【文档说明】湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.141 MB，由小赞的店铺上传

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宜昌市部分省级示范高中2024秋季学期高二年级期中考试数学试卷命题学校：葛洲坝中学命题人：曹齐艳审题学校：三峡高中审题人：郭永亮审题学校：枝江一中审题人：时爱华考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级

、考号填涂到答题卡指定位置．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡与本题对应范围内．写在本试卷上无效．一、选择题：本

题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数(2i)43iz−=+，则z的共轭复数是（）A.12i+B.12i−+C.12i−D.12i−−【答案】C【解析】【分析】由复数的四则运算及共轭复数的概念即可

求解.详解】由(2i)43iz−=+，可得：()43i(2i)510i12i(2i)(2i)5z+++===+−+，所以z的共轭复数是12i−.故选：C.2.已知,mn表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（）A.若m，n∥，则mn∥B.若m，mn丄，则n⊥C.

若m⊥，n⊥，则mn∥D.若m⊥，mn⊥，则n∥【答案】C【解析】【【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.【详解】因为m，n∥，则mn∥或,mn相交或,mn异面，故A错误；由m

，mn丄，则n与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；若m⊥，n⊥，则mn∥，故C正确；若m⊥，mn⊥，则n∥或n，故D错误.故选：C.3.“3a=”是“直线()1:1210laxy−++=与直线2:310lxay+−=平行”的（）A.充分不必要条

件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当3a=时，1:2210lxy++=，2:3310lxy+−=，

显然12llkk=，两直线平行，满足充分条件；当()1:1210laxy−++=与直线2:310lxay+−=平行时，12llkk=，则132aa−−=−∴3a=或2a=−，当3a=时显然成立，当2a=−时，1:3

210lxy−++=，2:3210lxy−−=，整理后1:3210lxy−−=与2:3210lxy−−=重合，故舍去，∴3a=，满足必要条件；∴“3a=”是“直线()1:1210laxy−++=与直线2:310lxay+−=平

行”的充要条件故选：C4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生15之间的随机数，当出现1、2、3时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组

随机数，结果如下：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（）A.0.35B.0.55C.0.6D.0.65

【答案】D【解析】【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，31

4共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为130.6520=.故选：D5.已知点D在ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，正数,xy满足23DOxOAyOBOC=+−，则12xy+的最小值为（）A.52B.92C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用空间向量共面定理的推论

可得22xy+=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】由题意知，,,,ABCD四点共面，又23DOxOAyOBOC=+−，则23ODxOAyOBOC=−−+，所以231xy−−+=，即22xy+=，因为0,0xy，所以()121121222522xyxyxyxyyx+=++

=++12295222xyyx+=，当且仅当22xyyx=，即23xy==时等号成立，所以12xy+的最小值为92.故选：B.6.已知正三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的

球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O的表面积为（）A.10πB.25πC.100πD.125π【答案】B【解析】【分析】先判断球心在三棱锥的高线SH上，由正弦定理求得CH，求得SH，借助于RtOHC列方程，

求出外接球半径即得.【详解】如图，设点S在底面的射影为点H，因底面边长均为23，侧棱长均为25，故球心O在SH上，连接CH，设球O的半径为R，则SOOCR==，由正弦定理232sin60CH=，解得2CH=，在RtSHC△中，22(25)24S

H=−=，则|4|OHR=−，在RtOHC中，由22|4|4RR−+=，解得52R=，则球O的表面积为2254π4π()25π2SR===.故选：B.7.在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3)coscos0abCcB++=，且2222cab−−=，则ABCV的面积

为（）A.2B.22C.6D.23【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简(3)coscos0abCcB++=可得1cos3=−C，进而结合余弦定理可得3ab=，进而结合面积公式即可求解.【详

解】由(3)coscos0abCcB++=，根据正弦定理得，(3sinsin)cossincos0ABCCB++=，即3sincossincossincos0++=ACBCCB，即()3sincossin0++=ACBC，即3sincossin0ACA+=，因

