【文档说明】重庆市万州第二高级中学2024届高三上学期7月月考数学试题 含解析.docx，共(30)页，4.497 MB，由小赞的店铺上传

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万州二中2023-2024年高三上期7月月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3

.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

203,10PxxQxx==−N∣∣，则PQ=（）A.1,3B.(1,3C.2,3D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】解不等式，再进行交集运算.【详解】2030,1,2,3,10{1PxxQxxxx===−=−N∣∣或1}xPQ=2,3故

选：C2.函数1cos1xxeyxe−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域和奇偶性，确定正确选项.【详解】令()1cos1xxfexex=−+，()fx的定义域

为R，由此排除B选项.()()()11coscos11xxxxeefxxxfxee−−−−−=−==−++，所以()fx为奇函数，由此排除CD选项.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式确定函数图象，属

于基础题.3.已知圆台1OO的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台1OO的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（）A.当hRr−时，S的最大值为()2Rrh+B.当hRr−时，S的最大值为()()()222RrhRrRr++−−C.当hRr−时，S的最

大值为()2Rrh+D.当hRr−时，S的最大值为()()()222RrhRrRr++−−【答案】D【解析】【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分hRr−和hRr−讨论即可.【详解】如图,将圆台1OO补成圆锥PO.设圆台1OO的母线长为l,则222()lhRr

=+−,等腰梯形ABCD为过两母线的截面.设,PCxAPB==，由rxRxl=+，得rlxRr=−,则2221()sinsin22()PABPCDRrSSSxlxlRr+=−=+−=−，

当hRr−时，90，当sin最大，即截面为轴截面时面积最大，则S的最大值为1(22)()2RrhRrh+=+.当hRr−时,90，当sin1=时，截面面积最大，则S的最大值为222()()2()2()RrhRrRrlRrRr++−+=−−.故选：D.【点

睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到2sin2()RrSlRr+=−，然后再分hRr−和hRr−讨论即可.4.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为427的直线与C在第一象限内相交

于点P，过点P作PMl⊥于点M，连接MF交C于点N，若MFNF=，则的值为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，则由已知条件结合抛物线的定义可得PFMPMFMFOMNQ===，设直线PF的倾斜角为，则22tan42tan1

7MNQMNQ=−，求出tanMNQ，再结QNNF=可求得结果.【详解】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，则NFNQ=，PMNQx∥∥轴．因为PMPF=，所以PFMPMFMFOMNQ===．设直线PF的倾斜角为，则ππ

2PFMMFOMNQ=−−=−，所以22tan42tantan2tan17MNQMNQMNQ=−==−，222tan7tan220MNQMNQ−−=解得tan22MNQ=或1tan22MN

Q=−（舍去），所以22MQNQ=，所以33MNNQNF==，所以4MFNF=uuuruuur，即4=．故选：C5.如图，在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，点P是平面11ABC内一个动点，且满足1213

DPPB+=+，则直线1BP与直线1AD所成角的余弦值的取值范围为（）A.10,2B.10,3C.12,22D.13,22【答案】A【解析】【分析】求得点P的轨迹是平面11ABC内以点O为圆心，半径为1的圆，可得111

////ADBCBM，进而可得出题中所求角等于直线1BM与直线1BP的夹角，然后过点O作OH⊥平面ABCD于点H，过点H作HNBC⊥于点N，连接ON，找出使得1PBM最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围.【详解】连接1BD交平面11ABC于

点O，延长线段CB至点M，使得CBBM=，连接1BM、OM、PM，如下图所示：已知在正方体1111ABCDABCD−中，1DD⊥底面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，111DDAC⊥，又四边形1111DCB

A为正方形，所以，1111ACBD⊥，1111DDBDD=，11AC⊥平面11BDD，1BD平面11BDD，111BDAC⊥，同理11BDAB⊥，1111ACABA=，1BD⊥平面11ABC，三棱锥111BABC−的体积为11131193322BABCV−==，(

)11123933242ABCS==△，111111933393222BABCVBOBO−===，可得11133BOBD==，所以，线段1BD的长被平面11ABC与平面1ADC三等分，且与两平面分别垂直，而正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，所以13OB=，23OD=，如下图所示：

