【文档说明】福建省厦门市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.586 MB，由小赞的店铺上传

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厦门市2022—2023学年第二学期高一年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名境写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘淇的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本

人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.马在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交

回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数52iz=−的虚部为（）A.1B.2C.5D.i【答案】A【解析】【分析】根据复数除法求得复数z，进而可得结果.【详解】由题意可得：()

()()52i52i2i2i2iz+===+−−+，所以复数z的虚部为1.故选：A.2.某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调

查，则高一年和高二年共抽取的学生数为（）A.25B.30C.40D.45【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样运算求解.【详解】由题意可知：高三抽取505010250=人，所以高一年和高二年共抽取的学生数为501040−=.故选：C

.3.将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A.4π3B.9π2C.9πD.32π3【答案】B【解析】【分析】根据圆柱底面直径与高的关系可知球体最大直径，然后可得.【详解】由题可知，圆柱的底面直径为4，高为3

，因为43，所以该圆柱体铁块能磨制的最大球体直径为3，半径为32，所以该球体的最大体积为334439()3322VR===.故选：B4.一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸

1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解.【详解】设红球的个数为x，由题意可知：619532050xxx

=+，所以红球的个数最可能是5个，故选：B5.在平行四边形ABCD中，2BEEC=，DFFC=，设ABa=，ADb=，则EF=（）A.1123ab−+B.1123ab+C.1123ab−−D.1123ab−【答案】A【解析】【分析】根据向量

的线性运算结合平行四边形的性质运算求解.【详解】由题意可得：11113223EFECCFBCCDab=+=+=−+uuuruuuruuuruuurruuurr.故选：A.6.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件A=“选

中的同学精通乐器”，B=“选中的同学擅长舞蹈”，若()13PAB=，则()PAB=（）A.14B.16C.112D.124【答案】C【解析】【分析】先求(),()PAPB，然后由概率性质计算可得.【详解】由题知，12181(),()484486PAPB====

，因为()13PAB=，所以1()()()3PAPBPAB+−=，即111()463PAB+−=，解得()112PAB=.故选：C7.在直三棱柱111ABCABC-中，12ACAA==，1BC=，90ACB=，则异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为（）A.15B.13C.23D.105

【答案】D【解析】【分析】将直三棱柱补形为长方体模型，在长方体中容易找出线面之间的关系，通过平行线平移法作出异面直线所成的角，然后角三角形求解．【详解】如图，直三棱柱111ABCABC-中，90ACB=，将其补形为长方体1111

.AMBCAMBC−连接1AM，11MC，显然四边形11,AMBC为平行四边形，所以11//AMBC．则11CAM（或其补角）为异面直线1AC与1BC所成角．在长方体1111AMBCAMBC−中，12ACAA==，1BC=，22

1111115MCACAM=+=．2211115AMAAAM=+=．22111122ACAAAC=+=．在11MCA中，111112102cos55ACCAMAM===．所以异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为105．故选：D．8.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了4km到达B

地，然后由B地向南偏东30方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30方向骑行了16km到达D地，则,AD两地的距离为（）A.419kmB.103kmC.283kmD.26km【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，作出几何图形，延长AB交CD于点E，再利用余

弦定理求解作答.【详解】如图，4,6,16ABBCCD===，延长AB交CD于点E，则60,60CBEBCE==，因此CBE△是正三角形，6,60BECEBCBEC====，于是10,120AEDEA

ED===，在ADEV中，由余弦定理得222212cos120101021010()1032ADAEDEAEDE=+−=+−−=，所以,AD两地的距离为103km.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.如图是全国居民消费价格涨跌幅的统计图（月度同比增长率是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比增长率是指本月和上一个月相比较的增长率），从20

22年5月到2023年5月（）A.全国居民消费价格月度同比涨跌幅的极差为1.9%B.2023年1月份全国居民消费价格月度环比涨幅最大C.2023年5月份全国居民消费价格比2022年5月份全国居民消费价格上涨了0.2%D.2023年2月份开始，全国居民消

费价格持续下降【答案】BCD【解析】【分析】观察统计图，观察月度环比，月度同比增长率的变化趋势即可得．【详解】A项，由图可知最大月度同比涨幅最大为2.8，最小为0.1，所以2.80.12.7−=，全国居民消费价格月度同比

