【文档说明】上海市七宝中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，796.396 KB，由小赞的店铺上传

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2021学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.函数sin(2)1

yx=−+的严格单调递增区间为_____________.【答案】3[,](Z)44kkk++【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】当3222(Z)22kxkk++时，即3(Z)44kxkk

++时，函数单调递增，所以函数sin(2)1yx=−+的严格单调递增区间为3[,](Z)44kkk++，故答案为：3[,](Z)44kkk++2.函数sin2cos26yxx=−+的

最小正周期是_________.【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：sin2cos26yxx=−+sin2coscos2sinc

os266xxx=−+31sin2cos2cos222xxx=−+31sin2cos222xx=+sin26x=+所以函数的最小正周期22T==故答案为：．3.若23sincoscos2−可化为2sin(2),+−，则=___

____.【答案】6−【解析】【分析】根据二倍角公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】3123sincoscos23sin2cos22(sin2cos2)22−=−=−，令3cos,21sin,2==−，因−，所以由3cos,62561,sin,66

2===−=−−=−，即3123sincoscos23sin2cos22(sin2cos2)2sin(2)226−=−=−=−，故答案为：6−4.已知向量(2,1),10,52aabab==+=，则b

=________.【答案】5【解析】【分析】由52ab+=，得到22250aabb++=，结合题意，即可求解.【详解】由题意，向量(),2,110aab==，可得25a=，又由52ab+=，则22

222521050abaabbb+=++=++=，可得225b=，所以5b=.故答案为：55.在ABC中，已知,3,23AABAC===，则ABC的外接圆半径R=________.【答案】213为【解

析】【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.【详解】由余弦定理可知：22212cos9423272BCABACABACABC=+−=+−=，根据正弦定理可得ABC的外接圆半径11721

2sin2332BCRA===，故答案为：2136.已知(1,2),(3,4)ab=−=，则a在b方向上的投影为_____________.【答案】1−【解析】【分析】根据平面向量几何意义进行求解即可.【详解】因为222213241cos,

51(2)34ababab−===−+−+，所以a在b方向上的投影为221cos,1(2)()15aab=+−−=−，故答案为：1−7.在ABC中，cossinAB，则ABC的形状为____________.【答案】钝角三角形【解析】

【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质，结合诱导公式进行求解即可.【详解】在ABC中，因为cossin0AB，所以(0,)2A，当(0,)2B时，由cossincoscos()222ABABABAB−−+22C

C−，此时ABC是钝角三角形；当2B=时，cos1A显然不成立；当(,)2B时，cossinsin()cos()2222ABBBABBABA=−=−−−+，所以

B为锐角，此时ABC是钝角三角形，综上所述：ABC是钝角三角形，故答案为：钝角三角形8.函数sin2cos2yxax=+的图像关于直线6x=−对称，则实数a的值为__________．【答案】33−

【解析】【分析】由条件可得231sincos13322aaa−+−=−+=+，解出即可.【详解】因为函数sin2cos2yxax=+的图像关于直线6x=−对称所以231sincos1

3322aaa−+−=−+=+化简可得232310aa++=，解得33a=−故答案为：33−9.在△ABC中，2C=，2ACBC==，M为AC的中点，P在线段AB上，则MPCP的最小值为________【答案】78【解析】【分析】

以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则()22,,0,222

MC，设(),0Px，22x−，则()22222,,2112222MPCPxxxxxx=−−−=−+=−+，当24x=时，()2min222714248MPCP=−+=故答案为：78.10.已知两个

函数32(),()(1)1,01xfxgxaxax−==−+−的图象相交于,AB两点，若动点P满足||2PAPB+=，则||OP(O为坐标原点)的最小值为________.【答案】21−##12−+

【解析】【分析】根据两个函数的对称性，结合圆的性质进行求解即可.【详解】因为1212(1)(1)21111xxfxfxxx+−−−++−=+=+−−−，所以函数2()1xfxx−=−关于点(1,1)C对称，因为33(1)(1)

(11)1(11)12gxgxaxax++−=+−++−−+=，所以函数3()(1)1gxax=−+也关于点(1,1)C对称，因为两个函数32(),()(1)1,01xfxgxaxax−==−+−的图象相交于,AB两点，所以,AB两

