【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.222 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2024年上学期高一期未考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z的模为10，虚部为8−，则复数z的实部为（）A.6−B.

6C.6D.36【答案】C【解析】【分析】设8i,Rzxx=−，根据模长的计算公式，即可求得答案.【详解】设复数8i,Rzxx=−，则()228106x,x+−==，故选：C2.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现奇数点”，B

=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【答案】C【解析】【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】解：掷两枚质地均匀骰子，设A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”，事

件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；()3162PA==，()3162PB==，()331664PAB==，()()111224PAPB==，因为()()()PAPBPAB=，所以A与B独立，故选项C正确；事件A与B不相

等，故选项D错误.故选：C.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OABC，且OABC∥，22OABC==，1AB=，则该平面图形的高为（）的A.2B.1C.22D.2【答案】C【解析】【分析】过点C作//CDAB

，在直角OCD中，求得2OC=，结合斜二测画法的规则，即可求得原平面图形的高，得到答案.【详解】如图所示，过点C作//CDAB，因为四边形OABC为直角梯形，且22OABC==，1AB=，可

得1CDAB==，在直角OCD中，可得2sin45CDOC==，根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为222OCOC==.故选：C.4.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百

分位数与中位数之和是（）A.29B.30C.31D.32【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用百分位数和众数的定义和计算方法，求得第70百分位数与中位数，即可求解.【详解】由一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，1

8，18，20，共有12个，可得1270%8.4=，所以第9个数据为第70百分位数，即为17，又由中位数的定义和计算方法，可得中位数为1315142+=，所以这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是171431+=.故选:C.5.已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点

N在线段OM上，点P在线段AN上，且1324MNONAPAN==，，以,,OAOBOC为基底，则OP可以表示为（）A.111244OPOAOBOC=++B.111233OPOAOBOC=++C.111433OPOAOBOC=++D.111444OPOAOBOC=++【答案】D【解

析】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，34OPOAAPOAAN=+=+()313444OAONOAOAON=+−=+1321144342OAOMOAOM=+=+()111111422444OAOBOCOAOBOC=++=++.故选：D6.已知非零向量a，b满足2aba

b+=−，且b在a上的投影向量为23a，则ab=（）A.12B.32C.2D.3【答案】B【解析】【分析】设a，b的夹角为，由题意可得1cos2ab=，2cos3ba=，解方程即可得出答案.【详

解】设a，b的夹角为，由2abab+=−可得：22222cos44cosabababab++=+−，1cos2ab=，所以cos2ba=，b在a上的投影向量为23a，则2cos3abaa=，所以2cos3ba=，即

223bbaa=，则32ab=.故选：B.7.如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，若点E，F分别满足23AEAB=，23AFAC=，三棱柱高为3，ABC面积为33，则几何体11BCBCFE−的体积为（）A.833B.33C.1033D.1133【答案】A【解析】【分析】由题

意确定几何体111AEFABC−为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台111AEFABC−的体积和棱柱111ABCABC-的体积之间的关系，即可求得答案.【详解】因为在三棱柱111ABCABC-中，23AEAB=，23AFAC=，故24//,,39AE

FABCEFBCEFBCSS==，则11111123EFAFAEBCACAB===，故几何体111AEFABC−为三棱台；设三棱台111AEFABC−的体积为1V，几何体11BCBCFE−的体积为2V，设h为三棱柱高，则

()111111113AEFAFFACBACBVSSSSh=++，的11114219193932727ABCABCABCABCABCABCSSShShV−=++==，故11111121888333327273ABCABCAB

CABCVVVV−−=−===，故选：A8.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的

人的概率为q，则(),pq=（）A.11,66B.11,26C.11,24D.11,23【答案】D【解析】【分析】设三人能力分别为强、中、弱，然后列举出三人参加面试

的所有次序，再分别找出该公司录用到能力最强的人和录用到能力中等的人的情况，利用古典概型的概率公式可求出,pq.【详解】设三人能力分别为强、中、弱，则三人参加面试的次序为：（强、中、弱），（强、弱、中），（中、强、弱），（中、弱、

强），（弱、中、强），（弱、强、中），总数6n=，按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定，该公司录用到能力最强的人包含的结果有：（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、强、中），共3种情况，所以该

公司录用到能力最强的人的概率3162p==，该公司录用到能力中等的人包含的结果有：（强、弱、中），（弱、中、强），共2种情况，所以该公司录用到能力中等的人的概率2163q==.故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10%B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.将一组数据中的每个数据都乘以

