【文档说明】甘肃省白银市靖远县第四中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.563 MB，由小赞的店铺上传

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高二期末练习卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册、第二册占20%，选择性必修第一册、第二册占80%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()2

i13iz=−−+的虚部为（）A.2−B.2C.2iD.23【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则求z的代数形式，再由虚部的定义确定结论.【详解】因为()2i13i232iz=−−+=+，所以复数z的虚部为2，故选：B.2.设

全集U=R，集合|0Axx=，()()|120Bxxx=+−，则()UAB=ð（）A.(,2−B.)0,+C.1,2−D.0,2【答案】D【解析】【分析】化简集合B，根据集合的运算法则求(

)UABð.【详解】不等式()()120xx+−的解集为()(),12,−−+，所以()(),12,B=−−+，又|0Axx=，所以()(),02,AB=−+，故()0,2UAB=ð.故选：D.3.设向量1e，2e，3e不

共面，已知123ABeee=++，123BCeee=++，123484CDeee=++，若A，C，D三点共线，则=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据A，C，D三点共线，可得//ACCD，则存在唯一实数

，使得ACCD=，再根据空间向量共线定理即可得解.【详解】由123ABeee=++，123BCeee=++，得()123212eeACABeBC=+=+++，因为A，C，D三点共线，所以//ACCD，则存在

唯一实数，使得ACCD=，则241824=+==，解得123==.故选：C4.已知数列0,lg3,lg5,lg7,，根据该数列的规律，该数列中小于2的项有（）A.50项B.51项C.100项D.101项【答案】A【解析】【分析】令该数列为na，由前几

项归纳得()lg21nan=−，再令()lg212nan=−，求出n的取值范围，即可得解.【详解】令该数列为na，则()1lg1lg211a==−，()2lg3lg221a==−，()3lg5lg231a==−，L，.由此可归纳得()lg21nan=−，令()lg212n

an=−，即()2lg21lg10n−，所以021100n−，解得110122n，又*nN，所以150lg992aa=，51lg1012a=，故数列中小于2的项有50项.故选：A5.已知圆C：226440xyxy+−+

−=，则过点()4,1M−的最短弦所在直线l的方程为（）A.220xy+−=B.50xy−−=C.30xy+−=D.260xy−−=【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理，分析出圆心和()4,1M−连线的直线垂直于直线l时，所截得弦长最短.【详解】由于224(1)644(1)40+−

−+−−，故点()4,1M−在圆内，226440xyxy+−+−=化为标准方程：22(3)(2)17xy−++=.如图，设CHl⊥，垂足为H，设直线l和圆的交点是,AB，根据垂径定理，2222217ABRC

HCH=−=−，为使得AB最小，必须CH最大，显然2CHCM=，,HM重合的时候取得等号，此时CMl⊥，由于1CMk=，所以直线l的斜率为1−，故直线l的方程为()()14yx−−=−−，即30xy+−=.故选：C6.如图，

这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：22221xyab−=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）A.162cmB.24cmC.32cmD.82cm【答案】D【解

析】【分析】求出4a=，设出(),Mrb，代入双曲线方程，求出42r=，得到直径.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，所以4a=.设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则(),Mrb，所以22221

4rbb−=，解得42r=，故该花瓶的瓶口直径为282cmr=.故选：D7.将函数()()sin1fxx=+（0）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】

【分析】先求得()fx的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.【详解】()fx的图象向右平移1个单位长度后，可得函数()()()sin11sin1gxxx=−+=−+的图象，则1πk−+=，Zk，即1πk=−，Zk.又0，故的最小值为1.故

选：B8.已知()fx是定义在R上的奇函数，()fx的导函数为()'fx，若()'cosfxx恒成立，则()sinfxx的解集为（）A.)π,−+B.)π,+C.π,2+D.)0,+【答

案】D【解析】【分析】根据函数单调性求解.【详解】令函数()()singxfxx=−，则()()''cosgxfxx=−，因为()'cosfxx，所以.()()0gxgx，是增函数，因为()fx是奇函数，所

