【文档说明】甘肃省白银市靖远县第四中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.563 MB，由小赞的店铺上传

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高二期末练习卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效

.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册、第二册占20%，选择性必修第一册、第二册占80%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1.复数()2i13iz=−−+的虚部为（）A.2−B.2C.2iD.23【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则求z的代数形式，再由虚部的定义确定结论.【详解】因为()2i13i232iz=−−+=+，所以复数

z的虚部为2，故选：B.2.设全集U=R，集合|0Axx=，()()|120Bxxx=+−，则()UAB=ð（）A.(,2−B.)0,+C.1,2−D.0,2【答案】D【解析】【分析】化简集合B，根据集合的运算法则求()

UABð.【详解】不等式()()120xx+−的解集为()(),12,−−+，所以()(),12,B=−−+，又|0Axx=，所以()(),02,AB=−+，故()0,2UAB=

ð.故选：D.3.设向量1e，2e，3e不共面，已知123ABeee=++，123BCeee=++，123484CDeee=++，若A，C，D三点共线，则=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据A，C，D三点共线，可得//ACCD，则存

在唯一实数，使得ACCD=，再根据空间向量共线定理即可得解.【详解】由123ABeee=++，123BCeee=++，得()123212eeACABeBC=+=+++，因为A，C，D三点共线，所以//ACCD，则存在唯一实数

，使得ACCD=，则241824=+==，解得123==.故选：C4.已知数列0,lg3,lg5,lg7,，根据该数列的规律，该数列中小于2的项有（）A.50项B.51

项C.100项D.101项【答案】A【解析】【分析】令该数列为na，由前几项归纳得()lg21nan=−，再令()lg212nan=−，求出n的取值范围，即可得解.【详解】令该数列为na，则()1lg1lg211a==−，()2lg3lg221a==−，()3lg5lg231a==

−，L，.由此可归纳得()lg21nan=−，令()lg212nan=−，即()2lg21lg10n−，所以021100n−，解得110122n，又*nN，所以150lg992aa

=，51lg1012a=，故数列中小于2的项有50项.故选：A5.已知圆C：226440xyxy+−+−=，则过点()4,1M−的最短弦所在直线l的方程为（）A.220xy+−=B.50xy−−=C.30xy+−=D.260xy−−=【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理，分析出圆心和()

4,1M−连线的直线垂直于直线l时，所截得弦长最短.【详解】由于224(1)644(1)40+−−+−−，故点()4,1M−在圆内，226440xyxy+−+−=化为标准方程：22(3)(2)17xy−++=.如图，设CHl⊥，垂足为H，设直线l和圆的交点是,AB，根据垂

径定理，2222217ABRCHCH=−=−，为使得AB最小，必须CH最大，显然2CHCM=，,HM重合的时候取得等号，此时CMl⊥，由于1CMk=，所以直线l的斜率为1−，故直线l的方程为()()14yx−−=−−，即30xy+−=.故选：C6.如图，这是一个落地青花瓷

，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：22221xyab−=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）A.162cmB.24cmC.32cmD.82cm【答案】D【解析】【分析

】求出4a=，设出(),Mrb，代入双曲线方程，求出42r=，得到直径.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，所以4a=.设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则(),Mrb，所以222214rbb−=，解得42r=，故该花瓶的瓶口直径为282cmr=.故选：D7.将

函数()()sin1fxx=+（0）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】先求得()fx的图象平移后的解析式，再列

出关于的方程，进而求得的最小值.【详解】()fx的图象向右平移1个单位长度后，可得函数()()()sin11sin1gxxx=−+=−+的图象，则1πk−+=，Zk，即1πk=−，Zk.又0，故的最小值为1.故选：B8.已知

()fx是定义在R上的奇函数，()fx的导函数为()'fx，若()'cosfxx恒成立，则()sinfxx的解集为（）A.)π,−+B.)π,+C.π,2+D.)0,+【答案】D【解析】【分析】根

据函数单调性求解.【详解】令函数()()singxfxx=−，则()()''cosgxfxx=−，因为()'cosfxx，所以.()()0gxgx，是增函数，因为()fx是奇函数，所以()00f=，()()00sin00gf=−=，所

