【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.077 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼教育集团2024年下学期期中检测试题高二数学时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列na满足6786aaa++=

，则7a等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质进行求解.【详解】6787736,2aaaaa++===故选：B2.若圆224820xyxym+−++=的半径为2，则实数m的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出

其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820xyxym+−++=，得22(2)(4)202xym−++=−，所以2022rm=−=，解得8m=.故选：D.3.若抛物线22(0)ypxp=的焦点与椭圆22195xy+=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x=−B

.1x=C.2x=D.2x=−【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.的【详解】∵椭圆22195xy+=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2

x=−，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为)0,50、)50,100、)100,150、)150,200、)200,300和300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度

污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日

【答案】B【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，

B选项正确；C选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C选项错误；D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；故选：B.5.已知双曲线C：2

2xa-22yb=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A.220x-25y=1B.25x-220y=1C.280x-220y=1D.220x-280y=1【答案】A【解析】【详解】由题意

得，双曲线的焦距为10，即22225abc+==，又双曲线的渐近线方程为byxa=0bxay−=，点1(2)P，在C的渐近线上，所以2ab=，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205xy−．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22行

列式12142334aaaaaaaa=−，若函数22cossin3()πcos212xxfxx−=+，则下列表述正确的是（）A.()fx的图象关于点(π,0)中心对称B.()fx的图象关于直线π2x=对称C.()fx在区间π,0

6−上单调递增D.()fx是最小正周期为π的奇函数【答案】C【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()fx解析式，AB选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.

【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cossin3cos2cos23sin22cos223fxxxxxxx=−−+=+=−，π(π)2cos103f==，点(π,0)不是()fx图象的对称中心，故A

错误；ππ2cos1223f=−=−，直线π2x=不是()fx图象对称轴，故B错误；的π,06x−时，π2ππ2,333x−−−，2ππ,33−−是余弦函数的单调递增区间，所以()fx在区间π,06−

上单调递增，故C正确；()fx的最小正周期2ππ2T==，但(0)0f，所以函数不是奇函数，故D错误.故选：C7.已知ABCV中，6AB=，4AC=，60BAC=，D为BC的中点，则AD=（）A.25B.

19C.19D.25【答案】C【解析】【分析】由题意可得：1()2ADABAC=+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122ABACABAC====uuuruuuruuuruuur，因为D为BC的中点，则1()2ADABAC=+，两边平方得，(

)22212194ADABACABAC=++=，即19AD=uuur.故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，P是C上一点，且2PFx⊥轴，直线1PF与椭圆C的另一个交点为Q，若11||4||PFFQ

=，则椭圆C的离心率为（）A.255B.22C.155D.217【答案】D【解析】【分析】由2PFx⊥轴可得：22||bPFa=，不妨设点2(,)bPca，设0(Qx，0)y，由11||4||PFFQ=，解得0x、0y，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PFx⊥轴

可得：22||bPFa=，不妨设点2(,)bPca，设0(Qx，0)y，由11||4||PFFQ=，得032cx=−，204bya=−，代入椭圆方程得：222291416cbaa+=，结合222abc=+，化简上式可得：2237ca=，所以椭圆的离心率为217cea==，故选：D．二、多项选

择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（）A.2025i1=−B.若1z，2z互为共轭复数，则12=zzC.若1z=，则z的轨迹是以原点为圆心

，半径为1的圆D.若复数1(1)i=++−zmm为纯虚数，则1m=−【答案】BCD【解析】【分析】A选项，利用复数的乘方运算得到A正确；B选项，设1izab=+，2izab=−，则12=zz；C选项，由复数的几何意义得到C正确；D选项，根

据纯虚数的定义得到方程，求出1m=−.【详解】对于A：()()1012101220252iii1ii==−=，A错；对于B：令1izab=+，2i,,Rzabab=−，221zab=+，222zab=+，所以12=zz，故B正确；对于C：1z=，故z的轨迹是以

原点为圆心，半径为1的圆，C正确；对于D：若复数1(1)i=++−zmm为纯虚数，则10,10mm+=−，即1m=−，故D正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.

三棱锥11ABDE−的体积为定值B.11EBAD⊥C.存在某个点E，使直线1AE与平面ABCD所成角为60oD.二面角11EABA−−的平面角的大小为π4【答案】BD【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正

方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A：三棱锥11EABD−的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确；对于选项B：1,BE两点在平面11ADDA上的射影分别为1,AD,即

直线1BE在平面11ADDA上的射影为1AD，而11ADAD⊥,根据三垂线定理可得11EBAD⊥.故选项B正确；对于选项C：因为1AA⊥平面ABCD,直线1AE与平面ABCD所成角为1AEA,当点E和点D重合时，1AE在平面ABCD射影最小，这时直

