【文档说明】【精准解析】山西省同煤二中联盟体2020届高三3月模拟考试数学（文）试题.doc，共(23)页，4.898 MB，由小赞的店铺上传

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同煤二中联盟体高三模拟文科数学试题一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.已知集合210,01xAxBxxxx+==−−,则AB=（）A.11xx−B.01xxC.01xxD.01xx【答案】D【解析】【分析】先求集合A和集合B，

然后取交集即可.【详解】10|111xAxxxx+==−−,20|01Bxxxxx=−=,则|01ABxx=,故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.设

复数z满足=1iz−，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.22+11()xy+=B.22(1)1xy−+=C.22(1)1yx+−=D.22(+1)1yx+=【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点

（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),zxyizixyi=+−=+−22(1)1,zixy−=+−=则22(1)1yx+−=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗

透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知命题2:,10pxRmx+；命题2:,10qxRxmx++，若pq为真命题，则实数m的取值范围是()A.(,2)−−B.[2,0)

−C.(2,0)−D.(0,2)【答案】C【解析】【分析】若pq为真命题，则,pq都是真命题，由此可得m范围．【详解】命题2:,10pxRmx+，是真命题时，可得0m；命题2:,10qxRxmx++，是真命题时，2

40m=−，解得(2,2)m−.若pq为真命题，则两个命题都是真命题，可得(2,0)m−.故选：C.【点睛】本题考查复合命题的真假，考查由复合命题的真假求参数问题，掌握复合命题的真假判定是解题关键．4.已知函数22,0()2,0xxfxxx−=−，若()(1)0f

af+=，则实数a的值等于()A.3−B.1−C.1D.3【答案】C【解析】【分析】按0,0aa分类讨论．【详解】()(1)0faf+=∴()(1)0faf=−=，当0a时，220a−=，∴1a=，当0a时

，20a−=，∴2a=（舍弃）.故选：C.【点睛】本题考查分段函数，分段函数求函数值时要根据自变量的取值范围的不同选用不同的表达式．5.函数|sin|()exfxx=的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断奇偶性,再分别代入3,,22进

行排除即可.【详解】依题意,xR,|sin()||sin|()ee()xxfxxxfx−−=−=−=−,故函数()fx为奇函数,图象关于原点对称,排除C；而|sin|()e5f==,排除B；而3sin23

33ee222f==,|sin|(2)2e2f==,故3(2)2ff,排除D,故选:A．【点睛】判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可.6.已知()fx是定义域为R的奇函数，且()()4fxfx=−，当2

0x−时，()3logfxx=，则113f=（）A.31log11−+B.31log11−C.1D.1−【答案】C【解析】【分析】根据条件将自变量转化到已知区间，再根据已知解析式求结果.【详解】()

()111433fxfxff=−=，因为()fx为奇函数，所以331111loglog13333ff=−−=−−=−=，选C.【点睛】函数的奇偶性与对称性或周期性相结合的问题多考查求值问题，

常利用奇偶性及对称性或周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．7.已知()sin2sin2−=+，则tan4−的值为（）A.4−B.4C.13−D.13【答案】C【解析】分析:利用诱导公式化简条件可得tan=2，再利用两角差

正切公式即可得到结果.详解:由条件整理得：sin=2cos，即sincos=2，则tan=2，∴1tan?121tan41tan?123−−−===−++故选C点睛:此题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差正切公式的运用

，以及三角函数的化简求值，熟练掌握基本公式是解本题的关键．8.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若2bc=，6a=，7cos8A=，则ABC的面积为（）A.17B.3C.15D.152【答案】D【解析】【

分析】三角形的面积公式为1sin2ABCSbcA=，故需要求出边b与c，由余弦定理可以解得b与c.【详解】解：在ABC中，2227cos28bcaAbc+−==将2bc=，6a=代入上式得2224674

8ccc+−=，解得：2c=由7cos8A=得2715sin188A=−=所以，111515sin242282ABCSbcA===故选D.【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底高），二是1sin2bcA.借

助12（底高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin2bcA时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.9.在直三棱柱111ABCABC−中，1111122AAABBC==，且ABBC⊥，点M是11AC的中点，

则异面直线MB与1AA所成角的余弦值为()A.13B.223C.324D.12【答案】B【解析】【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB=−−−，()10,?