3后，方差也变为原来的3倍D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】AD【解析】【分析】根据简单随机抽样的特点可判断A；根

据平均数以及方差的计算公式可判断BD；根据一组数据中的每个数据都乘以一个数后的性质可判断C.【详解】对于A，简单随机抽样是等可能抽样，即每个个体被抽到的可能性均为410%40=，A正确；对于B，数据1，2，m，6，7的平均数为4，

即4512674m=−−−−=，故这组数据的方差为()()22222212614(24)(44)(64)7455s=−+−+−+−+−=，B错误；对于C，将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的9倍，C错误；对于D，样本

中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为85559+=，方差为()2825516299+−=，D正确，故选：AD10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为BC，1CC的中点，则下列结论

正确的是（）A.直线1AB与EF所成的角的大小为60B.直线1//AD平面DEFC.平面DEF⊥平面11BCCBD.直线CD与平面DEF所成角的正弦值为13【答案】ABD【解析】【分析】利用平移法可求出直线1AB与EF所成的角，判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；采用反证法可判断

C；根据线面角的定义求出直线CD与平面DEF所成角的正弦值，判断D.【详解】对于A，连接11BC,CA，则1111BCABAC==，即11ABCV为正三角形，又E，F分别为BC，1CC的中点，故1EFBC∥，故直线1A

B与EF所成的角即为11,ABBC所成角或其补角，而1160ABC=，故直线1AB与EF所成的角的大小为60，A正确；对于B，由于1111,ABDCABDC∥=，故四边形11ABCD为平行四边形，故11ADBC∥，

而1EFBC∥，故1EFAD∥,又1AD平面DEF，EF平面DEF，故1AD∥平面DEF，B正确；对于C，取EF中点为M，连接DM，显然DEDF=，故DMEF⊥，假设平面DEF⊥平面11BCCB，而平面DEF平面11BC

CBEF=，DM平面DEF，则DM⊥平面11BCCB，又DC⊥平面11BCCB，则DMDC∥，这与二者交于D点矛盾，C错误；对于D，不妨设正方体棱长为2，点C到平面DEF的距离为d，则21111123323DCEFCFFVSCD−===，而

1325,2,522DEDFEFDM====−=，则1132123223CDEFDCEFVdV−−===，解得23d=，设直线CD与平面DEF所成角为090,，则213sin23dDC===，D正确，故选：ABD11.点O在ABC所在的平面内，则以下说

法正确的有（）A.若OAOBOBOCOCOA==，则点O为ABC的外心（外接圆圆心）B.若()sinsinABACAOABBACC=+R，则动点O的轨迹一定通过ABC的重心C.若230OAOBOC++=，AOCS，ABCS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOC

ABCSS=△△D.若0ABCABACBBCCAOAOBOCABCABACBBCCA+=+=+=，则点O是ABC的内心【答案】BCD【解析】【分析】A选项，计算出0OBCA=，OB⊥CA，同理可得OC⊥AB，OA⊥B

C，则点O为ABC的垂心；B选项，作出辅助线，得到2AOAFAE=，故点O在中线AF上，故向量一定经过ABC的重心；C选项，作出辅助线，得到2OHOF−=，从而得到所以1136OHHFAB==，故:1:6AOCABCSS=△△；D选项，作出辅助线，得到ABCAM

NABCA+=，故OA⊥MN，并得到O在A的平分线上，同理可得，O在,BC的平分线上.【详解】A选项，0OAOBOBOC−=，即()0OBOAOCOBCA−==，故OB⊥CA，同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，则点O为ABC的垂心，A错误；B选项，过

点A作AE⊥BC于点E，取BC的中点F，连接AF，则sinABBAE=，sinACCAE=，则()2sinsinABACABACAOABACAFABBACCAEAEAEAE=+=+=+=，故点O在中线AF上

，故向量一定经过ABC的重心，B正确；C选项，如图，,FH分别为,BCAC的中点，()23020OAOBOCOAOCOBOC++=+++=，则420OHOF+=，故2OHOF−=，所以1136OHHFAB==，故:1:6AOCAB

CSS=△△，C正确；D选项，,ABCAABCA分别表示,ABCA方向上的单位向量,ANMA，故ABCAANMAMNABCA+=+=，0ABCAOAOAMNABCA+==，故OA⊥MN，由三线合一可得

