【文档说明】重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期9月测试数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.871 MB，由小赞的店铺上传

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重庆南开中学高2025届高二（上）数学测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上，1.直线l经过点()2,3，且倾斜角45=，则直线l的方程为（）A.10xy+−=B.50xy+−=C

.10xy−+=D.50xy−+=【答案】C【解析】【分析】利用直线的点斜式方程求解.【详解】因为直线l的倾斜角45=，所以直线l的斜率为1，又直线l经过点()2,3，所以直线l的方程为32yx−=−，即10xy−+=，故

选：C2.两直线的斜率分别是方程2202310xx+−=的两根，那么这两直线的位置关系是（）A.垂直B.斜交C.平行D.重合【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及直线的斜率关系判定直线位置关系即可.【详解】不妨设两直线的斜率

分别为12,kk，则由题意有121kk?-，所以两直线互相垂直.故选：A3.直线240axy++=与直线(1)20xay+−+=平行，则a的值为（）A.2a=B.0a=C.1a=−D.1a=−或2a=【答

案】C【解析】【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.【详解】依题意，直线240axy++=与直线(1)20xay+−+=平行或重合时，(1)120aa−−=，解得1a=−或2a=，当2a=时，直线2240xy++=与直

线20xy++=重合，当1a=−时，直线240xy−++=与直线220xy-+=平行，所以a的值为1−.故选：C4.已知直线过点(1,2)，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A.20xy−=B.240xy+−=C.20xy−=或220xy+−=D.20xy−=或240xy+−=【答

案】D【解析】【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.【详解】由题意设直线与x轴交点为(,0)a，则与y轴交点为(0,2)a，当0a=时，直线过原点，斜率为20210−=−，故方程为20xy−=；

当0a时，直线的斜率2020aa−=−−，故直线方程为22(1)yx−=−−，即240xy+−=，故选：D5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图

”，图中曲线为圆或半圆，已知点(),Pxy是阴影部分（包括边界）的动点，则2yx−的最小值为（）A.23−B.32−C.43−D.1−【答案】C【解析】【分析】转化为点(),Pxy与(2,0)连线的斜率，数形结

合后由直线与圆的位置关系求解，【详解】记()2,0A，则2ykx=−为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆()()22110xyx+−=相切时，得k最小，此时设():2APykx=−，故21211kk−−=+，解得43k=−或0k=（舍去），即min43k=−．

故选：C6.已知点P为直线1yx=+上的一点，,MN分别为圆1C()()22:414xy−+−=与圆2C：()2221xy+−=上的点,则PMPN−的最大值为A4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】求得()20,2C关于直线1yx=+的对称点为()1,1C，，由对

称性可得2PCPC=，，12113PCPCPCPCCC−=−=，，结合圆的几何性质，可得122,1PMPCPNPC+−，，从而可得结果.【详解】求得()20,2C关于直线1yx=+的对称点为(),Cmn，212122nmnm−=−

+=+解得()1,1C，由对称性可得2PCPC=，则12113PCPCPCPCCC−=−=，由于122,1PMPCPNPC+−，.1236PMPNPCPC−−+，PMPN−的最大值为6，故选C.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质、点关于直线对称问题以及解析几何求最值，属于中档

题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.7.公元前3世

纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆

.已知平面内有两点(1,0)A−和(2,1)B，且该平面内的点P满足2PAPB=，若点P的轨迹关于直线20+−=mxny(),0mn对称，则25mn+的最小值是（）A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】【分析】由题意

计算得P的轨迹方程为22(5)(2)20xy-+-=，根据对称性可得圆心在直线方程上，即522mn+=，从而利用乘“1”法即可得到最值.【详解】设点P的坐标为(),xy，因为2PAPB=，则222PAPB=，即()()()22221221xyxy++=−+−，所以点

P的轨迹方程为22(5)(2)20xy-+-=，因为P点的轨迹关于直线()200,0mxnymn+−=对称，所以圆心()5,2在此直线上，即522mn+=，所以25mn+()125522mnmn=++

