【文档说明】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题【精准解析】【武汉专题】.docx，共(21)页，700.917 KB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第二学期武汉市五校联合体期中考试高二数学试卷考试时间：2020年4月26日试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.11zi=−的共轭复数是()A.1122i+B.112

2i−C.1−iD.1＋i【答案】B【解析】由题意，复数()()111111122iziiii+===+−−+，所以z的共轭复数为1122zi=−，故选B．2.欧拉公式cossinixexix=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发

明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，3ie表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析

】利用欧拉公式cossinixexix=+，化简3ie的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．【详解】因为欧拉公式cossin(ixexixi=+为虚数单位），所以3cos3sin3iei=+，因为3(2，)，cos30，sin30，所以3ie表示的复数在复平面中位于

第二象限．故选：B．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题．3.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）A.12B.13C.14D.15【答案】C【解

析】【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可．【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共

四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14，故选C．【点睛】本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．4.从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数

字的三位数，其中奇数的个数为（）A.6B.12C.18D.24【答案】D【解析】【分析】第一步：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，共有1223CC种可能；第二步：从所选的2个奇数中选一个放

在个位，然后把余下的两个数在百位与十位全排列，共有1222CA种可能；再由分步计数原理的运算法则求得结果.【详解】第一步：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，共有1223CC种可能；第二步：从所选的2

个奇数中选一个放在个位，然后把余下的两个数在百位与十位全排列，共有1222CA种可能；所以可以组成无重复数字的三位奇数有1212232224CCCA=种.故选：D【点睛】本题考查排列组合的综合应用，属于基础题.5.习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，

“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家（4男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有（）种A.48B.6

8C.38D.34【答案】A【解析】【分析】考虑两类分组，即2人、4人与3人、3人，将其先分组再排列求得两类分别的种数，最后由分类计数原理计算法则求得答案.【详解】这样的6名专家第一类分组为2人、4人并派往

两个贫困县参加扶贫工作，不考虑女专家不单独成组共有242642CCA种，而女专家单独成组共有221A种，故此类共有24226422128CCAA−=种；第二类分组为3人、3人并派往两个贫困县参加扶贫工作，此类共有332632202!CCA=

种；故不同的选派方案共有28+20=48种.故选：A【点睛】本题考查排列组合的综合应用，应先分组再排列，属于简单题.6.函数2e()xfxx=的导函数为（）A.2()2exfx=B.22(21)e()xxfxx−=C.22e()xfxx=D.22(1)e()xxfxx−=【

答案】B【解析】试题分析：22(21)xxex−，故选B.考点：商的求导法则.7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方

法有()A.12种B.18种C.24种D.48种【答案】C【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.8.已知函数()2ln||fxxx

=−，则()fx的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】当0x时，()()2lnfxxx=−−，()()11'2120fxxx=−−=−−，所以()fx在(),0−单调递增，则B、D错误；当0x时，()2lnfxxx=−，()121'2xfxx

x−=−=，则()fx在10,2单调递减，1,2+单调递增，所以A正确，故选A．点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象．由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，

得到单调性情况，得到正确的图象．图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项．9.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A.169B.89C.16

27D.827【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323rx−=，332xr=−，圆柱的体积为23()(3)(02)2Vrrrr=−，则33333163331616442()(

3)()9442939rrrVrrrr++−=−=„．当且仅当33342rr=−，即43r=时等号成立．圆柱的最大体积为169，故选：A．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题

的关键，是中档题．10.函数()fx的图象如图所示，()fx为函数()fx的导函数，下列数值排序正确是（）A.()()()()02332ffff−B.()()()()03322ffff−C.()()()()03232

ffff−D.()()()()03223ffff−【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032ff，将()()32ff−看作过()()22f,和()()3,3f的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进

而得到结果.【详解】由()fx图象可知，()fx在2x=处的切线斜率大于在3x=处的切线斜率，且斜率为正，()()032ff，()()()()323232ffff−−=−，()()32ff−可看作过()()22f,和()()3,3f的割线的斜率，由图象可

知()()()()3322ffff−，()()()()03322ffff−.故选：B.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.