其中1POBD⊥，不妨设OPx=，由题意可1213PBPD+=+，所以，22123213xx+++=+，可得1x=，所以，点P在平面11ABC内以点O为圆心，半径为1的圆上.因为111////ADBCBM，

所以，直线1BM与直线1BP的夹角即为直线1BP与直线1AD所成角.接下来要求出线段1BM与PM的长，然后在1BPM△中利用余弦定理求解.如图，过点O作OH⊥平面ABCD于点H，过点H作HNBC⊥于点N，连接ON，根据题意可知2OH=，1HNBN==，且ONMN⊥，所以，5ON=，

24521OM=+=.如图所示，121OPOP==，当点P在1P处时，1PBM最大，当点P在2P处时，1PBM最小.这两种情况下直线1BP与直线1BM夹角的余弦值最大，为111cossin2PBMPBO==；当点P在点O处时，1PBM为直角，此时余弦值最小为0.综上所述，直线1BP与直

线1AD所成角的余弦值的取值范围是10,2.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点P的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.6.已知函数()sin4fxx=+(0)在区间[0,]上有且仅有4条对称

轴，给出下列四个结论：①()fx在区间(0,)上有且仅有3个不同的零点；②()fx的最小正周期可能是2；③的取值范围是131744，；④()fx在区间0,15上单调递增．其中所有正确结论

的序号是（）A.①④B.②③C.②④D.②③④【答案】B【解析】【分析】令,42xkkZ+=+，则()14,4kxkZ+=，由函数()fx在区间[0,]上有且仅有4条对称轴，即()1404k+

有4个整数k符合，可求出131744，判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.【详解】由函数()sin4fxx=+(0)，令,42xkkZ+=+，则

()14,4kxkZ+=函数()fx在区间[0,]上有且仅有4条对称轴，即()1404k+有4个整数k符合，由()1404k+，得140101444kk++，则0,1,2,3k=，即1434144++，131744，故③正确；

对于①，(0,)x，,444x++，79,422+当,442x+时，()fx在区间(0,)上有且仅有3个不同的零点；当,442x+时，()fx在区间(0,)上有且仅有4个

不同的零点；故①错误；对于②，周期2T=，由131744，则4141713，881713T，又88,21713，所以()fx的最小正周期可能是2，故②正确；对于④，015xQ,，44154x

++,，又131744，，78,1541515+又8152，所以()fx在区间0,15上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B【点睛】方法点睛：函数(

)sin(0,0)yAxBA=++的性质：(1)maxmin=+yAByAB=−，.(2)周期2π.T=(3)由()ππ2xkk+=+Z求对称轴，由()πxkk+=Z求对称中心.(

4)由()ππ2π2π22kxkk−+++Z求增区间；由()π3π2π2π22kxkk+++Z求减区间.7.点()()0000,1,0,,AxyxyBC均在抛物线24yx=上，

若直线,ABAC分别经过两定点()()1,0,1,4M−，则BC经过定点N，直线,BCMN分别交x轴于,DE，O为原点，记,ODaDEb==，则2213abab+++最小值为（）A.12B.14C.13D.15【答案】D

【解析】【分析】利用条件，用0y表示出,BC两点坐标，从而求出直线BC的方程，进而求出定定点N，再根据条件得到1ab+=，再利用柯西不等式即可求出结果.【详解】如图，由题易知直线,ABAC斜率均存在，设直线AB方程为00

(1)1yyxx=++，11(,)Bxy，由002(1)14yyxxyx=++=，消x得200(1)(1)4yxyy+=+，即2000(1)04yyxyy−++=，由韦达定理得010044yyyy==，所以104yy=，代入24yx=，得到1204xy=，所以200

44(,)Byy，设直线方程为0044(1)1yyxx−−=−−，22(,)Cxy，由00244(1)14yyxxyx−−=−−=，消x得200(1)(4)(4)(1)4yxyy−−=−−，即20000(4)(1)4

