【文档说明】【精准解析】山西省同煤二中联盟体2020届高三3月模拟考试数学（理）试题.doc，共(19)页，1.259 MB，由小赞的店铺上传

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同煤二中联盟体高三模拟理科数学试题一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.集合22|540,|1AxxxBxx=−+=，则AB=（）A.(,1)(2,)−+B.(,0)(4,)−+C.(2,4)D.(4,)+【答案】B【解

析】【分析】化简集合A,B，求交集即可.【详解】2|540{|1Axxxxx=−+=或4}x，2|1={|0Bxxxx=或2}x，{|0ABxx=或4}x.故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的解法，交

集运算，属于中档题.2.已知复数()1zaiaR=+（i是虚数单位），3455ziz=−+，则a=（）A.2B.2−C.2D.12【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可得，即，，.故选B．考

点：复数的概念及运算.3.已知曲线C：()33fxxx=−，直线l：3yaxa=−，则6a=是直线l与曲线C相切的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【

分析】由直线l与曲线C相切，明确a的取值，再结合充分必要性作出判断.【详解】解:()2'33fxx=−，直线:3lyaxa=−过定点()3,0，且曲线C也过点()3,0.若直线l与曲线C相切，设切点横坐标为ox，则切线为()2300332yxxx=−−，

则20303323xaxa−==，解之036xa==或03234xa=−=−，所以6a=是直线l与曲线C相切的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充要条件的判断，涉及直线与三次

函数相切问题，考查计算能力与转化能力，属于中档题.4.已知数列na的前n项和为2nSn=，某三角形三边之比为234::aaa，则该三角形最大角为A.60B.84C.90D.120【答案】D【解析】试题分析：2nSn=2213324433,5,7aSSaSSaSS

=−==−==−=925491cos1202352+−==−=考点：1．数列求通项；2．解三角形5.若,2，且5cos22sin4=−，则tan等于（）A.43−B.13−C.34−D.3−【答案】A【解析】试题分析：由5c

os22sin,4=−则225(cossin)cossin−=−，所以1cossin5+=，又由三角函数的基本关系式22cossin1+=，且,2，解得43

cos,sin55==−，所以sin4tancos3==−，故选A.考点：三角函数的基本关系式及余弦的倍角公式.6.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历

》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数()yfx=在123,,xxxxxx===()123xxx处的函数值分别为()()()112233,,yfxyfxyfx===，则在区间13,xx上()fx可以用二次函数

来近似代替:()()()11121fxykxxkxx=+−+−()2xx−，其中3221112213231,,yyyykkkkkxxxxxx−−−===−−−.若令120,2xx==，3x=，请依据上述算法，估算sin5的值是()

A.1425B.35C.1625D.1725【答案】C【解析】【分析】设()sinyfxx==，利用120,2xx==，3x=然后分别求出1230,1,0yyy===，进而代入3221112213231,,yyyykkkkkx

xxxxx−−−===−−−，求出k，最后即可求解sin5的值【详解】设()sinyfxx==，120,2xx==，3x=，则有1230,1,0yyy===，则110202k−==−，0122k−==−−，224k=−，由()()()()2111212244fxykxxk

xxxxxx+−+−−=−+，可得2244sinxxx−+16sin525，答案选C【点睛】本题考查函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题7.已知函数的图象在点(1,(1))Af处的切线l与直线32

0xy++=垂直，若数列1()fn的前n项和为nS，则2017S的值为（）A.20142015B.20152016C.20162017D.20172018【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，所以的图像在点处的切线斜率．因为切线与直线320xy++=

垂直，所以，即，，所以，所以，所以，故应选．考点：1、导数的几何意义；2、裂项相消法．8.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A.10B.11C.12D.13【答案】A【解析】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，

第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执

行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条

件，故输出的k值为10，故选A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.46+B.66+C.2226++D.2236++【答案】B【解析

】【详解】试题分析：如图，这是三棱锥ABCD−的三视图，平面ABC⊥平面BCD，尺寸见三视图，Δ122362ABCS==，Δ122222BCDS==，5,2ADACDC===，所以2212(5)122ABDADCS

S==−=，所以222666表S=+++=+．故选B．考点：三视图，表面积．10.由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）A.180B.

