【文档说明】浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.577 MB，由小赞的店铺上传

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2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试

卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1Axx=，22530Bxxx=−−，则AB=（）A.1xxB.12xx

−C.312xxD.{}13xx?【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再求出AB.【详解】由21253032Bxxxxx=−−=−，则111322ABxxxxxx=−

=−，故选：B.2已知复数z满足5382izz+=−，则z=（）A.1B.2C.2D.22【答案】C【解析】【分析】设()i,zabab=+RR，由5382izz+=−，根据复数相等求出

z，再利用复数模的计算公式求出z.【详解】设()i,zabab=+RR，则()i,zabab=−RR，.由5382izz+=−，则()()5i3i82iabab++−=−，化简得i2i882ab+=−，则8822ab==−，解得11ab==−，则

1iz=−，所以()22112z=+−=.故选：C.3.已知等比数列na的前2项和为12，136aa−=，则公比q的值为（）A.12B.2C.13D.3【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解.【详解】由题意知，

设等比数列公比为()0qq，则1213126aaaa+=−=，即11211126aaqaaq+=−=，解得12q=，18a=.所以12q=.故选：A4.已知平面向量,mn满足：2mn==，

且m在n上的投影向量为12n，则向量m与向量nm−的夹角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义可得2mn=，再由向量的夹角公式，代入计算，即可求解.【详解】因为m在n上的投影向量为12mnnnnn=，

即12mn=，所以2mn=，又()22222mnmmnm−=−=−=−，的()222242242nmnmnmnm−=−=−+=−+=，所以()21cos,222mnmmnmmnm−−−===−−，且0,180mnm−，则,120mnm

−=.故选：C5.已知函数()()πsin0,2fxx=+满足π13f=,最小正周期为π，函数()sin2gxx=，则将()fx的图象向左平移（）个单位长度后可以得到()g

x的图象A.π12B.π6C.5π6D.11π12【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得函数π()sin(2)6fxx=−，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由函数()()sinfxx=+的最小正周期为π，可得2π2T==，因为π()1

3f=，可得π2π()sin()133f=+=，可得2ππ2π,32kk+=+Z，即π2π,6kk=−+Z，又π2，当0k=时，可得π6=−，所以ππ()sin(2)sin[2()]612fxxx=−=−，将π()sin[2()]12fxx=−向左平移π

12个单位，可得函数()sin2gxx=.故选：A.6.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A.7π4B.2πC.9π4D.5π2【答案】C【解析】【分析】根据题意，设内接圆柱的底面

半径为r，高为h，可得()31hr=−，再由圆柱的表面积公式，代入计算，即可求解.【详解】设内接圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆锥的底面半径为1，高为3，由相似三角形可得131hr−=，则()31hr=−，则

圆柱的表面积为()222π2π2π2π31Srrhrrr=+=+−2222π6π6π4π6πrrrrr=+−=−+，即2234π6π4π2Srrrr=−+=−−2394ππ44r=−−+

所以当34r=时，内接圆柱的表面积取得最大值为9π4.故选：C7.已知,AB是椭圆22143xy+=与双曲线22143xy−=的公共顶点，M是双曲线上一点，直线,MAMB分别交椭圆于,CD两点，若直线CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为（）A.32

B.3C.23D.332【答案】B【解析】【分析】根据几何关系可知直线,MAMC相等，直线,MBMD斜率相等，由此可得出直线,CBDB的几何关系，由此可得出C的横坐标，代入椭圆方程即可求解．【详解】由,AB是椭圆22143xy+=与双曲线

22143xy−=的公共顶点，得()()2,0,2,0AB−，不妨设直线CD过椭圆的右焦点𝐹(1,0)，设点()00,Mxy，则直线,MAMB的斜率分别为002MAykx=+，002MBykx=−，又因为2200143xy−=，可得00003224MAMByykkxx==+−，设点()11

,Cxy，则直线,CACB的斜率分别为1111,22CACByykkxx==+−，又因为2211143xy+=，所以11113224CACByykkxx==−+−，因为MACAkk=，所以MBBDCBkkk==−