以()0gx的解集为)0,+，即()fx≥sinx的解集为)0,+；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在以下4幅散点图中，所对

应的成对样本数据呈现出线性相关关系的是（）A.B.的C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系即可.【详解】A、B中各点都有线性拟合趋势，其中A样本数据正相关，B样本数据负相关；C中各点有非线性拟合

趋势，D中各点分布比较分散，它们不具有线性相关.故选：AB10.过点33,22P且与曲线()3yfxx==相切的直线方程为（）A.64150xy+−=B.360xy+−=C.360xy+−=D.46150

xy+−=【答案】BC【解析】【分析】设出切点003(,)xx，利用导数的几何意义得出切线方程为020033()yxxxx−=−−，再利用条件得到方程200430xx−+=，从而求出0x，进而可求出切线方程.【详解】设

切点为003(,)xx，因为3yx=，所以23yx=−，故切线方程为020033()yxxxx−=−−，又因为切线过点33,22P，所以02003333()22xxx−=−−，整理得200430xx−+=，解得03x=或01x=，当0

3x=时，切线方程为33(3)39yx−=−−，即360xy+−=，当01x=，切线方程为33(1)11yx−=−−，即360xy+−=.故选：BC.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E是1DD的中点，F是侧面11AADD内的一个动点

（含边界），且BF∥平面1BCE，则下列结论正确的是（）A.平面1BCE截正方体1111ABCDABCD−所得截面的面积为94B.动点F的轨迹长度为2C.1BFFD+的最小值为32D.EF与平面1BCE所成角的正弦值的

最大值为223【答案】BCD【解析】【分析】根据正方体的截面、动点轨迹、线段和的最值、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】如图1，取11AD的中点G，连接EG，1GB，因为1//EGBC，所以

平面1BCE截正方体1111ABCDABCD−所得的截面为四边形1EGBC.因为()11329222222BGBCS=+=，所以A错误.如图1，取AD的中点M，1AA的中点N，连接BM，BN，MN，因为//MNEG，1//BMBG，由于MN平面1BCE，//EG平面

1BCE，所以//MN平面1BCE，同理可证得//BM平面1BCE，由于,,MNBMMMNBM=平面BMN，所以平面BMN∥平面1BCE，所以点F的轨迹为线段MN.因为2MN=，所以B正确.如图2，将平面BMN，平面1DMN展开至共面，连接1BD交MN于F，此时1BFFD+最

小，因为132BD=，所以C正确.如图3，建立空间直角坐标系，则()0,0,1E，()12,2,0B，()0,2,2C，()1,0,2M，()2,0,1N，设MFMN=，则()1,0,2F+−，所以()1,0,1

EF=+−.设平面1BCE的法向量为(),,nxyz=，因为()12,0,2BC=−，()12,2,1BE=−−，所以11220220nBCxznBExyz=−+==−−+=，令2x=，得()2,1

,2n=−，设EF与平面1BCE所成的角为，则24sincos,322EFnEFnEFn===+，当0=时，sin有最大值223，所以D正确.故选：BCD12.已知定义在R上的奇函数()fx满足当0x时，()lna

fxxx=+，若存在等差数列1234,,,xxxx1234()xxxx，其中140xx+=，使得()()()()1234,,,fxfxfxfx成等比数列，则a的取值可能为（）A.32eB.3ln(1)4e+C.34eD.1e【答案】ABC【解析】【分析】设等差数列1234,,,xxx

x公差为d，不妨设0d，由140xx+=，得到132xd=−，又由()()()()1234,,,fxfxfxfx等比数列，设公比为q，根据函数()fx为奇函数，求得1q=−，再由()()340fxfx+=，得出()()30

fxfx+=，转化为43(2lnln3)axx−=+在()0,+上有解，令()3(2lnln3)gxxx=+，求得()23(2lnln3e)gxx=+，得出函数的单调性与()min23egx=−，结合的