04yyxyxy−−−+−=，由韦达定理得00204(1)4xyyy−+=−，的所以2000020004(1)44444xxyyyyyy−−−+=−=−−，又因为2004yx=，所以0204(1)4y

yy−=−，代入24yx=，得到202204(1)(4)yxy−=−，所以2002004(1)4(1)(,)(4)4yyCyy−−−−，所以直线BC的斜率为0000000022200002220000004(1)(1)4144(4)1(1)14(1)4411(4)(4)4yyyyyyyykyyy

yyyyyyy−−−−−−−====−−−−+−−−−−，所以BC的方程为0022000(4)44()4yyyxyyy−−=−−，即20000000000222222000000000(4)4(4)(4)()(4)4(1)444(4)4(4)4(4)yyyyyy

yyyyyxxxyyyyyyyyy−−−−−−=−+=−=−−−−−−−所以222200000002220004444(1)1444yyyyyyyyxxyyy−−+−−=−=−+−−−，即2002041(1)4yyyxy−−=−−，故直线BC过定点(1,1)N，令0y=，得到0200

4(1)4yxyy−=−，所以02004(1)(,0)4yDyy−−，所以02004(1)4yODyy−=−，2002200004(1)4144yyDEyyyy−−=−=−−，又因为001,0xy，所以20044yx=，所以02004(1)4yOD

yy−=−，2020044yDEyy−=−，又,ODaDEb==，所以2002200004(1)4144yyabyyyy−−+=+=−−，又由柯西不等式知2222222()(1)(3)()()(1)(3)()1313ababababababab

++++=+++++++++，当且仅当13abab=++，即13,44ab==时，取等号，所以22()5113abab+++，即221135abab+++，故选：D.【点睛】解决本题关键在于，利用条件求出20044(,)Byy，2002004(1)4(

1)(,)(4)4yyCyy−−−−两点，再利用点斜式的表示出直线BC，进而求出定点N.8.朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是

将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是1122，如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是1122F，第三个单的频率就是2122F，第四个音的频率是3122F，……，第十二个音的频率是11122F，第十三个音的频率是12122F，就是

2F.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（）.A.2FB.121212112F−C.112121F−D.112112221F−【答案】D【解析】【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解.【详解】由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为

12312121212122,2,2,,2LFFFF，显然以上12个数构成了以1122F为首项，以1122为公比的等比数列，由等比数列求和公式得：1211121211211121221221221−=−−FF.故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和公式，解题的关键是分析题意将第二个音到第十三个音的频率构成以1122F为首项，以1122为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式可得，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分

.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知数列na的前n项和为nS，且1ap=，122nnSSp−−=（2n，p为常数），则下列结论正确的有（）A.na一定是等比数列

B.当1p=时，4158S=C.当12p=时，mnmnaaa+=D.3856aaaa+=+【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用数列的递推关系得22pa=和当3n时，112nnaa−=，再利用2112aa=，结合等比数列的概念对A进行判断

；对于B，利用A的结论，结合等比数列的通项公式得11·2nnap−=，当1p=时，利用等比数列的求和，计算出4S；对于C，当12p=时，利用指数幂的运算，对C进行判断；对于D，利用11·2nnap−=

，计算得3856aaaa++，对D进行判断.【详解】对于A，在数列na中，因为1ap=，()1222nnSSpn−−=(p为非零常数)①，所以当2n=时，()222appp+−=，解得22pa=，

当3n时，1222nnSSp−−−=②，由−①②得120nnaa−−=，即112nnaa−=，又因为2112aa=，所以数列na是首项为p，公比为12的等比数列，故A正确；对于B，由A得11·2nna

p−=，因此当1p=时，112nna−=，所以44111521812S−==−，故B正确；对于C，由A得11·2nnap−=，因此当12p=时，12nna=，所以111··222mnmnmnmnaaa++

===，故C正确；对于D，由A得11·2nnap−=，因此27381133···22128aappp+=+=，45561112···22128aappp

+=+=，所以3856aaaa++，故D错误．故选：ABC．10.某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（）A.该简谐运动的振幅是3cmB.该简谐运动的初相是2π5C.该简谐运动往复运动一次需要2sD.该简谐运动100s往复运动

25次【答案】ABD【解析】【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A；设该函数解析式为()()()sin0,0fxAxA=+，由简谐运动在一个周期内的图象可得，把点()2.2,3−代入解析式可得π33sin2.22−=+

，可判断BCD.【详解】对于A，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是3cm，故A正确；对于B，设该函数解析式为()()()sin0,0fxAxA=+，由简谐运动在一个周期内的图

象可得12π3.21.22=−=T，可得112π3.21.222=−=T，所以π4,2==T，所以()π3sin2=+fxx，因为把点()2.2,3−代入解析式可得π33sin2.22−=+，所以()π1.1π2π2+=−+kkZ，所以()1.