涨跌幅的极差为2.7%，A错误；B项，月度环比曲线中，2023年1月份全国居民消费价格月度环比涨幅最大为0.8%，B正确；C项，2023年5月份月度同比增长为0.2%，则全国居民消费价格上涨了0.2%，C正确；D项，2023

年2月份开始，月度环比增长率都为负数，则全国居民消费价格持续下降，D正确．故选：BCD．10.在平面直角坐标系中，向量a，b如图所示，则（）A.ab⊥B.25ab−=C.a在2ab−方向上的投影向量的模为1D.存在实数，使得ab+与ab−共线【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得：()(

)2,1,4,3ab==−rr，根据向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：()()2,1,4,3ab==−rr.对于选项A：因为()241350ab=+−=rr，所以a，b不垂直，故A错误；对于选项B：因为()20,5ab−=rr，所以222055ab−=+=rr

，故B正确；对于选项C：因为()22220155,215aaba−=+==+=rrrr，所以a在2ab−方向上的投影向量的模为()25152aabab−==−rrrrr，故C正确；对于选项D：因为()()24,3,2,4abab+=+−−=−rrrr，若ab+与

ab−共线，则()()()24432+=−−，解得1=−，所以当1=−时，ab+与ab−共线，故D正确；故选：BCD.11.已知复数1z，2z，12zz+在复平面内对应的点分别为,,ABC，且,,ABC不共线，O为复平面的坐标原点．若1

2zz=，则（）A.2121zzz=B.OAOB⊥C.四边形OACB为菱形D.若()1212izzzz−=+，则四边形OACB为正方形【答案】ACD【解析】【分析】设1izab=+，由复数乘法运算和复数模公式可判断A；利用两点间距离公式和勾股定理可判断B；由向量加法的

平行四边形法则，结合已知可判断C；根据()1212izzzz−=+可推得ab=，结合B可判断D.【详解】设1izab=+，则21izzab==−，122zza+=，因为2212(i)(i)=zzababab=+−−，2221=zab−，所以A正确

；因为(,),(,),(2,0)AabBabCa−，则(0,2),(,)ABbACab=−=−，因为,,ABC不共线，所以20ab−，即0ab.因为2222,()()2OAOBabABaabbb==+=−

++=，所以2222222(),4OAOBabABb+=+=，由2222()4abb+=，得ab=，所以当ab¹且ab−时，,OAOB不垂直，B错误；因为OAOB=，OCOAOB=+，且,,ABC不共线，所以四边形OACB为菱形，C正确；若

()1212izzzz−=+，故i(i)2iababa+−−=，即ab=，由上可知，此时OAOB⊥，又OAOB=，OCOAOB=+，所以四边形OACB为正方形，D正确.故选：ACD12.已知正四面体ABCD的棱长为2，ABC和AC

D的重心分别为点M、N，则（）A.//MNBDB.MN⊥平面ACDC.二面角MBCD−−的余弦值为13D.直线MN到平面BCD的距离为469【答案】AC【解析】【分析】利用三角形重心的几何性质结合平行线的传递性可判断A选项；求出MN与AD所成的角，可判断B选项；利用二面角的定义结合余弦定理

可判断C选项；求出点A到平面BCD的距离，结合13OMOA=可知点M到平面BCD的距离等于点A到平面BCD的距离的13，可判断D选项.【详解】如下图所示：对于A选项，延长CM交AB于点E，延长CN交AD于点F，连接E、F

，则E、F分别为AB、AD的中点，所以，//EFBD，因为ABC和ACD的重心分别为点M、N，则23CMCNCECF==，所以，//MNEF，所以，//MNBD，A对；对于B选项，因为//MNBD，且60A

DB=o，则MN与AD所成角为60，故MN与平面ACD不垂直，B错；对于C选项，取BC的中点O，连接OA、OD，因为ABC是边长为2的等边三角形，则BCOA⊥，且2222213OAACOC=−=−=，同理可得BCOD⊥，3OD=，则二面角MBCD−

−的平面角为AOD，由余弦定理可得2223341cos2233OAODADAODOAOD+−+−===，因此，二面角MBCD−−的余弦值为13，C对；对于D选项，设点A在底面BCD的射影为点G，则点G为等边BCD△的中心，且22333DGOD==，因为AG⊥平面BCD，DG平面B

