【文档说明】湖南省长沙市周南中学2025届高三8月联考数学模拟试卷答案.docx，共(12)页，643.190 KB，由小赞的店铺上传

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湖南省长沙市周南中学2025届高三8月联考数学模拟试卷参考答案1．B【分析】先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案；【详解】因为2,3,4,5,4ABxx==，所以2,3AB=．故选：B.2．D【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到42iz=

+，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】因为()()3i1i42iz=−+=+，所以224225z=+=.故选：D3．D【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.【详解】()221222225142abaaab−−===--,故选：D4．A【分析】由406

020=−，结合两角差的正弦展开化简即可.【详解】原式()2sin6020sin202sin60cos202cos60sin20sin20cos20cos20−+−+==312c

os202sin20sin203cos20sin20sin20223cos20cos20−+−+===.故选：A5．C【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求

出答案.【详解】设数列na的公比为(0)qq，则3123288814Saaaqq=++=++=，得23440qq−−=，解得2q=或23q=−（舍），所以3334474818818aaaqaqqaaaa++===++.故选：C.6．C【分析】取AB的中点O，连接OC，OD，证得AB

⊥平面OCD，三棱锥ABCD−的体积13ABCDOCDVSAB−=△，计算得到答案；【详解】由ABCD⊥，易得BCACBDAD===，取AB的中点O，连接OC，OD，则ABOC⊥，ABOD⊥，又OCODO=，OC，OD平面OCD，所以AB⊥平面OCD，所以31

119169216cm332ABCDOCDVSAB−===△，故选：C.7．A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造4125na，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n是2log15(14()5)xxx−+−+的正

整数解，故2log(15)(15)4nnn−+−+，取指数得()()415152nnn++−−，同除2n得，41515222nn+−−，故411515122255nn+−

−，即4125na，根据na是递增数列可以得到2na也是递增数列，于是原不等式转化为2812525na.而565,8aa==可以得到满足要求的n的

最大值为5，故A正确.故选：A8．A【分析】原不等式()2e1xkxkx++等价于()12exxkx++，设()()2gxkx=+，()1exxfx+=，然后转化为函数的交点结合图象可求.【详解】原不等式()2e1xkx

kx++等价于()12exxkx++，设()()2gxkx=+，()1exxfx+=，等价与函数()()2gxkx=+在()1exxfx+=图象下方的整数解恰有2个，函数()()2gxkx=+的图象是恒过()2,0−的直线，()1exxf

x+=，则()exxfx−=，当(),0x−时，()0exxfx−=，所以()1exxfx+=在(),0x−单调递增，当()0,x+时，()0exxfx−=，所以()1exxfx+=在𝑥∈(0,+∞)单调递减，且()00101ef+==，做出()1ex

xfx+=和()()2gxkx=+的图象可知，当0k时，符合题意的解的个数大于2个，所以0k，从图中可看到一个解是0x=，则另外一个解是1x=，且()()22gf，因为()()gxfx，所以在2x=可取等号，()()()()22311e2234ekgfgfk

，解之可得2324e3ek故选：A9．AC【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案.【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；对于B，这组数据的平均数是()198610976988+++++++=，故B错

误；对于C，这组数据的极差是1064−=，故C正确；对于D，这组数据的方差是()()()()()()()()22222222219888681089878689828s=−+−+−+−+−+−+−

+−=，所以这组数据的标准差是2，故D错误.故选：AC.10．AC【分析】复数除法化简的z，再根据复数z的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项；【详解】由题意得()()()()2i22i2

2i6322i22iz++==+−+，所以z的实部为26，虚部为23，故A正确B错误；22222,632zz=+=在复平面内对应的点22,63−位于第四象限．故C正确D错误；故选：AC.

11．AB【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D.

