【文档说明】专题07 线段最值问题（2）—胡不归问题和阿氏圆问题-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升(解析版）.docx，共(15)页，832.019 KB，由管理员店铺上传

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专题07线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题【问题引入】在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为

两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【题型一——胡不归问题】【模型介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义

无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使√22AP＋BP最小．【作法】过点A作∠NAP＝45°，过点P作P

E⊥AN，在直角三角形中将√22AP转化为PE，使得√22AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键

是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【典型例题】【例1】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么

：（1）AE=_______．（2）𝐶𝐷+√55𝐵𝐷的最小值是_______．【答案】（1）2√5（2）4√5【解析】解：（1）∵tanA=2，BE⊥AC∴𝐵𝐸𝐴𝐸=2∴设AE=x，BE=2x∴𝑥2+(2𝑥)2=1

02∴𝑥=2√5（2）如图，作DF⊥AB于点F，CH⊥AB于点H∵AE=2√5，AB=10∴𝐴𝐸𝐴𝐵=2√510=√55∴𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐷=𝐷𝐹𝐵𝐷=√55∴DF=√55BD∴𝐶𝐷+√55𝐵𝐷=𝐶𝐷+𝐷𝐹∵当C、D、F三点共线时，𝐶𝐷+𝐷𝐹最小，

即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=2AE=4√5∴𝐶𝐷+√55𝐵𝐷的最小值时4√5【练1】如图，△ABC中，AB＝AC＝20，tanA=3，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√1010BD的最小值是ABCDE【答案】6√10【解析】解：

如图，作DF⊥AB于点F，CH⊥AB于点H∵tanA=3，BE⊥AC，AB=AC=20∴𝐵𝐸𝐴𝐸=3∴设AE=x，BE=3x∴𝑥2+(3𝑥)2=202∴𝑥=2√10∴𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐷=𝐷𝐹𝐵𝐷=√1010∴DF=√1010BD∴𝐶𝐷+√1010𝐵𝐷

=𝐶𝐷+𝐷𝐹∵当C、D、F三点共线时，𝐶𝐷+𝐷𝐹最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=3AE=6√10∴𝐶𝐷+√55𝐵𝐷的最小值时6√10【练2】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP＋PC的最小值是

_______．【答案】3√32【解析】解：如图，作PM⊥AB于点M，CH⊥AB于点H∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30°∴PM=12PB∴12BP＋PC=𝑃𝑀+𝑃𝐶∵当C、P、H三点共线时，𝑃𝑀+𝑃𝐶最小，即

为CH在Rt△CBH中，CH=BC×sin60°=3√32∴12BP＋PC的最小值时3√32【练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于_____

___．【答案】3√3【解析】解：如图，作PH⊥AD于点H∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∵∠DAB=60°∴∠HDP=60°∴sin∠HDP=√32∴PH=√32PD∴PB+√32PD=𝑃𝐵+𝑃𝐻∵当B、P、H三点共线时，𝑃𝐵+𝑃𝐻最小，即为BH

在Rt△ABH中，BH=AB×sin60°=3√3∴12BP＋PC的最小值时3√3【题型二——阿氏圆问题】【模型介绍】所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨

迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.【模型建立】【问题】如图，在Rt🔺ABC中，∠ACB=90°，CB=4

，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值.【作法】连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有𝐶𝐷𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵=12，或者先构造比例𝐶𝐷𝐶𝑃=𝐶𝑃

𝐶𝐵，再求出CD的长，两种方法只不过是条件互换，其实质都是构造共角的子母相似三角形，得到PD=12BP，因此有AP+12BP=AP+PD，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求AD的长度．【解题关键】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造共角的子母相似三角形，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．注意：而这里的P的运动轨迹是一个圆，根据相似可以得到kPB的等线段．【典型例题】【例1：向内构造型】如图，点C坐标为(2，5)，点A的坐标为(7，0)，圆C的半径为√10，点

B在圆C上一动点，OB＋√55AB的最小值为。【答案】5【解析】解：如图，连接AC，在AC上取一点D，使得CD=√2，连接CB，OD，OB∵点C坐标为(2，5)，点A的坐标为(7，0)∴AC=5√2∵CB=√10，CD=√2∴𝐶𝐵2=𝐴𝐶∙𝐶𝐷∴𝐶

𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐶𝐶𝐵∵∠BCD=∠ACB∴△BCD∽△ACB∴𝐷𝐵𝐴𝐵=𝐶𝐵𝐴𝐶=√105√2=√55∴DB=√55AB∴OB＋√55AB=OB+DB当B、D、O三点共线时，OB+DB有最小值，

即为OD∵∠CAO=45°，AD=5√2−√2=4√2∴D（3，4）∴OD=√32+42=5∴OB＋√55AB的最小值为5；【练1】如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，圆B的半径为2，P是圆B上一点，则PD＋12PC的最

小值为，2PD＋4PC的最小值为。【答案】5；10√2【解析】解：（1）如图，在BC上取一点E，使得BE=1，连接PB，DE∵PB=2，BE=1，BC=4∴𝑃𝐵2=𝐵𝐸∙𝐵𝐶∴𝑃𝐵𝐵𝐶=𝐵𝐸𝑃𝐵∵∠PBE=∠CBP∴△PBE∽△CB

