【文档说明】【精准解析】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题.doc，共(22)页，2.301 MB，由小赞的店铺上传

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临川二中、临川二中实验学校2019─2020学年度上学期期中考试高三年级数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设集合|3,xAyyxR==，|12,BxyxxR==−，则AB=（）A.B

.()0,1C.10,2D.10,2【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出AB．【详解】解：集合{|3xAyy==，}{|0}xRyy=，{|12Bxyx==−，1}{|}2xRxx=„，11|00,22ABxx=

=．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.在复平面内，复数21izi=+所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第

四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：22(1)11(1)(1)iiiziiii−===+++−，复数z所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及

其几何意义，属于基础题．3.已知函数()1,0sin,0xxfxxx−=，则49ff=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，计算可得；【详解】解：函数1,0()sin,0x

xfxxx−=„，4411993f=−=−，413sinsin93332fff=−=−=−=−．故选：D．【点睛】本题考查函数值的求

法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A.3()fxxx=+B.()31xfx=−C.1()fxx=−D.3()logfxx=【答案】A【解析】【分析】考查选项A，检验()()fxfx=−−是否恒成立，再利用导数来判断函数的单

调性即可；考查选项B，(1)(1)ff−−,即()()fxfx=−−不恒成立，即函数()fx不为奇函数，考查选项C，函数()fx的增区间为()(),0,0,−+，则函数在定义域上不单调，考查选项D，(3)(3)

ff−−,即()()fxfx=−−不恒成立，即函数()fx不为奇函数，得解.【详解】解：对于选项A，()()fxfx=−−恒成立，且'2()310fxx=+，即函数()fx为奇函数且为增函数，对于选项B，()()fxfx−−，则

函数()fx不为奇函数，对于选项C，'21()0fxx=，函数()fx的增区间为()(),0,0,−+，函数在()(),00,−+不为增函数，对于选项D，()()fxfx−−，则函数()fx不为奇函数，故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了函数的

单调区间与函数的定义域，属中档题.5.已知4cos5=且322，则sintan+=（）A.2720−B.2720C.320−D.320【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin，再由商的关系求得tan，则答案可求．【详解】解：由4cos

5=且322，得23sin15cos=−−=−，sin3tancos4==−．3327sintan5420+=−−=−．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查

同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．6.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A.6升B

.8升C.10升D.12升【答案】C【解析】【分析】因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里，从而可得结果.【详解】因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里（等于6千米

），所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为60106=升，所以选C.【点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力以及转化与划归思想的应用，属于中档题.7.在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c.命题甲：ACB+=，且2acb+=，命题乙：ABC

是等腰直角三角形，且B为直角.则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的余弦定理，结合充分条件和必要条件的

定义进行判断即可．【详解】解：由ACB+=，180ABC++=，得90B=，222acb+=，又2acb+=，平方得22222acacb++=，222acac+=即ac=，ABC∴是等腰直角三角形，即命题甲是命题乙的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利

用余弦定理以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．8.设函数()()fxxR满足()(),(2)()fxfxfxfx−=+=，则()yfx=的图像可能是A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，确定函数()yfx=的性质，

再判断哪一个图像具有这些性质．由()()fxfx−=得()yfx=是偶函数，所以函数()yfx=的图象关于y轴对称，可知B，D符合；由(2)()fxfx+=得()yfx=是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B

．9.已知()cos2cos2−=+，且()1tan3+=，则tan的值为（）A.-7B.7C.1D.-1【答案】B【解析】【分析】由了诱导公式得sin2cos=−，由同角三角函数的关系可得tan2=-，再由两角和的正切公式()tan+=tan

tan1tantan+−，将tan2=-代入运算即可.【详解】解：因为()cos2cos2−=+，所以sin2cos=−，即tan2=-，又()1tan3+=，则t

antan11tantan3+=−，解得tan=7，故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.10.已知6log2a=，0.6log0.2b=，0.20

.6c=，则（）A.acbB.abcC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：因为666log1log2log661log20,2a=，0.60.6log0.2log0.61b=

=，0.2100.60.60.60.20.6,135c=．acb．故选：A．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知函数()()3cos03fxx

=−的图像向左平移2个单位长度，得到()gx的图像，()gx图像的相邻两条对称轴之间的距离为4个单位长度，则函数()gx图像的一个对称中心为（）A.,06−B.,03C.,03−D.2,03−【答案】C【解析】【分

析】首先利用三角函数的关系式的对称轴之间的距离的应用求出函数的周期，进一步求出函数的解析式，最后利用整体思想的应用求出结果．【详解】解：由已知，函数()()3cos03fxx=−，则()323cos3cos6gxxx

