【文档说明】北京市朝阳区2021届高三下学期3月质量检测（一）（一模）数学试题含答案.docx，共(10)页，627.084 KB，由小赞的店铺上传

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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2021.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选

择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{1,0,1,2,3},{|10}ABxx=−=−，则AB=（）A．{0,1,2,3}B．{1,2,3}C．{2,3}D．32．如果复数2()bibi+R的实部与虚部相等，那么

b=（）A．2−B．1C．2D．43．已知等差数列na的前n项和为nS，391,18aS==，则1a=（）A．0B．1−C．2−D．3−4．已知圆224xy+=截直线2ykx=+所得弦的长度为23，则实数k=（）A．2B．3−C．

2D．35．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．3yx=B．33yx=C．12yx=D．2yx=6．在ABC中，若2220abcac−++=，则B=（）A．6B．4C．3D．

237．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．5C．6D．228．在ABC中，“tantan1AB”是“ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分

必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且||5AF=，则||||PAPO+（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．213C．41D．610．在棱长为1

的正方体1111ABCDABCD−中，P是线段1BC上的点，过1A的平面与直线PD垂直当P在线段1BC上运动时，平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面面积的最小值是（）A．1B．54C．62D．2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．

在81xx+的展开式中，4x的系数为_______．（用数字作答）12．已知函数22,1,()log,1,xxfxxx=−…则(0)f=________；()fx的值域为_______．13．已知向量(3,1),(,)(0)abxyxy==，且||1,0bab=，则向量

b的坐标可以是_______．（写出一个即可）14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合

函数模型231mx=−+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_______万元．15．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()fx

是定义在R上的函数，对于0xR，令()1(1,2,3,)nnxfxn−==，若存在正整数k使得0kxx=，且当0jk时，0jxx，则称0x是()fx的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若1()xfxe−=，则()fx存在唯一一个周期为1的周期点

；②若()2(1)fxx=−，则()fx存在周期为2的周期点；③若12,,2()12(1),,2xxfxxx=−…则()fx不存在周期为3的周期点；④若()(1)fxxx=−，则对任意正整数n，12都不是()fx的周期为n的周期点．

其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知函数()sin()0,0,02fxAxA=+由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为；②最大值为2；③06f−=

；④(0)2f=−．（Ⅰ）写出能确定()fx的三个条件，并求()fx的解析式；（Ⅱ）求()fx的单调递增区间．17．（本小题13分）如图，在四棱锥PABCD−中，O是AD边的中点，PO⊥底面,1ABCDPO=．在底面ABCD中，/

/,,1,2BCADCDADBCCDAD⊥===．（Ⅰ）求证：//AB平面POC；（Ⅱ）求二面角BAPD−−的余弦值．18．（本小题14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了

绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：A地区B地区2019年人均年纯收入超过10000元100户150户2019年人均年纯收入未超过

l0000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家

庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年

有变化？请说明理由．19．（本小题15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)AB−，离心率为63．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原

点且与直线MA平行的直线与直线3y=交于点P，直线MB与直线3y=交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圈是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20．（本小题15分）已知函数()(1)()xfxaxea=−R．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若直

线yaxa=+与曲线()yfx=相切，求证：21,3a−−．21．（本小题15分）设数列12:,,,(2)mmAaaam…，若存在公比为q的等比数列1mB+：121,,,mbbb+，使得1kkkbab+，其中1,2,,km=，则称数列1mB+为数列mA的“等比分

割数列”．（Ⅰ）写出数列4A：3，6，12，24的一个“等比分割数列”5B；（Ⅱ）若数列10A的通项公式为2(1,2,,10)nnan==，其“等比分割数列”11B的首项为1，求数列11B的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列mA的通项公式为2(1,2,,)nannm==，且数列mA存在“等比分割数列”

，求m的最大值．北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学参考答案2021．3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）A（4）D（5）A（6）D（7）C（8）C（9）B（10）C二、