P∴𝑃𝐸𝑃𝐶=𝑃𝐵𝐵𝐶=12∴PE=12PC∴PD＋12PC=PD+PE当P、D、E三点共线时，PD+PE有最小值，即为DE∵在Rt△DCE中，DE=√32+42=5∴PD＋12PC的最小值为5；（2）如图，连接BD，在BD上取一点E，使得BE=√22，

连接EC，作EF⊥BC于F∵PB=2，BE=√22，BD=4√2∴𝑃𝐵2=𝐵𝐸∙𝐵𝐷∴𝑃𝐵𝐵𝐷=𝐵𝐸𝑃𝐵∵∠PBE=∠DBP∴△PBE∽△DBP∴𝑃𝐸𝑃𝐷=𝑃𝐵𝐵𝐶=√24∴PE=√24PD∴√2PD＋PC=4(√24PD

+PC)=4(PE+PC)当P、C、E三点共线时，PE+PC有最小值，即为CE∵在Rt△EFC中，EF=12，FC=72CE=5√22∴√2PD＋PC的最小值为10√2；【练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值是。【答案】12√10【解析】解：如图，在AC上取一点M，使得CM=4，连接BM，DM∵CD=

6，CM=4，AC=9∴𝐶𝐷2=𝐶𝑀∙𝐴𝐶∴𝐶𝐷𝐶𝑀=𝐴𝐶𝐶𝐷∵∠DCM=∠ACD∴△DCM∽△ACD∴𝐷𝑀𝐴𝐷=𝐶𝐷𝐴𝐶=23∴DM=23AD∴2AD＋3BD=3(23AD+BD)=3(D

M+BD)当A、D、M三点共线时，DM+BD有最小值，即为BM∵在Rt△DCE中，BM=√122+42=4√10∴2AD＋3BD的最小值为12√10；【例2：向外构造性】如图，点A、B在⊙O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是

OA的中点，点D在OB上，OD=10.点P是⊙O上一动点，则PC+12PD的最小值是。【答案】13【解析】解：延长OA至点E，使OE=24，连接DE，OP∵OC=12OA=6，OP=12，OE=24∴𝑂𝐶𝑂𝑃=�

�𝑃𝑂𝐸=12又∵∠POC=∠POE∴△POC∽△EOP∴𝑃𝐶𝑃𝐸=𝑂𝑃𝑂𝐸=12∴PC=12PE∴PC+12PD=12PE+12PD=12(PD+PE)当D、P、E三点共线时，PD+PE有最小值，即为DE在Rt△DOE中，OD=10，OE

=24∴DE=√102+242=26∴PC+12PD的最小值为13；【练1】如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C、B重合），则2PD+PB的最小值为。【答案】4√7【解析】解：作∠PAP’=120°，使得AP’=2AB=8，连接P

P’，BP’，则∠1=∠2∵AB=AP=CA=4，AP’=8，AD=2∴AP’𝐴𝐵=𝐴𝑃𝐴𝐷=2∴△APD∽△ABP’∴BP’=2PD∴2PD+PB=BP’+PB当B、P、P’三点共线时，BP’+PB有最小值，即为PP’∵PP’=√(

2+8)2+(2√3)2=4√7∴2PD+PB的最小值为4√7；【练2】如图⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，则2PC+PE的最小值为。【答案】2√7【解析】解：延长OA至点K，

使AK=AO=2，连接KP，OP∵C是OA的中点∴OC=12OA=1∴𝑂𝐶𝑂𝑃=𝑂𝑃𝑂𝐾=12又∵∠POC=∠POK∴△POC∽△KOP∴𝑃𝐶𝑃𝐾=𝑂𝑃𝑂𝐾=12∴PK=2PC∴2PC+PE=PK+PE当K、P、E三点共线时，

PK+PE有最小值，即为KE过点E作EH⊥AB∵在Rt△DOC中，cos∠DOC=𝑂𝐶𝑂𝐷=12∴∠DOC=60°∴∠EOH=∠DOC=60°∴EH=OE×sin60°=√3∴EK=√52+(√3)2=2√7∴2PC+PE的最小值为2√7；【练3】如图，在

平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，√5为半径的圆与x轴，y轴分别交于A、B两点，点D为弧AB上的动点，则BD+√102OD的最小值为。【答案】3√102【解析】解：连接CO并延长至点P，使𝐶𝑃𝐶𝐷=𝐶𝐷𝐶𝑂，连接DP，CD，BP，

CB∵点C（1，1）∴OC=√2∵CD=√5∴𝐶𝑃𝐶𝐷=𝐶𝐷𝐶𝑂=√102∴CP=5√22∴OP=3√22∵∠AOP=45°∴P（-32，-32）又∵∠POC=∠POK∴△DOC∽△PDC∴𝐷�

�𝑂𝐷=𝐶𝐷𝐶𝑂=√102∴PD=√102OD∴BD+√102OD=BD+PD当B、D、P三点共线时，BD+PD有最小值，即为BP设B(0,n)∵点C（1，1）∴12+（n−1）2=5∴n=3或n=-1∵

n＞0∴n=3∴BP=√(32)2+(3+32)2=3√102∴BD+√102OD的最小值为3√102；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com