以()00f=，()()00sin00gf=−=，所以()0gx的解集为)0,+，即()fx≥sinx的解集为)0,+；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在以下4

幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系的是（）A.B.的C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系即可.【详解】A、B中各点都有线性拟合趋势，其中A样本数据正相关，B样本数据负相关；C中各点有非线性拟合趋势，D中各点分布比较分散，

它们不具有线性相关.故选：AB10.过点33,22P且与曲线()3yfxx==相切的直线方程为（）A.64150xy+−=B.360xy+−=C.360xy+−=D.46150xy+−=【

答案】BC【解析】【分析】设出切点003(,)xx，利用导数的几何意义得出切线方程为020033()yxxxx−=−−，再利用条件得到方程200430xx−+=，从而求出0x，进而可求出切线方程.【详解】设切点为003(,)xx，因为3yx=，所以23yx=−，故切线方程为020033(

)yxxxx−=−−，又因为切线过点33,22P，所以02003333()22xxx−=−−，整理得200430xx−+=，解得03x=或01x=，当03x=时，切线方程为33(3)39yx−=−−，即360xy+−=，当01x=，切线方程为33(1)11

yx−=−−，即360xy+−=.故选：BC.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E是1DD的中点，F是侧面11AADD内的一个动点（含边界），且BF∥平面1BCE，则下列结论正确的是（）A.平面1BCE截正

方体1111ABCDABCD−所得截面的面积为94B.动点F的轨迹长度为2C.1BFFD+的最小值为32D.EF与平面1BCE所成角的正弦值的最大值为223【答案】BCD【解析】【分析】根据正方体的截面、动点轨迹、线段和的最值、线面角等知识对选项进行

分析，从而确定正确答案.【详解】如图1，取11AD的中点G，连接EG，1GB，因为1//EGBC，所以平面1BCE截正方体1111ABCDABCD−所得的截面为四边形1EGBC.因为()11329222222BGBCS=+=，所以A错误.如图1，取AD的中

点M，1AA的中点N，连接BM，BN，MN，因为//MNEG，1//BMBG，由于MN平面1BCE，//EG平面1BCE，所以//MN平面1BCE，同理可证得//BM平面1BCE，由于,,MNBMMMNBM=平面BMN，所以平面BMN∥平面

1BCE，所以点F的轨迹为线段MN.因为2MN=，所以B正确.如图2，将平面BMN，平面1DMN展开至共面，连接1BD交MN于F，此时1BFFD+最小，因为132BD=，所以C正确.如图3，建立空间直角坐标系，则()0,0,1E，()12,2,0B，()0

,2,2C，()1,0,2M，()2,0,1N，设MFMN=，则()1,0,2F+−，所以()1,0,1EF=+−.设平面1BCE的法向量为(),,nxyz=，因为()12,0,2BC=−，()12,2,1BE=−−

，所以11220220nBCxznBExyz=−+==−−+=，令2x=，得()2,1,2n=−，设EF与平面1BCE所成的角为，则24sincos,322EFnEFnEFn===+，

当0=时，sin有最大值223，所以D正确.故选：BCD12.已知定义在R上的奇函数()fx满足当0x时，()lnafxxx=+，若存在等差数列1234,,,xxxx1234()xxxx，其中

140xx+=，使得()()()()1234,,,fxfxfxfx成等比数列，则a的取值可能为（）A.32eB.3ln(1)4e+C.34eD.1e【答案】ABC【解析】【分析】设等差数列1234,,,xxxx公差为d，不妨设0d，由140xx+=，得到132xd=−，又由(