填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）28（12）1；(,2)−（13）31(,)22−（答案不唯一）（14）3（15）①④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）确定()fx的三个条件是①，②，③．当0A且π02时，sin0A．若函数()

fx满足条件④，则(0)sin2fA==−，与sin0A矛盾，所以()fx不能满足条件④．所以能确定()fx的三个条件是①，②，③．由条件①，得2ππ||=，又0，所以2=．由条件②，得||2A=，又0A，所以2A=．由条件③，得

ππ()2sin()063f−=−+=，又π02，所以π3=．所以π()2sin(2)3fxx=+．经验证，π()2sin(2)3fxx=+符合题意．..............................

...............................................7分（Ⅱ）函数sinyx=的单调递增区间为ππ[2π,2π]22kk−+（kZ）．由πππππ+232222xkk−+（k

Z），得5ππππ+1212xkk−（kZ）．所以()fx的单调递增区间为5ππππ+]1212[kk−,（kZ）．..............................................

....13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）在四边形ABCD中，因为1//,2BCADBCAD=，O是AD的中点，则//BCAO，BCAO=．所以四边形ABCO是平行四边形．所以//ABOC．又因为AB平面POC，OC平面POC，所以//AB平面POC．...................

.........................................................................................5分（Ⅱ）连结OB．因为PO⊥平面ABCD，所以,POOBPOOD⊥⊥．又因为点O

是AD的中点，且12BCAD=，所以BCOD=．因为//,,BCADCDADBCCD⊥=，所以四边形OBCD是正方形．所以BOAD⊥．如图，建立空间直角坐标系Oxyz−，则(0,1,0),(1,0,0)

,(1,1,0)ABC−,(0,1,0),(0,0,1)DP．所以(1,1,0),(0,1,1)ABAP==．设(,,)xyz=m是平面BAP的一个法向量，则0,0,ABAP==mm即0,0.xyyz+=+=令1y=，则(1,1,1

)=−−m．因为OB⊥平面PAD，所以(1,0,0)OB=是平面PAD的一个法向量．所以13cos,3||||31OBOBOB−===mmm．由图可知，二面角BAPD−−为锐角，所以二面角BAPD−−的余弦值为33．......

.......................................................................13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10

000元．从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此()PC可以估计为10013003=．......................................................

......................................3分（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则1()3PA=．设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1

户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则15032004()PB==．由题可知X的可能取值为0，1，2．131(0)()()()(1)(1)346ABABPXPPP====−−=；13137(1)()()()()()(1)(1)343412PXPPPPA

PABABABB===+=−+−=；131(2)()()()344PXPABPAPB=====．所以X的分布列为X012P1671214所以X的数学期望17113012612412EX=++=．................

..........................................10分（Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”．假设

样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据得41004300()0.012CPEC=．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()PE比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收

入超过10000元的户数相比2019年发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，()PE比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．.........................................

...........................................................14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为2222+1(0)xyabab=，则2

221,6,3.bcaabc===+解得3a=，2c=．所以椭圆C的方程为2213xy+=，焦点坐标为(2,0)−和(2,0)．.................................5分（Ⅱ）方法1：设点M的坐标为00(,)xy（000,1xy），

则220013xy+=．过原点且与直线MA平行的直线方程为001yyxx−=．令3y=，得003(,3)1xPy−．直线MB的方程为0011yyxx+=−，令3y=，得004(,3)1xQy+．假设以线段PQ为直径的圆过定点，由椭圆的对称性可设

定点为(0,)Nm．则0NPNQ=．因为000034(,3),(,3)11xxNPmNQmyy=−=−+−，所以2202012(3)01xmy+−=−．因为220013xy+=，所以26270mm−−=．则3m=−或9m=．所以以线段PQ为直径的圆过定点，且定点坐标为(0,3)−和(0,

