【文档说明】江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(16)页，761.577 KB，由管理员店铺上传

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2021～2022学年度第二学期期中调研测试试题高二数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知()2,1,3A，()1,3,1B，()4,,Cyz，若ABAC∥，则2yz−=（）A.20−B.17−C

.11D.4【答案】B【解析】【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】()1,2,2AB=−−，()2,1,3ACyz=−−，因为ABAC∥，所以122213yz−−==−−，解得3y=−，7z=

，故217yz−=−.故选：B2.在41xx−的二项展开式中，第二项的系数为（）A.4B.4−C.6D.6−【答案】B【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式直接计算即可【详解】41xx−的二项展开式的第二项为11411222114414TTCxCxxx−

+==−=−=−，所以第二项的系数为4−，故选：B3.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，点F是侧面11CDDC的中心，若1AFxADyABzAA=++，求xyz++=（）A.1B.32C.2D.52【答案】C【解析】【分析】利

用空间向量加减法运算用1,,ADABAA来表示AF，即得结果.【详解】()()11111112222AFADDFADDDDCADABADABAAAA=+=++=++=++，故1x=，12y=，12z=，则2xyz++=．故选：C.4.若直线l的方向向量为()2,1,m，平面的法向量为11,,22

，且l⊥，则m=（）A.54−B.54C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据l⊥可得直线l的方向向量与平面α的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求m的值.【详解】因为l⊥，所以有()22112,1,1,,214222mmm===

===，故选：C5.由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（）A.20B.36C.60D.72【答案】D【解析】的【分析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2.【详解】先排3，4，5,,共有336A=种排法

，然后在4个位置上选2个排列1,2，有2412A=种排法，则1与2不能相邻的排法总数为61272=种，故选：D.6.已知空间向量()0,1,2AB=−，2AC=，2,3ABAC=，则ABBC=（）

A.55−−B.55−C.55−+D.55+【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得5ABAC=−，结合()ABBCABACAB=−，即可求解.【详解】由题意，空间向量()0,1,2AB=−，2AC=，2π,3

ABAC=，可得2πcos53ABACABAC==−，则()255ABBCABACABABACAB=−=−=−−.故选：A.7.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等

于7”为事件B，则()|PBA=（）A.12B.13C.14D.16【答案】D【解析】【分析】求出事件A和事件AB所含基本事件个数，然后可计算出概率．【详解】由题意()3618nA==，()3nAB=，∴()31(|)()186nABPBAnA===．故选：D．【点

睛】本题考查条件概率，掌握求条件概率的方法是解题基础．8.第24届冬季奥运会举行期间，安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排的去首钢滑雪大跳台的方案种数为（）

A.18B.16C.14D.12【答案】C【解析】【分析】根据分到首钢滑雪大跳台的人数分两类分别计算可得.【详解】首钢滑雪大跳台只安排1人：先从丙、丁两人中选择1人安排到首钢滑雪大跳台有2种，再将剩余3人分成两组有23C种，最后将两组分到高山滑雪馆和国家速滑馆有22A种，所以甲和乙都没被安

排去首钢滑雪大跳台，且只安排1人的方案共有22322CA23212==种；首钢滑雪大跳台安排2人：丙、丁两人只能安排到首钢滑雪大跳台，然后将甲、乙安排到高山滑雪馆和国家速滑馆有22A2=种.综上，满足条件的方案种数为12214+=种.故选：C二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共

20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于,Nmn关于下列排列组合数，结论正确的是（）A.CCmnmnn−=B.11CCCmmmnnn−+=+C.ACAmmmnnm=D.1

1A(1)Ammnnm++=+【答案】ABC【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A，由组合数的性质知，CCmnmnn−=成立，A正确；对于B，1!!!(1)!CC(1)!(1)!!()!!(1)!!(1)!mmnnnnmnnmnmnmmnmm

nmmnm−−++=+=+−−+−−+−+1(1)!C!(1)!mnnmnm++==−+，B正确；对于C，因ACAmnmmnm=，因此ACAmmmnnm=成立，C正确；对于D，因11(1)!()!1()A(!1!)Amnmnnnmnnmmn+++−==++−，

即11A(1)Ammnnm++=+不成立，D不正确.故选：ABC10.给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A.若存在实数x，y，使pxayb=+，则p与a，b共面；B.若p与a，b共面，则存在实数x，y，使pxayb=+；C.若存在实数x，y，使MPxMAyMB

=+则点P，M，A，B共面；D.若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使MPxMAyMB=+．【答案】AC【解析】【分析】由向量共面定理可判断AC；取a，b为零向量可判断B；取M，A，B三点共线，点P与M，A，B不共线可判断D.【