点关于点(1,1)C对称，即(1,1)C是线段AB的中点，由||2221PAPBPCPC+===，所以动点P是以(1,1)C为圆心，1为半径的圆，22min||111121OPOC=−=+−=−，

故答案为：21−.11.对于函数2()2sinfxxx=，有以下4个结论：①函数()yfx=的图象是中心对称图形；②任取xR，()2fxx恒成立；③函数()yfx=的图象与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相

等；④函数()yfx=与直线2yx=的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.其中正确的结论序号为_______________.【答案】①③【解析】【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判

断即可.【详解】①：因为2()2sin()fxxxfx−=−=−，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确；②：因为21sin10，所以2(1)2sin12f−=−−，因此(1)

2f−−不成立，所以本结论不正确；③：令()0yfx==，即22sin00xxx==，或sin0x=，当0x=，显然成立，当sin0x=时，(Z)xnn=，显然函数()yfx=的图象与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因

此本结论正确；④：2()2sin20fxxxxx===，或2sin1x=，当0x=，显然成立，当2sin1x=时，(Z)2xkk=+，022−=，322−=，显然任意两相邻交点间的距离相等不正

确，因此本结论不正确；故答案为：①③12.非零向量,,abc满足()()0cacb−−=，则||||||ababc++−的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】根据向量三角式，结合一元二次不等式解集的性质

进行求解即可.【详解】由22()()0()00cacbcabcabcabcab−−=−++=−++，因此有22()4()222abababababababc+++−++−++−==，于是有|

|||2||ababc++−，故答案为：2【点睛】关键点睛：应用abab是解题的关键.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13.已知mR，则mamb=是ab=的（）A.充分

非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据共线向量的性质和向量数乘的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】当0m=时，显然0mamb==成立，但是ab=不一定成立

，当ab=成立时，显然mamb=成立，因此mamb=是ab=的必要非充分条件，故选：B14.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：1()3sincosfxxx=+，2()2sin2fxx=+，3()cossinfxxx=−，4()sin

fxx=，则“同形”函数是（）A.1()fx与2()fxB.2()fx与4()fxC.2()fx与3()fxD.1()fx与4()fx【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图象的平移性质逐一判断即可.【详解】1()3sincos2sin()6fxxxx=+=+，35()

cossin2sin()4fxxxx=−=−，因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变，所以只有2()fx与3()fx的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数，故选：C15.在ABC中，已知30,18Ab==，设(0)ax

x=以下说法错误的是（）A.若ABC有两解，(9,18)xB.若ABC有唯一解，[18,)x+C.若ABC无解，(0,9)xD.当10x=，ABC外接圆半径为10【答案】B【解析】【分析】首先计算sinbA，再根据

正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项.【详解】1sin301892b==，若ABC有两解，则918a，即(9,18)x，故A正确；若ABC有唯一解，则sin309ab==，或18a，即9x=或

18x，故B错误；若ABC无解，则09a，即(0,9)x，故C正确；当10x=时，根据正弦定理102201sin2aRA===，得10R=，故D正确故选：B16.若O是ABC外接圆圆心，ABC、、是A

BC的内角，若coscos2sinsinBCABACmAOCB+=，则实数m的值为（）A.1B.sinAC.cosAD.tanA【答案】B【解析】【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】设AB的中点为D，ABC、

、所对的边为abc、、，因为O是ABC外接圆圆心，所以⊥DOAB，于是有2211()22AOABADDOABABDOABc=+=+=，.由2coscoscoscos22sinsinsinsinB

CBCABACmAOABACABmAOABCBCB+=+=22coscoscoscoscoscossinsinsinsinBCBCbcbcAmcAmCBCBc+=+=coscossincossinsinsinBCBAmCBC+=coscoscoscosc

ossinsincoscossinsinsinsinBCACACACAmACCC−++=+==，故选：B【点睛】关键点睛：对已知向量等式同时乘以AB是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必

