【文档说明】上海市华东师范大学第三附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(17)页，791.432 KB，由小赞的店铺上传

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上海市华东师范大学第三附属中学2021-2022学年高一下期末数学试卷一､填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为_________.【答案】8【解析】【分析】根据面积得到2r=，再计算周长得到答案.【

详解】214,22Srr===，4lr==，周长为28rl+=故答案为：8【点睛】本题考查了扇形周长的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知余弦函数过点,6m−，则m的值为__________．

【答案】32【解析】【分析】将,6m−代入余弦函数即可求解.【详解】设余弦函数为cosyx=，由函数过点,6m−可得3cos62m=−=.故答案为：32.3.角终边上一点(3,4)P−，则3πcossin(π)2tan(2023π)

++−=−___________.【答案】65【解析】【分析】首先根据三角函数定义求出正弦值以及正切值，再对式子利用诱导公式化简即可.【详解】因为角终边上一点(3,4)P−，根据三角函数定义，可知4sin5=，4tan3=−.而根据诱导公式3cosπsin2

+=、()sinπsin−=，()()tan2023πtanπtan−=−=−，则()()3cosπsinπsinsin2tan2023πtan++−+=−−将函数值代入可得422sin654tan53

==−.故答案为：654.设向量(),1an=，()4,2b=−−，且//ab，则实数n的值是__________.【答案】2【解析】【分析】由向量平行的坐标表示列方程，即可求参数n.【详解】由//ab，(),1an=，()4,2b

=−−，则有240n−+=，解得2n=.故答案为：2.5.已知函数πtan(0)6yaxa=−的最小正周期为π2，则a的值为___________.【答案】2【解析】【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求a的值.【详解】解：函数πtan(0)6yaxa

=−的最小正周期为ππ2a=，所以2a=.故答案为：2.6.函数π2sin(2)6yx=+的单调递减区间是___________.【答案】π2ππ,π(Z)63kkk++.【解析】【分析】由ππ

3π2π22π,Z262kxkk+++，可求得函数的单调递减区间.【详解】由ππ3π2π22π,Z262kxkk+++，得π4π2π22π,Z33kxkk++，得π2πππ,Z63kxkk++，所以函数的单调递

减区间为π2ππ,π(Z)63kkk++，故答案为：π2ππ,π(Z)63kkk++.7.“tan1x=”是“24xk=+，Zk”的______________条件；【答案】必要非充分【解析】【分析

】根据tan1x=得出4xk=+，Zk，分析4xk=+，Zk与24xk=+，Zk的关系即可.【详解】解：tan1x=，则4xk=+，Zk.4xk=+，Zk包含24xk=+，Zk.所以4xk=+，Zk是24xk=+，Zk的必要非充分条件.故答案为必

要非充分.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查正切函数已知值求角，属于基础题.8.某学校有学生1485人，教师132人，职工33人.为有效预防甲型H1N1流感，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取___________人.【答案】45【解析】【分

析】根据分层抽样的性质，先求出抽样比例，进而可求出结果.【详解】由题意可知：分层抽样的抽样比为501=1485+132+3333，所以学生中应抽取114854533=，故答案为：45.9.已知向量a与b的夹角为60°，3a=，6b=，则2ab−在a方向上的数量投影为_____

_．【答案】3【解析】【分析】求出26ab−=以及1cos2,2aba−=，然后结合投影的概念即可直接求解.【详解】因为向量a与b的夹角为60°，3a=，6b=，所以1cos603692abab===()22222444949366ababaabb−=−

=−+=−+=()2222991cos2,6318182abaabaaba−−−−====，则2ab−在a方向上的数量投影为12cos2,632ababa−−==.故答案为：3.10.定义：如果三位数abc满足ac=且ab，则称这样的三位数为“V”型三位数

，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“V”型三位数的概率是___________.【答案】320##015【解析】【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概

型计算公式，可得答案.【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为455100=，其中“V”型三位数的有101，202，212，303，313，323，404，414，424，434，

505，515，525，535，545，共15个，则概率为15310020=.故答案为：320.11.已知复数12zmi=+，2tancos2zi=+（为实数），并且12zz=，则实数m=_________．【答案】35

-【解析】【分析】利用复数相等可得出tan2cos2m==，利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得实数m的值.【详解】已知复数12zmi=+，2tancos2zi=+（为实数），并且12zz=，则tan2cos2m==，.所以，2

2222222cossin1tan3cos2cossincossin1tan5m−−==−===−++.故答案为：35-.【点睛】易错点点睛：已知tanm=，求关于sin、cos的齐次式的值，应注意以下两点：（1）一定是关于sin、cos的齐次式（或能化为齐次式

）的三角函数式；（2）因为cos0，所以可除以cos，这样可将被求式化为关于tan的表达式，然后代入tanm=的值，从而完成被求式的求值.12.在平行四边形ABCD中，2,60ABABC=