6π2π=−+kkZ，若2π1.6π2π5=−+=k，则1k=，故B正确；对于C，由B可知4sT=，故C错误；对于D，该简谐运动100s往复运动100425=次，故D正确.故选：ABD.11.如图，点M是正方体1111ABCDABCD−中的

侧面11ADDA上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.点M存在无数个位置满足1CMAD⊥B.若正方体的棱长为1，三棱锥1BCMD−的体积最大值为13C.在线段1AD上存在点M，使异面直线1BM与CD所成的角是30°D.点M存在无数个位置满足到直线AD和直线

11CD的距离相等【答案】ABD【解析】【分析】画出示意图，由直线与平面垂直的判定定理，可判断A正确；求出三棱锥1BCMD−体积的最大值，可判定B正确；由线面角的概念，求得其正切值，可判定C错误；根据抛物线的定义，可得M的轨迹为平

面11ADDA上抛物线的部分，可判断D正确.【详解】如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，CD⊥平面11ADDA，则1CDAD⊥，又由111,ADADADDCD⊥=，所以1AD⊥平面1ADC,当点M在线段1AD上时，可得1CMAD⊥，

所以A正确；由正方体的性质，可知1AC⊥平面1BCD，若正方体的棱长为1，则M与1A重合时，三棱锥1BCMD−的体积取得最大值，最大值为1132312232233=，所以B正确；异面直线1BM与CD所成的角，即为1

1ABM，当M在线段1AD上运动时，取1AD的中点M时，11ABM最小，可得1111123tan23AMABMAB==，故C错误；平面11ADDA上的点M到直线11CD的距离等于点M到1D的距离，则满足

到直线AD和直线11CD的距离相等，即满足到直线AD和点1D的距离相等，可知M的轨迹为平面11ADDA上抛物线的部分，故D正确.故选：ABD.12.已知函数2()sin22sinfxxx=−，将函数的图象向左平移（π02）个单位长度后，得到函数()gx的图象，若()gx在区间

5π[π,]4上单调递减，下列说法正确的是（）A.当取最小值时，()gx在区间5π[π,]4上的值域为[2,1]−−B.当取最小值时，()gx的图象的一个对称中心的坐标为π(,1)4−−C.当取最大值时，()gx在区间5π[π,]4上的值域为[21,1]−

−−D.当取最大值时，()gx图象的一条对称轴方程为π2x=【答案】BC【解析】【分析】化简函数()fx的解析式，根据给定条件求出的最大、最小值，再逐项分析即可计算判断作答.【详解】依题意，()sin2cos212sin(2)14fxxxx=+−

=+−，2sin(2214())xgx+=+−，当5π[π,]4x时，9112222444x++++，因()gx在区间5π[π,]4上单调递减，则有92242(Z)1132242kkk++

++，于是得75(Z)88kkk−−，而π02，因此，31,88k=，对于A，8=，2sin(2)12(cos12)2gxxx+−=−=，当5π[π,]4x时，5π2[2π,]2x，()[1,21]gx−−

，A不正确；对于B，8=，()2cos21gxx=−，由2,Z2xkk=+，即,Z24kxk=+得：()gx图象的对称中心(,1)(Z)24kk+−，则π(,1)4−−是()gx的图象的一个对称中心，B正确；对于C，38=，()2sin(2)12sin2

1gxxx=+−=−−，当5π[π,]4x时，5π2[2π,]2x，()[21,1]gx−−−，C正确；对于D，38=，()2sin21gxx=−−，由2,Z2xkk=+，即,Z24kxk=+得：()gx图象的对称轴(Z)24

kxk=+，D不正确.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1i1iiz+=−（i为虚数单位），则复数z的值为_________．【答案】2i−【解析】【分析】利用复数的四则运算即可得解.【详解】因为1

i1iiz+=−，所以()()()()1i1i222iiiiiiz−+==−==−−，故答案为：2i−．14.已知D是ABC边AC上一点，且3CDAD=，2BD=，1cos4ABC=，则3ABBC+的最大值为__________

