【文档说明】黑龙江省绥化市安达市第七中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.669 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理）试题一、选择题1.设全集1,2,3,4,5U=,1,2A=，2,3,4B=，则()UAB=ð（）A.3,4B.3,4,5C.2,3,4,5D.1,2,3,4【答案】C【解析】试题分析：3

,4,5()2,3,4,5UUCACAB==考点：集合的交并补运算2.已知复数231izi−=+（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】因(23)(1)1515(1)(1)222iiiziii−−−−===

−−+−，故复数1522zi=−−对应的点在第三象限，应选答案C．3.“0x”是“ln(1)0x+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，ln(1)001110xx

x++−，故是必要不充分条件，故选B．考点：1．对数的性质；2．充分必要条件．4.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A.()1fxx=B.()fxx=−C.()22xxfx−=−D.()tanfxx=−【答案】

C【解析】【详解】对于A选项，函数()fx是奇函数，函数()fx在区间(),0−和()0,+上都是递减的，但是函数()1fxx=在定义域上不是递减的，A选项不合乎题意；对于B选项，函数()fxx=−的定义域为(

,0−，函数()fx是非奇非偶函数，B选项不合乎题意；对于C选项，函数()22xxfx−=−的定义域为R，()()22xxfxfx−−=−=−，函数()fx为奇函数，且函数()fx在R上为减函数，C选项符合题意；对于D选项，函数()fx为奇函数，但是函数()fx在其定义域上不是

减函数，D选项不合乎题意.故选：C考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性5.函数()2()3ln||fxxx=−的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及12f，即可容易求得结果.【详解】因为()2()

3ln||fxxx=−()fx=−，且定义域关于原点对称，故()fx是偶函数，图像关于y轴对称，排除,AD；又因为1(1)0,(3)0,02fff==，故排除B.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的判

断，函数图像的辨识，涉及对数运算，属综合基础题.6.已知函数()fx是定义在R上周期为4的奇函数，当02x时，()2logfxx=，则()722ff+=（）A.1B.-1C.0D.2【答案】A【解析】函数()fx是定义在R上周期为4的奇函数,(2)(2

)(2)(2)0ffff−==−=,又122711()()()log1222fff=−=−=−=,所以()7212ff+=，故选A.7.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根

据上述规律，得到333333123456+++++=（）A.219B.220C.221D.222【答案】C【解析】试题分析：猜想333212(12)nn+++=+++，因此333333123456+++++=22(123

456)21+++++=．故选C．考点：归纳推理．8.直线22{xtyt=+=−（t为参数）被曲线4cosp=所截的弦长为()A.4B.855C.1655D.8【答案】A【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220xy+−=，又由24cos4cos==，可得2240x

yx+−=表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，此时圆心在直线220xy+−=上，所以截得的弦长为4，故选A.考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.9.设()338xfxx=+−用二分法求方程3380xx+−=在

(1,2)x内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0fff,则方程的根落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.()1.5,2D.不能确定【答案】B【解析】【分析】因为()338xfxx=+−,(1.5)0,(1.25)0ff,根据零点存在定理,即

可求得答案.【详解】()338xfxx=+−又(1.5)0,(1.25)0ff(1.5)(1.25)0ff由零点存在定理可得()fx在区间(1.25,1.5)存在零点.3380xx+−=方程的根落在区间(1.25,1.5)故选:B．【点睛】本题考查了判断零点的范围和求解方程根

的范围,解题关键是掌握零点存在定理和二分法求方程根的解法,考查了分析能力,属于基础题.10.已知实数,ab满足23,32ab==，则函数()xfxaxb=+−的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】依题意，23log31,0log21ab==，令()0fx

=，xaxb=−+，xya=为增函数，yxb=−+为减函数，故有1个零点.11.已知()()3,1log,1aaxaxfxxx−−=是(),−+上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A.()1,+B.()1,3C.()()0,11,3

D.3,32【答案】D【解析】【分析】根据函数是递增函数，可知两段函数都为单调递增函数；且左段函数的最大值小于等于右段函数的最小值，方能满足函数在整个实数范围为递增函数．【详解】依题意，函数在R

上为增函数，故301320aaa−−，解得3,32a【点睛】本题考查了分段函数单调性的综合应用，关键是要分析出函数端点处的大小关系，属于中档题．12.已知函数()fx是定义在R上的函数，若函数(2016)fx+为偶函数，且()fx对任意12,[2016,)xx+

12()xx，都有2121()()0fxfxxx−−，则（）A.(2019)(2014)(2017)fffB.(2017)(2014)(2019)fffC.(2014)(2017)(2019)fff

