【文档说明】河南省焦作市博爱县第一中学2025届高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(27)页，2.062 MB，由小赞的店铺上传

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2025学年焦作市博爱一中高三年级（上）9月月考数学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在

试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()fx的定义域为()0,

+，且()()()()(),1exyfxyxyfxfyf++==，记()()1,2,32afbfcf===，则（）A.abcB.bacC.acbD.cba【答案】A【解析】【分析】根据函数()fx满足的表达式以及()1ef=，利用赋值

法即可计算出,,abc的大小.【详解】由()()()()(),1exyfxyxyfxfyf++==可得，令12xy==，代入可得()21111=e222ff=，即12e2af==

，令1xy==，代入可得()()22221eff==，即()2e22bf==，令1,2xy==，代入可得()()()23e32122ee23fff===，即()3e33cf==；由e2.71828可得23ee2e23，显然可得abc.故选：A【点睛】方法点睛

：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.2.若函数1()1lg([,100])10fxxx=+，则函数22[)()](()2fxfx

Fx−=的值域为（）A.1[,16]2B.1,8C.2,16D.1,16【答案】D【解析】【分析】根据对数的单调性可得()[0,3]fx，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.【详解】函数()1lgfxx=+在1[,100]10上单调递增，又111lg=1-1=

01010f=+，()1001lg100123f=+=+=，故()[0,3]fx，令22222[()]()[()]12lg[()]2()1[()1][0,4]tfxfxfxxfxfxfx=−=−−=−+=−，而函数2ty=在[0

,4]上单调递增，则1216t，所以函数22[)()](()2fxfxFx−=的值域为1,16.故选：D.3.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生

人数的概率是（）A.12B.14C.124D.1144【答案】B【解析】【分析】随机逐个面试共有66A种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．【详解】解：随机逐个面试共有66A种可能的顺序，而任何时候等待

面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：①男男男女女女，此时有3333AA36=种；②男男女男女女，此时有212332AAA36=种；③男男女女男女，此时有2233AA36=种；④男女男男女女，此时有11223322AAAA36=种；⑤男女男女男女，

此时有3333A?A36=种；故共有365180=种，所以概率为661801A4=故选：B．4.如图，四边形ABCD是一个角为60且边长为2的菱形，把ABD沿𝐵𝐷折起，得到三棱锥ABCD−.若6AC=，则三棱锥ABCD−的外接球的表面积

为（）A.5πB.16π3C.6πD.20π3【答案】D【解析】【分析】取BD的中点E，连接,AECE，证明AE⊥平面BCD，设G为BCD△的重心，过G作OG⊥平面BCD，且O点为三棱锥ABCD−的外接球球心，外接球半径为R，过O作OFAE⊥，交A

E于F，连接,OCOA，在OGC中，222OCOGCG=+，在OFA中，222OAOFAF=+，列式即可求解外接球的半径.【详解】取BD中点E，连接,AECE，因为四边形ABCD是一个角为60且边长为2的菱形，所以2ADABBDCBCD=====，所

以,ABDCBD为等边三角形，故3AECE==,AEBD⊥，又因为6AC=，即222AECEAC+=，所以AECE⊥，因为,BDCEEBD=平面BCD，CE平面BCD，所以AE⊥平面BCD，CE平面BCD

，所以AECE⊥.设G为BCD△的重心，过G作OG⊥平面BCD，且O点为三棱锥ABCD−的外接球球心，外接球半径为R，过O作OFAE⊥，交AE于F，连接,OCOA，因为OG⊥平面BCD，AE⊥平面

BCD，所以//OGAE，因为OFAE⊥，AECE⊥，所以四边形OFEG为矩形.所以323,,333OFGECGAE====，设OGFEx==，则3AFx=−，在OGC中，22222223()3OCOGCGRx=+=+，在OFA中，2222223()(

3)3OAOFAFRx=+=+−，解得33x=，253R=,所以三棱锥ABCD−的外接球的表面积为2204ππ3SR==.故选：D.5.已知O为ABCV的内心，角A为锐角，15sin8A=，若AOABAC=+，则+的最大值为（）A.12B.34C.45D