【详解】因为132fx−为偶函数，1111332222fxfxfxfx−=+−=+()()1fxfx=−，故函数图象关于直线12x=对称，𝑓(2𝑥+1)为奇函数，()()()21

211(fxfxfxfx−+=−+−+=−+1），函数图象关于(1,0)对称，对于B，()()()()()()11,21fxfxfxfxfxfx=−=−++=−+=，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；对于A，()(

)2121fxfx−+=−+，令()()0,11xff==−，故𝑓(1)=0，又()()()01110fff=−==，故A正确；对于C，131222fff−==−，当10,2x时，𝑓′(�

�)>0，即函数在10,2上递增，函数图象关于(1,0)对称，故函数在13,22上递减，故函数在11,22−上递增，所以1122ff−，故

函数不是偶函数，故C错误；对于D，124333fff=，故D错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；12

．30−【分析】设数列1na的公差，由585,10aa==求得公差，再由1na的通项公式求得结果.【详解】设1na的公差为d，所以8511111310510daa=−=−=−，所

以130d=−，所以1281111144103030daa=+=+−=−，解得1230a=−.故答案为：30−.13．129【分析】利用特殊值法，结合()()77231xx−=−+进行求解即可.【详解】令0x=，得701272128aaaa+++

+==，又()()77231xx−=−+，则()()7770771C31axx+=−+，解得71a=−．故012671281281129aaaaa++++=−=+=．故答案为：12914．()221,3916yxy−=−【分析】以HF所在直

线为x轴，GE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出直线EQ的方程与直线GN的方程，联立求解即可.【详解】以HF所在直线为x轴，GE所在直线为y轴建立平面直角坐标系.因为8,6ABBC==，所以()()()()()()0

,0,4,0,4,0,0,3,0,3,4,3OHFEGC−−，所以()4,0OH=−()()0,3,4,3CFOC=−=，又因为,OQkOHCNkCF==，所以()()4,0,0,3OQkCNk=−=−，所以()()4,0,4,33QkNk−−.因为()()0,3,4,0EQ

k−−，所以直线EQ的方程为334yxk=−−①，因为()()0,3,4,33GNk−，所以直线GN的方程为334kyx=−+②.由①可得()()3043xkxy=−+，代入②化简可得()2210916yxx−=，，结合图象易知点

R可到达()0,3G，但不可到达()0,3E−，所以点R的轨迹方程为()221,3916yxy−=−，故答案为：()221,3916yxy−=−15．(1)11cos14B=，1534CBDS=△(2)53【分析】（

1）借助余弦定理与面积公式计算即可得；（2）借助正弦定理计算即可得.【详解】（1）在CBD△中，由余弦定理得22222273511cos227314BCBDCDBBCBD+−+−===，∵0πB，∴221153s

in1cos11414BB=−=−=，∴1153153sin3722144CBDSBDBCB===；（2）由（1）知53sin14B=，∵30A=，∴1sin2A=，在ABCV中，由正弦定理得sinsinBCACAB=，即537sin14531sin2BCBACA==

=.16．(1)2211612xy+=(2)13【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定𝑎,𝑏,𝑐的值，得出椭圆的标准方程.（2）设直线l的方程为：2xmy=+，与椭圆方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，由韦

达定理得到12yy+，12yy，再把12kk用12yy+，12yy表示出来，化简即可得解.【详解】（1）由1FMN△的周长为16，及椭圆的定义，可知：416a=，即4a=，又离心率为12cca==所以2c=22216412bac=−=−=．所以椭圆C的方程为：2211612xy+=．（2）依题意

，直线l与x轴不重合，设l的方程为：2xmy=+．联立22116122xyxmy+==+得：()223412360mymy++−=，因为2F在椭圆内，所以0，即()()2212434360mm++，易知该不等式恒成立，设()()1122,,,MxyNxy，由韦达

定理得1212221236,3434myyyymm−−+==++．又(4,0),(4,0)AB−，则()()()()1121211121222121122242424664yyxymykxmyyyykyxymymyyyx−−+−====+++−注意到121212

363yymmyy+−==−，即：()12123myyyy=+()()12111211221221221232231636393yyykmyyyyykmyyyyyyyy+−−+====++++.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交

问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、21xx（或12yy+、1

2yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.17．(1)证明见解析(2)2=【分析】（1）题意先证明DE⊥平面ABD，得到DEAB⊥，根据线面垂直判定定理得证；（2）作AQBD⊥，垂直为Q，由（1）得DEAQ⊥，证得AQ⊥平

面BDE，以B为原点，CB，DB，QA的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得MC和平面AEC的一个法向量()1,1,3m=−，根据MC与平面AEC所成角正弦值为15，解得参数的值；【详解】（1）证明：由题意知DEAD⊥，D