9)．…………………….15分方法2：设点M的坐标为00(,)xy（000,1xy），则220013xy+=．过原点且与直线MA平行的直线方程为001yyxx−=．令3y=，得0031Pxxy=−．直线MB的方程为0011yyxx+=−，令3y=，得0041Qxxy=+．所以以P

Q为直径的圆的半径为000000000004373(7)1111||22112(1)(1)2QPxxxyxyrxxyyyyx−−=−===++−−−．圆心的横坐标为()0000002000037134711()2211212QPxxyxxxyxyyyx+−−+==−−+−=．所以

以线段PQ为直径的圆的方程为22200003(71)3(7)1(3)24yyxyxx−−++−=．因为220013xy+=，所以22003(71)(3)360yxxyx−+−−=+．以线段PQ为直径的圆过定点等价于对任意的点00(,)Mxy，方程2

2003(71)(3)360yxxyx−+−−=+恒成立．所以22(3)360,0.xyx+−−==解得0,9xy==或0,3.xy==−所以以线段PQ为直径的圆过定点，且定点坐标为(0,3)−和(0,9)．……………………...........15分（2

0）（共15分）解：（Ⅰ）()(1)exfxaxa=+−．令()0fx=，得1axa=−．当0a=时，()e0xfx=−，()yfx=在(,)−+上单调递减；当0a时，()fx和()fx在R上的变

化情况如下：x1(,)aa−−1aa−1(,)aa−+()fx−0+()fx极小值当0a时，()fx和()fx在R上的变化情况如下：x1(,)aa−−1aa−1(,)aa−+()fx+0−()fx极大值综上，当0a=时，()yfx

=在(,)−+上单调递减，当0a时，()yfx=的单调递减区间为1(,)aa−−，单调递增区间为1(,)aa−+，当0a时，()yfx=的单调递增区间为1(,)aa−−，单调递减区间为1(,)aa−+．…………………….................

.............................................................................................................6分（Ⅱ

）由题得()(1)exfxaxa=+−．设直线yaxa=+与曲线()yfx=相切于点00(,)xy，则00000(1)e(1),(1)e.xxaxaxaxaa−=++−=①②由①-②得00exaax−=，即00(e)0

xax+=．若0a=，则()exfx=−，0axa+=，直线0y=与曲线()yfx=不相切，不符合题意，所以0a．所以00e0xx+=．③令()exxx=+，则()e10xx=+，所以()x单调递增．因为111()022e−=−，1(1)e10−−=−，所

以存在唯一0)(112,x−−使得00e0xx+=．将③代入①得02000axaxxa+−+=．所以2000001111xaxxxx+++=+=．易知在(21,1)−−内11yxx=++单调递减，且110xx++，所以111yxx=++在(21,1)−−内单调递增．

因为0)(112,x−−，所以213a−−，所以21,)3(a−−．................................................15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）5:2,4,8,16,32B．（答案不

唯一）............................................................................................3分（Ⅱ）由1kk

kbab+，得12,1,2,,10kkkqqk−=，所以122,2,3,,10kkqk−=．令1()1,2,3,,1011kfkkkk==+=−−，则()fk单调递减．所以12kk−（2,3,,10k=）的最小值为1092．所以

10922q，即公比q的取值范围是109(2,2)．..............................................................8分（III）首先证明当6m时，数列mA不存在“等比分割数列”．假设

当6m时，数列mA存在“等比分割数列”1mB+，则234212111111491625mbbbqbqbqbqmbq=．易知10,0bq．因为101b，且214bq，所以24q．因为0q，所以2q．又

因为319bq，所以5322611366bbqbqq===，与6636ba=矛盾．所以当6m时，数列mA不存在“等比分割数列”．所以5m．当5m=时，数列5:1,4,9,16,25A，存在首项为45公比为94的数列6B满足：49

8172965615904914916255520803201280．所以5m=时，数列mA存在“等比分割数列”．所以m的最大值为5．.......................

......................................................................................15分