=，ACBD，相交于点O，E为线段AC上的动点，若72ABBO=−，则BEDE的最小值为___________【答案】194−【解析】【分析】先利用已知条件求得3BABC=，3BC=uuur，再设(),01AEtACt=，根据线性关系利用向量,BABC表示向量,BEDE，利用

数量积展开化简得到2773BEDEtt=−−，01t，结合二次函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由72ABBO=−，知72BABO=，即()1722BABABC+=，所以27BABABC+=，得3BABC=，则c

os603BABC=，即3BC=uuur.设(),01AEtACt=，则()BEBAtBCBA−=−，得()1BEtBAtBC=−+，()()()11DEBEBDtBAtBCBABCtBAtBC=−=−+−+=−+−，()()11BEDEtBAtBCtBAt

BC=−+−+−()()()22211221ttBAttBCttBABC=−+−+−+−()()()241913221tttttt=−+−+−+−22119773724ttt=−−=−−

，由01t知，当12t=时，二次函数取得最小值，即BEDE取最小值为194−.故答案为：194−.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底,BABC表示向量,BEDE进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函数的最值问题，突破难点.二､选择题（本大题

满分12分，本大题共有4题）13.方程220xxk−+=有一个根为12i+，求k的值为（）A.5B.3C.4D.2【答案】A【解析】【分析】将12ix=+代入方程，得出k的值.【详解】由()()212i12i20k++−+=可得，5k=.故选：A14.两个实习

生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.12B.512C.14D.16【答案】B【解析】【详解】记两个零件中恰好有

一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=23×14+13×34=512故选B.15.已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且2(0,0)OAmOB

nOCmn=+，则21mn+的最小值为（）A.10B.9C.8D.4【答案】C【解析】【分析】先根据三点共线，求出21mn+=，利用基本不等式求最值.【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且2(0,0)OAmOBnOCmn=+，所以21mn+=21

214(2)44248nmmnmnmnmn+=++=+++=当且仅当4=nmmn，即11,24mn==时等号成立．故选：C【点睛】（1）A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且OAOBOC=+，则有=1+；（2）利用

基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16.设锐角ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若,33Aa==

，则2b2cbc++的取值范围为（）A.(1，9]B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出22sin,2sin3bBcB==−，再由余弦定理可得2b2cbc++28sinsin33BB

=−+，化为54sin26B+−，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.【详解】因为,33Aa==，由正弦定理可得322sinsin3sin32abcABB====−，则有22sin,2si

n3bBcB==−，由ABC的内角,,ABC为锐角，可得0,220,32BB−，512sin2124sin2462666266BBBB−−−，由余弦定理可得222222cos3,a

bcbcAbcbc=+−=+−因此有2223bcbcbc++=+28sinsin33BB=−+243sincos4sin3BBB=++23sin22cos25BB=−+(54sin27,96B=+−故选：D.【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常

见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.三､解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.设复数zai=−，其中i为虚数单位，aR

．（1）若()1zi+是纯虚数，求实数a的值；（2）若2a=，求复数1zii++的模．【答案】（1）1−；（2）22．【解析】【分析】（1）计算出(1)zi+，再由复数的分类求解；（2）计算出1zii++，然

后由模的定义得结论．【详解】（1）由题意2(1)()(1)1(1)ziaiiaaiiiaai+=−+=+−−=++−，它为纯虚数，则1010aa+=−，解得1a=−；（2）若2a=，则()()()()221222111111222iiziiiiiii

iiiiii−−−−−++=+=+=+=−+++−，所以221121222zii+=+−=+．18.已知函数2()sinsin2cos,662xfxxxxR=++−−.

（1）求函数()fx的值域；（2）在ABC中，a，b，c分别为内角,,ABC的对边，若2a=且()0fA=，ABC的面积为3，求ABC的周长.【答案】（1）[3,1]−；（2）6.【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、辅助角公式化

简函数的解析式，最后根据正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.详解】解：（1）3131()sincossincos(cos1)2222fxxxxxx=++−−+3sincos12sin16xxx=−−=−−

.由1sin16x−−≤≤，得π32sin116x−−−≤≤，可知函数()fx的值域为[31]−，.（2）由()0fA=，得1sin62A−=，因为(0,)A，所以5(,)666A−，∴66A−=，

故3A=.∵2a=，3A=，ABC的面积为3，∴11sinsin3223SbcAbc===，【故4bc=又2222cosabcbcA=+−，即22212242bc=+−，即228bc+=，故222()2884bcbcbcbc+=+=

++=+=，∴ABC的周长为6abc++=.19.某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形ABCD作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出1km,2kmABAD==，测角仪测得角120BAD=．（1）求BD长；（2）