234ea−−，求得32ea，进而结合选项，即可求解.【详解】当0x时，则0x−，因为函数()fx是R上的奇函数，所以()()()lnafxfxxx=−−=−−+，即函数()()ln,0ln,0axxxfxaxxx+=−−+，设等差数列1234,

,,xxxx的公差为d，不妨设0d因为140xx+=，可得1130xxd++=，解得132xd=−，所以234113,,222xdxdxd=−==，则()()()()12343113(),(),(),()2222fxfdfxfdfxfdfxfd=−=−=

=，又因为()()()()1234,,,fxfxfxfx等比数列，设公比为q，可得()()()()()()23213141,,fxfxqfxfxqfxfxq===，由140xx+=且函数()fx为奇函数，所以点1144(,()),(,())xfxxfx关于原点对称

，所以()()140fxfx+=，即()()311fxqfx=−，解得1q=−，所以()()340fxfx+=，因为3413,22xdxd==，可得433xx=，所以()()3330fxfx+=，即方程()()30fxfx+=即lnln303aax

xxx+++=在()0,+上有解，即lnln303aaxxxx+++=，即43(2lnln3)axx−=+在()0,+上有解，令()3(2lnln3)gxxx=+，可得()23(2lnln3e)g

xx=+，令()0gx=，即22lnln3e0x+=，解得13ex=，当1(0,)3ex时，()0gx，()gx单调递减；当1(,)3ex+时，()0gx，()gx单调递增，所以当13

ex=时，()min123()e3egxg==−，所以234ea−−，解得32ea，所以A正确；又由332e4e，312ee，所以B正确，D不正确；令()ln(1),0hxxxx=+−，可得()11011

xhxxx−=−=++，所以()hx单调递减，又因为()00h=，所以()0hx，即ln(1)xx+，可得33ln(1)4e4e+，又由334e2e，所以33ln(1)4e2e+，所以B符合题意.故选：ABC【点

睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压

轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a，b满足1a=，2b=，213ab+=，则ab

=_________.【答案】1−【解析】【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得ab.【详解】因为213ab+=，所以224413aabb++=，即141613ab++=，解得1ab=−.故答案为：1−14.从

一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率为__________．【答案】740##0.175【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.【详解】恰有2个中果的概率为2137310CC217C12040==．故答案为：74015.如图，M是抛物线21

0yx=上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角π3xFM=，则MF=_________.【答案】10【解析】【分析】根据π3xFM=列方程，求得M点的横坐标，进而求得MF.【详解】依题意210,5pp==，过M向x

轴作垂线，记垂足为N，如下图所示，设M的横坐标为0x，则00522pMFxx=+=+，00522pFNxx=−=−.因为π3xFM=，所以2MFFN=.由0055222xx+=−，得0152x=，故1551022MF=+=故答案为：10.16.如图所示的几何体由一个正四棱锥和

一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为_________.【答案】643##1213【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，则03h，底面积为S，设正四棱锥的底

面边长为a，根据几何关系可得()2229ah=−，可得出该几何体的体积()fh关于h的函数关系式，利用导数求出()fh的最大值，即为所求.【详解】设正四棱锥的高为h，则03h，底面积为S，设正四棱锥的底面边长为

a，则正四棱锥的底面对角线长为2a，由勾股定理可得222232ha+=，可得()2229ah=−，则()229Sh=−.该几何体的体积()211111291333VShSShhh=+=+=

−+.令函数()()()()22122913333fhhhhh=−+=−+，则()()()()()()22433321333fhhhhhh=−++−+=−−+.当01h

时，()0fh，当13h时，()0fh，所以()fh在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减.故()()()max1641291133fhf==−+=.因此，该几何体的体积的最大值为643.故答案为：643.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()22−=−acbac.（1）求角B；（2）若13cos13A=，7c=，求ABC的面积.【答案】（1）π3（2）4933【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得B.（2）先求得s

inA，sinC，利用三角形的面积公式求得ABC的面积.【小问1详解】因为()22−=−acbac，所以222acbac+−=，所以2221cos222acbacBacac+−===.因为()0,πB，所以π3B

=.【小问2详解】因为()13cos,0,π13AA=，所以2239sin1cos13AA=−=.因为π3B=，所以πππ2391133339sinsinsincoscossin33313213226CAAA=+=+