.56【答案】C【解析】【分析】方法一：先得到点O是ABCV内心的充要条件是：0aOAbOBcOC++=，其中BCa=，ACb=，ABc=，从而得到11bcaabcbc++==+++++，求出7cos8A=，利用余弦定理得到22274bcbc

a+−=，求出15412abcbccb=−+++，由基本不等式求出最大值，得到答案；方法二：作出辅助线，得到()1AOxyABxyAC=+−，得到方程组，得到x+=，作出内切圆，根据15sin8A=，求出1s

in24A=，设出内切圆半径，故4AOr=，由图知ODOEr=，从而求出4445AOrxrODAD==+.【详解】方法一：点O是ABCV内心的充要条件是：0aOAbOBcOC++=，其中BCa=，ACb=，ABc

=，理由如下：若0aOAbOBcOC++=，则()()0OAABaOAbcOAAC++++=，整理得()0abcOAbABcAC++++=，所以bcABACOAabcABAC=−+++，即点O在BAC的角平分线上，同理可证，点O在AB

C，BCA的角平分线上，即点O为ABCV的内心.故bcAOABACabcabc=+++++，故11bcaabcbc++==+++++．因为角A为锐角，15sin8A=，所以7cos8A=．由定理得到22222277cos284b

caAbcbcabc+−==+−=，故222271544122bcbcabcbcbcbccb+−==−+++++．又因为2bccd+（当且仅当bc=时取等号），所以15151441122162bccb−−=

+++，所以11511164abc=++=++，故45+，方法二：如图，延长AO，交BC于点D，设CDyCB=，即()ADACyABAC−=−，故()1ADyAByAC=+−，设()()()11AOxADxyAByACxyABxyAC==+

−=+−，则()1xyxy==−，x+=，作ABCV的内切圆与BC边切于点E，与AB切于点F，设圆O半径为r，15sin8A=且A为锐角，2222sincos2tan222sin2sincos22sinco

stan1222AAAAAAAAA===++，故21582tan2tan12AA=+，解得15tan215A=或15（舍去），故15sincos2152AA=，又22sincos122AA+=，解得1sin24A=，负值舍去，14OFOA=，即4AOr=，由图知ODOEr=，44

45AOrxrODAD==+.故选：C．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代

数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.6.已知复数12,zz满足112881126,zizizppipp+−+−+==+++，（其中0,pi是虚数单位），则12zz−的最小值

为（）A.2B.6C.422−D.422+【答案】B【解析】【分析】设1zxyi=+，则()()()()22221111111126zizixyxy+−+−+=++−+−++=即1z在复平面的对应点()1,Zxy表示焦点分别在(−1,1)，()1,1−的椭圆，该椭圆的长

轴为直线yx=−，短轴为直线yx=，2z在复平面的对应点()288,,0Zppppp++表示射线yx=上的点且42x.12zz−的最小值为1Z与2Z两点间距离的最小值，即O，1Z，2Z三点共线，且点1Z在第一象限内时，可取的最小值.求解即可

.【详解】设1zxyi=+，（其中,xRyR，i是虚数单位），1z在复平面的对应点()1,Zxy则()()()()11111111zizixyixyi+−+−+=++−+−++()()()()2222111126xyxy=++−+−++=即点1Z的轨迹表示为焦点分别在

(−1,1)，()1,1−的椭圆，且该椭圆的长轴为直线yx=−，短轴为直线yx=.长半轴长为6a=，半焦距()()221111122c=+++=，短半轴长为222bac=−=.因为0p所以88242p

ppp+=设2z在复平面的对应点()288,,0Zppppp++.即点2Z的轨迹表示为射线(42)yxx=上的点.若使得12zz−最小，则需12ZZ取得最小值，即点1Z为第一象限内的短轴端点，点2Z为射线(42)yx

x=的端点时，12ZZ最小.()()()2212122minmin4204202826zzZZOZb−==−=−+−−=−=故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义，属于难题.7.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑PABC−中，PA⊥平面ABC，2ABBCPA===

，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是（）A.38B.64C.118D.224【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求解.【详解】因为ABBC=，且ABCV是直角三角形

，所以ABBC⊥.以B为原点，分别以BC，BA的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz−.因为2ABBCPA===，所以()0,2,0A，()2,0,0C，()0,1,0D，()1,1,1E，则()2,2,0AC=

