【文档说明】【精准解析】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷.doc，共(20)页，1.723 MB，由小赞的店铺上传

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临川二中、临川二中实验学校2019─2020学年度第一学期期中考试高三年级文科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题（本大题共12小题，四个选项中只有一个正确，每小题5分，共60分.）1.设集合2|230Axxx=+−=，{3,1,1,3}B=−−，

则AB=A.{1,3}−B.{1,3}−−C.{1,3}−D.{1,3}【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为2|2303,1=+−==−Axxx，{3,1,1,3}B=−−，所以{1,3}=−AB.故选A

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.11ii+=−A.-1B.i−C.1D.i【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，可直接得出结果.【详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii++===−−+.故选D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记除

法运算法则即可，属于基础题型.3.“01x”是“2log(1)1x+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据2log(1)111xx+−以

及充分不必要条件的定义可得.【详解】因为2log(1)111xx+−，所以(0,1)(1,1)−,所以01x”是“2log(1)1x+”的充分不必要条件.故选A．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基

础题.4.已知1tan2=，且3,2，则cos2−=（）A.55−B.55C.255D.255−【答案】A【解析】2222221sintan14sin1sincostan1514====+++，由于角为第三象限

角，故5sin5=−，π5cossin25−==−.5.非零向量,ab满足7aba+=且0aba−=（）,,ab的夹角为（）A.30°B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平

方，求得2ba=，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值．【详解】由7aba+=得，22227ababa++=①又由0aba−=（）得，2aab=②将②代入①式，整理得：224ba=，即2ba=又因为21cos,22aababaaab===，即,60ab的夹角为故选C.【点睛

】本题考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．6.将函数()cos36fxx=+图象上所有的点向右平移6个单位长度，得到函数()ygx=的图象，则3g=（）A.2B.32−C.12D.12−【答案】D

【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，进而可求出结果.【详解】将函数()cos36fxx=+图象上所有的点向右平移6个单位长度后，得到函数()cos3cos3663gxxx

=−+=−的图象，则21cos3cos33332g=−==−．故选D【点睛】本题主要考查由三角函数平移后的解析式求函数值，熟记三角函数的平移原则即可，属于基础题型.7.已知

数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若261033aaa=，16117bbb++=，则21039tan1bbaa+−的值是（）A.1B.22C.22−D.3−【答案】D【解析】【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得6a和6b，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价

于7tan3−，利用诱导公式可求得结果.【详解】na是等比数列32610633aaaa==63a=nbQ是等差数列1611637bbbb++==673b=2106239614273tant

antantantan3111333bbbaaa+===−=−=−−−−本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.8.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥

少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx+=确定出来2x=，类比上述结论可得222log2log(2log()[]2)+++的正值

为（）A.1B.2C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意,通过类比可得:2log(2)xx=+,再解方程可得.【详解】由题意可得2log(2)xx=+，0x，∴22xx=+，解得2x=．故选C.【点睛】本题考查了推理与证明中

的类比推理,属中档题.9.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（）A.110B.15C.310D.25【答案】C【解析】【分析】先设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，由题

意确定事件A包含的基本事件个数，以及总的基本事件个数，进而可求出结果.【详解】依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，则事件A包含的基本事件个数为233C=种，而基本事件的总数为2510C=，所以3()

10PA=，故选C．【点睛】本题考查求古典概型的概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．10.函数cosyxx=+的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由于()()cos,cosfxxxfxxx=+−=−+，()()fxfx−，且()()

fxfx−−，故此函数是非奇非偶函数，排除,AC；又当2x=时，满足cosxxx+=，即()fx的图象与直线yx=的交点中有一个点的横坐标为2，排除D，故选B．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命

题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,xxxx+−→→→+→−时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除11.ABC中，()5,0A

−，()5,0B，点C在双曲线221169xy−=上，则sinsinsinABC−=（）A.35B.35C.45D.45【答案】D【解析】【分析】根据题意结合双曲线定义，求出ABC的三边关系，再利用正弦定理化简sinsinsinABC−，求出它的值即