11.f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A.（﹣1，0）∪（1，+∞）B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1

）∪（1，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【答案】A【解析】【分析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h'（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）

为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集．【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以

当x＜0时，h'（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图

象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．【点睛】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题．12.已知曲线2()lnfxxmxx=+与曲线2()(ln)gxx=有三个交

点，则实数m的取值范围为（）A.2210,ee−B.221,ee−−C.1,ee−−D.1,ee−−【答案】C【解析】【分析】已知曲线2()lnfxxmxx=+与曲线2()(ln)gxx=有三个交点，等价于方程22ln(ln)xmx

xx+=有三个不等的实根，即方程2lnln10xxmxx−−=有三个不等的实根；令()lnxxtgx==，利用导数求得t的取值范围，又因为方程2lnln10xxmxx−−=有三个不等的实根,等价于方程

()201mhttt−=−=有两个不等的实根，且一个大于0小于1e，一个小于0，从而构建不等式组，解得答案.【详解】已知曲线2()lnfxxmxx=+与曲线2()(ln)gxx=有三个交点，等价于方程22ln(ln)xmxxx+=有三个不等的实根，即方程2lnln10

xxmxx−−=有三个不等的实根,令()lnxxtgx==，则()21lnxgxx−=，显然当0xe时，()0gx，函数()gx单调递增，且此时()gx的值域为1,e−；当xe时，()0gx，函数

()gx单调递减，且此时()gx的值域为10,e，故函数()gx的最大值为()1gee=，又因为方程2lnln10xxmxx−−=有三个不等的实根,等价于方程()201mhttt−=−=有两个不等的实根，且一个大于0小于1e，一个小于0，故可得

()0010hhe，解得1mee−故选：C【点睛】本题考查利用转化思想和函数与方程思想以及数形结合思想解决由方程的根的个数求参数取值范围为题，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数y＝()fx的图像在点M(1，f(1))处的

切线方程是122yx=＋，则()()1'1ff＋＝________.【答案】3【解析】由题意知()()115'112222ff＝，＝＋＝，所以f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.答案：3.14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于

除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者

至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得

答案．【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636CA==种情况，若甲辅导数学，有2212323212CACA+=种

情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题．15.()5111xx−+的展开式中，x的系数为__________.【答案】-5【解析】【分析】()51x+

展开式与11x−相乘得到x项，则展开式中2x项与1x相乘，x项与-1相乘，再相加，得到系数.【详解】要求x的系数，则()51x+展开式中2x项与1x相乘，x项与-1相乘，所以展开式中2x项为()41255Cxx=与1x相乘得到5x，展开式中

x项为()23510Cxx=，与-1相乘得到10x−，所以x的系数为1055−+=−【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.16.下列四个命题（e为自然对数的底数）①ln55ln2；②lne；③11211；④3ln242

e.其中真命题序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】构造函数()lnxfxx=，利用导数分析其单调性与最值，由()()25ff，可判定①；由()()fef，可判定②；由()()28ffe，结合不等式的性质

可判定④；由()22xgxx=−可得()()240gg==，可判定③.【详解】构造函数()lnxfxx=，则有导函数()21lnxfxx−=，显然当0xe时，()0fx，函数()fx单调递增；

当xe时，()0fx，函数()fx单调递减，故()()max1fxfee==，由25e，可得()()25ff，即有ln2ln52ln5ln55ln225=，故①错误；由ee，可得()()fef，即有lnlnlnlnlnln

22eeeeee，故②正确；设()22xgxx=−，可得()()240gg==，在24x时，()0gx，即有()()211112110g=−，则11211，故③正确；构造函数()lnxhxx=，则有导函数()2ln2x

hxxx−=，显然当20xe时，()0hx，函数()hx单调递增；当2xe时，()0hx，函数()hx单调递减，由()()28hhe，可得22ln8ln3ln223ln242822ee

ee，故④错误.故答案为：②③【点睛】本题考查构造函数判定不等式成立与否，还考查了利用导数分析单调性与最值，属于难题.三、解答题：17题满分10分，18-22满分12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()2

