【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测（入学分班考试）数学试卷 Word版含解析.docx，共(24)页，3.450 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰

亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1万1亿．若1兆10m=，则m的值为（）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解.【详解】1万=410，所以1亿=810，所以1兆=88161

01010=，所以16m=.故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白

露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A12B.112C.16D.14【答案】D【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节

气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=，故选：D3.如图，矩形ABCD中，3AB=，1AD=，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（）

.A.2B.101−C.5D.51−【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于223110AC=+=，所以点M所表示的数为()2103101+−=−.故选：B4.若关于x的不等式组()532223x

xxxa+−++恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（）A.53a−B.5433a−−C.523a−−≤D.523a−−【答案】C【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a的取值范围.【详解】解不等式532xx+−，得11x，解不等式()223xxa++

，得23xa−，由已知可得7238a−，所以523a−−≤.故选：C.5.在ABCV，3AC=，4BC=，5AB=，点P在ABCV内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的半径为2，圆P的半径

为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）A.内含B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得.【详解】由圆A与圆P内切，则312PA=−=，5AB=

，又点P在ABCV内，则PAPBAB+，且PBAB，所以523PBABPA−=−=，且5PB，则3232PB−+，由圆B的半径为2，圆P的半径为3，所以圆P与圆B相交.故选：B.6.对于正整数k定义

一种运算：1()[][]44kkfk+=−，例：313(3)[][]44f+=−，[]x表示不超过x的最大整数，例：[3.9]3=，[1.8]2−=−．则下列结论错误的是（）A.()10f=B.()0fk=或1C.()()4fkfk+=D.()

()1fkfk+【答案】D【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A，11(1)[][]00024f=−=−=，A正确；对于B，取4,1,2,3,4knii=+=，n为自然数，当4i=时，1()[1][1]

[1]044fknn=++−+==，当3i=时，33()[1][]1([])144fknnnn=+−+=+−+=，当1,2i=时，11()[][][]([])04444iiiifknnnn++=+−+=+−+=，B正确；对于C，11(4)[1][1]1[](1[])()4444kkkkf

kfk+++=+−+=+−+=，C正确；对于D，414313(31)[][]0,(3)[][]14444ff+++=−==−=，即(31)(3)ff+，D错误.故选：D7.如图，点A为反比例函数()10yxx=−图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数()40yxx=的图象

交于点B，则AOBO的值（）A12B.14C.33D.13【答案】A【解析】【分析】设121214,,,AxBxxx−，由,AB两点分别做x轴的垂线，垂足分别为,EF，由AOBO⊥，得∽AOEOBF，由==AEEOAOOFB

FBO，可得答案.【详解】设()12121214,,,0,0AxBxxxxx−，由,AB两点分别做x轴的垂线，垂足分别为,EF，且()()12,0,,0ExFx，因为AOBO⊥，所以,==AOEOBFOAEBOF，所以∽AOEOB

F，所以AEEOOFBF=，可得112214−−=xxxx，即22124xx=，所以122xx=−，所以12121211==−==−=AExxxOABOOFx..故选：A.8.若二次函数的解析式为()()()2215yxmxm=−−，且函数图象过

点(),pq和点()4,pq+，则q的取值范围是（）A.124q−B.50q−C.54q−D.123q−【答案】A【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1xm=+，进而可得412ppm++=+

，由函数图象过点(),pq，可得2(1)4qm=−−+，可求q的取值范围.【详解】因为二次函数的解析式为()()()2215yxmxm=−−，所以二次函数的对称轴为1xm=+，函数图象过点(),pq和点()4,pq+，故点(),

pq和点()4,pq+关于直线1xm=+对称，所以412ppm++=+，所以1[0,4]pm=−，又()()()()2222121223(1)4qpmpmmmmmm=−−=−−−−=−++=−−+，当1m=，max

4q=，当5m=，min12q=−，所以124q−.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9.分解因式：432449aaa−+−=______．【答案】2(23)(1)(3)aaaa−++−【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可

得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)aaaaaaaaaaaaa−+−=−−=−+−−=−++−.故答案为：2(23)(1)(3)aaaa−++−10.直线1:1lyx=−与x轴交

于点A，将直线1l绕点A逆时针旋转15°，得到直线2l，则直线2l对应的函数表达式是______．【答案】33yx=−【解析】【分析】先求得2l的倾斜角，进而求得直线2l对应的函数表达式.【详解】直线1:1lyx