)()()()1234,,,fxfxfxfx等比数列，设公比为q，根据函数()fx为奇函数，求得1q=−，再由()()340fxfx+=，得出()()30fxfx+=，转化为43(2lnln3)axx−=+在()0,+上有解，令()3(2lnln3)gxxx=+，求得()23(2ln

ln3e)gxx=+，得出函数的单调性与()min23egx=−，结合的234ea−−，求得32ea，进而结合选项，即可求解.【详解】当0x时，则0x−，因为函数()fx是R上的奇函数，所以()()()lnafxfxxx=−−=−−+，即函数()()ln,0ln,0a

xxxfxaxxx+=−−+，设等差数列1234,,,xxxx的公差为d，不妨设0d因为140xx+=，可得1130xxd++=，解得132xd=−，所以234113,,222xdxdx

d=−==，则()()()()12343113(),(),(),()2222fxfdfxfdfxfdfxfd=−=−==，又因为()()()()1234,,,fxfxfxfx等比数列，设公比为q，可得()()()()()()23213141,,fxfxqfxfxqfxfxq===，由140x

x+=且函数()fx为奇函数，所以点1144(,()),(,())xfxxfx关于原点对称，所以()()140fxfx+=，即()()311fxqfx=−，解得1q=−，所以()()340fxfx+=，因为3413,22xdxd==，可得433x

x=，所以()()3330fxfx+=，即方程()()30fxfx+=即lnln303aaxxxx+++=在()0,+上有解，即lnln303aaxxxx+++=，即43(2lnln3)axx−=+在()0

,+上有解，令()3(2lnln3)gxxx=+，可得()23(2lnln3e)gxx=+，令()0gx=，即22lnln3e0x+=，解得13ex=，当1(0,)3ex时，()0gx，()gx单调递减；当1(,)3ex+时，()0gx，()gx单调递增，所以当13e

x=时，()min123()e3egxg==−，所以234ea−−，解得32ea，所以A正确；又由332e4e，312ee，所以B正确，D不正确；令()ln(1),0hxxxx=+−，可得()11011xhxxx−=−=++，所以()hx单调递减，又因为()00h=，所以()0hx

，即ln(1)xx+，可得33ln(1)4e4e+，又由334e2e，所以33ln(1)4e2e+，所以B符合题意.故选：ABC【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解

策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数

能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已

知向量a，b满足1a=，2b=，213ab+=，则ab=_________.【答案】1−【解析】【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得ab.【详解】因为213ab+=，所以224413aabb++=，即141613ab++=

，解得1ab=−.故答案为：1−14.从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率为__________．【答案】740##0.175【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.【详解】恰有2个中果的概

率为2137310CC217C12040==．故答案为：74015.如图，M是抛物线210yx=上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角π3xFM=，则MF=_________.【答案】10【解析】【分析】根据π3x

FM=列方程，求得M点的横坐标，进而求得MF.【详解】依题意210,5pp==，过M向x轴作垂线，记垂足为N，如下图所示，设M的横坐标为0x，则00522pMFxx=+=+，00522pFNxx=−=−.因为π3xFM=，所以2MFFN=.由0055222xx+=

−，得0152x=，故1551022MF=+=故答案为：10.16.如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为_________.【答案】643##1213【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，则03h

，底面积为S，设正四棱锥的底面边长为a，根据几何关系可得()2229ah=−，可得出该几何体的体积()fh关于h的函数关系式，利用导数求出()fh的最大值，即为所求.【详解】设正四棱锥的高为h，则03h，

底面积为S，设正四棱锥的底面边长为a，则正四棱锥的底面对角线长为2a，由勾股定理可得222232ha+=，可得()2229ah=−，则()229Sh=−.该几何体的体积()211111291333VShSShhh=+=+=−+

.令函数()()()()22122913333fhhhhh=−+=−+，则()()()()()()22433321333fhhhhhh=−++−+=−−+.当01h时，()0fh

，当13h时，()0fh，所以()fh在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减.故()()()max1641291133fhf==−+=.因此，该几何体的体积的最大值为643.故答案为：643.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()22−=−acbac.（1）求角B；（2）若13cos13A=，7c=，求ABC的面积.【答案】（1）π3（2）4933【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得B.（2）先求得sinA，s

inC，利用三角形的面积公式求得ABC的面积.【小问1详解】因为()22−=−acbac，所以222acbac+−=，所以2221cos222acbacBacac+−===.因为()0,πB，所以π3B=.【小问2详解】因为()13cos,0,π13AA=，所以2239sin

1cos13AA=−=.因为π3B=，所以πππ2391133339sinsinsincoscossin33313213226CAAA=+=+=+=.因为7c=，所以由正弦定理得37sin7132sin333926cBbC===，所以ABC的面积为