14251425201022022nmnmmnmn=+++=，当且仅当425nmmn=，即11,52mn==时，等号成立，所以25mn+的最小值是20.故选：B.8.已知直线1l：20xy−+=，2l：20xy−−=，直线3l垂直于1l，2l，且垂足分别为A，B，若

()40C−，，()40D，，则CAABBD++的最小值为（）A.1022+B.82+C.21022+D.8【答案】C【解析】【分析】根据条件设出直线l3的方程2xym+=，求出点A，B坐标，用m表示出CAABBD

++，再借助几何意义即可计算得解.【详解】因直线3l垂直于1l，2l，则设直线l3的方程为：2(R)xymm+=，由22xymxy+=−=−得点(1,1)Amm−+，由22xymxy+=−=得点(1,1)Bmm+−，而()40C−，，()40D，，于是得2222(3

)(1)22(3)(1)CAABBDmmmm++=+++++−+−，而2222(3)(1)(3)(1)mmmm++++−+−表示动点,()Mmm到定点(3,1)E−−与(3,1)F的距离的和，显然，动点,()Mmm在直线yx=上，点(3,1)E−−与(3,1)F在直线yx=

两侧，因此，||||||210MEMFEF+=，当且仅当点M是直线yx=与线段EF：()1333yxx=−的交点，即原点时取“=”，此时m=0，从而得2222(3)(1)(3)(1)mmmm++++−+−取最小值210，所以，当直线l3方程为：0xy+=时，CAABBD+

+取最小值21022+.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.9

.下列选项正确的是（）．A.过点()1,2-且和直线3270xy++=平行的直线方程是3210xy+−=B.若直线l的斜率1,1k−，则直线倾斜角的取值范围是π3π,44C.若直线1:230lxy−+=与2:220lxay+−=平行，则1l与2

l的距离为5D.圆221:4240Cxyxy+−−+=和圆222:650Cxyy+−+=相交【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据题意可设直线方程是()3207xycc++=，代入点()1,2-运算求解即可；对于B：根据斜率与倾斜角的关系结合图象分析求解；对于C：根

据平行关系求2l的方程，进而结合两平行线间的距离公式运算求解；对于D：分别求圆心和半径，进而可得12CC，根据两圆位置关系分析判断.【详解】对于选项A：设与直线3270xy++=平行的直线方程是()3207xycc++=，因为直线()3207

xycc++=过点()1,2-，则340c−++=，解得1c=−，所以过点()1,2-且和直线3270xy++=平行的直线方程是3210xy+−=，故A正确；对于选项B：因为ππtan,0,,π22k=U，如图所示，若1,1k−，所以π3π0,,π4

4U，故B错误；对于选项C：若直线1:230lxy−+=与2:220lxay+−=平行，则122a=−，解得4a=−，可知2:2420lxy−−=，即210xy−−=，所以1l与2l的距离为()()223145512d−−==+−，故C错误；对于选项

D：圆221:4240Cxyxy+−−+=的圆心()12,1C，半径11r=，圆222:650Cxyy+−+=的圆心()2C0,3，半径22r=，因为()()2212201322CC=−+−=，且1223，即121212rrCCrr−+，所以圆1C和圆2C相交，故D正确；故选

：AD.10.已知动直线m：0xy−+=和n：320xy+−−=，P是两直线的交点，A、B是两直线m和n分别过的定点，下列说法正确的是（）A.B点的坐标为()3,2−B.mn⊥C.PAPB的最大值为10D.P的轨迹方程为2222

30xyxy+−−−=【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程求出定点,AB的坐标，判断A，证明直线,mn垂直，判断B，再结合222PAPBAB+=判断C，D.【详解】直线m的方程0xy−+=可化为()1yx=+，所以直线m过定点()1,

0−，直线n的方程320xy+−−=可化为()320xy−+−=，所以直线n过定点()3,2，所以点A的坐标为()1,0−，点B的坐标为()3,2，所以A错误，由已知()110+−=，所以直线m与直线n垂

直，即mn⊥，B正确，因为PAPB⊥，所以222PAPBAB+=，故()()2222312020PAPB+=++−=，所以22102PAPBPAPB+=，当且仅当10PAPB==时等号成立，C正确；因