=−与x轴交于点()1,0A，直线1:1lyx=−的斜率为1，倾斜角为45，所以2l的倾斜角为60，斜率为3，所以直线2l对应的函数表达式是()3133yxx=−=−.故答案为：33yx=−11.若关于x的分式方程22411xaxaxx−−+−=−+的解为整数，

则整数a=______．【答案】1【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x且1x−，再化简方程求解2xa=，由,ax均为整数可求.【详解】则方程22411xaxaxx−−+−=−+可知，1x且1x−.方程可

化为222211xaxaxx−−+−=+−+，即2211aaxx−+=−+，解得2xa=，由1x且1x−，所以2a且2a−.由a为整数，且x为整数，则当1a=−，2x=−，或当1a=，2x=时满足

题意.所以1a=.故答案为：1.12.如图，已知两条平行线1l，2l，点A是1l上的定点，2ABl⊥于点B，点C，D分别是1l，2l上的动点，且满足ACBD=，连接CD交线段AB于点E，BHCD⊥于点H，则当BAH最大时，s

inBAH的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BHCD⊥于点H，所以点H在以BE为直径的圆上运动,当AH与圆O相切时,BAH最大，据此在OHA求解即可.【详解】12//,//,ACBDll四边形ACBD是平行四边形12AEBEAB=

=A为定点,且2//ABlAE为定值,BHCD⊥90BHE=,如图，取BE的中点O,则点H在以BE为直径的圆上运动,此时1123OEBEOA==,当AH与圆O相切时,BAH最大1sin3OHBAHOA==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明

过程或演算步骤．13.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a.教

师评委打分：86889091919191929298b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x，第2组8588x，第3组8891x，第4组9194x，第5组9497x，第6组97100x）；平均数中位数众数教师评委9

191m学生评委90.8n93c.评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x，则x___

___91（填“”“=”或“”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如

下：评1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______.【答案】（1）①9

1；4；②（2）甲；92【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可.【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数91m

=；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x，则1(8890919191919292)90.758x=+++++++=，91x.【小问2详解】甲选手的平均数为1(93909

29392)925++++=，乙选手的平均数为1(9192929292)91.85++++=，因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数，因为5

名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92，乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S=−+−=乙，5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k，所

以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，9390929392909490949192929292k++++++++++++，9291k，k为整数，k的值为92.14.根据以下素材，探索完成任

务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC为椅背，EC为坐垫，C，D为焊接点，且CD与AB平行，支架AC，BD所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之

间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF=时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC和坐垫EC的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点

在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8，cos530.6，tan531.3）任务：（1）根据素材求底座半径OA；（2）计算图3中点B距离地面的高度；（3）①求椅背FC的长度范围；（结果精确到0.1m）②设计一种符合要求的方案．【答

案】（1）125厘米；（2）19.6厘米（3）①64.580FC；②70cm，90cm（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB为矩形，35AGBG==厘米，5AHGM==厘米，设底座半径OAr=厘米，则OMOAr==厘米，由勾股定

理求出r即可得出答案；（2）由四边形ANBK为矩形，进而得AKBNh==，()125cm,125cmOKhOB=−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h的方程，解方程求出h即可得出答案；（3）①过F作FPOA⊥于P，过点E作EQOA⊥于Q，先求出coscos0.28QCDOAB

==，设椅背FCx=厘米，则坐垫(160)ECx=−，即可得0.60.28(160)12xx−−，由此解得64.5x，据此可得椅背FC的长度范围；②在①中椅背FC的长度范围任取一个FC的值，再计算出EC的值即可，例如取70FC=厘米，则16070

90EC=−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC的长度范围内即可）．【小问1详解】过点A作AH垂直地面于H，过点O作OGAB⊥于G，OG的延长线于地面交于点M，如图所示：AB平行于地面，四边形AHNB为矩形，1352AGBGAB===厘米，5AHGM==厘米，设底座半径OAr=厘米，则OMO

Ar==厘米，(5)OGOMGMr=−=−厘米，在RtOAG中，OAr=厘米，35AG=厘米，(5)OGr=−厘米，由勾股定理得：222OAOGAG=+，即：222(5)35rr=−+，解得：125r=，底座半径OA的长度为125厘米；【小问2详解】过点B作BN垂直地面于N，BKOA