02AA=，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB与1AA所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABCABC−中，1111122AAABBC==，且ABBC⊥，点M是11AC，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，设11111

222AAABBC===，则11,1,22M，(0,00B，），(1,00A，），1(1,02A，），11,1,22MB=−−−，1(0,02AA，）=，设异面直线MB与1AA所成角为，则11422cos31824MBAAMBAA===

,异面直线MB与1AA所成角的余弦值为223，故选B．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余

弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.10.过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C−的圆交y轴于M，N两点，则MN=（）A.2B.8C.4D.10【答案】C【解析】【详

解】由已知得321143ABk−==−−，27341CBk+==−−，所以1ABCBkk=−，所以ABCB⊥，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点(1,2)−，半径为长为AC52=，所以外接圆方程为22(1)(

2)25xy−++=，令0x=，得262y=−，所以46MN=，故选C．考点：圆的方程．11.双曲线C:22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A.2sin40°B.2cos40°C.1sin50D

.1cos50【答案】D【解析】【分析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan50bbaa−==，再利用21cbeaa==+求双曲线的离心率．【详解】由已知可得tan130,tan50bbaa−=

=，2222222sin50sin50cos50111tan501cos50cos50cos50cbeaa+==+=+=+==，故选D．【点睛】对于双曲线：()222210,0xyabab−=，有21cbeaa==+；对于椭

圆()222210xyabab+=，有21cbeaa==−，防止记混．12.已知定义在R上的函数2ln,1(),1xxfxxxx=−，若函数()()kxfxax=−恰有2个零点，则实数a的取值范围是()A.1(,1){0}

,e−−+B.1(,1){0},1e−−C.1(,1){0},1e−−D.111,{0},ee−−+【答案】B【解析】【分析】函数(

)()kxfxax=−恰有2个零点，转化为直线yax=与()yfx=的图象有两个交点，作出函数()fx的图象及直线yax=观察它们交点个数，对函数()fx要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率．【详解】如图，数形结合，观察直线yax=与曲线()yf

x=的位置关系.当2(,0],(),()21,(0)1xfxxxfxxf−=−=−=−，故在(0,0)处的切线方程为1yx=−.当2[0,1],()xfxxx=−+，同理可得在(0,0)处的切线方程为2yx=.当1(1,),()ln,()xfxxfxx+==，设切点为(,ln)t

t，其中1t，则过该点的切线方程为1ln()ytxtt−=−，代入(0,0)，得te=，故过(,1)e的切线方程为31yxe=.可得当1(,1){0},1ae−−时，有两个交点，即函数()y

kx=恰有两个零点.故选：B【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知函数()'cossin4fxfxx=+，则4f的值为____

______．【答案】1【解析】()''sincos4fxfxx=−+，''sincos4444ff=−+，解得'214f=−，故()22'cossin211444422ff

=+=−+=，故答案为1.14.在RtABC中，90B=，3ABBC==，若2BDDC=，点M为线段AD的中点，则AMBC的值为______．【答案】3【解析】【分析】由题中几何关系可知()(

)1122AMBCABBDBCABBCBDBC=+=+，求解即可．【详解】由题意，0ABBC=，2BD=，()1122AMADABBD==+，则()()111233222AMBCABBDBCABBCBDBC=+=+==.【点睛】本题考查了向量的线性运算

，考查了学生的计算能力，属于基础题．15.已知AB⊥平面BCD,2,4,120,2BCBDCBDAB====，则三棱锥ABCD−的外接球的体积为________.【答案】1249327【解析】【分析】以BCD为底面，AB为棱构建直三棱柱，故直三棱柱

的外接球即为三棱锥ABCD−的外接球，利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据勾股定理即可得到外接球的半径，最后根据体积计算公式即可得结果.【详解】以BCD为底面，AB为棱构建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即为三棱锥ABCD−的外接球，设BCD的中心为O，外接球的球心为O，在BCD中，由余弦定理可