，O在A的平分线上，同理可得，O在,BC的平分线上，则点O是ABC的内心，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：点O为ABC所在平面内的点，且0OAOBOC++=，则点O为ABC的重心，点O为ABC所在平面内的点，且OAOBOBOCOAOC==，则点O为ABC的垂心，点

O为ABC所在平面内的点，且OAOBOC==，则点O为ABC的外心，点O为ABC所在平面内的点，且0aOAbOBcOC++=，则点O为ABC的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数i34iz=+，则zz+=__________.【答案】825##0.32【解析】

【分析】根据复数的运算法则，求得43i2525z=+，得到43i2525z=−，即可求解.【详解】由复数()()()i34ii43i34i34i34i2525z−===+++−，则43i2525z=−，所以825zz+=.故答案为：825.13.如图，一架无人机距离地面的高度2

00PQ=m，在Q处观测到岳麓山山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若60BAC=，则岳麓山的高度BC为__________m.【答案】300【解析】【分析】先求出2002mAQ=，继而

利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC，即可求得答案.【详解】由题意知45QAP=，200PQ=m，则2002mAQ=，在ACQ中，451560,180456075AQCQAC=+==−−=，故45QCA=，则()3200222003msin45sin6022A

QACAC===，又直角三角形ABC中，60BAC=，故3sin602003300(m)2BCAC===，故答案为：30014.已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，26BC=，PB＝PC＝3，PA⊥

平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________.【答案】43π【解析】【分析】利用空间点、线、面位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径.【详解】在等腰PBC中，易知6cos3PBC=，所以3sin3P

BC=，PBC的外接圆的半径为13332sin2rPBC==，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为22127434242RrPA=+=+=.所以其表面积为22434π4π43π2R==.故答案为：43π四、解答题（本题共5小题，共

77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2bCca+=．（1）求角B；（2）若D为AC的中点，且52BD=，b＝3，求ABC的面积．【答案】（1）3（2）23【解析】【分析】（1）由余弦定理得出角

B；（2）由向量的运算得出2225acac++=，由余弦定理得出229acac+−=，进而得出8ac=，最后得出的面积.【小问1详解】因为2cos2bCca+=，所以222222abcbacab+−=−.即222acba

c+−=，即2221cos22acbBac+−==又(0,)B，所以3B=.【小问2详解】由52BD=，得52BD=，则由平行四边形法则可得，5BABC+=则22225BABCBABC++=，即2225acac++=①又2222

cosbacacB=+−，即229acac+−=②由①②可得8ac=.则13sin42322ABCSacB===△.16.对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100

，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4

0人.若分数在区间)70,90的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和2775，第三组)70,80的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组)80,90的学生实际成绩的平均数与方差.【答案】（1）众数为65；平均数为67（2）平均数为87；方差为2【解析】【分析】（1）根据频率

分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解；（2）根据题意，得到分数在区间)70,90的学生为10人，分别为i，得到227778,5us==，设第三组分别为ix，得到272,1xxs==，设第四

组分别为iy，其平均数和方差为2,yys，求得87y=，结合222221{[()][()]}xysmsxunsyumn=+−++−+，即可求解.【小问1详解】解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这

800名学生成绩的众数为6070652+=，这800名学生成绩的的平均数为：(550.030650.040750.015850.010950.005)1067x=++++=（分）.【小问2详解】解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，各段抽取的人生分别为

：12人，16人，6人，4人和2人，其中分数在区间)70,90的学生为10人，分别为(1,2,,10)ii=，其中平均成绩与方差分别为2,us，则227778,5us==，设第三组学生实际成绩分别为(1,2,,6)ixi=，其平均数和方差为2,xxs，则272,1xxs==，设第四

组学生实际成绩分别为(1,2,3,4)iyi=，其平均数和方差为2,yys，由67247810y+=，可得87y=，由222221{[()][()]}xysmsxunsyumn=+−++−+，可得22

22771{6[1(7278)]4[(8778)]}564ys=+−++−+，解得22ys=，所以第四组)80,90的学生实际成绩的平均数为87与方差为2.17.如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F

在底面圆O上，圆O的半径为1，3AF=，点G是线段BF的中点.（1）证明：//EG平面DAF；（2）若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥CADF−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分

析】（1）根据平行四边形的判定方法与性质可得//EGDP，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，根据线面垂直的性质与判定定理可得FH⊥平面ABCD，确定45DFA=，利用等面积法求出32FH

=，结合三棱锥的体积公式计算即可求解.【小问1详解】如图，取AF的中点P，连接,PGDP，则//PGAB且12PGAB=，又//DEAB且12DEAB=，所以//PGDE且PGDE=，所以四边形DEGP为平行四边形，则//EGDP，又EG平面ADF，D