．【答案】1655【解析】【分析】设aBC=，cAB=，设ADt=，则3CDt=，4ACt=，利用余弦定理以及ADBBDC=−可推导出2239322acac++=，进而利用基本不等式可求得3ac+的最大值.【详解】设aBC=，cAB=，设ADt=，则3CDt=，4AC

t=，如下图所示：在ABD△中，222cos22tcADBt+−=；在BCD△中，2292cos62taBDCt+−=.ADBBDC=−，()coscoscosADBBDCBDC=−=−，所以，22222922262tct

att+−+−=−，整理得2223128act+=+，①在ABC中，2222221162cos2ACtacacABCacac==+−=+−，②由①②可得2239322acac++=，由基本不等式可得()()()2222223933

3329333322222acacacacacacacac+=++=+−=+−+−()2538ac=+，()225635ac+，因此，16535ac+，当且仅当3ac=时，等号成立，因此，3AB

BC+的最大值为1655.故答案为：1655.【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形边长和最值，同时也考查了余弦定理的应用，考查计算能力，属于难题.15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明

朝科学的家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心O为原点，过点O的水平直线为x轴建立如图直角坐标系xOy

.已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，O到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（0P时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒M从点0P运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为d（单

位：m）（在水面下则d为负数），则d关于t的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度不低于1.6m的时长为___________s.【答案】①.151.6sin()0.8(0)6dtt=−+②.10【解析】【分析】根据

给定信息，求出以Ox为始边，OP为终边的角，求出点P的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.【详解】依题意，点0P到x轴距离为0.8m，而0||1.6mOP=，则06xOP=，从点0P经ts运动到点P所转过的角为23015tt=，因此，以Ox为始边，O

P为终边的角为156t−，点P的纵坐标为1.6sin()156t−，于是得点P距离水面的高度151.6sin()0.8(0)6dtt=−+，由1.6d得：1sin()1562t−，而0t，即52

2,N61566ktkk+−+，解得3053015,Nktkk++，对于k的每个取值，3015(305)10kk+−+=，所以d关于t的函数关系式为151.6sin()0.8(0)6dtt=−+，水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度不低于1.

6m的时长为10s.故答案为：151.6sin()0.8(0)6dtt=−+；10【点睛】关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.16.函数π()sin()0,0,||2fxAxA=+

的部分图象如图所示，若将()fx图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数()gx图象，则关于函数()gx有下列四个说法：①最小正周期为π；②图象的一条对称轴为直线π3x=；③图象的一个对称中心坐标为π,06−；④在区间ππ,

46−上单调递增．其中正确的是_______．（填序号）【答案】①④【解析】【分析】先根据所给图象及三角函数的性质得到函数()fx的解析式，再利用图象变换得到()gx的图象，再利用正弦函数的性质和整体思想逐一

验证选项.【详解】由图象可知：1A=，7πππ41234T=−=，所以2ππT==，所以2=，则π22ππ3k+=+，kZ，又π||2，所以π3=，所以()πsin23fxx=+，的因为将()fx图象上的所有点向右平移

π12个单位长度得到函数()gx的图象，所以()πππsin2sin21236xxxg−+=+=，对于①，()gx的最小正周期为2ππ2=，故①正确；对于②，由πππ5π1sin2sin133662g=

+==，故②错误；对于③，由ππππ1sin2sin066662g−=−+=−=−，故③错误；对于④，由πππ2π22π262kxk−++，kZ，得()gx的单调增区间为πππ,π36kk−+，k

Z．当1k=时，()gx的单调增区间为ππ,36−，此时ππππ,,4636−−，故④正确．故答案为：①④．四、解答题：本题共6小题，共70分.17.记nS为等差数列na的前n项和，已知21

011,40aS==．（1）求na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nT．【答案】（1）152nan=−（2）2214,71498,8nnnnTnnn−=−+【解析】【分析】（1）根据题意列