CD，所以，22222326233AGADDG=−=−=，因为//MNBD，MN平面BCD，BD平面BCD，所以，//MN平面BCD，所以，直线MN到平面BCD的距离为点M到平面BCD的距离，因为13OMOA=，故点M到平面BCD的距

离为1126263339AG==，D错.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.方程290x+=在复数范围内的根为______．【答案】3i【解析】【分析】把方程290x+=化为29x=

−，直接开方即可.【详解】因为290x+=，即29x=−，所以3ix=.故答案为：3i14.如图，用斜二测画法画出水平放置ABC的直观图为ABC，已知3AC=，2BC=，则ABC的周长为______．【答案】12【解析】的【分析】把直观图还原为原图形，利用勾股定理求出斜边长，再计

算周长．【详解】把直观图△ABC还原为原ABC，如图所示：所以3ACAC==，24BCBC==，所以229165ABACBC=+=+=，所以ABC的周长为54312ABBCAC++=++=．故答案为：12．15.

为调查某中学高一年级学生的身高情况，从中随机抽取100名学生作为样本，在统计过程中，甲、乙两名同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为165cm，方差为50，之后补测得甲、乙的身高分别为160cm与170

cm，则样本的方差为______．【答案】992【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【详解】设除甲、乙外其他98同学的身高为1x，2x，，98x，甲，乙的身高分别为99x，100x，由题意可知，总样本的平均数为1(165981

60170)165100++=，2221298(165)(165)(165)98504900xxx−+−++−==，故样本的方差为：221002114900(160165)(170165)()49.5100100ii

xx=+−+−−==．故答案为：49.5．16.已知ABC的内解,,ABC所对的边分別为,,abc，且7b=，5c=，3cos5A=，则C=______；若ABC内有一点P，使得4sin5APC=，2sin2BPC=，则tanPBC=______

．【答案】①.π4②.2853【解析】【分析】第一空，根据余弦定理先得42a=，再根据余弦定理得π4C=；第二空，根据sinsinAPCA=，sinsinCBPC=，得到πAPCA+=，πBPCC+=，分别在PAC△，PBC中解三角形，结合边角之间的关系可得.【详解】在ABC中，由余弦定

理得2222232cos75275325abcbcA=+−=+−=，所以42a=，所以2222cos022abcCab+−==又因0πC，所以π4C=，所以2sin2C=，因3cos5A=，0πA，所以2234sin1cos155AA=−=−=，()423272sin

sinsincoscossin525210BACACAC=+=+=+=，因sinsinsinBAC，所以BAC又4sinsin5APCA==，且APCBA，所以πAPCA+=．同理πB

PCC+=，所以3ππ4BPCC=−=，设PBC=，在PBC中，π4PCB=−，所以sinsinPCBCBPC=，所以sin42sin=82sinsin2BCPCBPC==，在PAC△中，ππ44PCAACBP

CB=−=−−=，所以πPACAPCPCABAC=−−=−,由正弦定理得sinsinPCACPACAPC=，即()7354sin45PCBAC==−所以()35sin4PCBAC=−，得

()()35358sinsin=sincoscossin44BACBACBAC=−−，得3543218sincossin7cossin4554=−=−，得53sin7cos4=，所以28tan53=，即28ta

n53PBC=．故答案为：π4；2853【点睛】关键点睛：本题考查解三角形，解题关键点是能找到πAPCA+=，πBPCC+=，然后找到PAC△和PBC中有关系的量，分别在两个三角形中解三角形，通过相关量之间的联系，可

得PBC的相关等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在四边形ABCD中，22ABmn=−，3ADmn=−+，2ACn=，其中m，n为不共线的向量．（1）判断四边形ABCD的形状，并给出证明；（2）若2m=，1n=r，m与n的夹角为60，F为BC中

点，求FAB．【答案】（1）四边形ABCD为梯形，证明见解析（2）π6FAB=【解析】【分析】（1）根据向量线性运算判断,ABDC的关系即可；（2）利用向量数量积先求AB，AF和AFAB，然后由向量夹角公式可得.【小问1详解】因为3ADmn=−+