196C.210D.224【答案】C【解析】【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．【详解】分两种情况：（1

）个位与百位填入0与8，则有2228AA个；（2）个位与百位填入1与9，则有722711AAA个.则共有2221128277210AAAAA+=个.故选：C【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．11.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方

向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形,,,ABCAB

C分别以为圆心，边长为半径，作圆弧,,BCCAAB,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点

落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A.32−B.2334−C.22−D.8【答案】A【解析】【详解】设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为1332242−−=，故选A.12.过双曲线22221(0,0)xyabab−=

的左焦点(,0)(0)Fcc−作圆2224axy+=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OFOP=，则双曲线的离心率为A.102B.105C.10D.2【答案】A【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为，由于，，因此是的

中点，由于是的中点，，由双曲线的定义得，得，在，得，，故答案为A.考点：双曲线的简单几何性质.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知向量()a1,3=，()b3,m.=若向量b在a方向上的投影为3，则实数m=______

．【答案】3【解析】【分析】由投影的定义列m的关系式，解出m即可．【详解】根据投影的概念：ab33mbcosa,b3a2+===；m3=．故答案为3．【点睛】本题考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐

标运算，根据向量坐标求其长度，是基础题14.已知抛物线28yx=，过点(1,0)M的直线交抛物线于,AB两点，F为抛物线的焦点，若||6AF=，O为坐标原点，则OAB的面积是__________.【答案】522【解析】

【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出A的坐标，又过M点进而求出直线AB的方程，与抛物线联立求出B的坐标，由面积公式求出三角形AOB的面积．【详解】抛物线28yx=的准线方程为2x=−，设()()1122,,,AxyBxy，过点A作准线的垂线AH，如图，由抛物线的定

义可知，||||6AFAH==，∴126x+=，∴114,42xy==，设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，由2(1)8ykxyx=−=，得()2222280kxkxk−++=，∴1221111,4xxxx

===，∴22y=−，∴OAB的面积121115211(422)2222OABAOMBOMSSSyy=+=+=+=.故答案为：522【点睛】考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．15.若在312nxx−的展开式中二项式系数的和为128

，则展开式中有理项的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】利用二项式系数的性质求得n的值，再根据二项展开式的通项公式求得有理项个数.【详解】因为312nxx−的展开式中二项式系数的和

为128，所以2128n=，即7n=，所以312nxx−的展开式的通项为()7217372177122(1)rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−，当0,2,4,6r=时，7212r−为自然数，所以有

理项的个数为4.故答案为：4【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.若3()22fxaxx=−+在[2,4]有()0fx恒成立，则a的取值范围为__________【答案】(,

0]−【解析】【分析】分离参数，转化为23112axx−在[2,4]上恒成立，利用导数求函数的最小值即可.【详解】()0fx恒成立即23112axx−在[2,4]上恒成立，令2311()2gxxx=−，则344133()xgxxxx−=−+=，∴()gx在(2,3)递

增，在(3,4)上递减，11111(2)0,(4)88326464gg=−==−=，故在[2,4]上min()(2)0gxg==，∴0a.故答案为：(,0]−【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，利用导数求函数的最小值，属于中档题.三、解答题（第

17题~第21题，每小12分，第22题10分，共6小题70分）17.已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，23sincosbaBbA=+，4c=.（1）求A；（2）若D是BC的中点，7AD=，求ABC的面积.【答案】(1)3A=;(2)23.

【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边的关系化为角的关系，约去sinB可得A的三角函数式，上两角和的正弦公式化简后可求得A；（2）已知D为BC中点，因此设BDDCx==，在ABC应用余弦定理得出,xb的一

个方程，在ABD和CDA中利用180ADBADC+=，即coscos0ADBADC+=分别应用余弦定理把这两个余弦用,bx表示又得一个方程，联立后可解得,bx，选用公式1sin2bcA可求得面积．试题

解析：（1）由23sincosbaBbA=+可得23sincosAA=+，即有sin16A+=，因为0A，∴7666A+，∴62A+=，∴3A=.（2）设BDCDx==，则2BCx=，由()221621cos82bx

Ab+−==，可推出224416xbb=−+①，因为0180ADBADC=−，所以coscos0ADBADC+=，由222716702727xxbxx+−+−+=可推出2222xb=+②，联立①

②得24120bb+−=，故2b=，因此113sin2423222ABCSbcA===．18.已知函数()12lnfxxx=+.（1）求函数()fx的最小值；（2）若()12fxtx−对任意的

1,xe恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）22ln2−；（2）11te+【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，确定单调性，进而确定最小值取法，代入即得最小值；（2）先分离得1lntxx+，再利用导数研究函数()1l

n1,gxxex=+在上单调性，进而确定最小值，即得实数t的取值范围.试题解析：（1）函数的定义域为()0,+，()222121'xfxxxx−=−=，()fx在110,+22上递减，在（，）上递增，所以当12x=时，()fx取