=+=.因为7c=，所以由正弦定理得37sin7132sin333926cBbC===，所以ABC的面积为11713239493sin7223133bcA==.18.已知等比数列na的前n项和为nS，且121nnaS+=

+.（1）求na的通项公式；（2）设()*nnbnan=N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）13nna−=（2）211344nnnT−=+【解析】【分析】（1）方法一：由题意可得112111212()1aqaaqaaq=+=++，解方程组求出

1,aq，从而可求出通项公式，方法二：由121nnaS+=+，得2121nnaS++=+，两式相减可求出公比，再由2121aS=+可求出1a，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13nnbn−=，再利用错位相减法可求得nT.【小问1详解】

方法一：设等比数列na的首项为1a，公比为()0qq.由121nnaS+=+，得21322121aSaS=+=+，即112111212()1aqaaqaaq=+=++，解得13,1qa==，故13nna−=.方

法二：设等比数列na的首项为1a，公比为()0qq.由121nnaS+=+，得2121nnaS++=+，两式相减得2112nnnaaa+++−=，即213nnaa++=，得3q=.由2121aS=+，得11321aa=+，解得11a=.故13nna−=.【小问2详解】因为

13nnnbnan−==，所以01211323333nnTn−=++++L，①12331323333nnTn=++++L.②由①-②得()012111311233333331322nnnnnnTnnn−−−=++++−=−=−−

−，故211344nnnT−=+.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，24,,90,,PDCDADABABCDCDAEF=====分别为棱,PDPB的中点，14PGPC=.（1）证明：,,,AGFE四点共面；（2）求平面A

BF与平面AEF的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件可知，若存在,Rmn，使AGmAEnAF=+，则,,,AGFE四点共面；（2）分别求出平面ABF与平面AEF的法向量，从而根据夹角公式求解即

可.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD，,ADCD平面ABCD，所以,PDADPDCD⊥⊥，又底面ABCD为直角梯形，90CDA=，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()4,0,0,0,0,2,2,1

,2,0,1,3AEFG.()()()4,0,2,2,1,2,4,1,3AEAFAG=−=−=−.设AGmAEnAF=+，即4421322mnnmn−=−−==+，解得1,21,mn==所以12AGAEAF=+.故,,,AGFE四点

共面.【小问2详解】设(),,nxyz=r是平面AEF的法向量，则420220nAExznAFxyz=−+==−++=，令2z=，得()1,2,2n=−r.取AP的中点H，则(2,0,2)H，连接DH，又因为PDAD=，所以DHAP⊥，又由（1）,CDADPDCD⊥⊥，A

DPDD=I，AD平面PAD，PD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又ABCD∥，所以AB⊥平面PAD，又DH平面PAD，所以DHAB⊥，又APABA=，AP平面ABF，AB平面ABF，所以DH⊥平面ABF，即平面ABF的一个法向

量为()2,0,2DH=.所以2cos,2nDHnDHnDH==.故平面ABF与平面AEF的夹角的大小为π4.20.已知函数()exafxx−=的最小值为21e−．（1）求a的值；（2）设函数()()lngxfxxx=−−，求()gx的最值．【答案】（1）

1（2）()gx有最小值为0，无最大值.【解析】【分析】（1）用导数求出()fx的单调性即可知()12min1(1)eeafxf−−=−=−=−，从而可求a的值；（2）构造函数()1e(R)xhxxx−=−可得()m

in(1)0hxh==，无最大值，而()(ln)gxhxx=+即可得()gx的最值．【小问1详解】函数()fx的定义域为R，()(1)exafxx−=+，令()0fx=得=1x−，(,1)x−−时，()0fx，()fx单调递减

，(1,)−+x时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()12min1(1)eeafxf−−=−=−=−，解得1a=，故所求a的值为1.【小问2详解】令()1e(R)xhxxx−=−，()1e1xhx−=−，令()0hx=得