，所以直线,CBDB关于x轴对称，所以直线CDx⊥轴，又因为直线CD过椭圆右焦点F，所以()11,Cy，代入椭圆方程得132y=，所以3CD=.故选：B8.正三棱台111ABCABC−中，111223,2ABABAA===，点D为棱AB中点，直线l为平面111ABC内的一条动直线．记二面

角ClD−−的平面角为，则cos的最小值为（）A.0B.18C.714D.17【答案】D【解析】【分析】先找到二面角ClD−−的平面角的最大值，即cos最小，再求解出此角的余弦值．【详解】取11AB中点

E，设l交1CE于点F，四边形11ABBA为等腰梯形，,DE分别为11,ABAB的中点，则有111CEAB⊥，11EDAB⊥，1CEEDE=，1,CEED面1EDCC，所以11AB⊥面1EDCC，当11//lAB，有l⊥面1EDCC

，,DFCF面1EDCC，得DFl⊥，CFl⊥，则CFD为二面角ClD−−的平面角，当11,lAB不平行时，二面角小于CFD，由对称性可知当FCFD=时，CFD最大，作FHCD⊥，111223,2ABAB

AA===，点D为棱AB中点，则3CD=，设1,OO分别为ABCV和111ABC△的中心，则223COCD==，111CO=，又12CC=，解得13OO=，则棱台的高为3，则有3FH=，所以()22321322DF=+=，在FDC△中，由余弦定理得2221cos27DFC

FCDDFCF+−==.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是得到当11//lAB且FCFD=时，二面角ClD−−的平面角最大.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有

选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量X服从正态分布()2,N，越小，表示随机变量X分布越集中B.数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C.线性回归分析中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越弱D.已知随机变量1~7,2XB

，则()72EX=【答案】AD【解析】【分析】根据正态曲线的性质判断A；根据百分位数的定义判断B；根据相关系数与相关性的关系判断C；由二项分布均值的公式求()EX，判断D.【详解】对于A，随机变量X服从正态分布()2,N，越小，即方差越小，则随机变量X分布越

集中，因此A正确；对于B，将数据从小到大排序为：1，3，4，5，7，9，11，16，共8个数据，由875%6=，则第75百分位数为911102+=，因此B错误；对于C，线性回归分析中，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1，反之r越接近于0，线性相关性越弱，

因此C错误；对于D，随机变量17,2XB，则()17722EX==，因此D正确；故选：AD.10.设函数()fx与其导函数𝑓′(𝑥)的定义域均为R，且()2fx+为偶函数，()()110fxfx+−−=，则（）A.()()11fxfx+=−B.

()30f=C.()20250f=D.()()()2222fxfxf++−=【答案】BCD【解析】【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断B；结合导函数对称性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D.【详解】对于A，()()

110fxfx+−−=，()()110fxfx++−=，即()fx关于()1,0对称，故A错误；对于B，()2fx+为偶函数，故()()22fxfx+=−+，即()fx关于2x=对称，由()fx关于2x=

对称，知()()310ff==，故B正确；对于C，()fx关于2x=对称和()fx关于()1,0对称可得：()()()24fxfxfx=−−+=−+，故()()()()42fxfxfxfx+=−+=−−=，即()fx的周期为4，所以()()

202510ff==，故C正确；对于D，由()()22fxfx+=−+得：()()22fxfxm+=−−++，即()()22fxfxm++−+=，令0x=得，()22fm=，故()()()2222fxfxf++−=，故D正确.故选：BCD11.已知正项数列na满足()()()*12

1211,N,nnnnnnaaaaaaan++++=−=−记12231nnnTaaaaaa+=+++，124T=．则（）A.na是递减数列B.202462029a=C.存在n使得43nT=D.100110iia=【答案】ABD【解析】