得1416224272CD=+−−=，由正弦定理可得底面BCD外接圆的半径r满足272sin120r=，得2213r=，所以外接球的半径R满足223113Rr=+=，即933R=所以球的体积为3344931249333327

VR===，故答案为1249327.【点睛】本题已知三棱锥的底面为三角形，求三棱锥ABCD−的外接球体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，解题的关键是构造出直三棱柱，得到外接球的球心及半径，属于中档题.16.某校早上8∶00开始上课，假设该校

学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：设小张到校的时间为

x，小王到校的时间为y，(,)xy可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为{(,)|3050,3050}xyxy=是一个矩形区域，对应的面积为2020400S==，则小张比小王至少早5分钟到校事件{(,)|5}Axyyx=−．作出符合题意的区域为图中ABC

的面积．因为115152ABCS=，所以由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为1151592202032=．考点：几何概型【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成区域长度（面积或体积），最后

再代入几何概型的概率公式求解．求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．三、解答题（每小题12分，共5小题60分）17.已知数列{}na的前n项和为nS，且满足4(1)3nnSa=−，*nN.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式

；（Ⅱ）令2lognnba=，记数列1{}(1)(1)nnbb−+的前n项和为nT，证明：12nT.【答案】(1)4()nnanN=.(2)证明见解析.【解析】试题分析：（I）当2n时，()()11441133nnnnnaSS

aa−−=−=−−−，整理得14nnaa−=，当n=1时，有14a=.数列na是以4q=为公比，以14a=为首项的等比数列．即可求数列na的通项公式．（II）由（I）有2nbn=，则()()11111122121nnbbnn=

−+−−+,用裂项相消法可求其前n项和.试题解析：（I）当时，有()111413aSa==−，解得14a=.当时，有，则()()11441133nnnnnaSSaa−−=−=−−−整理得：数列

na是以4q=为公比，以为首项的等比数列．1*444(nnnanN−==）即数列的通项公式为：()*4nnanN=．（II）由（I）有22loglog42nnnban===，则()()()()11111=11212122121nnbbnnnn=

−+−+−−+()()11111335572121nn=+++++−11111111121335572121nn=−+−+−++−−+11112212n=−+故

得证.18.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”

中有10名女性．(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人

，求至少有1名女性观众的概率．2()PKk0.050.01k3.8416.635附22112212211212(),nnnnnKnnnn++++−=【答案】见解析【解析】【详解】由频率分步直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷

体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(30104515)1003.0307525455533nnnnnnnnnK++++−−===++因为3.0303.841，所以我们没

有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分步直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaaaaaababababababbb=（）（）（）（）（）（

）（）（）（）（）其中ia表示男性，1,2,3.i=jb表示女性，1,2.j=由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则11122122313212,,,,,,,,,,,,,Aabababa

bababbb=（）（）（）（）（）（）（）事件A由7个基本事件组成，因此7()10PA=【点睛】本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法以及线性相关问题.第二问求概率关键是把“从“超级体育迷”中任意选取2人”的所有情况找清楚19.如图，直四棱柱

ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和

11//ADBC可证得//MEND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得//MNDE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1CCDE−的体积，再求出1CDE的面积，利用11CCDECCDEV

V−−=求得点C到平面1CDE的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME，1BCM，E分别为1BB，BC中点ME为1BBC的中位线1//MEBC且112MEBC=又N为1AD中点，且11//ADBC1//NDB

C且112NDBC=//MEND四边形MNDE为平行四边形//MNDE，又MN平面1CDE，DE平面1CDE//MN平面1CDE（2）在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DEBC⊥，根据题意有3DE=，117CE=，因为棱柱为

直棱柱，所以有DE⊥平面11BCCB，所以1DEEC⊥，所以113172DECS=，设点C到平面1CDE的距离为d，根据题意有11CCDECCDEVV−−=，则有11113171343232d=，解得44171717d==，所以点C到平面1CDE的距离为41717.【点

睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.