⊥于K，如图所示：设BNh=，底座与地面相切于点A，OA垂直地面于点A，四边形ANBK为矩形，AKBNh==，由任务一可知：125cm,125OAOBOKOAAKh====--，在RtABK△中，cm,=70cmAKh

AB=，由勾股定理得：2222270BKABAKh=−=−，在RtOBK中，()125cm,125cmOKhOB=−=，由勾股定理得：22222125(125)BKOBOKh=−=−−，222270125(125

)hh−=−−，解得：19.6h=，点B距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F作FPOA⊥于P，过点E作EQOA⊥于Q，如图所示：//CDABQ，QCDOAB=，由任务②可知：19.6AKh==厘米，70AB=厘米，在RtABK△中，19.6cos0.2

870AKOABAB===，coscos0.28QCDOAB==，椅背FC和坐垫EC的材料总长度为160厘米，设椅背FCx=厘米，则坐垫(160)ECx=−，椅背长度小于坐垫长度，160xx−，解得：80x，在RtCQ

E△中，cos0.28CQQCDCE==，0.280.28(160)CQCEx==−厘米，在RtCFP△中，cosCPOCFCF=，coscos530.6CPCFOCFxx==（厘米），F点比E点在竖直

方向上至少高出12厘米，12APAN−，即：()12ACCPACCQ+−+，12CPCQ−，0.60.28(160)12xx−−，解得：64.5x，又80x，64.580x，即：64.58

0FC，椅背FC的长度范围是：64.580FC；②由于64.580FC，故取70cmFC=，则1607090cmEC==-．15.定义：在平面直角坐标系中，直线xm=与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中点P及点P右侧部分关于直线xm=

的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线xm=的“迭代函数”．例如：图1是函数1yx=+的图象，则它关于直线0x=的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,

10.xxyxx+=−+（1）函数1yx=+关于直线1x=的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243yxx=−++关于直线xm=的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m=______．（3）已知正方形

ABCD的顶点分别为：(),Aaa，(),Baa−，(),Caa−−，(),Daa−，其中0a．①若函数6yx=关于直线2x=−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD的边有3个公共点，求a的值；②若6a=，函数6yx=

关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，求n的取值范围．【答案】（1）1,13,1xxyxx+=−+（2）172m−=或172m+=，（3）①3；②()5,1,12−−−.【解析】【分析】（1）取点()2,3M，()3,4N，求两点关于1x=的对

称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243yxx=−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线xm=的对称点，由条件列方程求m即可；（3）①求函数6yx=关于直线2x=−的“迭代函数”的解析式，作函

数图象，观察图象确定a的值；②分别在0n，0n=，0n时求函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”解析式，讨论n，由条件确定n的范围.【小问1详解】在函数1yx=+的图象上位于1x=右侧的部分上取点()2,3M，()3,4N，点()2,3M关于直线1x=的对称点为

(0,3)，点()3,4N关于直线1x=的对称点为()1,4−，设函数1yx=+，1x的图象关于1x=对称的图象的解析式为,1ykxbx=+，则34bkb=−+=，解得13kb=−=，所以函数

1yx=+关于直线1x=的“迭代函数”的解析式为1,13,1xxyxx+=−+；【小问2详解】取1x=−可得，2431432yxx=−++=−−+=−，故函数243yxx=−++的图象不过点()1,0−，又点()1,0−关于直线xm=对称点为()21,0

m+，由已知可得()()20214213mm=−++++，1m−，所以172m−=或172m+=，【小问3详解】①当0x或20x−时，函数6yx=关于直线2x=−的“迭代函数”的图象的解析式为6yx=，当2x−时，设点𝐸(𝑥,𝑦)在函数6yx=关于直

线2x=−“迭代函数”的图象上，则点()4,xy−−在函数6yx=的图象上，所以64yx=−−，所以函数6yx=关于直线2x=−的“迭代函数”的解析式为)()()6,2,00,6,,24xxyxx−+=

−−−−，作函数6yx=关于直线2x=−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a=时，函数6yx=关于直线2x=−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD的边有3个公共点，②若0n，当xn时，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象的解析式为6yx=，当0x或

