【文档说明】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一上学期10月阶段测试+数学+含解析.docx，共(23)页，1008.560 KB，由小赞的店铺上传

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沈阳二中2023-2024学年度上学期9月阶段测试高一（26届）数学试题说明：1、测试时间：120分钟总分：150分2、客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（选择题）共60分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集

合{}2,1,0,1,2U=--，N23Axx=−，则UA=ð（）A.B.2,1−−C.2,1,0−−D.2,2−2.如果0ab，那么下列不等式中正确的是（）A.11abB.22abC.11aba−D.2211ab3.已知01,24abab

−+，则42ab−的取值范围是（）A.1425ab−B.2427ab−C.1426ab−D.0429ab−4.不等式22301xxx+−+的解集为（）A.|3xx或11x−B.|3xx或11x−C.|3xx−或11x−

D.|3xx−或11x−5.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用()cardA表示有限集合A中元素的个数.例如，,,Aabc=，则()card3A=.容斥原理告诉我们，如果被计数的

事物有,,ABC三类，那么，()cardABC=()()()()cardcardcardcardcardcardcardABCABBCACABC++−−−+.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有1

2人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）A.2B.3C.4D.56.已知命题p:Rx，3x，则命题p的否定为（）A.Rx，3xB.Rx，3x或0xC.Rx，3xD.Rx，3x

或0x7.被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，

个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“T||||−”，数字0通常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增

加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为23723364184883200xxxx++++=.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（）A.43−和52−B.56−和4−C.53−和2−D.203−和12−8.若命题“[1,2]

x，2210xax−+”是真命题，则实数a的取值范围为（）A.5,4−B.5,4+C.(,1)−D.(1,)+二、多选题（本题共4小题，共20分.全选对的得5分，部分选对的得2分）9.下列选项正确的有（）A.比较接近1的整数的

全体能构成一个集合B.由实数x，x−，x，2x，33x−所组成的集合，其元素的个数最多为2C.设x，yR，(),Axyyx==∣，(),1yBxyx==，则AB=D.若集合1,24kMxxk==+Z，集合1,42kNxxk==+Z，则

MN10.下列命题为真命题的是（）A.设a，bR，则“0a”是“0ab”的既不充分也不必要条件B.“0ac”是“二次方程20axbxc++=有一正根一负根”的充要条件C.“||2x”是“2x”的充分不必要条件D.“11a”是“1a”的必要

不充分条件11.下列命题中正确的是（）A.2254xx++的最小值是2B.当1x时，11xx+−的最小值是3C.当010x时，()10xx−的最大值是5D.若正数x，y满足21xy+=，则xy最大值是1412.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确

地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：,NABAB==，则称(),AB为N的二划分，例如*|2,N}Axxkk==，*|2

1,N}Bxxkk==−，则(),AB就是N的一个二划分，则下列说法正确的是（）A.设**|3N{|3,,1,N}AxxkkBxxkk====，则(),AB为N二划分B.设{|2,N{|22},,,,}3NnnAxxxBxxkkmmn=====+，则(),

AB为N的二划分C.存在一个N二划分(),AB，使得对于,,xyAxyB+；对于,,pqBpqB+D.存在一个N的二划分(),AB，使得对于,,xyAxy，则xyB+；,,pqBpq，则pqA+第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题

共4小题，每空5分，共20分）13.已知集合,,,,,abcBabcd=，则集合B个数为________.的的的的14.命题“xR，()()22210axax+++−”为假命题，则实数a的取值范围为______.15.已知集合(),20Axyxay=−+=，(),44

0Bxyaxy=−+=，若AB=，则实数a的值为______．16.已知1:22xpx+−，2:50qxxa++，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.四、解答题（本题共6小题，共70分）

17.已知集合1Axx=−或5x，22Bxaxa=+．（1）若1a=−，求AB和AB；（2）若xA是xB的必要条件，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式2320axx−+的解集

为1xx或(1)xbb.（1）求,ab的值；（2）当0,0xy，且满足1abxy+=时，有222xykk+++恒成立，求k的取值范围.19.已知关于x一元二次方程()2231910kxkxk−−+−=.（1）

