=，BGCG⊥，2GBGC==，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若T点是侧棱PB上一动点，设CT与平面PBG所成的角为，求的取值范围.【解析】（1）异

面直线GE与PC所成的角的余弦值为1010（2）点D到平面PBG的距离为32（3）22[arccos5,arccos]53附加题：19.空间中有四个球，它们的半径分别是2、2、3、3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四

个球都外切，求这个小球的半径.【解析】解：以四个球的球心为顶点作四面体ABCD，则6,4,ABCDACADBCBD=====5=，设,ABCD的中点分别为,EF，设小球的球心为O，半径为r.因为BCBD=，ACAD=，所

以,BECDAECD⊥⊥.所以面ABE是线段CD的中垂面.又因为2OCODr==+，所以O在平面ABE上.同理，O也在线段AB的中垂面CDF上，从而O必在线段EF上.22222(2)24OEOCCErrr=−=+−=+，22222(3)36OFOAAFrrr=−=+−=+

，2222222252323EFBEBFBCCEBF=−=−−=−−=由EFOEOF=+，得224623rrrr+++=解此方程，可得611r=.20.某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地面所成角的大小为60o，点A在地面上的射影为H，

如图，请在地面上选定点M，使得ABBMAM+达到最大值.【解析】解：因为AB与地面所成的角的大小为60，AH垂直于地面，BM是地面上的直线，所以60,60=ABMABH.∵,sinsinsin

BAMABMMAB==∴()BMBMBAMAMBMABsinsinsinsinsinsin++=+=+sinsincoscossin1cossincossinsinMBMBMBMMBB+++==+22cos2sincoscotsincossin2BBMMMMB=+=+cot3

0sincos3sincos2sin(30).MMMMM+=+=+当60==BM时，ABBMAM+达到最大值，此时点M在BH延长线上，HMBH=处.MHBA