【文档说明】湖南省名校联盟2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，1.084 MB，由小赞的店铺上传

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名校联盟・2024年下学期高二入学考试数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，

如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知空间向量(),1,2ax=，()4,2,4b=，若ab⊥，则x=（）A.1B.52−C.32−D.3【答案】B【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为(),1,2ax=，()4,2,4b=，且ab⊥，所以4280

x++=，解得52x=−，故选：B.2.已知集合()2log12Axx=+，3,1,2,5B=−−，则AB=（）A.3,1−−B.1,2−C.2D.2,5【答案】C【解析】【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可.【详解】因为()2log1

2x+，所以2012x+，即13x−，所以(1,3,3,1,2,5AB=−=−−所以2AB=.故选：C.3.已知空间向量233pabc=−+，3qabc=++，则pq+以,,abc为单位正交基底时的坐标为（）A.()5,3,4−B.()5,2,4−C.

()2,3,3−D.()3,1,1【答案】B【解析】【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标.【详解】空间向量233pabc=−+，3qabc=++，则524pqabc+=−+，故pq+以{},,abcrrr为单位正

交基底时的坐标为()5,2,4−.故选：B4.样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（）A.1B.1.25C.2.5D.4【答案】B【解析】【分析】先求出数据的平均值，由方差公式计算方差.【详解】样本数据的平

均数4849505050505152508x+++++++==，方差()()()()()22222214850495045050515052501.258s=−+−+−+−+−=.故选：B.5.底面圆周长为2π，母线长为4的圆锥内切球的体积为（）A.

15π5B.13π25C.415π25D.15π25【答案】C【解析】【分析】作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积.【详解】由题意可知，圆锥的母线4l=，底面半径1r=，根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：.根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆O，

即为等腰ABCV的内切圆，即OEAC⊥，ADBC⊥，ODOE=，CDCE=，在RtADC中，222ADCDAC+=，由4ACl==，1CDr==，则15AD=，在RtAOE△中，222AEOEAO+=，即()()222ACCEOEADOD−+

=−，可得()()2224115OEOE−+=−，解得155OE=，即内切球的半径155R=，故内切球体积334π4π15415π33525VR===.故选：C.6.已知函数()()π2sin0,2fxx=+图象的两个相邻对称中心为π,012

，7π,012，则=（）A.π6−B.π3−C.π3D.π4【答案】A【解析】【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得2=，再代入正弦函数的中心对称结论列式，根据π2

求解即可.【详解】由()fx图象的两个相邻对称中心为π,012，7π,012，可得7πππ121222T−==，所以2ππT==，故2=，又π2π,12kk+=Z，则ππ,

6kk=−Z，结合π2，得π6=−.故选：A.为7.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位时间内心跳的次数）与其自身体重W满足()130=

kfkW的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次1min−，若经测量一匹马的脉搏率为41次1min−，则这匹马的体重为（）A.350kgB.450kgC.500kgD.250kg【答案】D【解析】【分析】根据已知函数模型代入2W=即可得出1320

52k=，最后再根据脉搏率得出体重.【详解】根据题意()130kfkW=，当2W=时，205f=，则132052k=，当41f=时，则11133320525241W==，故250W=.故选：D.8.已知函数()3coscosfxxx=+，若方程()()0fxaa=在

区间()0,2π上有且仅有2个不等的实根1x，2x，则()12axx+的取值范围为（）A.()4π,8πB.()2π,4πC.()0,4πD.()0,2π【答案】A【解析】【分析】先分cos0x和cos0x两种情况得出函数的图象再结合图象得出2个不等的实根

，再计算可得()12axx+的取值范围.【详解】当cos0x时，()4cos0,4fxx=，当cos0x时，())2cos2,0fxx=−，作出函数()yfx=在区间()0,2π上的图象如图所示，结合图象可得，当24a时，方程()fxa=在(

)0,2π上有且仅有2个不等的实根1x，2x，且122πxx+=，所以()12axx+的取值范围是()4π,8π.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，M为1CD的中点，Q为1CA上靠近点1A的五等分点，则（）A.11132AMABADAA=++B.122AMABADAA=++C.1133545AQABADAA=++D.154AQABADAA=

++【答案】BD【解析】【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.【详解】()112AMABCMABCBCADCCD=++=+++1111112222ADAAADABABABAA=+−

+=++，即122AMABADAA=++，故A错误、B正确；()11111111111155AAQACADCQAAAAACCAD=+=+=+++()11111145555AAAAAADABAABAD=

++−=++，即154AQABADAA=++，故C错误，D正确.故选：BD.10.已知函数()()22112024xfx+−=，则（）A.()fx为偶函数B.()fx的值域为(0,2024C.()fx在)2

024,+上单调递减D.()()6688ff【答案】BC【解析】【分析】根据偶函数的定义判断A，根据指数复合函数值域的求法求解判断B，结合指数函数的单调性及复合函数的单调法则判断C，利用单调性比较大小判断D.【详解】易得(

)fx的定义域为𝑅，且()()()()2221211120242024xxfxfx−−−−−==，故()fx不为偶函数，故A错误；令()221ux=+−，则)1,u−+，因为12024uy=在