D.(2019)(2017)(2014)fff【答案】A【解析】依题意，()2016fx+为偶函数，则函数()fx关于2016x=对称，由于函数()()21210fxfxxx−−，即函数在2016x上为减函数，在2016x上为减函数.所以()()()()201920142

0182017ffff=.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数图象变换.对于形如()fxa+的函数，都可以看作是()fx向左或右平移得到，根据这个特点，可以判断本题中函数()fx的

图像是关于2016x=对称的.再结合函数的单调性，并且将()2014f转化为()2018f，就能比较出大小.二、填空题13.函数1()ln(2)3fxxx=++−的定义域为_____________________；【答案】(2,3)−【解析】由题意得

20{2330xxx+−−,即定义域为()2,3−.14.曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为______．【答案】16【解析】【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积.【详解】根据2yxy

x==解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()120xxdx−2310111|23236xx=−=−=.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画

出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.15.关于不等式233xx++的解集是．【答案】{|6xx−，或0}x【解析】【详解】试题分析：令，当，不等式为，当，不等式为，故不等

式的解为{|6xx−，或0}x.考点：解含绝对值的不等式．16.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为__________.①函数3231yxx=−+的图象关于点()0,1成中心对称；②对,xyR若0

xy+，则1x或1y−；③若实数x，y满足221xy+=，则2yx+的最大值为3；④若ABC为钝角三角形，则sincosAB.【答案】①②③【解析】【分析】我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．【详解】解：①函数()3231yfxxx==−+可得(

)()2fxfx+−=()()3323123112xxxx−++−++=.所以函数关于点()0,1成中心对称成立.，故①正确；②对x，yR．若1x=且1y=−，则0xy+=．即有若0xy+，则1x或1y−．故②正确；③若实数x，y满足221xy+=，可设cosx

=，sin(02)y=„，则sin22cosyx=++，设为t，可得sincos2tt−=，即有212||tt+…，解得3333t−剟，则2yx+的最大值为33．故③正确；④若ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sincosAB，故④错误

．故答案为：①②③【点睛】本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，属于中档题，三、解答题17.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示

）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整

理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）1347表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二

乘法估计公式分别为12221()ˆniiiiixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−.【答案】（1）2；（2）5；（3）得空白栏为5，1.4.2ˆ0yx=−.【解析】【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为1直接求解即可；

（2）根据已知所给的各组取值的方法进行求解即可；（3）直接将（2）的结果填入上表的空白栏.根据平均数的计算公式求出x，y的值，再求出51iiixy=，521iix=，最后根据所给的公式求出ˆb，ˆa的值，最后求出回归直线方程.【详解】（1）设各小长方形的宽度为m，可得：()0.080.10.

140.120.040.021m+++++=，2m=.（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，平均值10.1630.250.2870.2490.08110.

045=+++++=.（3）得空白栏为5，1234535x++++==，1345745y++++==，51112334455774iiixy==++++=，522222211234555iix==++++=，根据公式可得274534ˆ1.45553b−

==−，41.43.2ˆ0a=−=−，故回归直线方程为1.4.2ˆ0yx=−.【点睛】本题考查求频率直方图中组距问题，考查了在频率直方图中求平均数问题，考查了求回归直线方程，考查了数学运算能力.18.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：22(0)xpyp=，过抛物线焦点F且

与y轴垂直的直线与抛物线相交于A、B两点，且OAB的周长为25+.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l过焦点F且与抛物线C相交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线C的切线1l、2l，切线1l与2l相交于点P，求：2PFM

FNF−的值.【答案】（1）22xy=；（2）0.【解析】【分析】（1）先求得A，B两点坐标，利用计算OAB的周长可得p，进而求得抛物线方程；（2）利用导数的几何意义求得切线1l与2l的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及1l与2l的交点P，可得PF，再利用

焦半径公式求得MFNF，，可得结果.【详解】（1）由题意知焦点F的坐标为0,2p，将2py=代入抛物线C的方程可求得点A、B的坐标分别为,2pp−、,2pp，有2ABp=，22522pOAOBpp==+=

，可得OAB的周长为25pp+，有2525pp+=+，得1p=.故抛物线C的方程为22xy=.（2）由（1）知抛物线C的方程可化为212yx=，求导可得'yx=.设点M、N的坐标分别为()11,xy、()22,xy.设直线l的方程为12ykx=+（直线l的

斜率显然存在）.联立方程21212ykxyx=+=消去y整理为：2210xkx−−=，可得121221xxkxx+==−.有()21212121yykxxk+=++=+，221212114