=+−=+，所以函数()gx的最小正周期为2，则224=，解得2=，所以()3cos26gxx=+，令2()62xkkZ+=+，解得()26kxkZ

=+，所以函数()gx图象的对称中心为,0()26kkZ+．显然当1k=−时，()gx图象的一个对称中心为,03−．故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用，对称中心的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.对

于函数()lnxfxx=，下列结论中正确结论的个数为（）①()fx在xe=处取得极大值1e；②()fx有两个不同的零点；③()()()23fff；④若()1fxkx−在()0,+上恒成立，则1k；⑤0x，()2lnfxxxe+恒成立.A.4个B.3个C

.2个D.1个【答案】B【解析】【分析】对函数()fx求导得单调性即可得出①②③是否正确，④的恒成立问题，采用参变分离，则1lnxkxx+，令1()lnxGxxx=+，k大于()Gx最大值即可得出答案，⑤证明恒成立问题，令22()()lnxgxfxxlnxxlnxexe=−−=−−(0)x，

只需要证明()gx最大值小于0即可．【详解】解：21(),(0)lnxfxxx−=，令()0fx=，得xe=，当0xe时，()0fx；当xe时，()0fx，()fx的增区间是(0,)e，减区间是(,)e+，当xe=时，()fx有极大值f（e）1e=．所以①正确．0x→

时，()fx→−；x→+时，()0fx→，()fx只有一个零点．所以②错误．由上知()fx减区间是(,)e+，()()3()4fff，又()()42ff=，()()2()3fff．所以③错误．

若1()fxkx−在(0,)+上恒成立，则1lnxkxx+，令1()lnxGxxx=+，2()lnxGxx−=，可得(0,1)x时，()0Gx，(1,)x+时，()0Gx，()()11maxGxG==，

1k．所以④正确．令22()()lnxgxfxxlnxxlnxexe=−−=−−(0)x，222211()1(0)lnxlnxxlnxxgxlnxxxx−−−−=−−=，令22()1(0)hxlnxxlnxx

x=−−−，22123()132133()320xxxhxxxxx++++=−−−=−=−，()hx在(0,)+单调递减，又()10h=，在(0,1)x时，()0hx，()0gx，()gx递增，在(1,)x+时，()0hx，()0gx，()gx递减，当1x=时，()2

()10maxgxge==−．0x，()0gx，0x，2()fxxlnxe+恒成立．所以⑤正确．正确结论为①④⑤．故选：B．【点睛】考查导数的综合应用，以及恒成立问题，属于中档题，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若()120

53axdx−=，则a=______.【答案】2【解析】【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【详解】解：若1205()3axdx−=，则31015|33axx−=，即1533

a−=，所以2a=．故答案为：2．【点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14.已知向量()2,3a=r，()1,bm=−，且()aab⊥+，则实数m的值为______.【答案】1

13−【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，可得()0aab+=，从而解得m的值．【详解】解：向量()2,3a=r，()1,bm=−，(1,3)abm+=+．()aab⊥+，()23(3)0aabm=+++=，解得113m=−，故答案为：113−．【点睛】

本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．15.若曲线()()21xfxaxe−=−在点()()22f,处的切线过点()3,3，则实数a的值为______.【答案】1【解析】【分析】利用导数求出曲线2()(1)xfxaxe−=−在点()()2

2f,处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a值．【详解】解：由2()(1)xfxaxe−=−，得22()(1)xxfxaeaxe−−=+−，()22131faaa=+−=−，又()221fa=−，曲线2()(1)xfxaxe−=−在点()()22f,处的切

线方程为21(31)(2)yaax−+=−−，代入(3,3)，得4231aa−=−，解得1a=．故答案为：1．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，属于中档题．16.ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,22abc

cab=+，当C最大时，22ABCSab=+__________．【答案】3320+【解析】2222222231262cosC228444abababcabababba++−+−−===+−,当且仅当6a3b=，取等号，∴∠C的最大值为75°，此时sinC=624+,，∴22

222216621absinC3323422063ABCbbSababbb++===+++.故答案为3320+三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根

据要求作答.）17.已知函数()sincos6fxxx=+−.（1）求()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若()12fB=，且5a=，8c=，求b的值.【答案】（1）()sin

6fxx=−，递增区间为22,233kk−++，kZ；（2）3B=，7b=.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式()sin()6fxx=

−，利用正弦函数的单调性即可求解；（2）由题意可得1sin()62B−=，结合范围(66B−−，5)6，可求B的值，进而根据余弦定理可求b的值．【详解】解：（1）由于31()sin()cossincoscos622fxxx

xxx=+−=+−31sincossin()226xxx=−=−，()sin6fxx=−令22262kxk−−+剟，kZ，可得：22233kxk−++剟，kZ，可得()fx的单调递增区间为22,2,33ππkπkπkZ−++

．（2）1()2fB=，可得1sin()62B−=，(0,)B，5,666B−−，66B−=，可得3B=，5a=，8c=，由余弦定理可得2212cos256425872bacacB=+−=+

