【文档说明】八年级数学第6讲 平方根与立方根-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）.doc，共(12)页，404.500 KB，由管理员店铺上传

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1第6讲平方根与立方根【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．3.了解立方根的含义；4.会表示、计算一个数

的立方根，会用计算器求立方根.【基础知识】考点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2xa=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根（又叫算术

平方根），读作“根号a”；a−表示a的负平方根，读作“负根号a”.考点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.考点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数

都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．考点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.考点三、平方根的性质220||000aaaaaaa===−()()20aaa=考点四、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根

或三次方根.这就是说，如果3xa=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.考点诠释：一个数a的立方根，用3a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.考点五、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负

数，0的立方根是0.考点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.考点六、立方根的性质33aa−=−33aa=()33aa=考点诠释：第一个公式可以

将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.【考点剖析】考点一：平方根和算术平方根的概念例1．下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.()24−的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平

方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．3A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±()24−＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问

题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9−没有平方根．（）（2）164=．（）（3）21()10−的平方根是110．（）（4）25−−是425的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根．考点二：利用平方根解方程

例2．（鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案】解：（1）169x2=144，x2144=169，x=144169，4x=1213.（2）（x﹣2）2﹣36=0

，（x﹣2）2=36，x﹣2=36，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．考点三：平方根的应用例3．要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平

方米．求长和宽各是多少米？【答案】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝132321x=x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.考点四：立方根的

概念例4．下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0【思路】根据立

方根的定义判断即可.【答案】D；【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；5C．负数有立方根，故错误；D．正确.【总结】本题考查了立方根，解

决本题的关键是熟记立方根的定义.举一反三：【变式】下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4B．12−是16−的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D．332727−=−【答案】D.考点五：立方根的计算例5.求下列各式的值：（1）327102−−（2）3235411+

（3）336418−（4）23327(3)1−+−−−（5）10033)1(412)2(−+−−【答案】解：（1）310227−−（2）3321145+（3）331864−3642743==33=116425=729=9+1=2

41=2−−（4）23327(3)1−+−−−=331=1−++（5）310031(2)2(1)4−−+−63=21247=1=33++【总结】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.考点六：利用立方根解方程例6.（北京

校级期中）（x﹣2）3=﹣125．【思路】利用立方根的定义开立方解答即可．【答案】解：（x﹣2）3=﹣125，可得：x﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【总结】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体．举一反三：【变式】求出下列各式中的

a：（1）若3a＝0.343，则a＝______；（2）若3a－3＝213，则a＝______；（3）若3a＋125＝0，则a＝______；（4）若()31a−＝8，则a＝______．【答案】（1）a＝0.7；（2）a＝6；（3）a＝－5

；（4）a＝3．【真题演练】一.选择题1.4的平方根是（）A.±2B.-2C.2D.12【答案】A；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2．下列各数中没有平方根的是（）A．()23−B．0C．81D．36−【答案】D；7【解

析】负数没有平方根.3．下列说法正确的是（）A．169的平方根是13B．1.69的平方根是±1.3C．()213−的平方根是－13D．－（－13）没有平方根【答案】B；【解析】169的平方根是13，()21

3−的平方根是13.4．下列结论正确的是（）A．2764的立方根是34B．1125−没有立方根C．有理数一定有立方根D．()61−的立方根是－1【答案】C；【解析】2764的立方根是34；()61−的立方根是1.一

个非零数与它的立方根符号相同.5．-8的立方根是（）A．2B．-2C．2D．32−【答案】B；【解析】-8的立方根是：382−=−.6.下列说法中正确的有（）个.①负数没有平方根，但负数有立方根．②49的

平方根是28,327的立方根是23③如果()322x=−，那么x＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．A．1B．2C．3D．4【答案】A；【解析】只有①正确.算术平方根等于立方根的数有0和1．7.要使代数式有意义

，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B；【解析】被开方数为非负数.8.下列各等式中，正确的是（）8A．﹣()23−=﹣3B．±23=3C．（3−）2=﹣3D．23=±3【答案】A；【解析】解：A、

﹣()23−=﹣3，故A正确；B、332=，故B错误；C、被开方数是非负数，故C错误；D、23=3，故D错误；故选：A．9．计算：（1）121=______；（2）256−=______；（3）212=____

__；（4）43=______；（5）2(3)−=______；（6）124−=______．【答案】11；－16；12；9；3；32−.10．（安徽三模）若264a=，则3a=______．【答案】±2;【解析】∵264a=，∴8a=；382=11．－8的立方根