可．【详解】ABC中，()5,0A−，()5,0B，点C在双曲线221169xy−=上，A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：28ACBCa−==，210ABc==，则sinsin84sin105ABBCACCAB−−===．故选D．【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，考查

了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．12.已知函数()xfxeax=−有两个零点1x，2x，则下列判断：①ae；②122xx+；③121xx；④有极小值点0x，且1202xxx+．则正确判断的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D【解析

】【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论.【详解】对于①，∵()xfxeax=−，∴()xfxea=−，令()0xfxea=−，当0a时，()0xfxea=−在xR上恒成立，∴()

fx在R上单调递增．当0a时，由()0fx，解得lnxa；由()0fx，解得lnxa；∴()fx在(,ln)a−单调递减，在(ln,)a+单调递增．∵函数()xfxeax=−有两个零点1x，2x，∴0a，(ln)0fa，即lnln0aeaa−，即ln0aa

a−，解得：ae；所以①不正确；对于②，因为函数()xfxeax=−有两个零点1x，2x，所以1x，2x是方程0xeax−=的两根，因此11lnxax=，22lnxax=，所以()()()212121212ln2lnln2lnxxaxxaxxxx+

==++，取22ea=，2(2)20fea=−=，∴22x=，(0)10=f，∴101x，∴122xx+，所以②不正确；对于③，(0)10=f，∴101x，121xx不一定，∴所以③不正确；对于④，f（x）在(,ln)a−

单调递减，在(ln,)a+单调递增，∴有极小值点0lnxa=，且12022lnxxxa+=，所以④正确．综上，正确的命题序号是④．故选D【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，通常需要对函数求导，根据转化与化归的思想求解，属于常考题型．

第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(,2)=−axx，(3,4)b=，若//ab，则向量a的模为______．【答案】10【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得

到6x=−，然后根据向量模的定义求出向量的模.【详解】∵//ab，∴43(2)0xx−−=，解得6x=−，∴(6,8)a=−−，∴22(6)(8)10a=−+−=.故答案为10【点睛】本题考查求向量的

模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型．14.已知，均为锐角且tan7=，4tan3=，则+=______．【答案】34【解析】【分析】根据题意，由两角和的正切公式，求出+的正切值，即可得出结果.【详解】∵tan7

=，4tan3=，∴47tantan3tan()141tantan173+++===−−−.又02，02，∴0+，则34+=．故答案为34【点睛】本题考查两角和的正切，考

查由已知三角函数值求角，熟记公式即可，属于基础题型．15.设D为ABC所在平面内一点，1433ADABAC=−+，若()BCDCR=，则=__________．【答案】-3【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解

】∵D为ABC所在平面内一点,1433ADABAC=−+，∴B，C，D三点共线.若BCDC=(),R∴ACABACAD−=−，化为：ADuuuv=1AB+1AC−，与ADuuuv=−13A

B+43AC，比较可得：113=−，解得3=−.即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．16.已知函数()212lnfxxxee=，()1gxmx=+，若()fx与()gx的图象

上存在关于直线1y=对称的点，则实数m的取值范围是_____________.【答案】322,3ee−−【解析】【分析】求出函数()gx关于直线1y=的对称函数()hx，令()fx与()hx的图象有交点得出m的范围即可．【详解

】()1gxmx=+关于直线1y=对称的直线为()1yhxmx==−，∴直线1ymx=−与2lnyx=在21[,]ee上有交点，作出1ymx=−与2lnyx=的函数图象，如图所示：若直线1ymx=−经过点12e−（，），则3me=，若直线1ymx=−与2lnyx=相切

，设切点为(),xy，则122ymxylnxmx=−==−，解得323232xeyme−===−．∴322?3eme−−，故答案为322,3ee−−.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想