，2ACn=，所以()23DCACADnmnmn=−=−−+=−，又因为22ABmn=−，所以2ABDC=，又因为,,,ABCD四点不共线，所以ABDC且ABDC，所以四边形ABCD为梯形．【小问2详解】因为

22ABmn=−，所以()2222248423ABmnmmnn=−=−+=，因为F为BC中点，所以()12AFABACm=+=，所以2AFm==，所以()22222826AFABmmnmmn=−=−=−=，

所以63cos2223AFABFABAFAB===，因为0,πFAB，所以π6FAB=．18.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，D，E分别为AB，1CC的中点．（1）求证：DE//平面11ABC；（2）

若12ABAA==，求三棱唯11EABC−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）解法一：构造平行四边形，根据线面平行判定定理证明即可；解法二：构造平行平面，利用面面平行的性质证明线面平行；（2）根据几何体的线面关系确

定底面积与高度距离，即可的体积.【小问1详解】解法一：取1AB中点F，连接DF，1FC，因为D是AB中点，所以1//DFBB，112DFBB=，因为E是1CC中点，所以11//CEBB，1112CEBB=，所以1//DFCE，1DFCE=，所以四边形1DFCE为平行四边形，所以1

//DEFC，因为DE平面11ABC，1FC平面11ABC，所以//DE平面11ABC．解法二：取1BB中点F，连接DF，EF，因为D是AB中点，所以1//DFAB，因为DF平面11ABC，1AB平面11ABC，所以//DF平面11ABC．因为E是1CC中点，F是1BB

中点所以11//BFCE，11BFCE=，所以四边形11BFEC为平行四边形，所以11//EFBC，因EF平面11ABC，11BC平面11ABC，所以//EF平面11ABC，因为DF平面DEF，EF平面DEF

，DFEFF=，所以平面//DEF平面11ABC，因为DE平面DEF，所以//DE平面11ABC．【小问2详解】取BC中点M，连接AM，在正三棱柱111ABCABC-中，2ABACBC===所以AMBC⊥，且

3AM=，因为1BB⊥平面,ABCAM平面ABC，所以1BBAM⊥，因为1BCBBB=，BC平面11BBCC，1BB平面11BBCC，所以AM⊥平面11BBCC，即AM⊥平面11BCE，所以AM的长为点A到平面11BCE的距离，又11BCE△的面积为111111121122BC

ESBCCE===，所以11111111313333EABCABCEBCEVVSAM−−====，所以三棱锥11EABC−的体积为33．19.工作椅的座高是影响坐姿舒适程度的主要因素之一，符合人体工程学的

合理座高约等于人体的“小腿加足高”．在某市居民中抽样调查了50位女性（18~55岁）和50位男性（18~60岁）的“小腿加足高”的数据X（单位：mm），分别按从小到大排序如下：为女性345354356358363374376378379379

380381382382382383384385386386387387387389389390390391391392392392392393393395396397397398399404404405409411417417418420男性3833833843873883913933953

99402403404405405405406409410411411411412413415415415416416418418419424427427428431431432432437437438441443447449450452457459（1）按如下方

式把100个样本观测数据以组距20分为6组：)340,360，)360,380，．．．，440,460，画频率分布直方图．根据所给数据补全直方图（用阴影表示），并估计总体的大致分布情况；（2）根据国家标准，以男性的“小腿加足高”数据

的第95百分位数和女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数作为工作椅座高的上、下限值．根据这次调查结果，确定工作椅座高的范围，并判断是否在国家标准范围360,480（单位：mm）内？若不在，请你从统计学的角度分析可能的原因．【答案】（1）答案见解析（2）本次调查所得范围不

在国家标准范围360,480内，理由解析【解析】【分析】（1）由题意，得到X在区间)380,400和)420,440上的频数，可得相对应的频率/组距，进而补全频率分布直方图，再求解即可；（2）结合（1）中所得信息，求出男性的“小腿加足高”数

据的第95百分位数和女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数的数值，将其与国家标准对比，进而即可求解．【小问1详解】由题意知X在区间)380,400和)420,440上的频数分别为40，12，所以X在区间)380,400和)420,440上的频率/组