若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；（2）若上述方程无正数根，求实数k的取值范围.20.已知命题()2210pxRxmx+−+=：，成立．命题21aqabRba+=−：，，，都有()122abm−+成立．（1）

若命题p为真命题，求实数m的取值范围：（2）若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围21.已知关于x的不等式()()2440kxkx−−−，其中kR；（1）当1k=−，求不等式的解集A；（2）当k变化时

，试求不等式的解集A；（3）对于不等式的解集A，满足ZAB=.试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用例举法表示此时的集合B，若不能，说明理由.22.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若acbd，那么称点(,)ab是点(,)cd的“上位点

”．同时点(,)cd是点(,)ab的“下位点”；的（1）试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点(,)ab是点(,)cd的“上位点”，判断点(,)Pacbd++是否既是点(,)cd的“上位点”，又是点(,)ab的“下位点”，证明你的结论；（3）

设正整数(,)ab满足以下条件：对集合{|02019tt，Z}t内的任意元素m，总存在正整数k．使得点(,)nk既是点(2019,)m的“下位点”，又是点(2020,1)m+的“上位点”，求正整数n的最小值（直接写结果

，无需推导）．沈阳二中2023-2024学年度上学期9月阶段测试高一（26届）数学试题说明：1、测试时间：120分钟总分：150分2、客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（选择题）共60分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}2,

1,0,1,2U=--，N23Axx=−，则UA=ð（）AB.2,1−−C.2,1,0−−D.2,2−【答案】B【解析】【分析】根据集合补集的定义进行求解即可.【详解】因为N230

,1,2Axx=−=，所以UA=ð2,1−−，故选：B2.如果0ab，那么下列不等式中正确的是（）A.11abB.22abC.11aba−D.2211ab【答案】D【解析】【分析】根

据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.【详解】当2,1ab=−=−时，对于A，11112ab=−=−，故A错误；对于B，2241ab==，故B错误；对于C，11112aba=−=−−，故C错误；对于D，0ab，所以22aabb，即220ab，则221

1ab，故D正确.故选：D..3.已知01,24abab−+，则42ab−的取值范围是（）A.1425ab−B.2427ab−C.1426ab−D.0429ab−【答案】B【解析】【分析】用含,abab−+的代数式表示42ab−，结合已知利

用不等式的性质即可求得答案.【详解】设()()()()42abmabnabmnamnb−=−++=+−−，所以42mnmn+=−=，解得31mn==，所以()()423ababab−=−++，又

0,1,2,4abab−+，所以()30,3,422,7abab−−，故A，C，D错误，故选：B.4.不等式22301xxx+−+的解集为（）A.|3xx或11x−B.|3xx或11x−

C.|3xx−或11x−D.|3xx−或11x−【答案】D【解析】【分析】先将不等式化简为(3)(1)01xxx+−+，再分类讨论+10x和+10x两种情况，即可求得答案.【详解】不等式2230

1xxx+−+即(3)(1)01xxx+−+，当+10x即1x−时，(3)(1)0xx+−即31x−，故此时11x−；当+10x即1x−时，(3)(1)0xx+−即1x或3x−，故此时3x

−，故不等式22301xxx+−+的解集为|3xx−或11x−，故选：D5.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用()cardA表示有限集合A中元素的个数.例如，,,Aabc=，则()card3A=.容斥原理告诉我们，如果被计

数的事物有,,ABC三类，那么，()cardABC=()()()()cardcardcardcardcardcardcardABCABBCACABC++−−−+.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的

有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.【详解】设集合A={参加足球队的学生}，

集合B={参加排球队的学生}，集合C={参加游泳队的学生}，则()()()card25,card22,card24ABC===，()()()card12,card8,card9ABBCAC===设三项都参加的有x人，即(

)cardABCx=，()card46ABC=，所以由()cardABC=()()()()cardcardcardcardcardcardcardABCABBCACABC++−−−+即462522241289x=++−−−+，解得4x=，三项都参加的有4人，故选：C.6.已