11713239493sin7223133bcA==.18.已知等比数列na的前n项和为nS，且121nnaS+=+.（1）求na的通项公式；（2）设()*nnbnan=N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）13nna−=（2）211344nnnT

−=+【解析】【分析】（1）方法一：由题意可得112111212()1aqaaqaaq=+=++，解方程组求出1,aq，从而可求出通项公式，方法二：由121nnaS+=+，得2121nnaS++=+，两式相减可求出公比，再

由2121aS=+可求出1a，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13nnbn−=，再利用错位相减法可求得nT.【小问1详解】方法一：设等比数列na的首项为1a，公比为()0qq.由121nnaS+

=+，得21322121aSaS=+=+，即112111212()1aqaaqaaq=+=++，解得13,1qa==，故13nna−=.方法二：设等比数列na的首项为1a，公比为()0qq.由121nnaS+=+，得2121nnaS++=+，两式相减得2112nnnaaa++

+−=，即213nnaa++=，得3q=.由2121aS=+，得11321aa=+，解得11a=.故13nna−=.【小问2详解】因为13nnnbnan−==，所以01211323333nnTn−=++++L，①12331323333nn

Tn=++++L.②由①-②得()012111311233333331322nnnnnnTnnn−−−=++++−=−=−−−，故211344nnnT−=+.19.如图，在

四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，24,,90,,PDCDADABABCDCDAEF=====分别为棱,PDPB的中点，14PGPC=.（1）证明：,,,AGFE四点共面；（2）求平面ABF与平面AEF的夹角的大小.【

答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件可知，若存在,Rmn，使AGmAEnAF=+，则,,,AGFE四点共面；（2）分别求出平面ABF与平面AEF的法向量，从而根据夹角公式求解即可.【小问1详解】因为

PD⊥平面ABCD，,ADCD平面ABCD，所以,PDADPDCD⊥⊥，又底面ABCD为直角梯形，90CDA=，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()4,0,0,0,0,2,2,1,2,0,1,3AEFG.()()(

)4,0,2,2,1,2,4,1,3AEAFAG=−=−=−.设AGmAEnAF=+，即4421322mnnmn−=−−==+，解得1,21,mn==所以12AGAEAF=+.故,,,AGFE四点共面.【小问2详解】设(),,nxyz=r是平面AEF的法向量，则42

0220nAExznAFxyz=−+==−++=，令2z=，得()1,2,2n=−r.取AP的中点H，则(2,0,2)H，连接DH，又因为PDAD=，所以DHAP⊥，又由（1）,CDADPDCD⊥⊥，ADPDD=I，AD平面PAD

，PD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又ABCD∥，所以AB⊥平面PAD，又DH平面PAD，所以DHAB⊥，又APABA=，AP平面ABF，AB平面ABF，所以DH⊥平面ABF，即平面ABF的一个法向量为()2,0,2DH=.所

以2cos,2nDHnDHnDH==.故平面ABF与平面AEF的夹角的大小为π4.20.已知函数()exafxx−=的最小值为21e−．（1）求a的值；（2）设函数()()lngxfxxx=−−，求()gx的最值．【答案】（1）1（2）()gx有

最小值为0，无最大值.【解析】【分析】（1）用导数求出()fx的单调性即可知()12min1(1)eeafxf−−=−=−=−，从而可求a的值；（2）构造函数()1e(R)xhxxx−=−可得()min

(1)0hxh==，无最大值，而()(ln)gxhxx=+即可得()gx的最值．【小问1详解】函数()fx的定义域为R，()(1)exafxx−=+，令()0fx=得=1x−，(,1)x−−时，()0fx，()fx单调递减，(1,)−+x时，

()0fx¢>，()fx单调递增，所以()12min1(1)eeafxf−−=−=−=−，解得1a=，故所求a的值为1.【小问2详解】令()1e(R)xhxxx−=−，()1e1xhx−=−，令()0hx=得1x=，(,1)x−时，