1x=，(,1)x−时，()0hx，()hx单调递减，(1,)x+时，()0hx，()hx单调递增，所以()min(1)0hxh==，无最大值，所以()()1ln1lne(ln)e(ln)(ln)x

xxgxfxxxxxxxxhxx−+−=−−=−+=−+=+，而函数lnyxx=+单调递增，且Ry，由上可知()gx有最小值为0，当且仅当ln1xx+=即1x=时取得最小值，无最大值.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，左、右焦点分别为1F，2F，左、

上顶点分别为1A，1B，且111ABF外接圆的半径为10，O为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设()(),10Amm为椭圆C上一点，直线OA的平行线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴

交于P，Q两点，求线段PQ的中点的纵坐标.【答案】（1）22182xy+=（2）1【解析】【分析】（1）根据离心率得到32ca=、12ba=，即可求出11sinOAB，再由正弦定理求出a，即可求出椭圆方程；

（2）首先求出A点坐标，设直线l的方程为()102yxtt=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到AM的方程，从而得到Py，同理得到Qy，计算出PQyy+即可得解.【小问1详解】根据离心率为32，得32

ca=，所以2212baca=−=，所以11225sin5bOABab==+.在111ABF中，11210sinaOAB=，解得22a=，所以2b=，6c=，所以椭圆C的标准方程为22182xy+=.【

小问2详解】因点()(),10Amm在椭圆C上，所以221182m+=，解得2m=或2m=−（舍去），所以点()2,1A，所以12OAk=，设直线l的方程为()102yxtt=+.联立方程组221248yxt

xy=++=得222240xtxt++−=，由()22244241640ttt=−−=−，解得22t−，且0t.设()11,Mxy，()22,Nxy，则122xxt+=−，21224x

xt=−，直线AM的方程为()111122yyxx−−=−−，令0x=，得P点的纵坐标为11122Pxyyx−=−.同理可得Q点的纵坐标为22222Qxyyx−=−.所以1122122222PQxyxyyyxx−−+=+−−()()2

1221212122422482222424txxttttxxxxxxtt−+−−−+=+===−−−+++，所以线段PQ的中点的纵坐标为1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方

程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；为（5）代入韦达定理求解.22.某同学正在研究投掷

骰子的概率问题，在连续3次得到6点朝上的结果时，他产生了一个疑问：在连续多少次6点朝上时，是否该合理怀疑骰子不是均匀的?带着这个疑问，他研究了以下问题：有两个骰子，一个是正常的、均匀的1号骰子，另一个是不均匀的2号

骰子.经测1试，投掷2号骰子得到6点朝上的概率为12.（1）若等可能地选择其中一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是2号骰子的概率.（2）若每次都等可能地选择其中一个骰子，投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有X次用了2号骰子的

概率为()PX，试问当X取何值时()PX最大?并求()PX的最大值.【答案】（1）2728（2）当8X=时()PX最大，且最大值为10534【解析】【分析】（1）利用条件概型概率计算公式求得所求的概率.（2）利用条件概型概

率计算公式求得()PX，利用商比较法求得()PX的最大值.【小问1详解】设事件A={3次6点朝上}，事件B={选择了2号骰子}，则()412PAB=，()()()43111226PAPABPAB=+=+，所以所求概率为()()()4431272281112

26PABPBAPA===+.【小问2详解】设事件Bk={10次有k次用了2号骰子}()0,1,2,,10k=，则()10101C2kkPB=.设事件D={10次6点朝上}，则()101126kkkPDB−=

.()()()()()()()00111010PDPBPDBPBPDBPBPDB=+++100101019101000110101010111111111CCC226226226=++

+101010101111222623=+=，()()()()1010101010101010111

11CC22626122233kkkkkkkkPBDPXkPBDPD−−=====.令10101011C2623kkkka−=，0ka

，则()()()1011109!1!C10!10,1,,93C3(10)!!10!303kkkkkkakkakkk++−++====−−.当2904k时，11kkaa+，即1kkaa+；当2994k时

，11kkaa+，即1kkaa+.因为291744=，所以ka的最大值是7810max,,aaa，因为8781028102C81,519162aaaa===，所以ka的最大值是8a，所以当8X=时()PX最大，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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