知命题p:Rx，3x，则命题p的否定为（）A.Rx，3xB.Rx，3x或0xC.Rx，3xD.Rx，3x或0x【答案】D【解析】【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.【详解】量词命题的否定是改变量词，否定结论，“Rx，3x”等价

于“Rx，9x”，故其否定是“Rx，9x”等价于“Rx，3x或0x”.故选：D7.被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论

研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“T||||−”，数字0通

常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为23723364184883200xxxx++++=.根据以上信息，图3

中表示的多项式方程的实根为（）A.43−和52−B.56−和4−C.53−和2−D.203−和12−【答案】A【解析】【分析】根据题设，可得图3的方程为2623200xx++=，解方程即求解.【详解】由题意知：图3表示的方程为2623200xx++=，解得52x=−或43x

=−.故选：A.8.若命题“[1,2]x，2210xax−+”是真命题，则实数a的取值范围为（）A.5,4−B.5,4+C.(,1)−D.(1,)+【答案】C【解析】【分析】分离参数，

将问题转化为1,2x，2111()22xaxxx+=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.【详解】若命题“1,2x，2210xax−+”是真命题，则1,2x，212xax+，即2111()22xax

xx+=+恒成立，111()12xxxx+=，当且仅当1x=时等号成立，∴1a，即实数a的取值范围是(,1)−.故选：C．【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.二、多选题（本题共4小题，共20分.全选对

的得5分，部分选对的得2分）9.下列选项正确的有（）A.比较接近1整数的全体能构成一个集合B.由实数x，x−，x，2x，33x−所组成的集合，其元素的个数最多为2C.设x，yR，(),Axyyx==∣，(),1yBxyx

==，则AB=D.若集合1,24kMxxk==+Z，集合1,42kNxxk==+Z，则MN【答案】BD的【解析】【分析】根据集合的性质和定义以及集合间的关系一一分析即可.【详解】对于A，

比较接近没有一个标准，故不符合集合确定性的性质，故A错误；对于B，因为2xx=，33xx−=−，所以当0x=时，这几个数均为0，当0x时，它们分别x，x−，x，x，x−，当0x时，它们分别是x，x−，x−，x−，x−，均最多表示两个不同的数，故所组成的集合

中的元素最多为2个，故B正确；对于C，集合A包含()0,0点，集合B不包含()0,0点，则AB，故C错误；对于D，集合121,244kkMxxk+==+=Z，集合12,424kkNxxk+==+=Z，因为21,kk+Z为奇数，2,kk+Z为整数，则MN，故

D正确.故选：BD.10.下列命题为真命题的是（）A.设a，bR，则“0a”是“0ab”的既不充分也不必要条件B.“0ac”是“二次方程20axbxc++=有一正根一负根”的充要条件C.“||2x”是“2x”的充分不必要条件D.“11a”是“1a”的必要不充分条件【答案】BCD【

解析】【分析】A选项：根据0ab得0a且0b，由此即可判断；B选项：根据方程有两个异号根的充要条件即可判断；C选项：根据||2x得22x−，由此即可判断；D选项：解不等式11a，根据解集即可判断求解

．【详解】由0ab得0a且0b，故0a0ab，但0ab0a，则“0a”是“0ab”的必要不充分条件，故A错误；若二次方程20axbxc++=有一正根一负根，则满足20Δ40acbac=−，解得：0ac

，是所以“0ac”是“二次方程20axbxc++=有一正根一负根”的充要条件，故B正确；由||2x可得22x−，故||2x2x，但2x||2x，所以“||2x”是“2x”的充分不必要

条件，故C正确；解不等式11a可得0a或1a，1a11a，但11a1a，所以“11a”是“1a”的必要不充分条件，故D正确；故选：BCD．11.下列命题中正确的是（）A.2254xx++的最小值是2B.当1x时，11xx+−的最小

值是3C.当010x时，()10xx−的最大值是5D.若正数x，y满足21xy+=，则xy的最大值是14【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式求最值即可.【详解】A选项：222511144xxx+=+++，不存在