21izimi=++−（其中i是虚数单位，mR）.（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）求1z−的取值范围.【答案】（1）12m=−；（2）1z−255.【解析】【分析】（1）先对复数进行化简，然后结合z是纯虚数可求m

的值；（2）结合复数的模长公式，表示出1z−，利用二次函数的知识求解.【详解】（1）()()()()()2ii12i2i2ii1i1i1zmm+=++=++−−+()()2iii121(1)immm=+−+=++−，若复数z是纯虚数，则21

0,10mm+=−，所以12m=−.（2）由（1）得21(1)izmm=++−，12(1)izmm−=+−，22214(1)521zmmmm−=+−=−+，因为2521ymm=−+是开口向上的抛物线，有最小值45；所以1z−255.【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满

足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.18.某医院有内科医生8名，外科医生6名，现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队，其中（1）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生

和一名外科医生，有几种选法？【答案】（1）506；（2）916.【解析】【分析】（1）先求总的从14名医生中选派4名的可能数，再求不满足条件甲、乙两人都没被选派的可能数，相减得答案；（2）将所有情况分为1名内科医生、3名外科医生，2名内科医生、名外科医生，3名内科医生、1名外科医生这三类，分

别计数再相加得答案.【详解】（1）不考虑甲、乙两人，从所有14名医生中选派4名共有4141001C=种；甲、乙两人都没被选派共有412495C=种；故甲、乙两人至少有一人参加，有1001-495=506

种；（2）此时4名医生的组成为，第一类：1名内科医生、3名外科医生，共有1386160CC=种；第二类：2名内科医生、名外科医生，共有2286420CC=种；第三类：3名内科医生、1名外科医生，共有3186336CC=种；故队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有160420336

916++=种选法.【点睛】本题考查组合问题的计数，属于简单题.19.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相

同）.（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.【答案】（1）67；（2）见解析【解析】【分析】（1）先计算不含编号为3的卡片的概率1

17p=，再用11pp=−得到答案.（2）随机变量X的可能取值为：1,2,3,4，计算概率得到分布列.【详解】（1）不含编号为3的卡片的概率4514751357CpC===，故1617pp=−=.（2）随机变量X的可能取值为：1,2,3,4.

()4711135pXC===；()34474235CpXC===；()3547237CpXC===；()3647447CpXC===.分布列为：X1234p1354352747【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20.已知函数32()

39fxxxxa=−+++.（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是()1,3−；单调递减区间是()(),1,3,−−+；（2）()27,5−【解析】【分析】（1）优先确定定义域，利用导数

()0fx，函数单调递增，()0fx，函数单调递减，求得单调区间；（2）利用转化思想将要求转化为函数ya=与函数()3239gxxxx=−−的图象有三个不同交点，进而ya=应位于函数()gx的两个极值

之间，再利用导数求得函数()gx的极值即可求得答案.【详解】（1）因为函数32()39fxxxxa=−+++，则定义域为R，且()()2()369313fxxxxx=−++=−+−令()()()313013f

xxxx=−+−−，所以函数()fx在区间()1,3−上单调递增；令()()()31301fxxxx=−+−−或3x，所以函数()fx在区间()(),1,3,−−+上单调递减；故函数

()fx的单调递增区间是()1,3−；单调递减区间是()(),1,3,−−+.（2）条件中()fx的图象与x轴有三个交点，等价于32390xxxa−+++=有三个不同的根，进而等价于函数ya=与函数()3239gxxxx=−−的

图象有三个不同交点，因为()()()2369313gxxxxx=−−=+−，且定义域为R，令()0gx=，求得1x=−或3所以有x(),1−−-1()1,3−3()3,+()gx+0-0+()gx极大值极小值所以函数()gx在1x=−