为PAPB⊥，故222PAPBAB+=，设点P的坐标为(),xy，则()()()222213220xyxy+++−+−=，化简可得222230xyxy+−−−=，又点()12−，不是直线,mn的交点，点()12−，在圆上，故点P的轨迹为圆222230xyxy+−−−=除去点()12−，，D错误；故

选：BC.11.已知圆()22:12Mxy++=，直线30lxy−−=：，点P在直线l上运动，直线PAPB、分别于圆M切于点AB、．则下列说法正确的是（）A.四边形PAMB的面积最小值为23B.PA最短时，弦AB长为6C.PA最短时，弦

AB直线方程为10xy−−=D.直线AB过定点为1122−，【答案】AB【解析】【分析】根据题意可得当MP取最小值时，PBM的面积最小，四边形PAMB的面积取最小值23，此时PA最短，弦AB长为6

，弦AB的直线方程为310xy−+=，即可得AB正确，C错误；易知,AB在以MP为直径的圆上，设()113,Pyy+，以MP为直径的圆的方程可表示为211112222816224xyyyyy−++−+=+，可得直线AB方程为()11420xyyx++++=，过

定点为11,22−−，D错误.【详解】如下图所示：由直线PAPB、分别于圆M切于点AB、可得，PAPB=，又MAMB=，PM是公共边，所以PBMPAMV，即四边形PAMB的面积2PAMBPMBSS=，对于A，当PBM面积最

小时，四边形PAMB的面积取最小值，21222222PMBSBMBPBPMP===−，所以当MP取最小值时，即MP为圆心()1,0M−到直线30xy−−=的距离时面积最小，即min132211MP−−==+，四边形PAMB的面积的最小值为2282232−=，即A正确；对于B，由A可知

，当MP取最小值22时，PA最短，此时2622622BMBPABMP===，所以B正确；对于C，易知,AB在以MP为直径的圆上，又()1,0M−，当PA最短时不妨设()003,Pyy+，则00000312PMyykyy−==+−+，且11PMk=−，解得01y=−，即(

)2,1P−，所以223110MP=+=，且MP的中点为11,22−，即以MP为直径的圆的方程为2221110222xy−++=，与圆()22:12Mxy++=相减即可得公共弦AB的直线方

程为310xy−+=，即C错误；对于D，设()113,Pyy+，由C可知，,AB在以MP为直径的圆上，所以圆心坐标为112,22yy+，半径为21128162yy++，的即以MP为直径的圆的方程可表示为21111222281622

4xyyyyy−++−+=+，与圆()22:12Mxy++=相减整理得，直线AB方程为()11420xyyx++++=，此时直线AB过定点为11,22−−，即D错误.故选：AB12.已知ABP的顶

点P在圆()()22:3481Cxy−+−=上，顶点,AB在圆22:4Oxy+=上.若23AB=，则（）A.ABP的面积的最大值为153B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为42C.有且仅有一个点P，使得ABP为等边三角形D.

有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线【答案】ACD【解析】【分析】设点P到直线AB的距离为h，由hPDPOODPCOCOD+++求得h的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用ABP为等边三角形，则需PDAB⊥，3PD=判断C，利用射影定理可得4

PO=进而判断D.【详解】设线段AB的中点为D，因为圆O的半径为2，23AB=，所以()22231OD=−=，且5OC=，对于A选项，设点P到直线AB的距离为h，则95115hPDPOODPCOCOD+++=++=，所以当且仅当

,,,PDOC四点共线时，点P到直线AB距离的最大值为15，所以ABP的面积的最大值为153，故A正确；对于B选项，点C到直线PA的距离小于等于CA，当PACA⊥时，等号成立，又CA的最大值为7，所以点C到直线PA的距离的最大值为7，这时直线PA被圆C截得的弦长的最小值为2281782