20.椭圆2222:1xyEab+=（0ab）的离心率是22，点(0,1)P在短轴CD上，且1PCPD=−．（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于,AB两点，是否存在常数，使得OAOBPAPB+

为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22142xy+=；（2）见解析.【解析】【详解】（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）又点P的坐标为（0，1），且PCPD＝－1于是

2222112{2bcaabc−=−=−=，解得a＝2，b＝2所以椭圆E方程为22142xy+=.（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联

立221{421xyykx+==+，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0所以12122242,2121kxxxxkk+=−=−++从而OAOBPAPB+＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y

1－1）（y2－1）]＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝22(24)(21)21kk−−+−−+＝－所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，OAOBPAPB+＝－3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线AB即为

直线CD此时OAOBPAPBOCODPCPD+=+＝－2－1＝－3故存在常数λ＝1，使得OAOBPAPB+为定值－3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形

结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.21.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答

案】（1）见解析；（2）(,0a−.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为()gx进行再次求导，可判断出当0,2x时，()0gx，当,2x时，()0gx，从而得到()g

x单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()hxfxax=−，通过二次求导可判断出()()min2hxha==−−，()max222hxha−==−；分别在2a−，20a−≤，202a−和22a−的

情况下根据导函数的符号判断()hx单调性，从而确定()0hx恒成立时a的取值范围.【详解】（1）()2coscossin1cossin1fxxxxxxxx=−+−=+−令()cossin1gxxxx=+−，则()sinsincoscosgxxxxxxx=−++=当()

0,x时，令()0gx=，解得：2x=当0,2x时，()0gx；当,2x时，()0gx()gx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减又()0110g=−=，1022

g=−，()112g=−−=−即当0,2x时，()0gx，此时()gx无零点，即()fx无零点()02gg0,2x，使得()00gx=又()gx在,2ππ上

单调递减0xx=为()gx，即()fx在,2ππ上的唯一零点综上所述：()fx在区间()0,存在唯一零点（2）若0,x时，()fxax，即()0fxax−恒成立令()()()2sincos1hxfxaxxxxax=−=−−+则()cossin1hxx

xxa=+−−，()()coshxxxgx==由（1）可知，()hx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减且()0ha=−，222ha−=−，()2ha=−−()()min2hxha==−−

，()max222hxha−==−①当2a−时，()()min20hxha==−−，即()0hx在0,上恒成立()hx在0,上单调递增()()00hxh=，即()0fxax−，此时()fxax

恒成立②当20a−≤时，()00h，02h，()0h1,2x，使得()10hx=()hx在)10,x上单调递增，在(1,x上单调递减又()00h=，()()2sincos1

0haa=−−+=−()0hx在0,上恒成立，即()fxax恒成立③当202a−时，()00h，2022ha−=−20,2x，使得(

)20hx=()hx在)20,x上单调递减，在2,2x上单调递增()20,xx时，()()00hxh=，可知()fxax不恒成立④当22a−时，()max2022hxha−==−

()hx在0,2上单调递减()()00hxh\<=可知()fxax不恒成立综上所述：(,0a−【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式

，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.四、本题共2道小题，每小题10.0分，选择其中1题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

1C的极坐标方程为cos4=．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足16OMOP=，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为2,3，点B在曲线2C上，求ABO面积的最大值．【答案】（1）()22x2y40x−

+=（）；（2）23+【解析】【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240xyx−+=；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大

值为23+.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（,）（＞0），M的极坐标为()1,（10＞）由题设知|OP|=，OM=14cosθ=.由OM|OP|=16得2C的极坐标方程4cos0=（＞）因此2C的直角坐标方程为()22x2y40x−+=

（）.（2）设点B的极坐标为(),αB（0B＞）.由题设知|OA|=2，4cosαB=，于是△OAB面积13SAOB4cosα|sin(α)|2|sin(2α)|232332BOAsin==−=−−+当α12=−时，

S取得最大值23+.所以△OAB面积的最大值为23+.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何

意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】(1){x|x≥4或x≤1}；(2)[－3，0].【解析】试题分析：（1）

解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝25,2{1,2325,3xx

xxx−+−当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分（2）

f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3

，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数