因地理条件限制，,ABAD不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形ABCD面积最大，求四边形ABCD面积的最大值．【答案】（1）7km；（2）293km4【解析】【分析】（1）在ABD△中利用余弦定理即可求出；（2）

在BCD△中利用余弦定理结合基本不等式可得7BCCD，即可求出734BCDS，进而求出四边形ABCD面积的最大值.【详解】（1）由题意可得，在ABD△中，由余弦定理可得：22212cos1421272BDABADABADBAD

=+−=+−−=，7BD=，故BD的长为7km；（2）在BCD△中，60BCD=，则由余弦定理可得2222cosBDBCCDBCCDBCD=+−，.的则2272BCCDBCCDB

CCDBCCDBCCD=+−−=，当且仅当BCCD=等号成立，1373sin60244BCDSBCCDBCCD==，则137393212244ABCDABDBCDSSS=++=，故四边形ABCD面积的最大值为293km4.【点睛】关键点睛：解决本题的

关键是正确利用余弦定理结合基本不等式求解三角形.20.已知O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(,)OMab=为函数()fx的相伴特征向量，同时称函数()fx为向量OM的相伴

函数.（1）设函数53()sinsin62gxxx=+−−，试求()gx的相伴特征向量OM；（2）记向量(1,3)ON=的相伴函数为()fx，求当8()5fx=且,36x−，si

nx的值；（3）已知(2,3)A−，(2,6)B，(3,1)OT=−为()sin6hxmx=−的相伴特征向量，()23xxh=−，请问在()yx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥.若存在，求出P点

坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）33,22−；（2）43310−；（3）存在，点(0,2)P.【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得33()sincos22gxxx=−+，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数()sin3cosfxxx=+，

再根据条件可得3cos35x+=，由13sinsinsincos332323xxxx=+−=+−+最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出()hx的解析式，设1,2co

s2Pxx，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.【详解】解：（1）5355()sinsinsincoscossincos6266gxxxxxx=+−−=++33()sincos22gxx

x=−+()gx的相伴特征向量33,22OM=−.（2）向量(1,3)ON=的相伴函数为()sin3cosfxxx=+，8()sin3cos2sin35fxxxx=+=+=

，4sin35x+=.,36x−，0,32x+，3cos35x+=.13433sinsinsincos33232310xxxx

−=+−=+−+=.（3）由(3,1)OT=−为31()sinsincos622hxmxmxmx=−=−的相伴特征向量知：2m=−.所以()2sin2sin2cos2

3236222xxxxxh=−=−−−=−−=.设1,2cos2Pxx，(2,3),(2,6)AB−，12,2cos32APxx=+−，12,

2cos62BPxx=−−，又APBP⊥，0APBP=11(2)(2)2cos32cos6022xxxx+−+−−=.221144cos18cos18022xxx−+−+=

，2219252cos(*)224xx−=−122cos22x−，131952cos2222x−−−，225191692cos4224x−.又2252544x−，当且仅当0x=时，2192cos22x

−和2254x−同时等于254，这时(*)式成立.在()yhx=图像上存在点(0,2)P，使得APBP⊥.【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以

及向量垂直的数量积关系，属于中档题.21.已知向量33cos,sin22xxa=r，cos,sin22xxb=−，函数()1fxabmab=−++，,34x−，m

R.（1）当0m=时，求6f的值；（2）若()fx的最小值为1−，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数()()22449gxfxm=+，,34x−有四个不同的零点？若存在

，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）32；（2）2；（3）存，72764m.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数()fx即可；（2）求出函数()fx的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；（3）由()0gx=得到

方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.【详解】解：（1）33333cos,sincos,sincoscossinsincoscos22222222222xxxxxxxxxxabx=−=−=+=

，当0m=时，()1cos21fxabx=+=+，在则13cos21cos1166322f=+=+=+=；（2）∵,34x−，∴222222222co33cossincos222cos24cos2cosssin2222ab

aabbxxxxxxxx+++=++=++=+==，则()21cos22cos12cos2cosfxabmabxmxxmx=−++=−+=−，令costx=，则112t，则222ytmt=−，对称轴2mt=，①当122m，即1m时，当12

t=时，函数取得最小值，此时最小值112ym=−=−，得32m=(舍)，②当1122m，即12m时，当2mt=时，函数取得最小值，此时最小值2212mym=−=−，得2m=，③当12m，即m>2时，当1t=时，

函数取得最小值，此时最小值221ym=−=−，得32m=(舍)，综上若()fx的最小值为1−，则实数2m=；（3）令()22242cos2cos049gxxmxm=−+=，得3cos7mx=或47m，∴方程3cos7mx=或47m在,34x−上有四个不同

的实根，则23127241273477mmmm，得72763727840mmm，则72764m，即实数m的取值范围是72764m.【

点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com