式求解1,ad，进而可得结果；（2）先求nS，讨论na的符号去绝对值，结合nS运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d，由题意可得211011110910402aadSad=+==+=，即1111298

adad+=+=，解得1132ad==−，所以()1321152nann=−−=−，【小问2详解】因()213152142nnnSnn+−==−，令1520nan=−，解得152n，且*nN，当7n时，则0na，可得2121214nnnn

TaaaaaaSnn=+++=+++==−；当8n时，则0na，可得()()121278nnnTaaaaaaaa=+++=+++−++()()()222777221477141498nnSSSS

Snnnn=−−=−=−−−=−+；综上所述：2214,71498,8nnnnTnnn−=−+.18.ABC的内角,,ABC的对边长分别为,,abc，设sinsinsinabCBcbA++=−（1）求C；（2）若()

3126abc++=，求sinA．【答案】（1）2π3（2）62sin4A−=【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可.【小问1详解】根据题意，由正弦定理可得abcbcba++=−，即22

2cabab=++，所以根据余弦定理2221cos22abcCab+−==−及ABC中()0,πC可得2π3C=.【小问2详解】根据题意，由正弦定理可得()31sin2sin6sinABC++=，为所以()()()2π133231si

n2sin31sin2sincos3sincos3222AAAAAAA+++=++−+=+=，解得6sincos2AA+=①，因为22sincos1AA+=②，①②联立可解得62

sin4A+=或624−，又因为2π3C=，则π3A，23sin4A，262233444++=（舍去），所以62sin4A−=.19.网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.

6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额iy（单位：万元）与时间第it年进行了统计得如下数据：it12345iy2.63.14.56.88.0（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的

关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当7t=时的利润额．附：()()()()()()1122221111nniiiiiinnnnii

iiiiiittyytyntyrttyyttyy======−−−==−−−−，()()()1122211ˆnniiiiiinniiiittyytyntybtttnt====−−−==−−，ˆˆaybt=−．参考数据：5189.5iiity==，()5211

0iitt=−=，()52121.86iiyy=−=，218.614.785．【答案】（1）0.98，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．（2）ˆ1.450.65yt=+，10.8万元．【解析】【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较

，进而得到结果；（2）先利用公式求得ˆˆba、，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当7t=时的利润额．【小问1详解】由题表，()11234535t=++++=，()12.63.14.56.88.055y=++++=因为5189.

5iiity==，()52110iitt=−=，()52121.86iiyy=−=，所以()()51552211514.514.50.980.7514.785218.6iiiiiiitytyrttyy===−==−−

．故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．【小问2详解】515221514.5ˆ1.45105iiiiitytybtt==−===−，ˆˆ51.4530.65aybt=−=−=，所以ˆ1.450.65yt=

+．当7t=时，ˆ1.4570.6510.8y=+=．预测该专营店在7t=时的利润为10.8万元．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC=.（1）求二面角F-AE-P的

余弦值；（2）设点G在PB上，且34PGPB=.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.【答案】（1）33（2）直线AG不在平面AEF内，理由见解析【解析】【分析】（1）过A作AD的垂线交BC于点M，再以

A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz−，求出平面AEF的法向量后可求二面角FAEP−−的余弦值；（2）求得平面AEF的法向量n，再计算AGn是否为0即可判断【小问1详解】过A作AD的垂线交BC于点M.因

为PA⊥平面,,ABCDADAM平面ABCD，所以,PAAMPAAD⊥⊥，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系Axyz−.则()()()()()0,0,0,2,1,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2ABCDP

−，因为E为PD的中点，所以()0,1,1E，所以()()()10,1,1,2,2,2,0,0,2,3PFAEPCAPPC==−==，所以1222224,,,,,3333333PFPCAFAPPF==−=+=.