须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置）17.已知两个不平行的向量ab、的夹角为，且||1||4ab==，.（1）若2ab+与3+akb平行，求k的值；（2）若,3xR=，当||xab−的最小时，求向量

b与xab−的夹角.【答案】（1）6；（2）56.【解析】【分析】（1）根据平行向量的性质进行求解即可；（2）根据平面向量模的运算公式，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因2ab+与3+akb平行，所以2(3+)23+abakbabakb+=+=，因为向量

ab、是两个不平行的向量，所以有113326kk====，所以k的值6；【小问2详解】2222221||()216214(2)122xabxabxabxabxxx−=−=+−=+−=−+，当2x=时，||xab−有最小

值，最小值为1223=，为221(2)22144122bababb−=−=−=−，向量b与2ab−的夹角的余弦值为：(2)12324232babbab−−==−−，所以向量b与2ab−的夹角为56.18已知(sin,cos)(cossin2cos)axxbxxx=−=−−

,,，函数()(),Rfxaabx=+.（1）求函数()yfx=的最小正周期及对称轴方程；（2）将函数()yfx=按照c的方向平移后得到的函数是奇函数，求||c最小时的c.【答案】（1）函数()yfx=的最小正周期为，该函数的对称轴为(Z

)28kxk=−；（2）,28c=−−.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积和加法的坐标表示公式，结合辅助角公式、余弦型函数的最小正周期公式、对称轴方程进行求解即可.（2）根据正弦型函数图象的平移性质、奇偶性，结合平面向量模的

公式进行求解即可.【小问1详解】因为(sin,cos),(cos,sin2cos)axxbxxx=−=−−，所以(sincos,sin3cos)abxxxx+=−−，而(sin,cos)axx=−，所以221cos2()()sinsincossincos3cos2sin2

12xfxaabxxxxxxx+=+=−−+=−+，即()2cos(2)24fxx=++，函数()yfx=的最小正周期为：22=，令2(Z)(Z)428kxkkxk+==−，即该函数的对称轴为(Z)28kxk=−；小问2详解】设00(,)cxy=，将函数()yfx=按

照c的方向平移后得到的函数是00()()ygxfxxy==−+，而()2cos(2)24fxx=++，.【所以00()2cos(22)24gxxxy=−+++，因为00()2cos(22)24gxxxy=−+++奇函数，所以有000(Z)2(Z

)28422(0)0mxmxmmyg=−−−+=+=−=，即2||()428mc−=−+，因为mZ，所以当0m=时，||c有最小值，即,28c=−−.19

.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，60,,PBAQABAQQPPBOMQP====⊥交QP于M，交AB于C，且OCAB⊥，设

AOC=，（1）用表示OM的长度；（2）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM最长时，该奖杯比较美观的长度以及的大小．【答案】（1）10cos53sinOM=+；（2）27arccos7=，57.【解析】【分析】（1）利用直角三

角形的性质求出AB，OC的长度，设AQQPBPx===，作⊥QEAB交AB于E，PFAB⊥交AB于F，利用图形求出10sinx=，进而可以求解；（2）利用（1）的结论以及三角函数的性质即可求解．【详解】解：（1）20sin=AB，10cosOC=，设AQQPBPx===，作⊥QEAB交

AB于E，PFAB⊥交AB于F，∵60PBAQAB==，∴12AEBFx==，32CMPFx==，EFQPx==，∴2ABx=，则20sin2ABx==，即10sinx=，310cos10cos5

3sin2OMOCCMx=+=+=+；（2）10cos53sin57sin()OM=+=+，其中3cos7=，2sin7=，当sin()1+=，27coscos()cos()cossin()sins

in7=+−=+++==，因此，当27arccos7=时，OM最长为57．20.如图所示：点O是ABC所在平面上一点，并且满足()AOmABnACmnR=+、，已知6260ABACBAC==

=，，.（1）若实数13mn==，求证：O是ABC的重心；（2）若O是ABC的外心，求mn、的值；（3）如果O是BAC的平分线上某点，则当3mn+达到最小值时，求||AO.【答案】（1）证明过程见解析；（2）15,39nm=−=；（3）63.【解析

】【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可；（2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可；（3）根据三角形内心的性质，结合平面向量

数量积的运算性质和定义进行求解即可.【小问1详解】当实数13mn==时，设BC的中点为D，由1111()()23333AOABACAOAOOBAOOCAOOBOCOD=+=+++=+=，即2AOOD=，所以O是ABC的重心；【小问2详解】设BA的中点为E，显然BAOE⊥，221

