【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1教案：1.2.1充分条件与必要条件2 含解析【高考】.doc，共(15)页，346.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1.2充分条件与必要条件一：教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含

关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的

观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们

的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件

的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．二：方案设计●教学建议基于教材内容和学生的年

龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论-2-认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂

教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以

利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思

维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问

题，得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件

的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学课标解读1.理解充分、必要、充要条件的意义．(重点)2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、

充要)性．(重点、难点)充分条件、必要条件与充要条件-3-【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】①开关A闭合，灯

泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，qDp；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pDq，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反

之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pDq，且qDp.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】p⇔q.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系

p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断

-4-(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有

实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系

？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，

但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qDp，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D(2)A1．判断p是q的什么条件

，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：

箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．-5-已知如

下三个命题中：①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3

，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a

－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>bDac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合

，但l1∥l2⇒a1＝1b，即ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.∴是充要条件，④正确．【答案】①③④充分条件、必要

条件、充要条件的应用(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的

取值范围．【思路探究】(1)不等式x2－ax－2a2＞0的解集是什么？(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】(1)x2－ax－2a2＞0

⇔(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞－a或x＜2a.-6-故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}．(2)法一若綈p是綈q的必要不充分条件，则綈q⇒綈p，由此可得p⇒q，则A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}＝{x|x≥

3或x≤－2}由p⇒q，可得A⊆B，∴－a＜3－2＜2a，⇒a＞－1.法二A＝{x|x≥3或x≤－2}，∁UA＝{x|－2＜x＜3}，而∁UB＝{x|2a≤x≤－a}，由綈p是綈q的必要不充分条件，可得綈q⇒綈p，也即∁UB⊆∁UA，∴2a＞－2－a＜3，⇒a＞－1.1．

利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数

轴)，求出参数的取值范围．2．判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的充

分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解】法一由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}，綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m}．∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴AB.

-7-∴m＞0，1＋m≤10，1－m≥－2，解得0＜m≤3.∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}．法二由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，∴p：A＝{x|－2≤x

≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴q也是p的充分不必要条件，∴BA.∴m＞0，1＋m≤10，1－m≥－2，解得0＜m≤3.∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}.充要条件的证明

求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜13.【思路探究】先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立．【自主解答】充分性(由条件推结论)：∵0＜m＜13，∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，∴方程

有两个不等的实根．设方程的两根为x1、x2，当0＜m＜13时，x1＋x2＝2m＞0且x1x2＝3m＞0，故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜13⇒方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性

(由结论推条件)：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有Δ＝4－12m＞0x1x2＞0，-8-∴0＜m＜13，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m＜13.综上，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的

实根的充要条件是0＜m＜13.1．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条

件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.【证明】假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.(1)证明

p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.(2)证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A．m＞0，n＞0B．mn＜0C．m＜0，n＜0D．mn＞0-9

-【错解】由题意可得，一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即－mn＜0，1n＞0，解得m＞0，n＞0，所以选A.【答案】A【错因分析】p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充

分条件，则qDp且p⇒q，故本题应是题干⇒选项，而选项D题干，选项A为充要条件．【防范措施】要说明p是q的充分不必要条件，须满足p⇒q，但qDp；要说明p是q的必要不充分条件，须满足pDq，但q⇒p；要说明p是q的充要条件，须满足p⇒q且q⇒

p，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．【正解】一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即－mn＜0，1n＞0，得m＞0，n＞0.故由函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出m

n＞0，而由mn＞0不一定推出函数y＝－mnx＋1n的图象过一、二、四象限，所以选D.【答案】D六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条

件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法-10-当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特

别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则可得p1⇒pn，充要条件也有传递性．七、双基达标1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”

的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．【答案】A2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，

则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．【答案】

B3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？【解】因为x＝1或

x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.-11-八、知能检测一、选择题1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m

＝2时，m2＝4，A∩B＝{4}，但m2＝4时，m＝±2，∴A∩B＝{4}得m＝±2.【答案】A2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】在

(－π2，π2)中，函数y＝tanx为增函数，所以设α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是tanα＜tanβ的充要条件．【答案】C3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且

c>dB．p：AB，q：x∈A⇒x∈BC．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】易知由a＋c>b＋dDa>b且c>d.但a>b

且c>d，可得a＋c>b＋d∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.【答案】A-12-4．“α＞β”是“sinα＞sinβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解析】由“α＞β”D“sinα＞sinβ”；由

“sinα＞sinβ”D“α＞β”，应选C.(也可以举反例)．【答案】C5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是()①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1

，q：y＝f(x)是偶函数；③p：cosα＝cosβ；tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则Δ＝m2－4(m＋3)＞0，得m＞6或m＜－2，所以p是q

的充要条件．②若y＝f(x)中存在x0，使得f(x0)＝0，则p是q的充分不必要条件．③当α＝β＝kπ＋π2时，tanα，tanβ无意义，所以p是q的必要不充分条件．④p是q的充要条件．【答案】D二、填空题6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x

＜0；④－1＜x＜1.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【答案】②③④7．(2013·武汉高二检测)“b2＝ac”是“a、b、c”成等比数列的________条件．【解析】“b2＝acD”a，b，c成等比数列，如b2＝ac＝0；而“a，b，c”成等比数列“⇒”“

b2＝ac”．【答案】必要不充分-13-8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝______.【解析】直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(

m＋1)·2＝0⇔m＝－23.【答案】－23三、解答题9．指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：2－x－12≤34，q：13x2＋32x－3≥0；(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；(

3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.【解】(1)化简得p：x72≤x≤132，q：xx≤－6或x≥32.如图由图可知，x72≤x≤132xx≤

－6或x≥32，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，有Δ＝a2－4a＜0，a＞0，解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.所以pD⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充

分条件．(3)对于p：A∪B＝A⇔B⊆A，对于q：A∩B＝B⇔B⊆A，即p⇔q，所以p是q的充要条件．10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【

解】∵A是B的充分不必要条件，∴AB.-14-又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}．因此a＋2≤－1或a≥3，∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.11．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“

A＝2B”的充要条件．【证明】充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccosA可得1＋2cosA＝cb＝sinCsinB.即sinB＋2sinBcosA＝sin(A＋B)．化简，得sinB＝sin(A－B)．由于sinB＞0且

在三角形中，故B＝A－B，即A＝2B.必要性：若A＝2B，则A－B＝B，sin(A＋B)＝sinB，即sin(A＋B)＝2sinBcosA＝sinA.∴sin(A＋B)＝sinB(1＋2cosA)．∵A、B、C为△ABC的内角，∴sin(A＋B)＝sinC，即sinC＝sinB(1＋2co

sA)．∴sinCsinB＝1＋2cosA＝1＋b2＋c2－a2bc＝b2＋c2－a2＋bcbc，即cb＝b2＋c2＋bc－abc.化简得a2＝b(b＋c)．∴a2＝b(b＋c)是“A＝2B”的充要条件.

九、备课资源试求关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．【自主解答】如果方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设两负根为x1，x2，则x1x2＝1，∴Δ＝m2－4≥0，x1＋x2＝－m＜0，解之得m≥2.-15-因此m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两

个负实根的必要条件．下面证明充分性．因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤

－2＜0，所以x1，x2同为负数．故m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．求关于x的不等式kx2＋x＋k＞0(k≠0)恒成立的充要条件．【解】kx2＋x＋k＞0(k≠0)恒成立．⇔

k＞0Δ＝1－4k2＜0⇔k＞12.