【分析】先将递推式整理成12211nnnaaa++=+，推得等差数列1{}na，设公差d，写出通项，利用裂项相消法求出nT，由124T=求出公差，得到,nnaT；对于A,B,C项，通过,nnaT易于判断；对于D项，则需要先证()()ln10xxx+，将待证式转化成证明10011553i

i=+，利用已证不等式将100115ii=+进行放缩化简即可证得.【详解】由()()121211,nnnnnnaaaaaaa++++=−=−可得12211nnnaaa++=+，故数列1{}na构成等差数列，设公差为d，则()111nnda=+−，即()111nand=+−，

于是()11111nnaandnd+=+−+()111111dndnd=−−++，则12231nnnTaaaaaa+=+++()11111111[(1)()()](1)11211111ddddndnddnd=−+−

++−=−+++−+++因124T=，代入解得16d=，故66,56nnnaTnn==++.对于A，因65nan=+，则na是递减数列，故A正确；对于B，把2024n=代入65nan=+，计算即得202462029a=，故B正确；对于C，由6463nnTn==+可得

*12N7n=，故C错误；对于D，先证明()()ln10xxx+.设()ln(1)fxxx=−+，0x，则1()1011xfxxx=−=++，即()ln(1)fxxx=−+在(0,)+上为增函数，故()(0)0fxf=，即得(

)()ln10xxx+.要证100110iia=，即证：10011()5ii=+53，由()()ln10xxx+可得16ln55nnn+++，则10011()5ii=+278106

106535lnlnlnlnlnln17lne67105633+++==，故必有100110iia=，即D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：D项，构造()ln(1)fxxx=−+并将不

等式化为10011()5ii=+53，进而对左侧放缩证明即可.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.321xx+的展开式中，常数项为___

___．【答案】3【解析】【分析】先求出321xx+展开式中的通项公式，然后令x的指数为0求解.【详解】由321xx+展开式中的通项公式为：()32631331CCkkkkkkTxxx−−+==，令630k−=，则2k=，故321xx

+展开式中的常数项为：2033C3Tx==，故答案为：3.13.已知正实数a满足()aaaa，则a的取值范围是______．【答案】()1,4【解析】【分析】将不等式两端同时取对数，再分1a，1a=，01a讨论即可.【详解】因为()aaaa，所

以()lnlnaaaa所以lnln2aaaa当1a时，不等式化简为2aa，解得：14a，当1a=时，不等式显然不成立，当01a时，不等式化简为2aa，解集为空集.综上所述a的取值范围是()1,4.故答案为：()1,414.将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第

1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次．．不减小且右下角数字

依次．．构成等差数列的概率为______．【答案】5132【解析】【分析】根据题意，通过对公差所有可能2，-2，0，1，-1进行讨论，使用列举法，即可求解.【详解】为方便讨论，将左上角的1，2，3改记为

A,B,C，总共由312A1320=取牌可能，对公差d讨论当2=d时，共10种：135246AABCAACBBCABBCCABC当2d=−时，不可能；当0d=时，共2种：3，3，3和4，4，4；当1d=时，共29

种，分别如下：123AAABCBBC此时有5种；234AAABCBBCCCBBBCCC此时有9种；345AABCBBCCCBBBCCCCCC此时有9种；456ABCCCABBAA此时有6种当1d=−时6，5

，41种543BBBCCCCCC此时为4种；432AAABBB此时有3种；321AAA此时有1种.总计有50种.所以概率5051320132p==.故答案为：5132【点睛】思路点睛：此类题目的关键是抓住讨论点，应用列举法处理.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤15.已知在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足2,abac=，()()sincoscosABCBC++=−；（1）求角C的值；是（2）若ABCV的面积为14，求ABCV的周长.【答案】（1）π4C=（2）12+【解析】【

分析】（1）由()()sincoscosABCBC++=−，利用两角和差的余弦公式化简得sin2sinsinABC=，再根据题中条件利用正弦定理进行化简求出2sin2C=，最后根据角的大小关系，确定角C的值；（2）由2ab=，π4C=，借助余弦定理求出bc=，即ABCV为

等腰直角三角形，再根据ABCV的面积为14，求出,,abc的值，即可得到的ABCV的周长.【小问1详解】由题意得：sincoscossinsincoscossinsinABCBCBCBC+−=+，即：sin2sinsinABC=，2ab=，sin2sinAB=，又sin0B，因此2sin

