【文档说明】专题07 线段最值问题（2）—胡不归问题和阿氏圆问题-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升(原卷版）.docx，共(8)页，475.641 KB，由管理员店铺上传

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专题07线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题【问题引入】在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：

（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【题型一——胡不归问题】【模型介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途

，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使√22AP＋BP最小．【作法】过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN

，在直角三角形中将√22AP转化为PE，使得√22AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问

题转化为“PA+PC”型．注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【典型例题】【例1】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那

么：（1）AE=_______．（2）𝐶𝐷+√55𝐵𝐷的最小值是_______．【练1】如图，△ABC中，AB＝AC＝20，tanA=3，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√1010BD的最小值是

【练2】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP＋PC的最小值是_______．【练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动

点，则PB+√32PD的最小值等于________．ABCDE【题型二——阿氏圆问题】【模型介绍】所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古

希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【模型建立】【问题】如图，在Rt🔺ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP

、BP，求AP+12BP的最小值.【作法】连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有𝐶𝐷𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵=12，或者先构造比例𝐶𝐷𝐶𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵，再求出CD的长，两种方法只不过是条件互

换，其实质都是构造共角的子母相似三角形，得到PD=12BP，因此有AP+12BP=AP+PD，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求AD的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造共角

的子母相似三角形，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．注意：而这里的P的运动轨迹是一个圆，根据相似可以得到kPB的等线段．【典型例题】【例1：向内构造型】如图，点C坐标为(2，5)，点A的坐

标为(7，0)，圆C的半径为√10，点B在圆C上一动点，OB＋√55AB的最小值为。【练1】如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，圆B的半径为2，P是圆B上一点，则PD＋12PC的最小值为，2PD＋4

PC的最小值为。【练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值是。【例2：向外构造性】如图，点A、B在⊙O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是OA的中点，点D在OB上，O

D=10.点P是⊙O上一动点，则PC+12PD的最小值是。【练1】如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C、B重合），则2PD+PB的最小值为。【练2】如图⊙O的半径为2，AB为直

径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，则2PC+PE的最小值为。【练3】如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，√5为半径的圆与x轴，y轴分别交于A、B两点，点D为弧AB上的动点，则B

D+√102OD的最小值为。获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com