−，11,1,22AF=−.故点F到直线AC的距离2221136144422AFAFACACd=−=++−=.故点F到直线AC的距离是64.8.设函数()2lnxefxtxxxx=−++恰有两个极值点，则实数t取值范围是（）A

.1,2−B.1,2+C.1,,233ee+D.1,,23e−+【答案】C【解析】【分析】𝑓(𝑥)恰有两个极值点，则()

0fx¢=恰有两个不同的解，求出()fx¢可确定1x=是它的一个解，另一个解由方程e02xtx−=+确定，令()()e02xgxxx=+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数𝑓(𝑥)的定义域为()0,+?，()()221

e121xxfxtxxx−=−+−的()()21e2xxtxx−−+=()()2e122xxxtxx−+−+=.因为𝑓(𝑥)恰有两个极值点，所以()0fx¢=恰有两个不同的解，显然1x=是它的一个解，另一个解由方程e02xtx−

=+确定，且这个解不等于1.令()()e02xgxxx=+，则()()()21e02xxgxx+=+，所以函数𝑔(𝑥)在()0,+?上单调递增，从而()()102gxg=，且()13eg=.所以，当12t且e3t时，()e

2lnxfxtxxxx=−++恰有两个极值点，即实数t取值范围是1,,233ee+.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()πsin26fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πs

in23gxx=+的图象B.直线2π3x=是()fx图象一条对称轴C.()fx在ππ,42上单调递减D.()fx的图象关于点5π,012对称【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质一一分析选项即可.的的【详

解】对于A，()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到ππsin262fxx+=+的图象，故A错误.对于B，2π4ππ3πsinsin13362f=+==−，故B正确.对

于C，当ππ,42x时，π2π7π2,636x+，故C正确.对于D，5π5ππsinsinπ01266f=+==，故D正确.故选：BCD10.双曲线C的两个焦点为12

,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF=，则C的离心率为（）A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦

点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23ba=或2ab=，即可得解，注意就,MN在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为B

，所以1OBFN⊥，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的左支，OBa=，1OFc=，1FBb=，设12FNF=，由即3cos5=，则4sin5=，235NANF22aa==，21NFNF2a−=532222aaba−−=，52be2a

==，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，所以OBa=，1OFc=，1FBb=，设12FNF=，由123cos5FNF=，即3cos5=，

则4sin5=，235NANF22aa==，12NFNF2a−=352222abaa+−=，所以23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=选C[方法二]：答案回代法5Ae2=选项特值双曲线

()()22121,F5,0,F5,04xy−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()y2x5=+，两交点都在左支,62N5,555−−，2112NF5,NF1,FF25===，则123cos5FNF=，13Ce2=选项特值双曲线

()()2212xy1,F13,0,F13,049−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()2yx133=+，两交点在左右两支，N在右支，1418N13,131313，2112NF5,NF9,FF213===，则123cos5FNF=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设

过1F作圆D的切线切点为G，若,MN分别在左右支，因为1OGNF⊥，且123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，又OGa=，1OFc=，1GFb=，设12FNF=，21FFN=，在12FNF△中，有()212sinsinsinNFNFc

==+，故()122sinsinsinNFNFc−=+−即()sinsinsinac=+−，所以sincoscossinsinsinac=+−，而3cos5=，sinac

=，cosbc=，故4sin5=，代入整理得到23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=若,MN均在左支上，同理有()212sinsinsinNFNFc==+，其中为钝角，故cosbc=−，故()212sinsinsinNFNFc

−=−+即sinsincoscossinsinac=−−，代入3cos5=，sinac=，4sin5=，整理得到：1424aba=+，故2ab=，故2512bea=+=，故选：AC.11.已知函数()fx的定义域为R，且对任意的,xyR，都有()()()f

xyxfyyfx=+，若()22f=，则下列说法正确的是（）A.(1)0f=B.()fx的图象关于y轴对称C.()2024202512202322iif==+D.()2024202612202422

iif==+【答案】AC【解析】【分析】对于A：令1,2xy==代入运算即可判断；对于B：令1xy==−解得()10f−=，令2,1xy==−解得()22f−=−，即可判断；对于CD：若,0xy，可得()()()fxyfxfyxyxy=+，分析可知()2