，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列na的前n项和为nS，若

24S=，525S=．（1）求数列na的通项公式；（2）记121nnnbaa++=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−；（2）69nn+.【解析】【分析】（1）先设等差数列na的首项为

1a，公差为d，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果；（2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．【详解】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，因为24S=，525S=，则：1124545252adad+=+=

，解得121ad==，所以12(1)21nann=+−=−．（2）由于21nan=−，所以()()1211111212322123nnnbaannnn++===−++++．则1111111111235572123232369nnTnnnn=−+−++

−=−=++++．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．18.在ABC中，内角、、ABC的对边分别为abc、、，且22acbcosC−=

．（1）求BÐ的值；（2）若4a=，72cos10=C，求ABC的面积．【答案】（1）4B=（2）1【解析】【分析】（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.（2）由题意求出sinC的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果．【详解】（1）由余弦定理得

222222abcacbab+−−=化简得2222bacac=+−，∴2222cos22cabBac+−==.∵()0,B，∴4B=.（2）由72cos10=C，得2722sin11010C

=−=，在ABC中，∵()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+2722242102105=+=，由正弦定理sinsinbaBA=，得4252sin4sin225abBA===，11522sin4122210ABCSabC==

=.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.19.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是菱形，SBSD=．（1）证明：BDSA⊥；（2）若面SBD⊥面ABCD，SBSD⊥，60BAD=，1AB=，求B到平面SA

D的距离．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，连接SO，推导出BDSO⊥，BD⊥面SAC，由此能证明BDSA⊥．（2）推导出SO是三棱锥SABD−的高，设B到平面SAD的距离为h，根据BSADSABDVV−−=，即可求出结果．【详解

】（1）连接AC交BD于O，连接SO，在菱形ABCD中，BDAC⊥，O是BD的中点，又因为SBSD=，所以BDSO⊥，又ACSOO=，所以BD⊥面SAC，又SA面SAC，所以BDSA⊥．（2）因为面SBD⊥面ABCD，面面SBD面ABCDBD=，BDSO⊥，S

O面SBD，所以SO⊥面ABCD，即SO是三棱锥SABD−的高．依题意可得，ABD是等边三角形，所以1BDAD==，32AO=，在等腰RtSBD，1122SOBD==，113131322224SABDV−==，经计算得22SD

=，1SA=，等腰三角形ASD的面积为212271()2248ASDS=−=，设点B到平面SAD的距离为h，则由BSADSABDVV−−=，得13324ASDSh=，解得217h=，所以B到平面SAD的距离为217．【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面的距离，

熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.20.已知函数()sin1fxaxx=−−，[0,]x.（1）若12a=，求()fx的最大值；（2）当2a时，求证：()cos0fxx+.【答案】(1)12−(2

)见解析【解析】分析：（1）给定区间求最值需先求导()1'cos2fxx=−判出在相应区间上的单调性；（2）构造新函数，运用放缩进行处理．先证2sincos10xxx−+−，又由2a，0x，所以2sin1cossin1

cos0axxxxxx−−+−−+．详解：（1）解：当12a=时，()1'cos2fxx=−，由()'0fx=，得3x=，所以0,3x时，()'0fx；,3x时，()'0fx，因

此()fx的单调递减区间为0,3，单调递增区间为,3，()fx的最大值为()()max0,max1,12ff=−−12=−.（2）证明：先证2sincos10xx

x−+−，令()2sincos1gxxxx=−+−，则()2'cossingxxx=−−22sin4x=−+，由2sin4yx=+，0,x与2y=的图象易知

，存在00,x，使得()0'0gx=，故()00,xx时，()'0gx；()0,xx时，()'0gx，所以()gx的单调递减区间为()00,x，单调递增区间为()0,x，所以()gx的最大值为()()max0,gg，而()00g=，()0g

=.又由2a，0x，所以2sin1cossin1cos0axxxxxx−−+−−+，当且仅当()20ax==或，取“=”成立，即()cos0fxx+.点晴：导数是做题的工具，在解决问题时