EBD⊥，又ADBDD=，所以DE⊥平面ABD，又AB平面ABD，所以DEAB⊥，又ADAB⊥，DEADD=，所以AB⊥平面ADE¢（2）作AQBD⊥，垂直为Q，由（1）知，DE⊥平面ABD，又AQ平面A

BD，所以DEAQ⊥，又BDDED=，BD，DE平面BDE，所以AQ⊥平面BDE故以B为原点，CB，DB，QA的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0C−，()0,3,3A−，()2,4,0E−−，()

0,4,0D−设()000,,Mxyz，则()2,0,0DE=−，()000,4,DMxyz=+，(4,4,0)CE=−，()6,3,3CA=−，又=DMDE，所以0002400xyz=−+==，故()2,4

,0M−−，()26,4,0MC=−设平面AEC的一个法向量为(),,mxyz=，则00mCEmCA==，即4406330xyxyz−=−+=，取1x=，则()1,1,3m=−设MC与平面AEC所成角

为θ，则()22641sincos,526165mMCMCmmMC−+====−+，解得2=或1=−，由题意知0，故2=.18．(1)1,0ab==；(2)在(,1)−−上单调递减，在(1,)−+上单调递增；(3)证明见解析.【分析】（1）求出函数

()fx的导数，利用导数的几何意义及给定切线求出,ab.（2）由（1），利用导数求出函数()fx的单调区间即可.（3）方程()(ln)fxxxm−+=变形为()ln()fxfxm−=，利用方程根的意义换元构造函数，利用导数推理证明不等式.【详解】（1）函数()exf

xaxb=+，求导得()(1)exfxax=+，由()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程为2eeyx=−，得(1)2e2e(1)eefafab===+=，所以1,0ab==.（2）由（1）知()e,()(1)exxfxxfxx==+，由()0fx，得1x−，由()0fx

，得1x−，所以()fx在(,1)−−上单调递减，在(1,)−+上单调递增.（3）由e(ln)xxxxm−+=，得()ln()fxfxm−=，令1122(),()tfxtfx==，依题意，1122lnlnttmttm−=−=，则2211lntttt=

−，设21tut=，由（2）知()fx在(0,)+上单调递增，则210tt，1u，由212211lntuttttt==−，得12ln1ln1utuuutu=−=−，于是1212(21)ln(221)()uufxfx

ttu++=+=−，要证当1u时，(21)ln31uuu+−，即证(21)ln3(1)0uuu+−−，令()(21)ln3(1),1huuuuu=+−−，求导得1()2ln1huuu=+−，令1

()2ln1,1puuuu=+−，求导得221()0upuu−=，函数()pu，即()hu在(1,)+上单调递增，()(1)0huh=，函数()hu在(1,)+上单调递增，则当1u时，()(1)0huh=，即(21)ln31uuu+−成立，所以12)

()(23fxfx+.19．(1){1,4,2,3}，{1,3,4,2}，{2,1,4,3}，{2,3,1,4}，{3,2,1,4}(2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析(3)(1)2nna−−【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；（2）（ⅰ）由数列na为单调递减数列，即可得

到逆序数；（ⅱ）当n为奇数时，13210naaa−，当n为偶数时，2420naaa，由此分析，即可得逆序数；（3）在数列1a，2a，…，na中，若1a与后面1n−个数构成1p个逆序对，则有1(1)np−

−不构成逆序对，即可得到答案.【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)．若第一个数为4，则至少有3个逆序对；若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,4,2,3}；

若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,3,4,2}或{2,1,4,3}；若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2,3,1,4}或{3,2,1,4}．综上，符合条件的数列组合有：{1,4,2,3}，{1,3,4,2}，{

2,1,4,3}，{2,3,1,4}，{3,2,1,4}．（2）（ⅰ）因为na为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502++++==．（ⅱ）当n为奇数时，13210naaa−当n为偶数时，222220(4)111(1)(1)nnnnaannnnn

n−−−−−=−+==+−−+−，所以2420naaa，当k为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228kkkkkk−−−+−+−++++++=，当k为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228kkkkkk−−−−+−++++++=．（

3）在数列1a，2a，…，na中，若1a与后面1n−个数构成1p个逆序对，则有1(1)np−−不构成逆序对，所以在数列na，1na−，…，1a中，逆序数为12(1)(1)(2)()2nnnnpnpnnpa−−−+−−++−−

=−．【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.