为()0,πA，则sin0A，所以3cos10C+=，即1cos3=−C，所以2221cos23abcCab+−==−，又2222cab−−=，则211cos23Cabab−==−=−，即3ab=，又2122sin1cos193CC=−=−=，所以ABCV的面积为1122sin3222

3abC==.故选：A.8.已知椭圆2222:1(0)xyabab+=的焦距为2c，若直线()380kxykc−++=恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（）A.10,3B.1

0,2C.1,13D.1,12【答案】A【解析】【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点8,3cc−在椭圆内部，整理不等式283bca可得离心率103e

.【详解】将直线()380kxykc−++=整理可得()380kxcyc+−+=，易知该直线恒过定点8,3cc−，若直线()380kxykc−++=恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点8,3cc−在椭圆内部；

易知椭圆上的点当其横坐标为c−时，纵坐标为2ba，即可得283bca，整理可得223830caca+−，即23830ee+−，解得103e.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9.下面四个结论不正确的是（）A.已知()1,1,ax=，()3,,9bx=−，若310x，则ab和的夹角为钝角B.已知()2,0,1a=−，()3,2,5b=−，则b在

a上的投影向量是21,0,55−C.若直线c0axby++=经过第三象限，则0ab，0bcD.设,,abc是空间向量的一组基底，则,,abbcac−++也是空间向量的一组基底【答案】ACD【解析】【分析】对于A，C，利用反例来判断；对于B，根据投影向量的

定义计算即可；对于D，证明abbcac−++，，共面，即可判断.【详解】对于A，当3x=−时，()1,1,3a=−，()3,3,9b=−−，3ab=−，此时ab和的夹角为π，故A错误；对于B，向量b在向

量a上的投影向量为()()2,0,165121cos,2,0,1,0,55555aabababaaa−−===−=−，故B正确；对于C，令1a=，1b=−，0c=，则直线0axbyc++=为0xy−=，此时直线经过第三象限，但00abbc=，，故C错误；对于D，若

()()acabbc+=−++，则1==，所以abbcac−++，，共面，故不能作为基底，故D错误.故选：ACD.10.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为21s，平均数为1x;去掉的两个数据的方差为22s，平均数为2x﹔原样本数据

的方差为2s，平均数为x，若x=2x，则下列说法正确的是（）A.x1x=B.222121514sss=+C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、

去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；对于B选项，写出21s和22s的表达式即可；对于C选项，根据中位数定义判断即可；对于D选项，根据分位数定义判断即可.【详解】A.剩下的28个样本数据的和为128x，去掉的两个数据和为22x，原样本

数据和为30x，所以1228230xxx+=，因为x=2x，所以x1x=，故A选项正确；B.设1232930xxxxx，2222121312911[()()()]28sxxxxxx=−+−++−，因为12xxx=

=，所以2222113011[()()]2sxxxx=−+−，所以()()()()()222222221211213129130128230ssxxxxxxxxxxs+=−+−+−++−+−=，所以222121514sss=+

，故B选项正确；C.剩下28个数据中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D.3022%6.6=，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个；2822%6.16=，所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个；因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%

分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确.故选：ABD.11.已知正方体1111ABCDABCD−棱长为2,MN为正方体1111ABCDABCD−内切球O的直径，点P为正的方体1111ABCDABCD−表面上

一动点，则下列说法正确的是（）A.当P为BC中点时，1AB与DP所成角余弦值为105B.当P面1114,3PACDBCCBV−=时，点P的轨迹长度为22C.PMPN的取值范围为0,2D.AM与1AC所成角的范围为π0,3【答

案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量即可得A正确，利用线面平行性质以及椎体体积公式计算可得点P的轨迹即是线段1BC，可得B正确，利用极化恒等式计算可得C正确，由点M的位置关系可知D错误.【详解

】根据题意，以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，对于A，如下图所示：易知()()()()12,0,0,2,2,2,0,0,0,1,2,0ABDP，则()()10,2,2,1,2,0