2C=，因为ac，因此AC，故C为锐角，因此π4C=；【小问2详解】由2ab=，π4C=，则由余弦定理：222222222cos2222cababCbbbb=+−=+−=，得：bc=，因此可得：π4BC==，π2A=

，因此，ABCV为等腰直角三角形，又21124Sb==得：22bc==，2222122a=+=因此，ABCV的周长为12+.16.已知三棱锥PABC−满足,,ABACABPBACPC⊥⊥⊥，且3,5,22APBPBC===．（1）求证：⊥APBC；（2

）求直线BC与平面ABP所成角的正弦值，【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）应用等腰三角形中线是高线，得出线线垂直，应用线面垂直判定定理证明线面垂直进而得出线线垂直；（2）法一结合线面垂直得出线面角在，再结合面积及射影面积计算；法二应用已知条件建系，求面的

法向量再应用线面角的向量求出正弦值.【小问1详解】3,5,,2APBPABPBAB==⊥=,22,,2BCABACAC=⊥=,,5ACPCPC⊥=,即：2,5ABACPBPC====,取BC中点O，连接,AOPO，则,AOBCPOB

C⊥⊥，且AOPOOAOPO=，，平面AOP,BC⊥平面AOP,AP平面AOPBCAP⊥【小问2详解】解法一：由（1）知，⊥BC平面,AOP平面ABC⊥平面AOP作PHAO⊥，垂足为H平面ABC平面AOPAO=，且P

H平面AOPPH⊥平面ABCAOP中()6cos,sinπ13AOPPHPOAOP=−=−=记点C到平面ABP的距离为,dBC与平面ABP所成角为，则sindBC=由CABPPABCVV−−=得：2

12555ABCABPSPHdS===△△因此，10sin10dBC==解法二：如图，以O为坐标原点，,OAOB所在直线分别为,xy轴建立空间直角坐标系由（1）可知()()()2,0,0,0,2,0,0,2,0ABC−AOP中，()22cos,3,2,0,13PAOAPP=

=−()()()2,2,0,22,0,1,0,22,0ABAPBC=−=−=−设ABP的法向量(),,mxyz=由00ABmAPm==得：220220xyxz−+=−+=取()1,1,22m=记BC与

平面ABP所成角为．则2210sincos,102210BCmBCmBCm===.17.已知函数()()224,2ln25fxxxgxxx=++=++．（1）判断函数()gx的零点个数，并说

明理由；（2）求曲线𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑔(𝑥)的所有公切线方程.【答案】（1）1个，理由见解析（2）43yx=+【解析】【分析】（1）由单调性及零点存在性定理求解；（2）分别求出以()fx上的点()()11,xfx为切点的切线方程及以()gx上的点()()22,

xgx为切点的切线方程，列等式求解．【小问1详解】函数()gx的定义域为：()0,+，()220gxx=+，()gx()0,+单调递增又()()332e10,170e−=−=gg，()gx存在唯一零点，在()3e,1−之间．【小问2详解】()22fxx=

+，以()fx上的点()()11,xfx为切点的切线方程为()()()211112422yxxxxx−++=+−．以()gx上的点()()22,xgx为切点的切线方程为：()()222222ln252yxxxxx−++=+−．令()122

111122222222224222ln252xxxxxxxxxx+=+++−+=++−+则121xx=，得21112lnxx=−，即22111lnxx=−．设21xt=，函数()lnhttt=−，则()11htt

=−．当01t时，()()0,htht单调递减，当1t时，()()0,htht单调递增，()11h=，22111lnxx=−的解为11x=，又2110,0,1xxx=．()fx\和()g

x存在唯一一条公切线为43yx=+．18.如图，已知抛物线24yx=的焦点为F，过点()1,2P−作一条不经过F的直线l，若直线l与抛物线交在于异于原点的,AB两点，点B在x轴下方，且A在线段PB上．（1）