线1AE与平面ABCD所成角最大值为π4，故选项C不正确；对于选项D：二面角11EABA−−即二面角11DABA−−，因为111DAAB⊥，111AAAB⊥，1DA平面11EAB，1AA平面11AAB，所以1DAA即为二面角11EABA−−的平面角，在正方形11ADDA中，1π4

DAA=，所以二面角11EABA−−的大小为π4，故选项D正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16Cxyxy+=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160xyxyx

y+=，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；C.曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4；D.曲线C上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB【解析】【分析】本题首先

可以根据0xy判断出A正确，然后根据基本不等式将()3222216xyxy+=转化为224xy+，即可判断出B正确，再然后根据曲线C构成的面积小于以O为圆心、2为半径的圆O的面积判断出C错误，最后根据曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2以及曲线C的对称性即可判断出D错误

.【详解】A项：因为0xy，所以x、y异号，在第二和第四象限，故A正确；B项：因为222xyxy+，当且仅当xy=时等号成立，所以222xyxy+，()()22232222222161642xyxyxyxy++==+，即224xy+，222xy+?，故

B正确；C项：以O为圆心、2为半径的圆O的面积为4，显然曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于圆O的面积，故C错误；D项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2

,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C上，故结合曲线C的对称性可知，曲线C仅经过整点()0,0，故D错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中

获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250xyx+−−=与圆222440xyxy++−−=的交点为A，B，则公共弦AB所在的直线

的方程是________.【答案】4410xy−+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250xyx+−−=与圆222440xyxy++−−=相交，两圆方程相减得

，2222244441025xxyxyxxyy++=−−+−−+−−=−，故公共弦AB所在的直线的方程是4410xy−+=.故答案为：4410xy−+=13.若数列na满足111nndaa+−=（*nN，d为常数），则称数列na为“调和数

列”，已知正项数列1nb为“调和数列”，且12202220220bbb+++=，则12022bb最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列nb为等差数列，公差为d，应用等差数列前n项和公式得

1202220bb+=，应用基本不等式求12022bb最大值.的【详解】由题意，正项数列1nb为“调和数列”，则1nndbb+=−（d为常数），所以正项数列nb为等差数列，公差为d，则()120221220222022202202b

bbbb+++==+，则1202220bb+=，则2212022120222010022bbbb+==（当且仅当0122110bb==时等号成立），所以12022bb的最大值

是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥PABCD−中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且22AB=，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当ANMN＋取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为_________

___．【答案】643.【解析】【分析】根据题意有=BANMNNMNBM＋＋,动点M恰为PD的中点即4BPBD==,及可求出23PO=，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=BANMNNMNBM＋＋当BMPD⊥时BM最小，因为M为PD的中点，故而为PD的中点，即=4

BPBD=，2BO=23PO=，设外接球的半径为r，则22(23)4rr=−+．解得433r=.故外接球的表面积为26443r=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列na是等差数列，nS是na的前n项和，84a=，1122S=−.（1）求数列na的通项公式；（2）求nS的最小值.【答案】（1）320nan=−（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组

求出117,3,ad=−=即可得，（2）由通项公式可求得当6n时，0na，从而可得当6n=时，nS取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列{𝑎𝑛}的公差为d，则8111174115522aadSad=

+==+=−，解得1173ad=−=，所以1(1)320naandn=+−=−【小问2详解】令3200nan=−，解得203n，所以当6n时，0na.故当6n=时，nS取到最小值，为6161557Sad=+=−.16.已知公差不为零的等差数列na的前n项和为n

S，若10110S=，且1a，2a，4a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若3nannba=+，求数列nb的前n项和.【答案】（1）2nan=（2）199(1)8nnn+−++【解析】

【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nnbn=+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】.根据na为等差数列，设公差为0d.10110S

=，即11101045ad=+①，1a，2a，4a成等比数列∴2214aaa=，()()21113+=+adaad②，由①②解得：122ad==，数列na的通项公式为2nan=.【小问2详解】由232329na

nnnnbann=+=+=+，数列nb的前n项和()()122212999nnnTbbbn=+++=+++++++()1919(1)992(1)2198nnnnnn+−+−=+=++−.17.在四棱锥PABCD−中，底面ABC

D为直角梯形，ADBC∥，ADAB⊥，侧面PAB⊥底面ABCD，122PAPBADBC====，且E，F分别为PC，CD的中点，（1）证明：//DE平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为60，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余

弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB中点M，连接AM，EM，通过证明四边形ADEM为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF与平面PAB所成的角为60，可得,,,,GFPGAGBGAB，建立以G为原点的空间

直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB中点M，连接AM，EM，E为PC的中点，//MEBC，12MEBC=，又AD//BC，12ADBC=，//MEAD，MEAD=，四边形ADEM为平行四边形，//DEAM，DE平面PAB，AM平