详解】由向量共面定理可知A正确；当a，b为零向量可知B错误；由向量共面定理可知,,MPMAMB共面，又因为共始点，所以点P，M，A，B共面，故C正确；当M，A，B三点共线，点P与M，A，B不共线时可知D错误.故选：AC11.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A.若两条不重合的直线12,ll的方向向量分别是(2,2,1),(2,2,1)ab=−−=−−，则12ll//B.若直线l的方向向量是(1,1,2)a=，平面的法向量是(2,2,4)n=−−−，则l⊥C.若

直线l的方向向量是(0,2,0)a=，平面的法向量是(2,0,2)n=−，则//lD.若两个不同的平面,的法向量分别是(3,4,2),(2,0,3)mn=−=−，则⊥【答案】BD【解析】【分析】根据题意，

结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.【详解】解：对于A，因为向量ab，不平行，所以12ll，不平行，故A不正确；对于B，因为2na=−，所以//na，故B正确；对于C，因为()02+20+020an=−

=，所以an⊥，所以//l或l在面内，故C不正确；对于D，因为6+060mn=−+=，所以⊥，故D正确．故选：BD．12.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A，2A，

3A，4A是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（）A.甲从M到达N处的走法种数为

120B.甲从M必须经过3A到达N处的走法种数为9C.甲，两人能在3A处相遇的走法种数为36D.甲，乙两人能相遇的走法种数为164【答案】BD【解析】【分析】根据题意分析出甲从M到达N处，需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从M到达N处的走法种数为36C20=，从而可得出A

错误；若甲从M必须经过3A到达N处，可分两步，甲从M到达3A，从3A到达N，从而可判断选项B正确；若甲，乙两人能在3A处相遇，先计算甲经过3A的走法种数，再计算乙经过3A的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在3A处相遇的走法种数；根据题意可得出只能在1

A，2A，3A，4A处相遇，然后分别计算走法种数即可.【详解】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从M到达N处的走法种数为36C20=，故A错误.对于B，甲从M到达3A，需要走3格，其中向上1格

，向右2格，有13C3=种走法，从3A到达N，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有13C3=种走法，所以甲从M必须经过3A到达N处的走法种数为339=，故B正确.对于C，甲经过3A的走法种数为1133CC9=，乙经过3A的走法种数为1133CC9=，所以甲，乙两人能在3A处

相遇的走法种数为9981=，故C错误.对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在1A，2A，3A，4A处相遇，若甲，乙两人在1A处相遇，甲经过1A处，必须向上走3格，乙经过1A处，必须向左走3格，两人在1A处相遇的走法有1种；

若甲，乙两人在2A或3A处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在4A处相遇，甲经过4A处，必须向右走3格，乙经过4A处，必须向下走3格，则两人在4A处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为181811164+++=，故D正确.故选：BD.三、填空题:本题共4小题，每

小题5分，共20分．13.已知平面,ABC(1,2,3),(4,5,6)ABAC==，写出平面ABC的一个法向量n=______．【答案】(1,-2,1)（答案不唯一）【解析】【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【详解】设法向量为(),,

nxyz=，则有2304560nABxyznACxyz=++==++=，令1x=得：2,1yz=−=，所以()1,2,1n=−故答案为：(1,-2,1)14.某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动，活动结束后他们准备站成一排拍照

留念，则2名老师相邻的不同排法有___________种.（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】利用捆绑法即得.【详解】因为2名老师相邻，把他们捆绑看作一个元素与4名学生排共有55A种排法，再排其内部顺序又22A种，所以4名学生和2名老师站成一

排拍照，2名老师相邻的不同排法有5252240AA=种.故答案为：240.15.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则点D到平面ABC的距离为______．【答案】233##233【解析】【分析】建立空间直

角坐标系，由向量法计算可得.【详解】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知ACBD⊥，所以在图2中，,OBACODAC⊥⊥，所以2BOD=，即OBOD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OAOBOCOD====则(0,0,1),(0,1,0),(1

,0,0),(0,1,0)ABCD−则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)ABACBD=−−=−=设(,,)nxyz=为平面ABC的法向量，则00ABnyzACnxz=−−==−=，取1x=，得(1,1,1)n=−所以点D到平面ABC的距离223

33BDndn===故答案为：23316.若()1nx+（nN）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n的所有可能取值集合为______．【答案】11,12,13【解析】【分析】分n为奇数和偶数，由二项式系数的性质可得.【详解】当n为偶数时，第

12n+项二项式系数最大，故172n+=，得12n=；当n为奇数时，第12n+、32n+项二项式系数最大，故172n+=或372n+=，得13n=或11n=.综上，n的所有可能取值集合为11,12,13故答案为：11,12,13四、解答题：本题共6小题，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的

分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）45.【解析】【分析】（1）首先求随机变量0,1,2=，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知0,1,