ABDP==,可得111410cos,5225ABDPABDPABDP===，即当P为BC中点时，1AB与DP所成角余弦值为105，可得A正确；对于B，易知1ACD△是边长为22的正三角形，故其面积为()2322234S==，由三棱锥1PACD−的体积为143

PACDV−=，可得点P到平面1ACD的距离为3233VhS==，即点P在与平面1ACD平行且距离为233的平面内，连接1111,,ABBCAC，如下图所示：由正方体性质可得平面1//ACD平面11ABC，且两平面间的距离等于233，所以点P平面11ABC，又P面11BCCB，平面11ABC

平面111BCCBBC=，即可得点P的轨迹即是线段1BC，因此点P的轨迹长度为22，即可得B正确；对于C，依题意可知O即为正方体的中心，如下图所示：()()2PMPNPOOMPOONPOPOOMPOONOMON=++=+++()22POPO

OMONOM=++−，又因为MN为球O的直径，所以0,1OMONOMON+===，即可得()2221PMPNPOPOOMONOMPO=++−=−，又易知当点P为正方体与球O的切点时，PO最小；当点P为正方体的顶点时，PO最

大；即1,3PO，因此可得PMPN的取值范围为0,2，即C正确；对于D，易知1AC的中点即为球心O，如下图所示：当AM与球相切时，AM与1AC所成的角最大，此时11123sinsin323CCMAOCACAC====，显然π

3MAO，结合两直线所成角的范围可知AM与1AC所成角的范围为π0,3错误，即D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量ab，满足35aba==,,与b的夹角为60o，则ab

−=_______.【答案】19【解析】【分析】根据模长公式即可求解.【详解】115cos603522abab===，()22229251519ababab−=+−=+−=，19ab−=，故答案为：1913.在一

个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是________立方米．【答案】84π【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算．【详解】由已知圆台的上底半径为3r=米，

下底半径为6R=米，母线长为5l=米，所以高为225(63)4h=−−=（米），体积为221π(3366)484π3V=++=（立方米）．故答案为：84π．14.已知()2,0A−，()2,0B，若圆22(1)(32)4xaya−−+−

+=上存在点P满足5PAPB=，则a的取值范围是______________【答案】1,2−【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点P的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于a的不等式，解之即可得解.【详解】设点(,)Pxy，则(2,)PAxy=−−−，(2,)PBxy=−−，所以

2(2)(2)5PAPBxxy=−−−+=，则229xy+=，所以点P的轨迹方程为229xy+=，圆心为(0,0)，半径为3，由此可知圆22(1)(32)4xaya−−+−+=与229xy+=有公共点，又圆22(1)(32)4xaya−−+−+=的圆心为(1,32)aa+−，半径为2，

所以221(1)(32)5aa++−，解得12a−，即a取值范围是1,2−.故答案为：1,2−.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知三点()()(

)3,4,3,2,1,0ABC−.（1）若直线1l过点()1,0C且与直线BC垂直，求直线1l的方程；（2）若直线2l经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线2l的方程.【答案】（1）330xy−−=（2）340yx+=或250xy+−=【解

析】【分析】（1）先求得直线𝐴𝐵的斜率，再根据两直线垂直斜率关系结合点斜式求解即可；（2）分析当截距均为0时的情况，再设直线2l方程为12xybb+=，根据直线2l经过点A求解即可.的【小问1详解

】由()()3,4,3,2AB−可得直线𝐴𝐵的斜率为421333ABk−==−−−，因1lAB⊥为，故直线1l的斜率为3，则直线1l的方程为()031yx−=−，即330.xy−−=【小问2详解】当截距均为0时，直线2l方程

为340yx+=，符合题意，当截距不为0时，不妨设直线2l方程为12xybb+=，又直线2l经过点A，故3412bb−+=，即52b=，所以直线2l方程为250xy+−=，综上，所求直线2l方程为340yx+=或250

xy+−=.16.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，34，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（

1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1）25（2）223300【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式求解；（2）先求出两人中至少有一人赢得比赛的对立事件甲、乙两人都未赢得比赛的概率，再去求甲、乙两人