0xn时，设点𝐸(𝑥,𝑦)在函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象上，则点()2,nxy−在函数6yx=的图象上，所以62ynx=−，的的所以函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2xnx

yxnnx+=−−，当6n时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有2个公共点，当6n=时，作函数6yx=关于直

线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有2个公共点，当16n时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的

“迭代函数”的图象与正方形ABCD有2个公共点，当1n=时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有3个公共点，当01n时，作函数6y

x=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当0n=时，函数6yx=关于直线𝑥=0“迭代函数”的解析式为6,06,0xxyxx=−，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”

的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，若0n，当0nx或0x时，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象的解析式为6yx=，当xn时，设点𝐸(𝑥,𝑦)在函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象上，则点

()2,nxy−在函数6yx=的图象上，所以62ynx=−，的所以函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的解析式为)()()6,,00,6,,2xnxyxnnx+=−−，当10n−时，作函数6yx=关于直

线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当1n=−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当512n−−时，作函数

6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6y

x=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD

有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n−−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，

函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当6n=−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当6n−时，作函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象可得，

函数6yx=关于直线xn=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，综上，n的取值范围为()51,12−−−，.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定

理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是

制胜法宝.16.已知抛物线2yxbxc=−++与x轴交于点()1,0A−，()3,0B．（1）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设PAD△面积为1S，PBE△面积为2S，求12SS的值；（2）如图2，

点K是抛物线的对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线//lx轴，点Q是直线l上一动点求QMQN+的最小值．【答案】（1）19（2）45【解析】【分析】（1）把点()1,0A−，

()3,0B代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)Pp，求出直线AP解析式为ypxp=+，联立方程223ypxpyxx=+=−++，可得2(3,4)Eppp−−+，同理可得234(,)393pppD−−+，即可得1S，

2S，化简可得结果；（2）作点N关于直线l的对称点N，连接MN，过M点作MFNN⊥于F，求出(1,0)K，设直线MN解析式为ykxd=+，把点K坐标代入即可知直线MN的解析式ykxk=−，设2(,23)Mmmm−++，2(,23)Nnnn−++，求出2(,25)Nn

nn−+，可得QMQNQMQNMN+=+，结合2(,23)Fnmm−++，可得222421780MNMFNFkk=+=++，从而得到QMQN+的最小值.【小问1详解】把点()1,0A−，()3,0B代入抛物线方程2yxbxc=−++得：10930bcbc−−+=−

++=，解得：23bc==，所以抛物线方程为：223yxx=−++，设(0,)Pp，直线AP解析式为11ykxb=+，把点()1,0A−，(0,)Pp代入得：1110kbbp−+==，所以

线AP解析式为ypxp=+，联立223ypxpyxx=+=−++，解得：10xy=−=或234xpypp=−=−+，所以2(3,4)Eppp−−+，设直线BP解析式为22ykxb=+把点()3,0B，

(0,)Pp代入得：22230kbbp+==，直线BP解析式为3pyxp=−+联立2323pyxpyxx=−+=−++，解得：30xy==或233493pxppy−==−+可得234(,)393pp

pD−−+，所以221142()2(3)2939ABDABPDPppSSSAByyppp=−=−=−+−=−，()2221()242(3)2ABEABPEPSSSAByyppppp=−=−=−+−=−，所以2122192(3)92(3)SppSpp−=−=【小问2详解

】作点N关于直线l的对称点N，连接MN，过M点作MFNN⊥于F，如图：因为2223(1)4yxxx=−++=−−+，所以抛物线223yxx=−++的对称轴为1x=，所以(1,0)K，设直线MN解析式为ykxd=+，把点

(1,0)K代入得：=0kd+，所以=dk−，所以直线MN的解析式为ykxk=−设2(,23)Mmmm−++，2(,23)Nnnn−++，联立223yxxykxk=−++=−，可得2(2)30xkxk+−−−=则2mnk+=−，

3mnk=−−，因为N，N关于直线l：4y=对称，所以2(,25)Nnnn−+，则QMQNQMQNMN+=+，又2(,23)Fnmm−++，所以222()2NFmnmn=+−++，FMmn=−，在RtMFN中，2222222()2()2MNMFNFmnmnmn=+=−++

−++，222()4()22()2mnmnmnmnmn=+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2kkkkk=−−−−+−−−−−−+421780kk=++所以当0k=时，2MN最小为80，此时45MN=，所以45QMQN+，即QMQN+的最小值

为45.