()0hx，()hx单调递减，(1,)x+时，()0hx，()hx单调递增，所以()min(1)0hxh==，无最大值，所以()()1ln1lne(ln)e(ln)(ln)xxxgxfxxxx

xxxxhxx−+−=−−=−+=−+=+，而函数lnyxx=+单调递增，且Ry，由上可知()gx有最小值为0，当且仅当ln1xx+=即1x=时取得最小值，无最大值.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，左、右焦点分别为1F，2F，左、上顶点分别为1A，

1B，且111ABF外接圆的半径为10，O为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设()(),10Amm为椭圆C上一点，直线OA的平行线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的中点的纵坐标

.【答案】（1）22182xy+=（2）1【解析】【分析】（1）根据离心率得到32ca=、12ba=，即可求出11sinOAB，再由正弦定理求出a，即可求出椭圆方程；（2）首先求出A点坐标，设直线l的方程为(

)102yxtt=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到AM的方程，从而得到Py，同理得到Qy，计算出PQyy+即可得解.【小问1详解】根据离心率为32，得32ca=，所以2212baca=−=，所以112

25sin5bOABab==+.在111ABF中，11210sinaOAB=，解得22a=，所以2b=，6c=，所以椭圆C的标准方程为22182xy+=.【小问2详解】因点()(),10Amm在椭圆C上，所以221182m+=，解得2m=或2m=−（舍去），所以点(

)2,1A，所以12OAk=，设直线l的方程为()102yxtt=+.联立方程组221248yxtxy=++=得222240xtxt++−=，由()22244241640ttt=−−=−，

解得22t−，且0t.设()11,Mxy，()22,Nxy，则122xxt+=−，21224xxt=−，直线AM的方程为()111122yyxx−−=−−，令0x=，得P点的纵坐标为11122Pxyyx−=−.同理可得Q点的纵坐标为2222

2Qxyyx−=−.所以1122122222PQxyxyyyxx−−+=+−−()()21221212122422482222424txxttttxxxxxxtt−+−−−+=+===−−−+++，所以线段PQ的中点的纵坐标为1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交

问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；为（5）代入韦达定

理求解.22.某同学正在研究投掷骰子的概率问题，在连续3次得到6点朝上的结果时，他产生了一个疑问：在连续多少次6点朝上时，是否该合理怀疑骰子不是均匀的?带着这个疑问，他研究了以下问题：有两个骰子，一个是正常的、均匀的1号骰子，另一个是

不均匀的2号骰子.经测1试，投掷2号骰子得到6点朝上的概率为12.（1）若等可能地选择其中一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是2号骰子的概率.（2）若每次都等可能地选择其中一个

骰子，投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有X次用了2号骰子的概率为()PX，试问当X取何值时()PX最大?并求()PX的最大值.【答案】（1）2728（2）当8X=时()PX最大，且最大值为10534【

解析】【分析】（1）利用条件概型概率计算公式求得所求的概率.（2）利用条件概型概率计算公式求得()PX，利用商比较法求得()PX的最大值.【小问1详解】设事件A={3次6点朝上}，事件B={选择了2号骰子}，则()412PAB=，()()()43111226PAPABPAB

=+=+，所以所求概率为()()()443127228111226PABPBAPA===+.【小问2详解】设事件Bk={10次有k次用了2号骰子}()0,1,2,,10k=

，则()10101C2kkPB=.设事件D={10次6点朝上}，则()101126kkkPDB−=.()()()()()()()00111010PDPBPDBPBPDBPBPDB=+++100101019

101000110101010111111111CCC226226226=+++101010101111222623=+=

，()()()()101010101010101011111CC22626122233kkkkkkkkPBDPXkPBDPD−−=====.令1010

1011C2623kkkka−=，0ka，则()()()1011109!1!C10!10,1,,93C3(10)!!10!303kkkkkkakkakkk++−++==

==−−.当2904k时，11kkaa+，即1kkaa+；当2994k时，11kkaa+，即1kkaa+.因为291744=，所以ka的最大值是7810max,,aaa，因为8781028102C81,519162aaaa===

，所以ka的最大值是8a，所以当8X=时()PX最大，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com