与81的平方根的和是______．【答案】1或－5；【解析】注意81＝9，9的平方根是±3.12.11125的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______．【答案】65；0.01；0.13．2(4)−的算术平方根是______：81的算术平方根的相

反数是______．【答案】2；－3；【解析】2(4)−＝4，81＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.914.若321a−和313b−互为相反数，求ab的值.【解析】解：∵321a−和313b−互为相反数∴321a−＋313b−＝

0，∴321a−＝－313b−，∴321a−＝3(13)b−−，∴2a－1＝3b－1,2a＝3b，∴ab＝32.15．已知5x＋19的立方根是4，求2x＋7的平方根．【解析】解：∵5x＋19的立方根是4∴34=

5x＋19，即64＝5x＋19，解得x＝9∴2x＋7＝25∴2x＋7的平方根＝255=.16．求下列各式中的x．（1）21431x−=；（2）2410x−=；（3）24(2)25x+=．【解析】解：（1）2144x=（2）21=4x（3）52=2x+12x=12x=129

1==22xx－，17．（福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．【解析】解：原绿化带的面积：102=100（m2），后绿化带的面积：4×10

0=400（m2），则扩大后绿化带的边长是=20（m），答：扩大后绿化带的边长为20m．10【过关检测】1．【株洲】9的算术平方根是()A．3B．9C．±3D．±9【答案】A2．下列说法正确的是()A．因为6

2＝36，所以6是36的算术平方根B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根D．以上说法都不对【答案】A3．【黔西南州】如下为洪涛同学的小测卷，他的得分应是________分．姓名__洪涛______得分__

__填空(每小题25分，共100分)①2的相反数是__-2__；②倒数等于它本身的数是__1和-1_____；③－1的绝对值是__1__；④8的立方根是_2___．【答案】1004．下列说法正确的是()A．0.8的立方根是0.2B．负数没有立方根C．－1的立方根是－

1D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0【答案】C5．如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是()A．1B．0或111C．0或±1D．任意非负数【答案】B6．下列说法正确的有()①－2是－4的一个平方根；②a²的平方根是a；③2是4的一个平方根；④4的平方根是－2.A．

1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】－4没有平方根，①错误；a²的平方根是±a，②错误；2是4的一个平方根，③正确；4的平方根是±2，④错误．故选A.7．下列关于“0”的说法中，正确的是()A．0是最小的正整数B．0没有相反数C．0没有倒数D．0没有平方根【答案】C8．

求下列各数的立方根：(1)0.001；(2)－2764；【答案】解：因为0.13＝0.001，所以0.001的立方根是0.1.解：因为－343＝－2764，所以－2764的立方根是－34.9．已知4x－37的立方根为3，求2x＋4的平方根．【答案】解：由题意知34x－37＝3，所以4x－

37＝33＝27，解得x＝16.所以2x＋4＝2×16＋4＝36.12因为(±6)2＝36，所以36的平方根是±6.所以2x＋4的平方根是±6.10．(1)已知31－a2＝1－a2，求a的值；【答案】解：立方根等于它本身的数有0，1，－1.当1－a2＝0时，a2＝1，则

a＝±1；当1－a2＝1时，a2＝0，则a＝0；当1－a2＝－1时，a2＝2，则a＝±2.所以a的值为0或±1或±2.(2)若31－2x与33x－5互为相反数，求1－x的值．【答案】解：由题意得1－2x＋3x－5＝0，所以x＝4.所以1－x＝1－2＝－1.11．已知一个正数的两个平方根分别是2m

＋1和5－3m，求m的值和这个正数．【答案】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(2m＋1)＋(5－3m)＝0，解得m＝6.此时2m＋1＝2×6＋1＝13，5－3m＝5－3×6＝－13.因为(±13)2＝169

，所以这个正数是169.12．已知2m＋3和4m＋9是一个正数的平方根，求m的值和这个正数的平方根．【答案】解：分两种情况进行讨论：(1)当2m＋3≠4m＋9时，得(2m＋3)＋(4m＋9)＝0，解得m＝－2.所以2m＋3＝2×(－2)＋3＝－1，4m＋9＝4×(－2)＋9＝1.所以这

个正数的平方根是±1.(2)当2m＋3＝4m＋9时，得m＝－3，此时这个正数为(2m＋3)2＝9.所以这个正数的平方根为±3.13．已知2m＋2的平方根是±4，3m＋n＋1的平方根是±5，求m＋2n的值．【答案】解：由题意，得2m＋2＝(±4)²＝16，3m＋n

＋1＝(±5)²＝25，解得m＝7，n＝3.所以m＋2n＝7＋2×3＝13.