−=，故B错误；对于C选项，若ABP为等边三角形，则需PDAB⊥，3PD=，因为1OD=，所以点D的轨迹是以O为圆心的单位圆，所以min1PDPO=−，又PO的最小值为4，所以min3PD=，当且仅当,,,PDOC四点共线时成立，因此有且仅有一个点P，

使得ABP为等边三角形，故C正确；对于D选项，若直线PA，PB都是圆O的切线，则PAOA⊥，由射影定理，可得4PO=，同上，当且仅当,,POC三点共线时，min4PO=，因此有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线，故D正确；故选：ACD第

Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应位置上.13.平行直线1:3460lxy−+=与2:6890lxy−+=之间的距离为_________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.【详解】由题

意得2:6890lxy−+=即29:3402lxy−+=则平行直线1:3460lxy−+=与2:6890lxy−+=之间的距离为229|6|321034−=+−（），故答案为：31014.已知圆()()22:1225Cxy−+−=，直线()():21140lmxmym++−−+=，当圆

C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为__________.【答案】250xy−+=【解析】【分析】直线l过的定点M，当直线l垂直于CM时，圆C被直线l截得的弦长最短，可求直线l的方程.【详解】由题意，直线l的方程化为()2140xymxy

+−+−+=，由210,40xyxy+−=−+=得1,3,xy=−=∴直线l过定点()1,3M−，显然点M在圆C内，要使直线l被圆C截得弦长最短，只需()1,3M−与圆心()1,2C的连线垂直于直线l，()21231111mm+−−=−−−

−，解得14m=，代入到直线l的方程并化简得250xy−+=.故答案为：250xy−+=.15.已知(3,1),(1,2)AB−，若ACB的平分线方程为1yx=+，则AC所在的直线方程为__________．【答案】210xy−−=【解析】【分析】先求得直线AB与直线1yx=+的交点，然后利用角

平分线定理求得C点坐标，进而求得直线AC的方程.【详解】211134ABk−==−−−，直线AB的方程为()11713,444yxyx−=−−=−+，由17441yxyx=−+=+解得3585xy==，设38,55D，依题意，ACB的平分线为直

线CD，由正弦定理得,sinsinsinsin22BDBCADACACBACBBDCADC==，由于sinsinBDCADC=，由此整理得BDBCADAC=,则2222BDBCADAC=，设(),1C

tt+，则()()()()22222222381211255311383155tttt−−+−+++−=−++−−+−，整理得251290tt+−=，解得3t=−或35t=（舍去），则()3,2C−−，211332ACk−−==−−，直线AC的

方程为()123,2102yxxy+=+−−=.故答案为：210xy−−=16.在ABC中，2ABAC=，点D是边BC上的一点，且21BDCD==，，当ABC的面积最大时，则tanABC=____________.【答案】12##0.5【解析】【分析】建立平面

直角坐标系，求出点A的轨迹为以()20，为圆心，半径为2的圆，数形结合，得到当A在()22，处时，ABC的面积最大，从而求出1tan2ABABCk==.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.则()()201

0BC−，，，.令()Axy，.由2ABAC=，即()()2222221xyxy++=−+.所以()2224xy−+=，即点A的轨迹为以()20，为圆心，半径为2的圆.所以当A在()22，处时，ABC

的面积最大.所以1tan2ABABCk==.故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题卡相应的位置上.17.圆C：22280xyx+−−＝内有一点()2,2P，过点P作直线l交圆C

于A，B两点.（1）当弦AB最长时，求直线l的方程；（2）当直线l被圆C截得的弦长为42时，求l的方程.【答案】（1）220xy−−=（2）20x−=或3420xy+=−【解析】【分析】（1）弦AB最长时，直线l过点P和圆心C,可求方程；（2）根据弦长，求得圆心到直线距离，

利用点到距离公式可求直线方程【小问1详解】圆C：22280xyx+−−＝化为标准方程为()2219xy−+=，则圆C的圆心为()1,0C.又弦AB最长时，直线l过点()1,0和()2,2，所以直线l的方程为012021yx−−=−−，.即220xy−−=.【小问2详解】当直线斜率存在时，