4yyxx==.可得直线1l的方程为()211112yxxxx−=−，整理为21112yxxx=−.同理直线2l的方程为22212yxxx=−.联立方程2112221212yxxxyxxx=−=−，解得12

1222xxxxxy+==，则点P的坐标为1,2k−.由抛物线的几何性质知112MFy=+，112NFy=+，()222110122PFkk=−+−−=+.有()12121211112

224MFNFyyyyyy=++=+++()22111211424kk=+++=+.∴20PFMFNF−=.【点睛】本题考查了抛物线的切线方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，涉及导数的几何

意义及韦达定理的应用，属于中档题.19.已知函数3221()(1)3fxxaxaxb=−+−+，(),abR.（1）若1x=为()fx的极值点，求a的值；（2）若()yfx=的图象在点()()1,1f处的切线方程为30xy+

−=，求()fx在区间[2,4]−上的最大值.【答案】（1）0或2；（2）8.【解析】【分析】（1）求出导数，结合已知条件求出'(1)0f=，即可求出a的值；（2）由切点求出()12f=，即2803aab−+−=，由切线方程的斜率为1

−，得()11f=−，即2210aa−+=，可求出a，b的值，代入已知函数求导，可得0x=和2x=是()yfx=的两个极值点，计算即可得到()yfx=在区间[2−，4]上的最大值．【详解】解：（1）22()21fxxaxa=−+−因为1x=为()fx的极值点，所以()01f=，即220a

a−=解得0a=或2a=经检验，当0a=或2a=时，1x=是()fx的极值点，故0a=或2a=；（2）因为切点()()1,1f在切线:30xy+−=上，故(1)2f=.因为切点()1,2在()yfx=上，所以，21(1)23aab−+−+=.又(1)

1f=−，故21211aa−+−=−，解得:81,3ab==.所以，32218(),()233fxxxfxxx=−+=−，由()0fx=可知0x=和2x=，当[2,4]x−时，随x的变化,()fx

fx()变化如下：x2−(2,0)−0(0,2)2(2,4)4()fx+0−0+()fx极大值极小值8(0),(4)83ff==.所以()fx在区间[2,4]−上的最大值为8.【点睛】本题考查导数

的综合应用：求切线方程和求极值，考查运算能力，属于中档题．20.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy，则奖励玩具一个

；②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】【详解】（Ⅰ）

两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的

有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为516．（Ⅱ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616；小亮

获得饮料的概率为5651161616−−=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．21.已知p：实数x满足()()30xaxa−−，其中0a；q：实数x满足302xx−−．（1）若1a=，且p，q

均正确，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）23x（2）12a【解析】【分析】（1）对命题p、q中的不等式求出x范围，因p，q均正确，故求其范

围的交集（2）先分别得到p、q所对应的x的范围，因为p是q的充分不必要条件，则可得到|3xxaxa或|23xxx或，利用数轴讨论a的范围即可【详解】解（1）由()()30xaxa−−，0a，得3axa．当1a=时，13x，即p正确时

，实数x的取值范围是13x．由302xx−−，得23x，即q正确时，实数x的取值范围是23x．所以实数x的取值范围是23x．（2）p是q的充分不必要条件，即pq，且q不能推出p．所以|3xxaxa或|

23xxx或，则02a，且33a，即12a．所以实数a的取值范围是12a．【点睛】本题考查一元二次不等式、分式不等式求解，依据充分不必要条件求参，关于命题求参数范围问题的最终是集合的运算问题，梳理清楚命题之间的逻辑关系是解题的关键．22.在直角坐标系xOy中，已知

曲线C1：2cossinxy==(α为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos4−＝－22，曲线C3：ρ＝2sinθ.(1)求曲线C1与C2的交

点M的直角坐标；(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．【答案】(1)M(－1,0);(2)21−.【解析】试题分析：（1）将两个曲线方程均化为直角坐标方程，联立得到交点坐标即可；（2）点点距转化为圆心到直线的距离加减半径.解析：(1)曲线C1：消去参数α，得y＋x2＝

1，x∈[－1,1]．①曲线C2：ρcos＝－⇒x＋y＋1＝0，②联立①②，消去y可得x2－x－2＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1,0)．(2)曲线C3：ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r

＝1的圆．设圆心为C，则点C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，所以|AB|的最小值为－1.23.（选修4-5：不等式选讲选做）已知()12fxxx=-++．（1）解不等式()5fx³；（2）若关于x的不等式()22fxaa−对任意xR的恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）(,

3][2,)−−+（2）(1,3)−【解析】【详解】试题分析：（1）利用绝对值的意义，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）因为()()12123xxxx−++−−+=，所以