2=，()2326105CPC===，()113326315CCPC===，()2326125CPC===，所以的分布列，如下表，012P153515（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P=-=.18.已知点(2,3

,0)A−，(1,3,2)B，点P在直线AB上．（1）若2APAB=，写出点P的坐标；（2）若点O是坐标原点，且OPAB⊥，写出点P的坐标．【答案】（1）()4,3,4或()8,3,4−−；（2）812,3

,1313−.【解析】【分析】(1)由点P在直线AB上得APAB=uuuruuur，表示出P的坐标，根据2APAB=求出即可.(2)根据0OPAB=求出即可.【小问1详解】()3,0,2AB=，∵点P在直线AB上，∴APAB=uuuruuur，()3,0,2AP

=，()23,3,2P−+.由2APAB=得2294294+=+，2=，()4,3,4P或()8,3,4−−.【小问2详解】()23,3,2OP=−+，OPAB⊥，()323220OPAB=−++=，

613=，812,3,1313P−.19.袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是110．（1）求n的值；（2）从袋子

中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．【答案】（1）2n=；（2）17.【解析】【分析】（1）根据取到标号都是2的概率列出式子即可求解；（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件A，“另一个小球的标号是1”为

事件B，求出()(),PAPAB，利用条件概率公式即可求出.【详解】（1）由题意得223(1)1(3)(2)10nnCnnCnn+−==++，解得2n=或13n=（舍去）．（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件A，“另一个小球的标号是1”为事件B

，则()225325710CCPAC−==，()2225110CPABC==,所以()1()()7PABPBAPA==．20.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3

）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?【答案】（1）36个（2）36个（2）49个【解析】【分析】（1）先排个位数，方法数有12C种，然后排万位数，方法数有13C种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有33A种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.（

2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不0，其余位置任意排；（3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个.【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有113233=236=36CCA个；（2）在组成的五位数中，数字1和3

相邻的个数有21323323636ACA==个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即142422448CA==，故在组成的五位数中比3

0124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特为殊要求的，要先排特殊位置或

优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题.21.已知412nxx+的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求n；（2）求展开式

中的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）8；（2）41Tx=，5358Tx=，921256Tx=；（3）5237Tx=，7447Tx=.【解析】【分析】（1）根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出n的值

（2）根据展开式的通项公式，x的指数为整数可得有理项.（3）又通项作前后项比，可得系数最大项.【详解】（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，2n，()118nn−，∴()121128nnn=+−，解得n＝8(n＝1舍去).（2）由

3424188841CC22kkkkkkkTxxx−−−+==，当344k−Z时，1kT+为有理项.∵08k且kZ，∴0k=，4，8符合要求.故有理项有3项，分别是41Tx=，5358Tx=，291256Tx−=.（3）设第r＋1项的系数为1ra+

最大，则182rrraC−+=，则1rraa+＝92rr−≥1，12rraa++＝2(1)8rr+−≥1，解得23r.当r＝2时223827aC−==，当r＝3时，334827aC−==，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为5237Tx=，7447Tx=.【点睛】关键

点睛：此题抓住通项，研究通项中的幂指数和通项中项的系数是解决问题的关键.的22.如图，四棱锥PABCD−的侧面PAD△是正三角形，底面ABCD是直角梯形，90BADADC==，22ADABCD===，M为BC的中点.（1）求证：PMAD⊥；（2）若2PBAB=，求线PM与平面PAB所成

角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77.【解析】【分析】（1）取AD中点N，连PN，NM，可证明NMAD⊥，PNAD^，进而可得AD⊥平面PMN，即可求证；（2）以N为原点，,,NANMNP所在的直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面PAB的法向量和PM的坐标，利

用sinnPMnPM=即可求解.【详解】（1）证明：取AD中点N，连PN，NM，因为PAD△是正三角形，所以PNAD^.又M是BC中点，所以//NMAB.因为90BAD=，即ABAD⊥.所以NMAD⊥，因为NMPNN=，NM､PN平而PMN，所以AD⊥

平面PMN，PM平面PMN，所以ADPM⊥.（2）2PBAB=，又ABPA=，所以222PAABPB+=，则ABPA⊥.又ABAD⊥，所以AB⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，PNAD^，PN平面PAD，平面PAD平面ABCDAD=，

所以PN^平面ABCD.如图以N为原点，,,NANMNP所在的直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得()0,0,3P，()1,0,0A，()1,2,0B，30,,02M，()1,0,3AP=−，()0,2,0AB=，设平面PAB的法向量为(),,nxyz

=，所以00nAPnAB==即3020xzy−+==，令3x=，可得1z=，0y=，可取()3,0,1n=，又30,,32PM=−，所以37sin79234nPMnPM===+.即直线PM与平面PAB所成角的正弦值为77.获

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