距分别为0.40.0220=，0.120.00620=补全频率分布直方图如下：所以由直方图可以看出，)380,400所对应的矩形面积最大，)420,440次之，并且整幅直方图具有一定的对称性．由此可以推测该市居民的小腿加足高的长度集中在)

380,440附近，小腿加足高特别短或特别长的居民人数都较少．【小问2详解】因为500.052.5=，500.9547.5=，所以女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数为女性的第3个数据即356，男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数为男性的第48个数据即452，所以

工作椅座高的范围为356,452．所以本次调查所得范围不在国家标准范围360,480内．产生差异的主要原因为：①由样本的代表性所引起的，因为该市的调查结果不能代表全国的调查结果；②样本容量过小；③测量产生的误差等．20.已知ABC的内解,,ABC所对的边分别为,,abc，

满足coscosbAaBa−=．（1）求证：2BA=；（2）若D为AB上一点，且2BDBC==，求ACD的面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再逆用差角正弦公式可得()sinsinBAA−=，结合角的取值范围即可证明；（2）在BC

D△中，由BCBD=，2BA=，可得π2BCDBDCA==−，利用正弦定理可求得4sinCDA=，4cosACA=，再利用三角形的面积公式1sin2SCDCAACD=，结合倍角正弦公式可化简为2sin4SA=，结合角的范围

即可求解.【小问1详解】因为coscosbAaBa−=，由正弦定理可得sincossincossinBAABA−=，即()sinsinBAA−=，因为0πA，0πB，所以()sinsin0BAA−=，所以0πBA−，所以BA

A−=或BAA−=−．若BAA−=，则2BA=；若BAA−=−，则Bπ=，舍去；所以2BA=成立．【小问2详解】在BCD△中，因为BCBD=，2BA=，所以π2BCDBDCA==−，由正弦定理得sinsinBCCDBDCB=，即2πsin2sin2CDAA=−

，所以4sinCDA=．在ABC中，由正弦定理得sinsinBCACAB=，因为2BA=，所以2sin24cossinAACAA==．因为πBABCA++=，又BCDACDBCA+=，所以π22ACDA=−，所以ACD

的面积11πsin4sin4cossin22sin4222SCDCAACDAAAA==−=．又03πBAA+=，所以π03A，所以4π043A，所以当π42A=，即π8A=时，ACD的面积最大值为

2．21.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号“

1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游

戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）游戏一获胜的概率为25，游戏二获胜的概率为425（2）m的所有可能取值为5,6,7．【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2

）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为m的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为11,2,3,4,5=，则(

)15n=，因为4,5A=，所以()2nA=，()()()125nAPAn==．所以游戏一获胜的概率为25．为游戏二中有放回地依次取出两个球样本空间()2,,1,2,3,4,5xyxy=∣，则()225n=，因为()()()()4,4,4,5,5,4,5,

5B=，所以()4nB=，所以()()()2425nBPBn==，所以游戏二获胜的概率为425．【小问2详解】设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书券”，则MABCABCABC=，且ABC，ABC，ABC互斥，,,ABC相互独立，

所以()()()()()PMPABCABCABCPABCPABCPABC==++()()()()()()()()()11PAPBPCPAPBPCPAPBPC=−+−+()()()()2434

248121525525525125125PCPCPCPC=−++=+又NACBACBACB=，且ACB，ACB，ACB互斥，所以()()()()()PNPACBACBACBPACBPACBPACB==++()()()()()()()()

()11PAPCPBPAPCPBPAPCPB=−+−+()()()()221342462525525525125PCPCPCPC=++=若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则()()PNPM，所以()()62812

125125125PCPC+，即()425PC．进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：第二次第一次123451()1,2()1,3()1,4()1,52()2,1()2,3()2,4()2,53()3,1()3,2()3,4()3,5的4()

4,1()4,2()4,3()4,55()5,1()5,2()5,3()5,4当3,4,8,9m=时，()242025PC=，舍去当5,6,7m=时，()442025PC=，满足题意，因此m的所有可能取值为5,6,7．【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥

事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.22.如图，在四棱锥EABCD−中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，90ABC=，22AB=，2BCCD==．（1）若平面ADE⊥平面ABCD，求证：A