处取得极大值，为()15g−=；在3x=处取得极小值，为()327g=−，因为函数ya=与函数()3239gxxxx=−−的图象有三个不同交点，则ya=应位于函数()gx的两个极值之间，则275a−故实数a

的取值范围为()27,5−【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，还考查了利用转化思想将零点问题转化为两函数图象交点问题再数形结合思想解决问题，属于较难题.21.已知函数2()1fxax=+，（0a），3()gxxbx=+（1）若曲线()yfx

=与曲线()ygx=在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值（2）当24ab=时，求函数()()fxgx+的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值．【答案】（1）3ab==（2）见解析【解析】【详

解】（1）()2fxax=，2()3gxxb=+∵曲线()yfx=与曲线()ygx=在它们的交点（1，c）处具有公共切线∴23ab=+，11ab+=+∴3ab==（2）令()()()hxfxgx=+，当214ba=时，3221()14hxxaxax

=+++221()324hxxaxa=++令'()0hx=，得12,26aaxx=−=−0a时，()()hxhx与的情况如下：x(,)2a−−2a−(,)26aa−−6a−(,)6a−+()hx+0-0+()hx所以函数()hx的单调递增区间为(,)2a−−，(,)6a−+

，单调递减区间为(,)26aa−−当12a−−，即02a时，函数()hx在区间(,1]−−上单调递增，()hx在区间(,1]−−上的最大值为21(1)4haa−=−，当126aa−−−即26a时，函数()hx在区间(,)2a−−内单调递增，在区间(,1)2a−−上

单调递减，()hx在区间(,1]−−上的最大值为()12ah−=当16a−−，即a>6时，函数()hx在区间(,)2a−−内单调递赠，在区间(,)26aa−−内单调递减，在区间上单调递增．又因为所以()hx在区间(,1]−−上的最大值为()12ah−=．22.若函数2()lnfxaxx

xx=+−恰有两个不同极值点12,xx.（1）求a的取值范围；（2）求证：212xxe.【答案】（1）10,2e；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用转化思想将已知转化为方程ln2xax=有两个不同的实根12,xx，令()lnxgxx=，利用导数分析其单调性与图

形的大致走势，最后利用数形结合求得答案；（2）由题12,xx是方程2ln0axx−=的两个不同的根，不妨设12xx，利用分析法欲证212xxe只需证明121212ln2xxxxxx−+成立，令()12,1xttx=，构造函数()()21ln1thttt−=−+证得

121212ln2xxxxxx−+即可.【详解】（1）由函数2()lnfxaxxxx=+−，可得()2lnfxaxx=−，且定义域为()0,+，因为函数()fx恰有两个不同极值点12,xx，等价于12,

xx是方程2ln0axx−=的两个不同的根，即方程ln2xax=有两个不同的实根12,xx，令()lnxgxx=，则()21lnxgxx−=，显然当0xe时，()0gx，函数()gx单调递增；当xe时，()0gx，函数()gx单调递减，所以()()max1gxge

e==，又因为当1x时，()ln0xgxx=，所以102ae故a的取值范围为10,2e.（2）由（1）可知12,xx是方程2ln0axx−=的两个不同的根，即1122ln,lnxaxxax==，不妨设12x

x，则()()121212121212lnlnlnln,lnlnxxxxaxxxxaxxaxx−+=+−=−=−欲证212xxe，只需证12lnln2xx+，即证()122axx+，即证122axx+，即证1122121212lnlnln2xxxxx

xxxxx−=−−+，令()12,1xttx=，构造函数()()21ln1thttt−=−+，则()()21101httt=−+在1t时恒成立，所以函数()ht单调递增，即()()()2111ln1011hth−=−=+所以()1

212112122212ln1xxxxxxxxxx−−=++，故121212ln2xxxxxx−+成立，所以212xxe成立.【点睛】本题考查由极值点个数求参数取值范围，还考查了利用导数证明不等式，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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