【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（原卷版）.docx，共(6)页，468.792 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2024年上学期高一期未考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z的模为10，虚部为8−，则复数z的实部为（）A.6−B.6C.6D.362.掷两枚

质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OABC，且OABC∥

，22OABC==，1AB=，则该平面图形的高为（）A.2B.1C.22D.24.已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（）A29B.30C.31D.325.已知M是四面体OABC的棱BC的中

点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且1324MNONAPAN==，，以,,OAOBOC为基底，则OP可以表示为（）.A.111244OPOAOBOC=++B.111233OPOAOBOC=++C111433

OPOAOBOC=++D.111444OPOAOBOC=++6.已知非零向量a，b满足2abab+=−，且b在a上的投影向量为23a，则ab=（）A.12B.32C.2D.37.如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，若点E，F分别满足23AEAB=，23AFAC=，三棱柱高为3，ABC面积为

33，则几何体11BCBCFE−的体积为（）A.833B.33C.1033D.11338.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用

到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则(),pq=（）A.11,66B.11,26C.11,24D.11,23二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10%B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5.C.

将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为BC，1CC的中点，则下列结论正确的是（）A.直线1AB

与EF所成的角的大小为60B直线1//AD平面DEFC.平面DEF⊥平面11BCCBD.直线CD与平面DEF所成角的正弦值为1311.点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若OAOBOBOCOCOA==，则点O为ABC的外心（外接圆圆心）B.若()sin

sinABACAOABBACC=+R，则动点O的轨迹一定通过ABC的重心C.若230OAOBOC++=，AOCS，ABCS分别表示AOC，ABC面积，则:1:6AOCABCSS=△△D.若0ABCABACBBCCA

OAOBOCABCABACBBCCA+=+=+=，则点O是ABC的内心三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数i34iz=+，则zz+=__

________.13.如图，一架无人机距离地面的高度200PQ=m，在Q处观测到岳麓山山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若60BAC=，则岳麓山的高度BC为__________m..的14.已知在三棱锥P

－ABC中，PA＝4，26BC=，PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2bCca+=．

（1）求角B；（2）若D为AC的中点，且52BD=，b＝3，求ABC的面积．16.对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间)70,90

的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和2775，第三组)70,80的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组)80,90的学生实际成绩的平均数与方差.17.如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面

，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，3AF=，点G是线段BF的中点.（1）证明：//EG平面DAF；（2）若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥CADF−体积.18.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示

中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面

积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆22633310060062

40063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海1784141

60511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；的（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总

面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．19.空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之

和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3−=.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，1CC的中点，且ABAC=.（

1）证明：CN⊥平面11ABBA；（2）若12AAAB=，求二面角11BAMC−−的余弦值；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为

M，则有：2DLM−+=.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.