2iif是以首项()212f=，公差为1的等差数列，结合等差数列以及裂项相消法分析求解.【详解】因为()()()fxyxfyyfx=+，且函数()fx的定义域为𝑅，对于选项A：令1,2xy==，可得()()()2221fff=

+，解得𝑓(1)=0，故A正确；对于选项B：令1xy==−，可得()()()111fff=−−−−，解得()10f−=，令2,1xy==−，可得()()()()221222ffff−=−−=−=−，所以()fx的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项CD：若,0xy，

可得()()()fxyfxfyxyxy=+，令*2,2,ixyi==N，可得()()()()11222212222iiiiiiffff++=+=+，可知数列()22iif是以首项()212f=，公差为1的等差数列，可得()2112iifii=+−=，则()()(

)1221222iiiifiii+==−−−，所以()()()()202432025202420251202202023220222202322iif==−−+−++−=+，故C正确，D错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：根据题意整理可得若,0xy，可得()(

)()fxyfxfyxyxy=+，进而可得()()1122122iiiiff++=+，结合等差数列分析求解.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.三棱锥ABCD−的所有棱长均为2，E，F分别为线段B

C与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若//MN平面ABD，则线段MN长度的最小值为______．【答案】217##1217【解析】【分析】延长CM交AB于点I，设()02AImm=，由余弦定理得21IFmm=−+，根据角平分线定理以及平行线性质

可知222122mmMNIFmm−+==++，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值．【详解】延长CM交AB于点I，因为//MN平面ABD，由线面平行性质定理可知//MNIF，设()02AImm=，因为三棱锥ABCD

−的所有棱长均为2，所以ABAC=，且E为线段BC的中点，所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知2IMAImMCAC==，所以22MNMCIFICm==+，因为F为线段AD的中点，所以1AF=，由余弦定理可知22π12cos13IFmmmm=+−=−+

，所以222122mmMNIFmm−+==++，令2mt+=，(2,4t，化简可得2112751MNtt=−+，因为(2,4t，所以111,42t，则21121

27517MNtt=−+在1514t=时取得最小值，所以2112127517MNtt=−+，综上当1514t=，即45m=时MN取得最小值217．故答案为：217．13.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的

角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是___________.【答案】45π【解析】【分析】作出圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，得到6NF=，在直角MFN△中，求得23MF=，得到圆柱的底面半径为3，

结合圆柱的体积公式，即可求解.【详解】如图所示为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，因为MN平行于地面，可得30MNF=，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，所以18126NF=−=，在直角MFN△中，tan3023MFNF==，即圆柱的底面半径为

3，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为3，高为()1218+的圆柱体积的一半，即为容器内液体的体积为()21π33045π2=.故答案为：45π.14.已知实数1x、2x、1y、2y满足22111xy+=，22223xy+=

，12212xyxy−=，则1212xxyy+=______.【答案】1【解析】【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可.【详解】因22111,xy+=设)11cos,sin,0,2πxy

==,因为22223,xy+=设)213cos,3sin,0,2πxy==,所以()12213sincoscossin2,xyxy−=−=可得()2sincoscossinsin3−

=−=，因为()()22sincos1−+−=,所以()1cos=3−,所以()()121213coscossinsin3cos=3=13xxyy+=+=−.故答案为：1.四、解答题：本大题共5小题，共77

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且()12xfx+−为偶函数．（1）求()fx的解析式，并判断()fx的单调性；（2）已知0m，1m，且21log032mff+−，求m

取值范围．为的【答案】（1）1()22xxfx=−，()fx在R上单调递增（2）40,(1,)9+【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性求得()fx，再利用指数函数的单调性与单调性和差的性质即可得解；（2）利用()fx的奇偶

性与单调性，分类讨论m的取值范围，结合指对数的运算法则即可得解.【小问1详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，1()2xfx+−为偶函数，令1()()2xgxfx+=−，则11()()2()()2x

xgxfxgxfx−++−=−−==−，故11()2()2xxfxfx−++−−=−，所以1()22xxfx=−，因为2xy=在R上单调递增，12xy=在R上单调递减，所以函数1()22xxfx

=−在R上单调递增，综上，1()22xxfx=−，()fx在R上单调递增.【小问2详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，0,1mm，且21log032mff+−，21log32mff−−，即21

log32mff，则21log32m，当01m时，21log32mmm，则1223m，即49m，故409m；当1m时，21log32mmm，则1223m，即49m，则1m；综上，m的取值范围为40,(1,)9+