P平面ADF，所以//EG平面ADF.【小问2详解】如图，连接,ACCF，过F作FHAB⊥于点H，因为DA⊥底面圆O，FH底面圆O，所以FHAD⊥，又,ABADAABAD=、平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD.则13CADFFA

DCADCVVSFH−−==.因为直线DF与圆柱底面所成角为45，DA⊥底面圆O，AF底面圆O，所以AFAD⊥，则DFA即为直线DF与圆柱底面所成角，即45DFA=，由3AF=，得3AFAD==，所以132ADCSADDC==，在ABF△中，3,2,A

FABAFBF==⊥，所以1BF=，由11,22ABFABFSAFBFSABFH==，得1122AFBFABFH=，解得32FH=.所以113133322CADFFADCADCVVSFH−−====.18.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA

）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人

工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922

41715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏915

31589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ

）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．【答案】（Ⅰ）最大的地区为甘肃省，最小的地区为青海省（Ⅱ）()310PA=（Ⅲ）()56PB=【解析】【分析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可

（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可【详解】（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造

林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则()310PA=（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷

有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,aaaa，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,aa从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()12,aa，()13,aa，()14,

aa，()23,aa，()24,aa，()34,aa其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()12,aa，()13,aa，()14,aa，()23,aa，()24,aa则()56PB=．【点睛】本题主要考查概率计算，结合古

典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键．19.空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角

均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3−=.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，1CC的中点，且ABAC=.（1）证明：CN⊥平面11ABBA；（2）若12AAAB=，求二面角11BAMC−−的余弦值；（3）表面经过连续变形可以变

为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：2DLM−+=.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【答案】（1）证明见解析（2）22（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由直棱柱的

性质可得11,AAACAAAB⊥⊥，1AACN⊥，再由点A的曲率可求出π3BAC=，则ABC为等边三角形，所以CNAB⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）取11AC的中点F，连接1,BFMF，则1BF⊥平面11AACC，所以11,B

FAMBFMF⊥⊥，1AMBM⊥，则AM⊥平面1BFM，所以可得1FMB为二面角11BAMC−−的平面角，在1RtFMB中可求得结果；（3）设多面体有M个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,,M号，设第i号（

1iM）多边形有iL条边，表示出多面体的所有的棱和顶点，及所有多边形的内角之和为，从而可表示出总曲率，化简可得结果.【小问1详解】证明：因为在直三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，,ACAB平面ABC，所以11,AAACAAAB⊥⊥，所以点A的曲率为π2π2π223BAC−

−=，得π3BAC=，因为ABAC=，所以ABC为等边三角形，因为N为AB的中点，所以CNAB⊥，因为1AA⊥平面ABC，CN平面ABC，所以1AACN⊥，因为1AAABA=，1,AAAB平面11ABBA，所以CN⊥平面11ABBA；【小问2详解】解：取11AC的中点F，连接1

,BFMF，因为111ABC△为等边三角形，所以111BFAC⊥，因为三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，所以平面11AACC⊥平面111ABC，因为平面11AACC平面11111ABCAC=，1BF平面111ABC，

所以1BF⊥平面11AACC，因为,AMMF平面11AACC，所以11,BFAMBFMF⊥⊥，设2AB=，则1112,3,6AAAMBMAB====，所以22211AMBMAB+=，所以1AMBM⊥，因为111BFBMB=，11,BFBM平面1BFM，所以AM⊥平面1BFM，因为

MF平面1BFM，所以AMMF⊥，所以1FMB为二面角11BAMC−−的平面角，因为221261,322MFBM=+==，所以在1RtFMB中，112cos2FMFMBMB==，所以二面角11BAMC−−的

余弦值为22；【小问3详解】证明：设多面体有M个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,,M号，设第i号（1iM）多边形有iL条边，则多面体共有122MLLLL+++=条棱，由题意，多面体共有12222MLLLDMLM+++=−

+=−+个顶点，i号多边形的内角之和为π2πiL−，所以所有多边形的内角之和为12π()2πMLLLM+++−，所以多面体的总曲率为122π[π()2π]MDLLLM−+++−12122π2

[π()2π]2MMLLLMLLLM+++=−+−+++−4π=所以简单多面体总曲率为4π.【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查新概念曲率，解题的关键是对多面体曲率的正确理解，考查推理

能力和计算能力，属于难题.的