设直线的方程为(22)ykx−=−，即220kxyk−+−=，弦长为42时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，圆心到直线距离为()223221−=，即22211kkk+−=+，解得34k=，此时直线l的方程为3420xy+=

−，经检验k不存在时的直线20x−=也符合条件.所以直线l的方程为20x−=或3420xy+=−.18.已知(),Mxy为圆C：22414450xyxy+−−+=上任意一点，且点()2,3Q−．（1）求MQ的最大值和最小值．（2）求32yx−+的最大值和最小值．（3）求yx−的最大值和最小值．【答

案】【小问1】最大值为62，最小值为22【小问2】最大值为23+，最小值为23−【小问3】最大值为9，最小值为1【解析】【分析】（1）利用图形及点与圆的关系即可得结果；（2）利用图形将问题转化为斜率最值即可；（3）利用图形将问题转化为直线与

圆的位置关系；【详解】（1）圆C：()()2222414450278xyxyxy+−−+=−+−=，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时MQ取得最小值，即()()2222732222Q

Cr−=++−−=，与B重合时MQ取得最大值即62QCr+=，故最大值62，最小值为22；为（2）易知32MQykx−=+，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图所示.可设():23MQlykx=++，则C到其距离为244221krk−==+，解得23k=，故最大值为23+，最小值为23

−（3）设yxz−=，如图所示，z即过点M的直线yxz−=的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为5222zr−==，所以1z=或9，故最大值为9，最小值为1.19.在三棱柱111ABCABC

-中，平面11ABBA⊥平面ABC，侧面11ABBA为菱形，1π3ABB=，1ABAC⊥，2ABAC==，E是AC的中点.（1）求证：1AB⊥平面1ABC；（2）点P在线段1AE上（异于点1A，E），AP

与平面1ABE所成角为π4，求1EPEA的值.【答案】（1）证明见解析（2）125EPEA=【解析】【分析】（1）作1BOAB⊥交AB于O点，由面面垂直的性质可得1BO⊥平面ABC，可得1BOAC⊥，再由线面垂直的判定定理得AC⊥平面11ABBA，从而得到1ACAB⊥，再由线面垂直的判定定理可得

答案；（2）以A为原点，1、、ABACAO所在的直线分别为xyz、、轴，建立空间直角坐标系，设1EPEA=，可得(),1,3AP=−−，求出平面1ABE的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】因为侧面11

ABBA为菱形，1π3ABB=，2ABAC==，所以111、ABBAAB为边长为2的等边三角形，作1BOAB⊥交AB于O点，则O点为AB的中点，因为平面11ABBA⊥平面ABC，平面11ABBA平面ABCAB=，1BO平面11ABBA，所以1BO⊥平面ABC，

AC平面ABC，可得1BOAC⊥，又1ABAC⊥，111BOABB=，11、BOAB平面11ABBA，可得AC⊥平面11ABBA，因为1AB平面11ABBA，所以1ACAB⊥，因为侧面11ABBA为菱形，所以11BAAB⊥，1ABACA=，1、ABAC平面1ABC，所以1AB

⊥平面1ABC；【小问2详解】由（1）知，AC⊥平面11ABBA，π2BAC=，取做11AB的中点1O，连接1AO，则11//BOAO，所以1AO⊥平面ABC，以A为原点，1、、ABACAO所在的直线分

别为xyz、、轴，建立空间直角坐标系，则()()()()101,0,30,0,020,00,1,,，，，−AABE，()13,0,3AB=−，()11,1,3=−−EAuuur，设1EPEA=，可得(),1,3−−P，

所以(),1,3AP=−−，设平面1ABE的一个法向量为(),,nxyz=，则1100ABnEAn==，即33030xzxyz−=−−+=，令3z=，可得()1,2,3n=，可得()222πs2231431incos3,4nA

PnAPnAP=−+−+=+++=+−ruuurruuurruuur，解得0=舍去，或2=5，所以125EPEA=.20.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，222coscos1cosACB+=+，

且1b=，（1）求B；（2）若O为ABC的外接圆，若PM、PN分别切O于点M、N，求PMPN的最小值.【答案】（1）π2B=（2）2324−【解析】【分析】（1）由题目条件可证得222sinsinsinACB+=,可得ABC为直角三角形，可求出π2B=.（2）用PO分