.16.在某项比赛中，7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面是两组评委的打分：A组42454853524749B组48527066774951（1）选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数；（2）现从

A组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为a，b，从B组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为c，d.记事件:Ma，b中有一个数据为48，事件:100Nab+=或100cd+=，判断事件M与事件N是否相互独立【答案】（1）更可能是专业评委

打的分数（2）事件M与事件N不独立.【解析】【分析】（1）根据题意,比较两组评委的量,选择方差作为相似性的量,并计算度量值；（2）根据相互独立事件的概率定义判断.【小问1详解】可以用方差来度量每一组评委打分的

相似性，方差越小，相似程度越高.42454853524749487Ax++++++==，48527066774951597Bx++++++==，所以A组数据的方差是222222221(4248)(4548)(4848)(5348)(5248)(4748)(49

48)7As=−+−+−+−+−+−+−887=，B组数据的方差是222222221(4859)(5259)(7059)(6659)(7759)(4959)(5159)7Bs=−+−+−+−+−+−+−8287=，因为

专业评委给分更符合专业规则，所以相似程度更高，因此组分数更可能是专业评委打的分数.【小问2详解】1627C2()C7PM==，:100:4852100,4753100Nab+=+=+=，100:4852100,4951100cd+=+=+=，各有两种，所以

()21111722222222227777774CCCCC2280CCC?CCC441PN−=+−==，事件MN：当4852100ab+=+=时，,cd可以任意，有27C种，当a，b中有一个数据为48，另一个不是52时，则100cd+=，有11

52CC种，所以21175222227777CCC31()CCCC441PMN=+=，()()()PMPNPMN，则事件M与事件N不独立.17.已知π()sincos3fxxx=−.（1）求()fx的单调增区间和对称中心；（2

）在锐角ABCV中，A，B，C的对边分别是,,abc.3()4fA=.求22bcbc+的值域.【答案】（1）π5π[π,π],Z1212kkk−++；π13(π,),Z624kk+；（2）73[2,)6.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变

换化简函数()fx解析式，结合正弦函数的图象的递增区间和对称中心易得函数()fx的单调增区间和对称中心；（2）由3()4fA=求得π6A=，设=btc，由正弦定理将其化成213tantB=+，利用锐角三

角形求出ππ32B，继而利用函数单调性求出32323t，最后求1()gttt=+在323(,)23上的值域即得.【小问1详解】由π13()sincos()sin(cossin)322fxxxxxx=−=+131cos21π3sin2sin(2)422234xxx−=+=−+.由πππ

2π22π,Z232kxkk−+−+解得，π5πππ,Z1212kxkk−++，即()fx的单调增区间为π5π[π,π],Z1212kkk−++；由ππ,Zxkk−=23解得，π1π,Z62xkk=+，故()

fx的对称中心为π13(π,),Z624kk+.【小问2详解】由1π33()sin(2)2344fAA=−+=可得，πsin(2)03A−=，因ABCV是锐角三角形，故π0,2A则ππ2π233

3A−−，故π203A−=，解得，π6A=，由22bcbcbccb+=+，设=btc，由正弦定理可得，sinsin2sin25π1sincos3sinsin()36tanbBBBtcCBBBB=====+−+,由π025ππ062BB−解得，ππ32

B，则tan3B,130tan3B,故有32323t.于是，221bcbctbccbt+=+=+，323,,23t而1()gttt=+在3(,1)2上单调递减，在23(1,)3上单调递增，且3237

3()(),(1)2236ggg===，则22bcbc+的值域为73[2,)6.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PAD△为正三角形，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M是棱PB的中点，平面

CDM与棱PA交于点N.（1）求证：MN//平面ABCD；（2）Q为平面CDNM内一动点，E为线段BC上一点；①求证：NQAP⊥；②当AQQE+最小时，求MQQC的值.【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②

12.【解析】【分析】（1）借助线面平行的判定定理和性质定理即可得证；（2）①证明直线AP⊥平面CDNM即可得证；②由,AQPQ=，得AQQEPQQE+=+，所以当AQQE+最小时，PE取得最小值，故转化为平面内的相似比问题，即可求解.【小问1详解】证明：因为CD//,ABAB平面,ABPCD