1()1822AOABAEEOABABEOABAB=+=+==，由21183662632AOmABnACAOABmABnACABmnmn=+=+=++=，设AC的中点为F，显然CAOF⊥，2211()222AOACAFFCACACFOACAC

=+=+==，由2126243212AOmABnACAOACmABACnACmnmn=+=+=++=，即6315,32139mnnmmn+==−=+=；【小问3详解】因为O是BAC的平分线上某点，所以(

)()(0)62ABACABACAOABAC=+=+，所以由11,62AOmABnACmn=+==，由316162266mn+=+=，当且仅当166=时取等号，即6=时取等号，所

以2223(3)96AOABACAOABACABACABAC=+=+=++，13694662632AO=++=.【点睛】关键点睛：运用三角形重心、外心、内心的性质是解题的关键.21.已知函数()sin()(00)fxx=+,的最小正

周期为，且直线2x=−是其图象的一条对称轴.将函数()yfx=的图象向右平移4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()ygx=，令函数()()()Fxfxgx

=+.（1）求函数()ygx=的函数解析式；（2）求函数()yFx=的最大值及相对应的x的值；（3）若函数()()()Fxfxgx=+在(0,)n内恰有2021个零点，其中常数R，,1nNn，求常数与n的值.【答案】（1）()sinygxx==；（2）答案

见解析；（3）1,1347n=−=.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解即可；（2）根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可；（

3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为函数()sin()(0)fxx=+的最小正周期为，所以有22==，即()sin(2)fxx=+，又因为直线2x=

−是()sin(2)fxx=+图象的一条对称轴，所以有32()(Z)(Z)222kkkk−+=+=+，因为0，所以令1k=−，则2=，即()sin(2)cos22fxxx=+=，因为函数()yfx=的图象向右平移4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐

标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()ygx=，所以()sinygxx==；【小问2详解】2()()()cos2sin12sinsinFxfxgxxxxx=+=+=−+22()2(sin)148Fxx=−−

++，当114−时，即44−时，2max()18Fx=+，此时sin4x=，即2arcsin(Z)4xkk=+或2arcsin(Z)4xkk=+−；当14时，即4时，max()121Fx=−+=−，此时sin1x=，即2(Z)2xkk

=+；当14−时，即4−时，max()121Fx=−−=−−，此时sin1x=−，即32(Z)2xkk=+，综上所述：当44−时，2max()18Fx=+，此时2arcsin(Z)4xkk=+或2arc

sin(Z)4xkk=+−；当4时，max()121Fx=−+=−，此时2(Z)2xkk=+；当4−时，max()121Fx=−−=−−，此时32(Z)2xkk=+；【

小问3详解】2()()()cos2sin12sinsin0Fxfxgxxxxx=+=+=−+=，设sin,[1,1]xtt=−，则22120210tttt−+=−−=，该方程的判别式280=+，所以该方程有实根，设为12,tt，12102tt=−

，显然两根为异号，若1201,01tt时，则方程12sin,sinxtxt==在(0,)n内都有偶数个根，所以方程212sinsin0xx−+=有偶数个根，不符合题意；若11t=，则212t=−，此时1=，当(0,2)x

时，1sinxt=只有一个根，2sinxt=有两个根，所以212sinsin0xx−+=有三个根，由于202136732=+，所以212sinsin0xx−+=在(0,1346)x内有36732019=个根，由于方程1

sinxt=在(1346,1347)x内只有一个根，2sinxt=没有实根，所以方程212sinsin0xx−+=在(0,1347)x时有2020个实根，不符合题意；若11t=−，则212t=，此时1=−，当(0,2)x时，1si

nxt=只有一个根，2sinxt=有两个根，所以212sinsin0xx−+=有三个根，由于202136732=+，所以212sinsin0xx−+=在(0,1346)x内有36732019=个根，由于方程

1sinxt=在(1346,1347)x内没有实根根，2sinxt=有两个实根，所以方程212sinsin0xx−+=在(0,1347)x时有2021个实根，符合题意；若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合

题意，综上所述：1,1347n=−=.【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com