【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第35讲 等比数列及其前n项和（讲）（原卷版）.docx，共(5)页，42.242 KB，由小赞的店铺上传

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第35讲等比数列及其前n项和（讲）思维导图知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式

为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项

公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝

a2r．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．常用结论1．正确理解等比数列的单调性当q>1，a1>0或0<q<1

，a1<0时，{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列．2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠

0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．

(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝a11－q.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的

两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．题型归纳题型1等比数列的基本运算【例1-1】（2020春•辽源期末）在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（）A．3B．27C．√3D．2

43【例1-2】（2020春•赤峰期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3，S6＝9，则S9＝（）A．12B．18C．21D．24【例1-3】（2020•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为数列{

log3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．【跟踪训练1-1】（2020春•广州期末）已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且𝑏𝑛=𝑎𝑛+1𝑎𝑛，若b5b6＝2，则a11＝（）A．16B．2

1C．31D．32【跟踪训练1-2】（2020•新课标Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则𝑆𝑛𝑎𝑛=（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣nC．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1【跟踪训练1-3】（

2020•山东）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{an}的通项公式；（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．【名师指导】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的

一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，

{an}的前n项和Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q..题型2等比数列的判定与证明【例2-1】（2019春•玉田县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=32𝑎𝑛+b（n∈N*，b

∈R，b≠0）．（I）求证：{an}是等比数列；（II）求证：{an+1}不是等比数列．【跟踪训练2-1】（2019•广西二模）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）．（1）求证：数列{a

n+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和．【名师指导】等比数列的4种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中

项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则

{an}是等比数列题型3等比数列的性质及应用【例3-1】（2020春•宣城期末）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（）A

．12B．13C．2D．3【例3-2】（2020春•绵阳期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．180【跟踪训练3-1】（2

020春•五华区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a3=𝑎4𝑎2，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（）A．511B．512C．1023D．1024【跟踪训练3-2】（2020春•广东期末）设等比数列{an}的

前n项和为Sn，若𝑆2020𝑆1010=3，则𝑆3030𝑆1010=（）A．9B．7C．5D．4【名师指导】1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·

an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．3．等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为q.

(1)若共有2n项，则S偶S奇＝q；(2)若共有2n＋1项，S奇－a1S偶＝q.