最小值，故A错；B选项：当1x时，()111112113111xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当111xx−=−，即2x=时等号成立，故B正确；C选项：()101052xxxx+−−=，当且仅当10xx=−，即5x=时等号成立，故C正确；D选项：2122xyxy+=，解

得18xy，当且仅当2xy=，即14x=，12y=时等号成立，故D错.故选：BC.12.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集

合A、B满足：,NABAB==，则称(),AB为N的二划分，例如*|2,N}Axxkk==，*|21,N}Bxxkk==−，则(),AB就是N的一个二划分，则下列说法正确的是（）A.设**|3N{|3,,1,N}AxxkkBxxkk====，则

(),AB为N的二划分B.设{|2,N{|22},,,,}3NnnAxxxBxxkkmmn=====+，则(),AB为N的二划分C.存在一个N的二划分(),AB，使得对于,,xyAxyB+；对于,,

pqBpqB+D.存在一个N的二划分(),AB，使得对于,,xyAxy，则xyB+；,,pqBpq，则pqA+【答案】BCD【解析】【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义

判断C，D.【详解】对于A，由于1,1AB，故NAB，(),AB不是N的二划分，A错误；对于B，0123}={2,2,2,2,,2}{|2,NnnAxxx==，{|2,23,,N}=|32,N}{

|52,N}{|72,N}nnnnBxxkkmmnxxnxxnxxn===+===}{|(23)2N,,nxxmnm=+，显然AB=，由于任意一个正整数M，都可写成1212ixxxiMPPP=形

式，其中iP为素数，N,1,2,3,ixi=，则M必为2nk形式，其中k为正奇数，Nn，故可得NAB=，故B正确；对于C，存在**,,,}|21N{|2NAxxkkBxxkk==−==满足,NABAB==，对于,,xyAxyB+；对于,,pqBpqB+，C正确；

对于D，选项B中集合{|2,N{|22},,,,}3NnnAxxxBxxkkmmn=====+，使得对于,,xyAxy，则xyB+；,,pqBpq，比如取3，5，则32pqA+=，D正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并

按照其定义去判断每个选项.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每空5分，共20分）13.已知集合,,,,,abcBabcd=，则集合B的个数为________.【答案】8【解析】【分析】根据并集的结果，判断集合B中的元素，再求集合的个数.【详解】由条件可知，集合B里一定有元

素d，所以集合B的个数就相当于集合,,abc的子集个数，有328=个.故答案为：814.命题“xR，()()22210axax+++−”为假命题，则实数a的取值范围为______.【答案】62a−−【解析】【分

析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】命题“xR，()()22210axax+++−”的否定为：“xR，()()22210+++−axax”，因为原命题为假命题，

所以其否定为真，所以当20a+=即2a=−时，10−恒成立，满足题意；当20a+即2a−时，只需()()22<0Δ2420aaa+=+++，解得：62a−−.综上所述，实数a的取值范围是62a−−

.故答案为：62a−−.15.已知集合(),20Axyxay=−+=，(),440Bxyaxy=−+=，若AB=，则实数a的值为______．【答案】2−【解析】【分析】根据交集和空集的定义以及方程的

联立即可求解.【详解】联立20440xayaxy−+=−+=，解得22484244axaaya−+=−−=−，若AB=，则240a−=，所以2a=.①当2a=时，两个集合的条件都变为220xy−+=，因此交集不为空集.②当2a=−时，两个集合的条件都

变为220xy++=和220xy+−=，所以交集为空集.故答案为：2−.16.已知1:22xpx+−，2:50qxxa++，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.【答案】()14,−+【解析】【分析】由已知可求得p等价于25x.设()25

fxxx=−−，根据二次函数的性质可求得()14fx−，结合题意，即可得出答案.【详解】由122xx+−可得，502xx−−，解得2x或5x，所以p等价于25x.因为q是p的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要

条件，所以，|25xx是不等式250xxa++解集的真子集.设()22525524fxxxx=−−=−++，在25x上单调递减，当25x时，有()()214fxf=−.所以，由25axx−−可得，14a−.故答案为：()14,−+.四、解答题（本题共6小