至少有一人赢得比赛的概率.【小问1详解】设1A=“甲在第一轮比赛中胜出”，2A=“甲在第二轮比赛中胜出”，1B=“乙在第一轮比赛中胜出”，2B=“乙在第二轮比赛中胜出”，则1A，2A，1B，2B相互独立，

且()145PA=，()223PA=，()135PB=，()234PB=，所以()151PA=，()231PA=，设C=“甲在比赛中恰好赢一轮”则()()()1212PCPAAPAA=+()()()()12124112625353155PAP

APAPA=+=+==.【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则12AA=“甲赢得比赛”，12BB=“乙赢得比赛”,所以()()()12124285315PAAPAPA===，()()()12123395420PBBPBPB===,设D=“甲赢得比赛”，E=“乙赢

得比赛”.于是DE=“两人中至少有一人赢得比赛”，由()()12815PDPAA==，()()12920PEPBB==,所以()()87111515PDPD=−=−=，()()911112020PEPE=−=−=，所以()()1PDEPDE=−()()7

11223111520300PDPE=−=−=.17.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或

圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中()()2,0,1,0AB−且2PAPB=.（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程;（3）若点(),Pxy在（1）的轨迹上运动，求4

6ytx+=−的取值范围.【答案】（1）2240xxy−+=；（2）221xy+=；（3）4747,33−−−+.【解析】【分析】（1）设出(),Pxy，由题意列出方程，化简得到点P的轨迹方程；（2）利用相关点法求解点M的轨迹方程；（

3）46ytx+=−表示的几何意义为圆心为()2,0，半径为2的圆上的点与()6,4−连线的斜率，画出图形，数形结合求出最值，从而求出取值范围.【小问1详解】设(),Pxy，则()()2222221xyxy++=−+，化简得：2240xxy−+=

，故点P的轨迹方程为2240xxy−+=；【小问2详解】设(),Mab，因为点M为AP的中点，所以点P的坐标为()22,2ab+，将()22,2Pab+代入2240xxy−+=中，得到221ab+=，所以点M的轨迹方程为221xy+=；【小问3详解】因

为点(),Pxy在（1）的轨迹上运动，所以2240xxy−+=，变形为()2224xy−+=，即点(),Pxy为圆心为()2,0，半径为2的圆上的点，则46ytx+=−表示的几何意义为圆上一点与()6,4−连线的斜率，如图：当过()6,4−的直线与圆相切时，取得最值，设()46ykx+=−

，则由点到直线距离公式可得：24421kk+=+，解得：473k−+=或473k−−=·，故46ytx+=−的取值范围是4747,33−−−+.18.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面,,//ABCDABADAD⊥BC，3,2PABCAB

AD====，13.PBE=为PD中点，点F在PC上，且3PCFC=.（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求二面角FAED−−的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得//DQ平面FAE？说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）32222（3）不存在，理由见解析【

解析】【分析】（1）由题意和勾股定理可得ABPA⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得ADPA⊥，进而建立如图空间直角坐标系Axyz−，利用空间向量法即可求出该面面角；（3）假设存在这样的点Q，则存在0,1

使得AQAC=.利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于的方程，解得20,1=，即可下结论.【小问1详解】在PAB中，22222232(13).PAABPB+=+==所以90PAB=，即ABPA⊥.又因为ABAD⊥，在平面PAD中，PAADA=，

所以AB⊥平面PAD.【小问2详解】因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,,ABCDABABADAD=⊥平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，由PA平面PAB，得ADPA⊥由（2）知ABPA⊥，且已知ABAD⊥，故以A为原点，建立如图空

间直角坐标系Axyz−，则()2,0,0D，()()0,0,3,3,2,0PC.所以()()()()0,0,3,2,0,0,3,2,0,3,2,3APADACCP====−−因为E为PD中点，所以()131,0,22AEAPAD=+=.由