平面,ABP所以CD//平面ABP，又CD平面CDNM，平面CDNM平面,ABPMN=所以CD//MN.又CD平面,ABCDMN平面ABCD，所以MN//平面ABCD.【小问2详解】解：①由平面PAD⊥平面,,ABCDABAD⊥又平面ABCD平面PADAD=

，所以AB⊥平面PAD，所以ABAP⊥，由（1），AB//MN，故APMN⊥，又M是棱PB的中点，则N为棱PA中点，PAD△为正三角形，所以,,,APNDMNNDNMNND⊥=平面CDNM，所以AP⊥平面CDNM，且NQ平面CDNM，所以

APNQ⊥.②因为APNQ⊥.且N为棱PA中点，所以,AQPQ=，所以AQQEPQQE+=+当Q为PE与平面CDNM的交点时，min()PQQEPE+=，故当AQQE+最小时，PE取得最小值，此时PEBC⊥，因为ABAP⊥，所以222PBPAAB=+，同理222222PCPDCD

PAABPB=+=+=，当PEBC⊥时，可得E为BC中点，取PE中点T，连接MT，如图：则有MT//BE且1122MTBEEC==，有,MTQCEQ，所以12MQMTQCEC==.19.如图，已知圆M：2243

0xyx+−+=，点()1,Pt−为直线l：1x=−上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．（1）1t=时，求PA、PB方程（点A在点B上方）；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求ST的最

小值．【答案】（1）PA：1y=；PB：3144yx=−+（2）22111(2)636xyx−+=（3）22【解析】【分析】（1）根据条件得到圆M的标准方程，从而得到圆心()2,0M，半径1r=，当1t=时，得到点P的坐标，从而设过点P的直线方程为()11

ykx−=+，再由直线与圆的位置关系求得k，即可求解；（2）根据（1）求得228PAt=+，从而得到以P为圆心，PA为半径的圆P的方程，根据两圆的相交弦所在直线方程求法得到直线AB的方程，进而得到直线AB过定点5,03，设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，得到F点

的轨迹为以HM为直径的圆，即可求解.（3）设切线方程为()1ytkx−=+，根据直线与圆的位置关系求得228610kktt++−=，设PA，PB的斜率分别为1k，2k，再由韦达定理得到.1234tkk+=−，21218tkk

−=，令0x=结合()()2121212124STktktkkkkkk=+−+=−=+−即可求解.【小问1详解】圆22:430Mxyx+−+=，即()2221xy−+=，则圆M的圆心()2,0M，半径1r=，当1t=时，()1,1P−，设过点P的直线方程为()11yk

x−=+，即10kxyk−++=，又过点P引圆M的两条切线，则23111+=+kk，解得：0k=或34k=−，因为点A在点B上方，即直线PA的方程为：10y−=，直线PB的方程为：()3114yx−=−+，故PA的方程为1y=；直线PB的方程为：3144yx=−+.【小问2详

解】由（1）知：()2,0M，圆M的半径1r=，又()1,Pt−，则29PMt=+，1AMr==，即22228=−=+PAPMAMt，故以P为圆心，PA为半径的圆P的方程为()()22218xytt++−=+，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，则直线AB

的方程为22222(1)(2)()81xxytyt+−−+−−=+−，即350xty−−=，由5350,300xxyy−==−==，所以直线AB过定点5,03；设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，如图所示：当,HF不重合时，则HF始终

垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆（除去点M），又5,03H，()2,0M，故该圆圆心为11,06，半径11112266HM=−=，且不经过()2,0M．∴点F的轨迹方程为22111(2)636x

yx−+=；故线段AB中点的轨迹方程22111(2)636xyx−+=.【小问3详解】设切线方程为()1ytkx−=+，即0kxykt−++=，故()2,0M到直线0kxykt−++=的距离2311ktdk+==+，即228610k

ktt++−=，则()222363214320ttt=−−=+，设PA，PB的斜率分别为1k，2k，则1234tkk+=−，21218tkk−=，把0x=代入0kxykt−++=，得ykt=+，则()()22221212121291841624t

ttSTktktkkkkkk−+=+−+=−=+−=−=，故当0t=时，ST取得最小值为22．