)1,u−+上的值域为(0,2024，故B正确；因为()221ux=+−在)2,−+上单调递增，且12024uy=在)1,u−+上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数()fx在)2024,+上单调递减，故C

正确；由于函数()fx在)2,−+上单调递减，所以()()6688ff，故D错误.故选：BC11.已知正数a，b满足12aab−且23bba−，则（）A.ab+的最小值为16B.ab+的最小

值为4C.22ab+的最小值为326+D.1a，2b【答案】CD【解析】【分析】根据不等式的性质计算求和再结合基本不等式计算求出和的最小值判断A,B,C，最后根据不等式性质判断D.【详解】由题意可得12aab+，32bab

+，1232114abababab++++=+，()()21144242216babaababababab+++=+++=（当且仅当ab=时取等号），经检验后无法取得等号，故

A、B错误；由12aab+得221aab+，由32bab+得：232bba+，22233ababba+++，又2323226ababbaba+=（当且仅当23ab=时取等号），22326

ab++，故C正确；121aaba+，1a，322babb+，2b，故D正确，故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()()215mfxmmx−=+−在(0,+∞)上单调递减，则m=____

__.【答案】3−【解析】【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出3m=−或2m=，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.【详解】由题意可得()()215mfxmmx−=+−为幂函数，则251mm+−=，解得3m=−或2m=.当2m=时

，()fxx=为增函数，不符合题意；当3m=−时，()4fxx−=在(0,+∞)单调递减，符合题意.故答案为:3−.13.()()2215cos15sin++−+的取值范围为______.【答案】

27102,27102−+【解析】【分析】利用辅助角公式及同角三角函数的平方关系、三角函数的性质计算即可.【详解】由题意可得()()()2215cos15sin2710cossin++−+=+−π27102cos4=++，又π1cos14−+，所以(

)()222710215cos15sin27102−++−++，所以()()2215cos15sin++−+27102,27102−+.故答案为：27102,27102−+.14.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M，N分

别为棱AB，11CD的中点，建立如图所示空间直角坐标系1Axyz，点(),,Pxyz在平面11ABCD内运动，则点P到1A，1B，M，N这四点的距离之和的最小值为______.【答案】2322+【解析】【分析】由图形的结构特征，当P为正方体中心时，点P到11,AB两点的距离之和最小值为1DB，到,

MN这两点的距离之和的最小值为MN，求值即可.【详解】点P与点()10,0,0A和点()12,0,0B的距离之和为()2222222xyzxyz+++−++，因为1A关于平面11ABCD的对称点为D，故11123PAPBDB+=，当且仅当P为1DB中点，即P为正方体中心时等号成立；点P与点(

)1,0,2M和点()1,2,0N的距离之和可表示为()()()()2222221212xyzxyz−++−+−+−+，则22PMPNMN+=，当且仅当P在MN所在直线上时等号成立，故()()()()()222

22222222221212xyzxyzxyzxyz+++−+++−++−+−+−+的最小值为2322+，当且仅当P为正方体中心时等号成立.故答案为：2322+.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在空间直角坐标系

中，已知点(),5,21Axxx−−，()1,2,2Bxx+−，()1,2,3C.（1）若2ACBC=，求x的值；（2）求AB的最小值.【答案】（1）2或13−（2）357【解析】【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算求参；（2）先由空间两点间距离公式计算，再结合二次函数值域求解.【

小问1详解】由题意可得()1,3,42ACxxx=−−−，()0,,1BCxx=−+，因为()()()()()1,3,420,,131422ACBCxxxxxxxxx=−−−−+=−++−=，解得2x=或13−【小问2详解】由空间两点间的距离公式，得()()()()()

2222125]221143219ABxxxxxxx=−++−−+−−−=−+2851477x=−+，当87x=时，AB有最小值357.16.已知()iR1iaza+=−为纯虚数.（1）求a；（2）求20

251nnz=.【答案】（1）1a=的（2）i【解析】【分析】（1）根据复数的除法及乘法运算化简，最后根据复数类型求参；（2）根据复数的乘方计算，再结合复数的周期性，再求和即可.【小问1详解】由题意可得(

)()()()()()i1i11ii11i1i1i1i222aaaaaaz++−+++−+====+−−+，因为z是纯虚数，所以102102aa−=+，解得1a=.【小问2详解】由（1）得到iz=，又1ii=，2i1=−，3ii=−，41i=，则*Nn，43i

in−=，42i1n−=−，41iin−=，4i1n=，即有*Nn，4342414iiii0nnnn−−−+++=，故()2025220252341506iiiiiinnzzzz==+++=++++=.17.2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此

次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的

某道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为12.（1）求乙、丙各自解出该题的概率；（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题概率.【答案】（1）12，34（2）2324【解析】【分析】（1）设出事件，运用相互

独立事件概率的乘法公式及对立事件概率公式求解即可；（2）运用相互独立事件概率的乘法公式，结合对立事件概率公式计算即可.的【小问1详解】设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件C，则A，B，C相互独立，由题意得()