最小值且为122ln22f=−（2）问题等价于：1lntxx+对1,xe恒成立，令()1lngxxx=+，则()21'xgxx−=，因为1,xe，所以()0gx，所以()gx在1,e上单调递增，所以()()ma

x11gxgee==+，所以11te+点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问

题.19.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，7ABBD==,3PB=.（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA平面BDQ时，求二面角ABDQ−−的余弦值.【答案】（

Ⅰ）见解析;（Ⅱ）23−.【解析】【分析】（1）取AD中点O，连结OP，OB，可得OP3=，OP⊥AD，OB⊥AD，且OB226ABOA=−=．可得OB2+OP2＝9＝PB2，从而OP⊥面ABCD，即面PAD⊥

面ABCD．（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空

间直角坐标系，利用向量求解．【详解】解：（1）取AD中点O，连结OP，OB，∵△PAD是边长为2的正三角形，∴OP3=，OP⊥AD，又AB＝AD7=，∴OB⊥AD，且OB226ABOA=−=．于是OB2+OP2＝9＝PB2，从而OP⊥OB．所以OP⊥面ABCD，而OP⊂面PAD，所以面PA

D⊥面ABCD．（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，6，0），C（﹣2，6，0），D

（﹣1，0，0），P（0，0，3），Q（﹣1，6322，），()160DB=，，，63022DQ=，，．设面BDQ的法向量为()nxyz=，，，由6063022nDBxynDQyz=+==+=，取()612n=−−，，．面ABD的法向量是()0

01m=，，，∴cos23mn=−＜，＞．∵二面角A﹣BD﹣Q是钝角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为23−．20.已知椭圆C过点M（1，32），两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点A（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△

BPQ面积的最大值．【答案】（1）22143xy+=；（2）3.【解析】【分析】（1）由已知中焦点坐标，可得c值，进而根据椭圆过M点，代入求出a，b可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定

理及基本不等式，求出三角形面积的最大值．【详解】（1）∵椭圆C的两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），故c＝1，且椭圆的坐标在x轴上设椭圆C的方程为：222211xybb+=+∵椭圆C过点M（1，32），

∴2219114bb+=+解得b2＝3，或b234=−∴椭圆C的方程为：22143xy+=（2）设直线l的方程为：x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），则由221143xkyxy=−+=得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9＝0则y1+y

22634kk=+，y1•y22934k−=+∴S12=•2c•|y1﹣y2|2212134kk+=+令t21k=+，（t≥1）则S1213tt=+，∵y13tt=+在[1，+∞）上单调递增，故当t＝1时，y取最小值，此时S取最大值3，当t=1时取等号，即当k

=0时，△BPQ的面积最大值为3.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及椭圆内三角形面积的最值问题，其中“联立方程，设而不求，韦达定理”是常用步骤，综合运用了对勾函数的单调性求最值，属于中档题．21.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书

法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、13、n，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少

进入一个社团的概率为34，且mn.（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分

数不低于4分的概率．【答案】（1）11,24mn==；（2）16.【解析】【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团都能进入的

概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且mn，利用相关公式建立方程组，即可求得m与n的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.【详解】（1）依题()()113241

3111134mnmnmn=−−−−=，解得1214mn==（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为iX，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A，则()412112

3412PX==；()5111123424PX==；()6111123424PX==.故()11111224246PA=++=.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互

斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为24,4xtyt==（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程

为cos2sin40(0)++=.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）若A是曲线1C上的任意一点，B是曲线2C上的任意一点，求线段AB的最小值.【答案】（1）曲线1C的普通方程为24xy=，曲线2C的直角坐标方程为240xy++=；（2）min75||10

AB=.【解析】【分析】（1曲线1C消去参数t即可得普通方程，曲线2C利用ρsinθ=y，ρcosθ=x可得2C的直角坐标方程；（2）可设点()24,4Att，利用点到直线的距离公式及二次函数最值即可求解.【详解】（1）由24,4xtyt==，消去参数

t，得曲线1C的普通方程为24xy=.将cos,sinxy==代入到cos2sin40(0)++=中，得240xy++=，即曲线2C的直角坐标方程为240xy++=.（2）因为A是曲线1C上的任意一点，B是曲线2C上的任意一点，所以可设点()24,4Att，线段A

B的最小值即点A到直线2C的距离d的最小值，所以22221742424448512tttd++++==+，当14t=−时，min7510d=，即min75||10AB=.【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程，极坐标方程，点到直线的距离，属于中档题.