EBD⊥；（2）若2AEDE==，设CE和平面ABCD所成角为，求2tan的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）212−．【解析】【分析】（1）取AB中点F，连接DF，利用面面垂直的性质定理得BD⊥平面ADE，再利用线面垂直的性质即可证明AEBD⊥；（2）解法一：取AD中点M，连接ME，MF

．利用面面垂直的性质定理得EO⊥平面ABCD，设EMF=，分02、2和2=讨论，再利用换元法和基本不等式即可求出最值；解法二：取AD中点M，连接ME，MF．利用面面垂直的性质定理得EO⊥平面ABCD，延长FM至点

N，使得1MFMN==，设OFx=，则02x，计算得()2222tan024xxxx−+=+，利用基本不等式即可得到最值.【小问1详解】取AB中点F，连接DF．因为//ABCD，90ABC

=，22AB=，2BCCD==，F为AB中点，所以四边形BCDF正方形，所以45BDF=，所以2AFDF==，90AFD=，所以2AD=，45ADF=，所以90ADBADFBDF=+=，即BDAD⊥．又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面AB

CDAD=，BD平面ABCD，所以BD⊥平面ADE，又AE平面ADE，所以BDAE⊥，即AEBD⊥．.【小问2详解】解法一：取AD中点M，连接ME，MF．在ADEV中，2AEDE==，2AD=，所

以222AEDEAD+=，所以ADEV为等腰直角三角形．所以MEAD⊥，1ME=．因为ADF△为等腰直角三角形，所以MFAD⊥，又,,MEMFMMEMF=平面MEF，所以AD⊥平面MEF．又AD平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面MEF．在平面MEF

中，过点E作EOMF⊥于点O，连接CO，又平面ABCD⊥平面MEF，平面ABCD平面,MEFMFEO=平面MEF，所以EO⊥平面ABCD．所以CE和平面ABCD所成角为ECO，即ECO=．设EMF=，则0π①当02时，在RtEMO中，cosMO

=，sinEO=，所以1cosOFMFOM=−=−．②当2时，在RtEMO中，()coscosMO=−=−，()sinsinEO=−=，为所以1cosOFMFOM=+=−．在RtCOF△中，因为()()22222CF=+=，所以()

221cos4CO=−+，在RtEOC△中，()222222sintantan1cos4EOECOCO===−+，（※）③当2=，21EO=，25CO=，21tan5=符合（※）．综上，()()

22222223cossin1costan1cos2cos5cos2cos51cos4−−===−−+−+−+令3cost=−，()2,4t，则2222tan118484ttttt=−=−−++−，所以2221tan12824tt−−=−，当且仅当22t=等

号成立，此时()cos3221,1=−−，所以2tan的最大值为212−．解法二：取AD中点M，连接ME，MF．在ADEV中，2AEDE==，2AD=，所以222AEDEAD+=，所以ADEV为等腰直角三角形．所以MEAD⊥，1ME=．因为AD

F△为等腰直角三角形，所以MFAD⊥，又,,MEMFMMEMF=平面MEF，所以AD⊥平面MEF．又AD平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面MEF．在平面MEF中，过点E作EOMF⊥于点O，连接CO，又平面ABCD⊥平面MEF，平

面ABCD平面MEFMF=，EO平面MEF，所以EO⊥平面ABCD．所以CE和平面ABCD所成角为ECO，即ECO=．延长FM至点N，使得1MFMN==，设OFx=，则02x．当点O与点M不重合时，即1x，在RtEMO中，1MOx=−，1EM=，

所以()2222112EOxxx=−−=−+，在RtCOF△中，OFx=，()()22222CF=+=，所以224COx=+，在RtEOC△中，()2222222tantan14EOxxECOxCOx−+===+（※）

，当点O与M重合时，此时1x=，21EO=，25CO=，21tan5=符合（※），所以()2222tan024xxxx−+=+．所以()()2222tan1024xxx+=−+，令2tx=+，则2222tan118484ttttt=−=−−++−，24t

．所以()22121tan112124822tt−−=−=−−，当且仅当22t=等号成立，此时()2220,2x=−，所以2tan的最大值为212−．.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是

作出合理辅助线，设OFx=，则02x，利用勾股定理得到()2222tan024xxxx−+=+，最后利用基本不等式即可得到最值.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com