别表示出PMPN，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222coscos1cosACB+=+，则2221sin1sin11sinACB−+−=+−，所以222sinsinsinACB+=，则222acb+=，

所以ABC为直角三角形，所以π2B=.【小问2详解】ABC的外接圆的半径为r，12rOAOC===，又2222214PNPMPOONPO==−=−，其中214PO，所以()2cos,2cos1PMPNPMPNPMPNPMPNNPO=

=−，而2222214cosPOPNNPOPOPO−==，222114214POPMPNPOPO−=−−2213238424POPO+−−=，当且仅当342PO−=取等.所以PMPN的最小值为2324−.21.在平

面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点()3,0A，且被y轴截得的弦长为23.经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.（1）求圆C的方程；（2）若点()5,0P−，直线PM与圆C的另一个交点为R，直

线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为1k，2k，求证：21kk为定值.【答案】（1）()2214xy−+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，把点的坐标代入，结合弦长公式求解即可；（2）

设()()1122,,,MxyNxy，由解方程组的方法用,MN的坐标表示,RS的坐标，然后直接计算斜率即可得定值.【小问1详解】由已知圆C的圆心在x轴上，设圆()()222:0Cxayrr−+=，又圆C经过点()3,0A，且被y轴截得的弦长为23，所以()22223223arr

a−=−=，解得12ar==，所以圆()22:14Cxy−+=.【小问2详解】设()()()()11223344,,,,,,,MxyNxyRxyTxy，则直线PM的方程为()1155yyxx=

++，其中()221114xy−+=，与()2214xy−+=联立得：()()()2221113735750xxxxx+−+−−=，由韦达定理知211313537xxxx++=+，所以1317537xxx−=−+，131837yyx=+，所以1111758,3737xyRxx−−++

，同理2222758,3737xySxx−−++，所以()()()()()()212112212212112218883783737377575753775373737yyyxyxxxkxxxxxxx

x−+−+++==−−−−++−+−+++()()()()()()()()121112121121122183783756775377537648kxxkxxkxxkxxxxxx+−+−===−−−++−+−−，所以2178kk=−，

所以21kk定值78−.22.已知在平面直角坐标系xOy中，(0,1),(0,4),AB平面内动点P满足2PAPB=．（1）求点P的轨迹方程；（2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E

为直线:4lx=上的动点，直线CE，DE为与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求2211MQNQ+的最小值．【答案】（1）224xy+=（2）23【解析】【分析】(1)根据题意用两点间距离公式求解即可；(2)利用韦达定理求出M，N的坐标，进而求得MN的直线方程，即可利用基本不

等式求出2211MQNQ+的最小值.【小问1详解】设(),Pxy，则()()2222214xyxy+−=+−，化简得224xy+=．【小问2详解】由题意得()2,0C−，(2,0),D设()()4,0Ett，则直线CE的方程为(

)26tyx=+，直线DE的方程为()22tyx=−，联立22(2),64,tyxxy=++=得2222364440363636tttxx+++−=，则224236Mtxt−=−+，即2272236Mtxt−=+，()2242636MMtt

yxt=+=+则22272224,3636ttMtt−++，联立()222,24,tyxxy=−+=得22224404txtxt+−+−=，则22424Ntxt+=+，即22284Ntxt−=+，28(2)24NNttyxt−=−=+,222288,44ttNtt−

−++，①当23t时，直线MN的斜率222222224883647222812364MNtttttkttttt−−++==−−−−++，则直线MN的方程为222288284124tttyxttt−−−=

−+−+，即()28112tyxt=−−，()1,0Q，②当23t=时，直线MN垂直于x轴，方程为1x=，也过定点()1,0Q．综上，直线MN恒过定点()1,0Q．又CQMDQN△∽△，所以3MQNQCQDQ==，所以222222311112299MQMQMMNQQQQM

+=+=，当且仅当3MQ=时取等，所以2211MQNQ+的最小值为23.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com