−=．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知如图，在直三棱柱111ABCABC−中，四边形11ABBA是边长为4的正方形，3AC

=，ABAC⊥，1AC与1AC相交于点D.（1）在1AB上作一点E，使得//DE面ABC，并证明；（2）求直线1BD与平面BDE所成角的正弦值.【答案】（1）当1AEEB=，//DEBC，证明见解析；（2）1230261513.【

解析】【分析】（1）连结1AB，交1AB于E，连结DE，则1AEEB=，E是1AB的中点，从而//DEBC．由此能证明在1AB上作中点E，使得//DE面ABC．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴，建立空间直

角坐标系，利用向量法能求出直线1BD与平面BDE所成角的正弦值．【详解】解：（1）连结1AB，交1AB于E，连结DE，则1AEEB=，E是1AB的中点，1AC与1AC相交于点D．D∴是1AC中点，//DEBC．AB平

面ABC，DE平面ABC，//DE面ABC．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，()3,0,0C，()0,4,0B，()10,0,4A，3,2,02D，()0,2,2E，()10,4,4B，13,2,42BD=

−−，3,2,02BD=−，()0,2,2BE=−，设面BDE的法向量为(),,nxyz=，则3·202·220nBDxynBEyz=−==−+=，取4x=，得(4,3,

3)n=，()()1342343122BDn=+−+−=，22243334n=++=，()()22213892422BD=+−+−=111123026cos,1513BDnBDnBDn−==．直线1BD与平面

BDE所成角的正弦值为1230261513．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.已知数列na满足11a=，223

a=，()111122,nnnnnaannNaaa−++−++=.（1）证明数列1na为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）数列na的前n项和为nT，112b=，()142,nnnba

annN−+=，求证1nT.【答案】（1）21nan=+；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）直接利用关系式的变换的应用求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进

一步利用裂项相消法和放缩法的应用求出结果．【详解】解：（1）数列{}na满足11a=，223a=，11112nnnnnaaaaa−+−++=．整理得11211nnnaaa+−=+，所以数列1na为等差数列，211112daa

=−=，所以1111(1)222nnna=+−=+整理得21nan=+．（2）由于112b=，14nnnbaa−=，所以41144(1)1nbnnnn==−++，当2n…时，111nbnn=−+，故当1n=时，112n

T=；当2n…时，11111111122311nTnnn=−+−++−=−++．因此1nT．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.过点()0,2

P的直线l与抛物线C：24xy=交于A、B两点，以A、B两点为切点分别作抛物线C的切线1l、2l，且1l与2l相交于点()00,Qxy.（1）求0y的值；（2）设过点P、Q的直线交抛物线C于M、N两点，求四边形AMBN面

积的最小值.【答案】（1）02y=−；（2）642【解析】【分析】（1）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，求得24xy=的导数，可得A，B处切线的斜率，以及直线QA、QB的方程，求得交点Q，再由直线2ykx=+，联立抛物线方程，应用韦达

定理，可得所求Q的坐标；（2）由（1）结合韦达定理，应用弦长公式可得||AB，||MN，由两直线的夹角公式可得AB与MN的夹角的正切和正弦值，再由三角形的面积公式，求得四边形AMBN的面积关于k的函数式，结合基本不等式可得所求最小值．【详解】解：（1）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)

y，且2114xy=，2224xy=，由24xy=的导数为12yx=，可得在A处的切线方程为1111()2yyxxx−=−，①即为211124xyxx=−，同理可得在B处的切线方程为222124xyxx=−，②由①②可得1202xxx+=，1204x

xy=，设直线:2lykx=+，联立抛物线方程24xy=，可得2480xkx−−=，则124xxk+=，128xx=−，可得(2,2)Qk−，即02y=−；（2）由（1）可得22222121212||1||1()411632A

Bkxxkxxxxkk=+−=++−=++22412kk=++，③，由(0,2)P，(2,2)Qk−，可得2:2MNyxk=−+，将③中的k换为2k−可得2224424||kkMNk++=，设AB与MN的夹角为，可得22tan21kkkkkk+==+−，由sintancos=，22sin

cos1+=，可得2422sin54kkk+=++，故四边形AMBN的面积22222221(2)44||||sin8282482246422kSABMNkkkkk+===+++=

…，当且仅当2k=时取“=”．则四边形AMBN面积的最小值为642．【点睛】本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式和基本不等式的应用，考查运算能力