题，共70分）17.已知集合1Axx=−或5x，22Bxaxa=+．（1）若1a=−，求AB和AB；（2）若xA是xB必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）21ABxx

=−−，1ABxx=或5x（2）2aa或3a−【解析】【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；（2）根据必要条件的性质进行求解即可.【小问1详解】∵1a=−，∴21Bxx=−，∴21ABxx=−−，1ABxx=或5x

；【小问2详解】∵xA是xB的必要条件，∴BA∴当B=时，则有22aa+，解得2a．满足题意．当B时，有()22121aaa++−，或()22225aaa+，由不等式组()1可得3a−，不等式组()2无解．综上所述，实数a的取值范围是2a

a或3a−.18.已知关于x的不等式2320axx−+的解集为1xx或(1)xbb.（1）求,ab的值；（2）当0,0xy，且满足1abxy+=时，有222xykk+++恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）12ab==（2）[]3,2-

【解析】的【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出a､b的值；（2）由题意可得121xy+=，结合基本不等式，求出2xy+的最小值，得到关于k的不等式，解出即可.【小问1详解】因为不等式2320axx−+的解集为1xx或(1)xbb，所

以1和b是方程2320axx−+=的两个实数根且0a，所以2320320aabb−+=−+=，解得12ab==或11ab==（舍）.【小问2详解】由（1）知12ab==，于是有

121xy+=，故()1244224428yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=≥当且仅当4yxxy=，121xy+=时，即24xy==时，等号成立.依题意有2min(2)2xykk

+++，即282kk++，得260,32kkk+−−，所以k的取值范围为[]3,2-.19.已知关于x的一元二次方程()2231910kxkxk−−+−=.（1）若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；（2）

若上述方程无正数根，求实数k的取值范围.【答案】（1）0k（2）19k【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列不等式求解即可得实数k的取值范围；（2）根据二次方程的根列不等式求解即可得实数k的取值范围.【小问1详解】关于关于x的一元二次方程()2231910k

xkxk−−+−=有两根，可得()()()20Δ4314914510kkkkk=−−−=−+，解得15k，且0k又两根为正根，所以120xx+，120xx，即()9102310kkkk−

−，解得0k或13k故实数k的取值范围为0k；【小问2详解】由题意可知：0k，若()2Δ4(31)4910kkk=−−−，解得15k，此时无实数根，满足题意；若()2Δ4(31)4910kkk=−−−，

解得15k，且0k，设此时两实数根分别为1x，2x，则由题意得10x，20x，则12129101230kxxkxxk−=+=−，解得1195k，综上：实数k的取值范围为19k.20.已知命题()2210pxRx

mx+−+=：，成立．命题21aqabRba+=−：，，，都有()122abm−+成立．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围：（2）若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围【答案】

（1）{|4mm…或0}m„（2）{|03mm„或4}m…．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有根，由判别式即可得m的取值范围；（2）根据题意，求出,pq为真时m的取值范围，由此分p真q假和p假q真两种情

况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．【小问1详解】根据题意，命题:pxR，2(2)10xmx+−+=成立．若p为真，则方程2(2)10xmx+−+=有解，必有2(2)40m=−−…，解可得4m…或0m„

，故p为真时，m的取值范围为{|4mm…或0}m„，【小问2详解】若2,R,1aabba+=−，由于0,b则10a−，则122(1)()(11)(1)3(1)322111aabaaaaaa+−==−++=+−++−−−…，当且仅当12a−=时，即12a=+，

22b=+时等号成立，即(1)ab−的最小值为3+22，若命题q为真命题，必有22322m++„，可得3m„，故m的取值范围为(−，3]；又由命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，分2种情况讨论，若p真q假，则有40>3mmm或厔，解可得

4m…，若p假q真，则有0<<43mm„，解可得03m„，综合可得：03m„或4m…，即m的取值范围为{|03mm„或4}m…．21.已知关于x的不等式()()2440kxkx−−−，其中kR；（1）当1k=−，求不等式的解集A；（2）当k变化时，试求不等式