设平面AEF的法向量为(),,nxyz=r，则00nAEnAF==即02240333yzxyz+=++=，令1z=，则1,1yx=−=−，故()1,1,1n=−−，又平面PAD的法向

量为()1,0,0p=，所以3cos,3npnpnp==−，二面角FAEP−−平面角余弦值为33.【小问2详解】直线AG不在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且34PGPB=，故()2,1,2PB=−−，所以3333,,4242PGPB==−−，

331,,242AGAPPG=+=−由（1）知，平面AEF的法向量()1,1,1n=−−，所以104AGn=−，所以直线AG不在平面AEF内【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明、建立空间直角坐标

系求解二面角的问题，同时也考查了线面关系的判断，属于中档题21.已知椭圆C的两个顶点分别为()2,0A−，()2,0B，焦点在x轴上，离心率为32.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线()()10ykx

k=−与x轴交于点P，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于Q，求MNPQ的取值范围.【答案】（1）2214xy+=；（2）()4,43【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,abc即可；（2）先联立直线和椭圆方程

，借助弦长公式表示出弦长MN，再求出垂直平分线和Q坐标，表示出PQ，最后分离常数求取值范围即可.【小问1详解】由题意知22223,2acaabc===+可得1,2ab==，故椭圆C的方程为2214x

y+=.【小问2详解】由()22114ykxxy=−+=，可得()2222418440kxkxk+−+−=，设()()1122,,,MxyNxy，则22121222844,4141kkxxxxkk−+==++，()121222241kyykxxk−+=+−=+，线段MN

的中点为2224,4141kkkk−++，线段MN的垂直平分线方程为22214()4141kkyxkkk−−=−−++，令0y=，得22341kxk=+，所以223,041kQk+，又(1,0)P，则22223114141kkP

Qkk+=−=++,又2222212228441(1)44141kkMNkxxkkk−=+−=+−++()()222413141kkk++=+，所以()()222222224131312414

4311141kkMNkkkPQkkk++++===−++++，220,1331kk−+，故MNPQ的取值范围为()4,43.【点睛】（1）关键在于建立,,abc的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线

和弦长MN、PQ，转化成关于k的代数式求范围即可.22.已知函数()exaxfx=的图象在0x=处的切线方程为yx=，其中e是自然对数的底数.（1）若对任意的()0,2x，都有()212fxkxx+−成立，求实数k的取值范围；（2）若函数()()()lnRgxfxbb=−

的两个零点为()1212,xxxx，试判断122xxg+的正负，并说明理由.【答案】（1）)0,e1−（2）1202xxg+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据切线方程可得参数a的值，可知()0fx，即220+−kxx在()0,2上

恒成立，再分离参数，构造()2e2xhxxxx=+−，根据函数的最值情况可得k的取值范围；（2）由题意知，函数()lngxxxb=−−，12,xx是函数()gx的两个零点，易得函数()gx在区间在区间()1,+上单调递减.只需证明1212xx+即可.

【小问1详解】由()exaxfx=，得()()21eeeexxxxaxaaxfx−−==，由函数()exaxfx=的图象在0x=处的切线方程为yx=，得()011af==，解得1a=；所以()0exxfx=

，又()0,2x时，()212fxkxx+−恒成立，所以220+−kxx在()0,2上恒成立，即22−kxx，又()0,2x时，函数())222111,0yxxx=−=−−−，所以0k，

又21e2xxkxx+−，即2e2xkxxx+−，()0,2x设()2e2xhxxxx=+−，()0,2x，则()()()()222e21e122xxxxxhxxxx+−−=+−=，所以()0,1x时，()0hx，函数()hx单调递增，()1,2x时，()0hx，函数

()hx单调递减，所以()()1e1hxh=−，即e1k−，综上所述，0e1k−，即)0,e1k−；【小问2详解】1202xxg+，理由如下：由题意得，函数()lngxxxb=−−，

()111xgxxx−=−=，所以1x时，()0gx，1x时，()0gx，即函数()gx在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+上单调递减，所以只需证明1212xx+即可，12,xx是函数()gx的两个零点，1122ln0ln0xxbxxb−−=

−−=相减，得2211lnxxxx−=，不妨令211xtx=，则21xtx=，11lntxxt−=，11ln1xtt=−，2ln1txtt=−，即证121ln21txxtt++=−，即证()1ln201t

ttt−=−+.又()()()()222114011tttttt−=−=++，()t在区间()1,+上单调递增，()()10t=.综上所述，函数()gx总满足1202xxg+.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是

高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最

值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com