()fx的最小值为3，要使得关于x的不等式()2fxaa>-对任意的xR恒成立，只需223aa-<解得a的取值范围．试题解析：（1）当2x−时，()(1)(2)21fxxxx=−−−+=−−由()5fx，解得3x−；当21x-?时，()(1)(2)35fxxx=−−++

=不成立；当1x时，()(1)(2)215fxxxx=−++=+，解得2x；综上()5fx的解集是(,3][2,)−−+.因为()()12123xxxx−++−−+=，所以()fx的最小值为3.要使得关于x的不等式()2fxaa>-对任意

xR的恒成立，只需223aa-<解得13a−，故a的取值范围是(1,3)−.24.已知函数2()22fxxaxab=−+−+，且(1)0f=．（1）若()fx在区间(2,3)上有零点，求实数a的取值范围；（2）若()fx在[0,3]上的最大值是2，求实数a的的值．【答案】（1）322a

;（2）12a=−或12a=+.【解析】【详解】试题分析：（1）由(1)0f=，得1b=.又()fx在区间(2,3)上有零点可得(2)0{(3)0ff.或者可用求根公式求得另一零点,使其在区间(2,3)内.（2）函数()fx的

图像是开口向上的抛物线,对称轴为xa=.讨论对称轴xa=与区间[0,3]的关系,根据函数的单调性求其最大值.试题解析：解：（1）由(1)0f=，得1b=．又()fx在区间(2,3)上有零点，且()fx的一个零点是1；所以，(2)02303{{2(3)04802faafa−

−．（2）2()221fxxaxa=−+−+，对称轴为xa=．①当0a时，max(0)212ffa==−+=，则12a=−；②当0<<3a时，2max()212ffaaa==−+=，则12a=+，或12a=−（舍去）；③当3a时，max(

3)482ffa==−=，则52a=（舍去）；综上：12a=−或12a=+．考点：1函数的零点;2单调性求最值.25.已知函数()()22fxaxaxlnx=−++，(Ⅰ)当1a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(Ⅱ)当0

a时，若()fx在区间1,e上的最小值为-2，其中e是自然对数的底数，求实数a的取值范围；【答案】(1)2y=−.(2)1a.【解析】【详解】分析：（1）求出()'fx，由()1f的值可得切点坐标，由()'1f的值，可得切线斜率，

利用点斜式可得曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）分三种情况讨论a的范围，在定义域内，分别令()'0fx求得x的范围，可得函数()fx增区间，()'0fx求得x的范围，可得函数()fx的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于

2−，排除不合题意的a的取值，即可求得到符合题意实数a的取值范围.详解：(Ⅰ)当1a=时，()()213,'23fxxxlnxfxxx=−+=−+，()123fxxx=−+因为()()'10,12ff==−，所以切线方程是2y=−；(Ⅱ)函数()()22fxaxaxlnx=

−++的定义域是()0,+当0a时，()()()22211'22axaxfxaxaxx−+−=−++=()()211(0)xaxxx−−=令()'0fx=得12x=或1xa=当11a时，所以()fx在1,e上的

最小值是()12f=-，满足条件，于是1a②当11ea，即11ae时，()fx在1,e上的最小1()fa，即1a时，()fx在1,e上单调递增最小值()112ffa=−，不合题意；③当1ea

，即10ae时，()fx在1,e上单调递减，所以()fx在1,e上的最小值是()()12fef=−，不合题意.综上所述有，1a.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()yfx=在0xx=处的导数，即()yfx=在点P()()00,xfx处的切线斜

率（当曲线()yfx=在P处的切线与y轴平行时，在0xx=处导数不存在，切线方程为0xx=）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•yyfxxx−=−.四、证明题26.已知a、b、m是正实数，且ab，求证：aambbm++．【答

案】证明：由a,b,m是正实数,故要证ab<ambm++只要证a（b+m）<b(a+m)只要证ab+am<ab+bm只要证am<bm,而m>0只要证a<b,由条件a<b成立，故原不等式成立．【解析】试题分析：只要证明()()abmbam++，只要证明ambm，只要证ab，而a

b为已知条件，命题得证．试题解析：∵a，b，m是正实数，∴要证aambbm++，只要证()()abmbam++，即证abamabbm++，即证ab．∵ab，∴原不等式成立．考点：分析证明法．【方法点睛】证明数学命题时，还经常从

要证的结论Q出发，反退回去寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件，为了证明成立，再去寻找成立的充分条件；为了保证成立，再去寻找成立的充分条件……知道找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，又叫做执果索因

法．