和推理能力，属于难题．21.已知函数()()ln1xfxaexaR=++.（1）讨论()fx零点的个数；（2）若()ln1fxxx=++有两个解()1212,xxxx，且121nxxn++恒成立，求正整数n的最大值.【答案】（1）当1a

e−时，()fx零点的个数为0；当1ae=−时，()fx零点的个数为1；当10ae−时，()fx零点的个数为2；当0a时，()fx零点的个数为1；（2）1【解析】【分析】（1）1()10(0)xxlnxfxae

lnxaxe+=++=−=，设1()xlnxgxe+=，所以(0,1)x，()0gx，()gx递增，(1,)x+，()0gx，()gx递减，1()(1)maxgxge==，再判断函数的交点即可；（2）()1fxxlnx=++，得xxae=，()1fxxlnx=++

有两个解1x、2x，相当于ya=与()xxhxe=有两个交点的横坐标1x、2x，12xx，首先证明当1n=时，122xx+成立，再证当2n…时，121nxxn++不恒成立，只需证2n=时，不恒成立；综

上，1maxn=．【详解】解：（1）()10xfxaelnx=++=，1(0)xlnxaxe+−=设1()xlnxgxe+=，11()xlnxxgxe−−=，由11ylnxx=−−，210xyx+=−，又()10y=，所以(0,1)x，()0gx，()

gx递增，(1,)x+，()0gx，()gx递减，1()(1)maxgxge==，且当x→+，()0gx，故：当1ae−时，()fx零点的个数为0；当1ae=−时，()fx零点的个数为1；当10ae−时，()fx零点的个数为2；当

0a…时，()fx零点的个数为1．（2）()1fxxlnx=++，得xxae=，()1fxxlnx=++有两个解1x、2x，相当于ya=与()xxhxe=有两个交点的横坐标1x、2x，12xx首先证明当1n=时，122xx+成立，由于()(1)xhx

ex−=−，(0,1)x，()hx递增，(1,)x+，()hx递减，且x→+，()0hx，所以()hx的最大值为()11he=，易知10ae，要证122xx+，即证212xx−，因为1201xx，101x，所以121x−，因为(1,)x+，()hx递

减，只需21()(2)hxhx−，又12()()ahxhx==，即证11()(2)hxhx−，只需(0,1)x，()(2)hxhx−成立，设22()()(2)xxxxFxhxhxee−−=−−=−，2()(1)(3)0xxFxexex−−=−−−，所以()Fx在(0,1)x

上单调递增，又()10F=，所以()0Fx，即()(2)hxhx−成立，所以122xx+成立，当2n…时，121nxxn++不恒成立，下证2n=时，上式不恒成立；因为1212xxxxee=，所以2121

(1)xxxettx−==，则2211xxxlnx−=，则11lntxt=−，21tlntxt=−，122211lnttlntxxtt+=+−−，设(2)()(1)1lnxxmxxx+=−，2213(

)(1)xlnxxmxx+−−=−，213yxlnxx=+−−，2223(1)(2)1xxyxxx−−=+−=故在(1,2)x，()mx递减，(2,)x+，()hx递增，()mx最小值为()2423mln=，

故不恒成立．综上，1maxn=．【点睛】（1）函数的零点问题；（2）问题转化法，极值点偏移法，奇次化构造法，构造函数法，反证法，本题难度大，综合性强．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为131xtyt=

+=−（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为42cos4=+.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点()1,1M−，若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求

MPMQ的值.【答案】（1）直线l：331yx=−−，曲线：22440xxyy−++=；（2）6.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）直线l的参数方程为1

(31xttyt=+=−为参数），整理得直线l的普通方程为331yx=−−，曲线C的极坐标方程为42cos()4=+．42coscossinsin44=−4cos4sin=−24cos4sin=−整理得曲线C的直角坐标方程

为22440xxyy−++=．（2）把直线l的参数方程为1(31xttyt=+=−为参数），转换为112(312xttyt=+=−为参数），代入圆的直角坐标方程22440xxyy−++=．整理得21(31)60(ttt+−−=

和2t为P、Q对应的参数），所以126tt=−由圆幂定理得12||||||6MPMQtt==．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的

运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.已知函数()5fxx=−，()523gxx=−−.（1）解不等式()()fxgx；（2）若存在xR使不等式()()2fxgxa−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()1,3（2）

2a【解析】【分析】（1）由绝对值的意义，分别讨论5x≥，352x，32x即可；（2）原命题等价于()()2fxgx−的最小值小于或等于a，再利用绝对值不等式的性质可得()()2fxgx−=()2102352102352xxxx=−+−−−−−−=.即()()

2fxgx−的最小值为2，即可得解.【详解】解：（1）原不等式即5235xx−+−，∴55235xxx−+−或3525235xxx−+−或325325xxx−+−，所以x无解或332x或312x，即13x,∴原不等式的解集为()1,3.（

2）若存在xR使不等式()()2fxgxa−成立，则()()2fxgx−的最小值小于或等于a.()()225523fxgxxx−=−−+−()2102352102352xxxx=−+−−−−−−=.当且仅当3,52x时取等号，∴()()2fxg

x−的最小值为2.∴2a.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.