面PAB，//DE平面PAB；【小问2详解】平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,ABCDABBC=平面ABCD，,BCABBC⊥⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，则//,FGBCFG⊥平面PAB，()160,32GPFGFADBC==+=，3

tan60,3PGPG==，又2,431,2PAPBAGGBAB====−==，如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，()()()0,0,3,1,4,0,1,2,0PCD−，()()1,4,3,2,2,0PCCD=−=−−，设平面PCD的一

个法向量，()1,,nxyz=，则11430220nPCxyznCDxy=+−==−−=，取1y=，则()11,1,3n=−，平面PAB的一个法向量可取()20,1,0n=，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为，121215cos55nnnn=

==，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=上一点(,6)Pm到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MAMB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,

0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TCTD为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212xy=（2）323（3）存在定点191,93T，TCTD

为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPFy=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,AB两点坐标，利用0MAMB=求出M点坐标，求出M点到直线l的距离和弦长AB，可求M

AB△的面积；（3）设()00,Txy，()33,Cxy，()44,Dxy，过点Q的直线为(2)ykx=−，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TCTD，求出算式的值与k无关的条件，可得TCTD为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPFy=+，解得692p+=，6p=.

抛物线的方程为212xy=.【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，由（1）知点(0,3)F，直线l的方程为3330xy+−=.由23330,12,xyxy+−==可得21090yy−+=，则1210yy+=，129yy=，12121061622pp

ABAFBFyyyyp=+=+++=++=+=，则不妨取11y=，29y=，则点A，B的坐标分别为(23,1)，(63,9)−.设点M的坐标为(,3)t−，则(23,4)MAt=−uuur，(63,12)MBt=−−uuur，则(23)(63)4120MAMBt

t=−−−+=，解得23t=−.即(23,3)M−−，又点M到直线l的距离632td−=，故43d=，故MAB△的面积13232SdAB==；【小问3详解】设()00,Txy，()33,Cxy，()44,Dxy，过点Q的直线为(2)ykx=−，2(2)12ykxxy

=−=联立消去y得：212240xkxk−+=，0时，3412xxk+=，3424xxk=，联立消去x得：()22241240ykkyk+−+=，234124yykk+=−，2344yyk=，()()()()30403040TCTDxxxxyyyy

=−−+−−()()22340343403400xxxxxyyyyyxy=−++−+++()2222000024124124kxkkykkxy=−+−−++()()2220000024124412xykykxy=−++−++要使()()

2220000024124412xykykxy−++−++与k无关，则00241240xy−+=且04120y−=，0199x=，013y=，存在191,93T此时TCTD为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活

动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折

痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点,4BAB=，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点T重合，折痕与直线TA交于点,PP的轨迹为曲线C.（1）以AB所在直线为x轴建立适当的坐标系，求C的方程；（2）设A

B的中点为O，若存在一个定圆O，使得当C的弦PQ与圆O相切时，C上存在异于,PQ的点,MN使得//PMQN，且直线,PMQN均与圆O相切.（i）求证：OPOQ⊥；（ii）求四边形PQNM面积的取值范围.【答案】（1）2213yx−=；（2）（i）证明见解析；（ii）)6,

+.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM为菱形，设直线,OPOQ的斜率分别为1,kk−，将直线,OPOQ分别与双曲线方程联立求得||,||OPOQ，通过计算O到直

线PQ的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0AB−.由折纸方法可知：PBPT=，所以2PBPAPTPATAAB

−=−==.根据双曲线的定义，C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,xyabab−=则221,2acab==+=，所以221,3ab==.故C的方程为2213yx−=.【小问2详解】（

i）假设存在符合条件圆O，如图所示：的由//PMQN可得180MPQNQP+=，根据切线的性质可知，,MPOOPQNQOOQP==,所以90OPQOQP+=，即OPOQ⊥.（ii）分别作,PQ关于原点O的对称点,NM，则,NM均在C

上，且四边形PQNM为菱形，所以,PMQN均与O相切，所以M与M重合，N与N重合，所以四边形PQNM为菱形.显然，直线,OPOQ的斜率均存在且不为0.设直线,OPOQ的斜率分别为1,kk−，则直线OP的方程为ykx=，直线OQ的方程

为1=−yxk.设()()1122,,,PxyQxy，则由22,13ykxyx=−=，得()2233kx−=，所以230k−，且21233xk=−，所以203k，且22121||133kOPkxk+

=+=−.同理可得：213k，且221||331kOQk+=−.所以四边形PQNM的面积()()()222212||||6331kSOPOQkk+==−−.设241,43tkt=+，故()()22643431616ttStttt==−−−+−.设1=ut，则1344u，所以21

616163Suu=−+−.因为216163yuu=−+−在11,42单调递增，在13,24单调递减，所以(0,1y.所以)6,S+.所以四边形PQNM的面积的取值范围是)6,+.