3PCFC=知，()1243,2,01,,12,,1333AFACCFACCP=+=+=+−−=.设平面AEF的法向量为(),,nxyz=r，则0,0,nAEnAF==即3024203xzxyz+=++=令2z=

，则3,3xy=−=.于是()3,3,2n=−.由（1）知AB⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量为()0,2,0AB=.所以32322cos,222994nABnABnAB===++，.由题知，二面角FAED−−为

锐角，所以其余弦值为32222；【小问3详解】设Q是线段AC上一点，则存在0,1使得AQAC=.因为()()3,2,0,2,0,0ACDA==−，所以()32,2,0DQDAAQDAAC=+=+=−

.因为DQ平面AEF，所以DQ//平面AEF，当且仅当0DQn=，即()()32,2,03,3,20−−=.即()()32323020−−++=.解得2=.因为20,1=，所以线段AC上不存在Q使得DQ//平面AEF.19.已

知四个点()()1234331,1,0,3,1,,1,22PPPP−中恰有三个点在椭圆C：()222210+=xyabab上.（1）判断哪个点不在椭圆C上，并求出椭圆C的方程；（

2）设椭圆C的左右顶点分别是A、B，点P是直线4x=上一点，直线PA、PB与椭圆C的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN过定点.【答案】（1）1P不在椭圆上，22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可得34,PP必在椭圆C上，()11,1P不在椭圆上，代入即得解；（2）方法一

，设直线MN：xmyn=+，M(11xy，)，N(22xy，)，P(04y，)，利用P、M、A和P、B、N三点共线得()()2112232yxyx+=−，联立22143xyxmyn+==+消元结合韦达定理的得12263

4mnyym−+=+，212231234nyym−=+代入上式求解即可；方法二，讨论直线PA，PB斜率与零的关系，然后分别设直线PA，PB方程，分别与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，进而求出直线MN的方程式，求出定点即可，【小问1详解】因为34PP

和关于y轴对称，必定均在椭圆上，代入得：221914ab+=.若点()11,1P在椭圆上，则22111ab+=，与上式矛盾.所以1P不在椭圆上.由22221914031abab+=+=，解得2243ab==，故椭圆的方程为22143xy+=.【小问2详解】方法一：设直线M

N：xmyn=+，M(11xy，)，N(22xy，)，P(04y，).由题意得：()()011422yyx=−−−−①，022422yyx=−−②，由①②得：()()2112232yxyx+=−，又1122xmynxm

yn=+=+，，代入上式得：()()122121232myynymyyny++=+−③把22143xyxmyn+==+联立消元得：()223412myny++=，即()222346312mymnyn+++

−=0，所以122634mnyym−+=+，212231234nyym−=+，由③得：()()1221212332myynymyyny++=+−，即()()()121212241nyymyyny++=+−，将122634mnyym−+=+，212231234nyym−=+

，代入上式得：()()21212241034mnnnym+−+−=+，即()()1212214034mnnym+−+=+，则1n=，故直线MN恒过定点()1,0，方法二：当直线PA，PB斜率不为0时，设直线PA：2xmy=−，直线PB：2xny=+令4x=得：62Pymn

==，即3mn=.将PA：2xmy=−代入22143xy+=得：()22324120myy−+−=，即()2234120mymy+−=，则21234Mmym=+，所以22221268223434MMmmxmymm−=−=−=++，即22268123

434mmMmm−++，，又3mn=，则有22254836274274nnMnn−++，将PB：2xny=+代入22143xy+=得：()22324120nyy++−=，即()2

234120nyny++=，则21234Nnyn−=+，所以22221268223434NNnnxnynn−−+=+=+=++，即22268123434nnNnn−+−++，于是，34108488116MNMNMNyynnkxxn−+==−−，.而直线MN：()

NMNNyykxx−=−，令0y=得:4222232221281166894681341084834343n4NNMNynnnnnxxknnnn−−−+−−+=+=+=+=+++++.又当直线PA，PB斜率为0时，MN也过点()1,0.故直线

MN过定点()1,0.