，一般首先要对题干的转化，带着目标做下手，一般都是转化成最值的问题，然后最值的问题都是利用单调性去解决21.已知抛物线1C的方程为22xy=，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线1C的弦，过AB、分别作抛物线的切线1l，2l，设1l，2l相交于点P．（1）求P

APB的值；（2）如果圆2C的方程为228xy+=，且点P在圆2C内部，设直线AB与2C相交于C，D两点，求ABCD的最小值．【答案】（1）0（2）231【解析】【分析】（1）设11(,)Axy，22(,)Bxy，设AB的方

程为12ykx=+，代入抛物线方程得2210xkx−−=，得到121xx=−，利用函数的导数求解切线的斜率，即可得出结果．（2）由（1）知121xx=−，以及1C在点A，B处的切线方程，联立两切线方程，得到交点12122xxP+−，．由点P在圆内，得

到212()31xx+＜，再求出弦长AB，求出O到直线AB的距离22212112114dxxk=+++，利用构造法结合基本不等式求解最小值即可．【详解】（1）设11(,)Axy，22(,)Bxy，因为102F，，所以设AB的方程为12yk

x=+，代入抛物线方程得2210xkx−−=，从而122xxk+=，121xx=−，又由212yx=得yx=，所以11PAxxkyx===，22PBxxkyx===，因此121PAPBkkxx==−，即PAPB⊥，所以0PAPB=．（2

）由（1）知121xx=−，1C在点A，B处的切线方程分别为21112yxxx=−，22212yxxx=−，由两切线方程联立，解得：交点12122xxP+−，．由点P在圆228xy+=内，得212()31xx+＜，又因为()2212121122AByyxx=++=++，2

28CDd=−，其中d为O到直线AB的距离．所以()2221212282ABCDxxd=++−．又AB的方程为12ykx=+，所以22212112114dxxk=+++，令2212mxx=+，由212()31xx+＜得33m＜．又由212112mxx=+，所以)2,33m，从

而()()2815ABCDmm=++．所以，当2m=时，()231minABCD=．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，通常需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及点到直线距离公式等求解，属于常考题型，计算量较大．22.

在极坐标系中，已知两点O(0，0)，B(22，4)．(1)求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为,{12,xtyt＝＝＋（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两

点，圆C的圆心为C，求三角形MNC的面积．【答案】(1)(x－1)2＋(y－1)2=2；(2)265.【解析】【详解】(1)设|OP|＝，角POx＝－4，在直角三角形POB中，cos(－4)＝22，即＝22cos(－4)．∴222=×cos×22+22×si

n×22，∴圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2=2．（2）C到直线l的距离为d＝255，在直角三角形CDA中，|MN|＝22d−＝2305，∴S＝12×2305×255＝265．23.已知函数()12,=+−−fxxmxmR．（1）当3m=时，求不

等式()1fx的解集；（2）当1,2x−时，不等式()21fxx+恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）3,32；（2）13m.【解析】【分析】（1）代入m的值，根据题意，分情况求解，即可得出结果；（2）问题转化为

1(2)21xmxx+−−+恒成立，当)1,2x−时，2122xmxx−=−−−，令2()12gxx=−−，求出()gx的最大值，求出m的范围即可．【详解】（1）当3m=时，()132fxxx=+−−，由()1fx，得1271xx−

−或12451xx−−或2271xx−+，解得：322x或23x，故不等式的解集是3,32；（2）当1,2x−]时，()1(2)fxxmx=+−−，因此()21fxx+恒成立，即1(2)21xmxx

+−−+恒成立，整理得：(2)mxx−−，当2x=时，02−成立，当)1,2x−时，2122xmxx−=−−−，令2()12gxx=−−，∵12x−，∴023x−，∴1123x−，∴2

1123x−−，故max1()3gx=，故13m．【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记含绝对值不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.