的解集A；（3）对于不等式的解集A，满足ZAB=.试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用例举法表示此时的集合B，若不能，说明理由.【答案】（1）54Axx=−（2）答案见解析（3）能，2k=−，此时321,,,,,13,0

2B=−−−【解析】【分析】（1）当1k=−时，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得出解集A；（2）对k的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法解原不等式，可得原不等式的解集A；（3）当0k时，B为无限集，当0k时，B为有限集，

利用基本不等式可得出44kk+−，可知当2k=−时，集合B中元素个数最少，求出此时的集合A，进而可求得集合B.【小问1详解】解：当1k=−时，原不等式即为()()540xx−−−，即()()450xx−+，解得54x−，故54Axx=−.【小问2详解】

解：（1）当0k=时，原不等式即为()440x−−，解得4x，即4Axx=；（2）当0k时，解方程()()2440kxkx−−−=，得4xkk=+或4x=，且()2224444kkkkkkk−−++−==.①当0k时，()22440kkkk−+−=，则44kk+，解原不

等式可得44kxk+，即44Axkxk=+；②当02k或2k时，()22440kkkk−+−=，即4>4kk+，解原不等式可得4x或4xkk+，即44Axxxkk=+或；③当2k=时，44kk+=，原不等式即为()

2240x−，解得4x，即4Axx=.综上所述，当0k=时，4Axx=；当0k时，44Axkxk=+；当02k或2k时，44Axxxkk=+或；当2k=时，4Axx=.【小问3详解】解：由（2）可知，当0k时，B为无

限集，当0k时，B为有限集，此时，()()44424kkkkkk+=−−+−−=−−−，的当且仅当()40kkk−=−时，即当2k=−时，等号成立，即当2k=−时，44Axx=−，此时，3,2,1,0,1,2,3BA==−−−Z.22.对在直

角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若acbd，那么称点(,)ab是点(,)cd的“上位点”．同时点(,)cd是点(,)ab的“下位点”；（1）试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（

2）已知点(,)ab是点(,)cd的“上位点”，判断点(,)Pacbd++是否既是点(,)cd的“上位点”，又是点(,)ab的“下位点”，证明你的结论；（3）设正整数(,)ab满足以下条件：对集合{|02019tt，Z

}t内的任意元素m，总存在正整数k．使得点(,)nk既是点(2019,)m的“下位点”，又是点(2020,1)m+的“上位点”，求正整数n的最小值（直接写结果，无需推导）．【答案】（1）上位点“坐标”和下位点坐标分别为(3,4)和(3,7)（2）点(,

)Pacbd++既是点(,)ab的“下位点”又是点(,)cd的“上位点”，证明见解析（3）4039【解析】【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得答案；（2）作差可得acabdb++，accbdd++，再根据定义可知结论成立；（3）结合（2）中的结论，可得21km=

+，4039n=，满足条件，再说明当4038n时，20202019121nmmm++不恒成立，可得出n的最小值.【小问1详解】由3333,5457，根据题设中的定义可得点(3,5)的一个上位点“坐标”和一个下位点坐

标分别为(3,4)和(3,7)．【小问2详解】点(,)Pacbd++既是点(,)ab的“下位点”又是点(,)cd的“上位点”，证明如下：点(,)ab是点(,)cd的“上位点”，acbd，adbc，()()0()()acabacabdb

cadbdbbbdbbd++−+−−==+++，acabdb++，点(,)Pacbd++是点(,)ab的“下位点”，()()0()()accdaccbdadbcbdddbddbd++−+−−==+++

，accbdd++，点(,)Pacbd++是点(,)cd的“上位点”；点(,)Pacbd++既是点(,)ab的“下位点”又是点(,)cd的“上位点”；【小问3详解】若正整数n满足条件202020191nmkm+，在{|02019mt

t,Z}t时恒成立，由（2）中的结论可知，21km=+，201920204039n=+=时，满足条件，若4038n，由于201940382019(4038)20192019021(21)(21)(21)nmnmmnmmmmmmmm−−−−−==−++++，则202020

19121nmmm++对{|02019mtt，Z}t时不恒成立，因此，n的最小值为4039．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com