23PA=，()()()()2132PACPAPCPC===，所以()34PC=，()()()()()()()311148PBCPBPCPBPCPB==−=−=，所以()12PB=，所以乙、丙各自解出该题的概率为12，34.【小问2详解】设“甲、乙、丙3人中至

少有1人解出该题”为事件D，则DABC=，因为()23PA=，()12PB=，()34PC=，所以()13PA=，()12PB=，()14PC=，因为A、B、C相互独立，所以()()()()()()11

123111132424PDPDPABCPAPBPC=−=−=−=−=.所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为2324.18.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2

2的菱形，12AA=，π3BAD=，E，F分别为AB，1AA的中点.（1）证明：1BE⊥平面DEF；（2）求四棱柱1111ABCDABCD−被平面CEF截得的截面周长；（3）求直线1DD与平面CEF所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）33314++（

3）427【解析】【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，进而得出1DEBE⊥根据角得出1EFBE⊥，最后应用线面垂直判定定理证明；（2）根据线面平行性质定理得出线线平行得出截面再根据图形特征计算边长即可；（3）先根据线面角定义得出1D

D与平面CEF所成角为1DDG，再等面积求边长比即可得出正切值.【小问1详解】因为四边形ABCD是菱形，π3BAD=，E为AB的中点，所以DEAB⊥，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，平面11ABB

A⊥平面ABCD，因为平面11ABBA平面ABCDAB=，DE平面ABCD，所以DE⊥平面11ABBA，因为1BE平面11ABBA，所以1DEBE⊥，因为四边形11ABBA是矩形，22AB=，12AA=，E，F分别为AB，1AA的中点，所以12tantan2AEFEBB==，所

以1AEFEBB=，因为11π2EBBBEB+=，所以1π2AEFBEB+=，所以1π2FEB=，所以1EFBE⊥，因为DEEFE=，且,DEEF平面DEF，所以1BE⊥平面DEF.【小问2详解】因为//EF平面11CDDC，所以平面CEF与平面

11CDDC的交线与EF平行，所以交线为1CD，连接1CD，1DF，CE，则四棱柱1111ABCDABCD−被平面CEF截得的截面为四边形1EFDC，22118423CDCDDD=+=+=，1132EFCD==，221111813DFADAF=+=+=，因为D

EAB⊥，所以226DEADAE=−=，因为DECD⊥，所以2214CECDDE=+=，所以四边形1EFDC的周长为33314++.【小问3详解】过点D作DGCE^，垂足为G，连接1DG，因为1DD⊥平面ABCD

，CE平面ABCD，所以1DDCE⊥，因为1DGDDD=，所以CE⊥平面1DDG，因为CE平面CEF，所以平面1DDG⊥平面CEF，所以点D在平面CEF上的射影必在1DG上，所以直线1DD与平面CEF所成角为1DDG

，因为DECD⊥，6DE=，22CD=，14CE=，所以622242714DECDDGCE===，所以1142tan7DGDDGDD==，即直线1DD与平面CEF所成角的正切值为427.19.已知

a，b，c分别为锐角ABCV内角,,ABC的对边，π4A=，2a=，AOOBOCR===（R为ABCV外接圆的半径）.（1）证明：sin2cos2OABOBBOC=−+；（2）求32OAOBOC++的最小值.【答案】（1）证

明见解析（2）35−【解析】【分析】（1）根据圆的特征得出0OBOC=，从而由数量积与模长关系计算可得sin2cos2BOBBOCR−=，再构造()sin2cos2OABOBBOC−，利用数量积公式计算并确定(),sin2cos2OABOBBOC−

的夹角即可证明；（2）由条件及数量积的运算律、辅助角公式得出232OAOBOC++()1465cos2C=++，利用角的关系确定,2C+的范围结合余弦函数的单调性得出值域即可.【小问1详解】由π4A=，即0OBOC=，所以222222sin2cos2sin2cos2BOBBOCB

OBBOCR−=+=，即sin2cos2BOBBOCAOR−==，又()()()sin2cos2sin2cos2OABOBBOCBOAOBBOAOC−=−，因为2AOCB=，所以3π22AOBB=−，所以()22222sin2cos2

sin2cos2OABOBBOCBRBRR−=−−=−，令OA与()sin2cos2BOBBOC−夹角0,π，则2cos1RRR−==−，即π=，即sin2cos2OABOBB

OC=−+，得证；【小问2详解】因2BC=，π2BOC=，则22BCR==，即1R=，222232941264OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOC++=+++++为1412co

s26cos24cos21412cos26sin2CBACC=+++=+−()1465cos2C=++，其中，1tan2=，且为锐角，故π04，由π023ππ0,42CC−

可得ππ,42C，则π2,π2C，π2,π2C+++.又由22sin1tancos2sincos1π04==+=解得5sin525cos,5

==因为ππ3π224+，函数cosyx=在π,π2+上单调递减，在()π,π+上单调递增，π5cossin25+=−=−，()25cosπcos5+=−=−，所以()51

cos25C−+−，则()14651465cos28C−++，于是351465328OAOBOC−=−++，即32OAOBOC++的最小值为35−.