试判断：直线,FAFB的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（2）过点B作PF的垂线交直线AF于点C，若FBC的面积为4，求点B的坐标，【答案】（1）为定值，1（2）()3,23

−与()7,27−【解析】【分析】（1）易知直线AF与BF的斜率均存在，设():21lxmy=−−，联立抛物线方程，利用韦达定理和两点表示斜率公式计算可得1FAFBkk=，即可下结论；（2）设()()2,20,1Btttt−，则2:2BCytxt−=−，联立PF方程，求出点M

坐标，同理解出C坐标，则M为BC的中点，进而2FBCFBMSSBMFM==()2213842t=−−=∣，建立关于t的方程，解之即可求解.【小问1详解】若AF的斜率不存在，则点B不存在或与原点重合；若BF的斜率不存在，则点A与原点重合，因此，直线AF与BF的斜

率均存在，设直线()():21,1,0lxmyF=−−，代入抛物线方程得：24840ymym−++=，设()()1122,,,AxyBxy．则124yym+=，1284yym=+，的()()12121222221212121212441611

1444816FAFByyyyyykkxxyyyyyyyy====−−−−−+++，所以直线,FAFB的斜率之积为定值1.【小问2详解】由题意可知，PF的斜率为1−，方程为1yx=−+，设点()()2,20,1Btttt−，所以直

线2:2BCytxt−=−，解方程组212yxytxt=−+−=−，得2212ttx−+=，因此直线BC与PF的交点坐标为222121,22ttttM−+−++，因为221BFtkt=−，由（1）得212AFtkt−=，所以直线()21:12t

AFyxt−=−，解方程组()221122tyxtytxt−=−−=−，得3222511221ttxttt−+−==−−−，得()212,1Ctt−−，所以M为BC的中点，从而2FBCFBM

SSBMFM==，()2222221211221384222FBCttttStt−+−+=−−=−−=∣，所以()22388,t−−=因为0t，解得t3=−或7t=-，因此，所求的点B的坐标为()

3,23B−与()7,27−．【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）．19.对于一

个四元整数集,,,Aabcd=，如果它能划分成两个不相交的二元子集,ab和,cd，满足1abcd−=，则称这个四元整数集为“有趣的”．（1）写出集合1,2,3,4,5,6,7,8的一个“有趣的”四元子集：（2）证明：集合1,2,3,4,5,6,7,8

不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：（3）证明：对任意正整数()2nn，集合1,2,3,,4n不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集．【答案】（1）1,2,3,5（符合要求即可）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据四元整数

集定义写出即可；（2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可；（3）假设1,2,,4n可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集12,,,nSSS，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即

可.【小问1详解】1,2,3,5（符合要求即可）：【小问2详解】假设可以划分，1,abcdab−=和cd一定是一个奇数一个偶数，,,,abcd中至多两个偶数.则对于1,2,3,4,5,6,7,8的一种符合要求的划分1111,,,abcd

和2222,,,,abcd每个四元子集中均有两个偶数．若两个集合分别为112,4,,cd和226,8,,,cd则2247cd=或49，不存在22,cd使得226,8,,cd符合要求：若两个集合分别为112,6,,cd和224,8,,,cd则1111cd=或13，不存在1

1,cd使得112,6,,cd符合要求：若两个集合分别为112,8,,cd和224,6,,,cd则2223cd=或25，不存在22,cd使得224,6,,cd符合要求；综上所述，1,2,3,4,5,6,7,8不能

划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，【小问3详解】假设1,2,,4n可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集12,,,nSSS．每个子集中至多两个偶数，又1,2,,4n中恰有2n个偶数，每个子集中均有两个偶数，对于1in，可设,,,,iiiiiSabcd=其中,ii

ab是偶数，,iicd为奇数，再由奇偶性，只能是1iiiiabcd−=．()()1111,iiiiiiiiabcdcdcd=+++且11221122,,,,,,2,4,4,,,,,,,1,3,,41nnnnabababncdcdcdn==−．()()()()()()

11221122244111111244,nnnnnabababcdcdcdn=++++++=．矛盾．1,2,,4n不能划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集．