【文档说明】上海市宝山区2021届高三下学期4月期中等级考质量监测（二模）数学试题含答案.doc，共(10)页，917.000 KB，由小赞的店铺上传

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上海市宝山区2021届高三期中二模数学试卷2021.4一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.抛物线28yx=的焦点到准线的距离为2.不等式|1|2x−的解集为3.若关于x、y的方程组1xy

mxny+=+=有无穷多组解，则mn+的值为4.若12i−+（i是虚数单位）是方程20xbxc++=（,bcR）的一个根，则cb−=5.已知常数mR，若函数()2xmfx−=反函数的图像经过点

(4,2)，则m=6.设无穷等比数列{}nx的公比为m，若674lim()nnxxxx→+++=，则m=7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为8.在89(1)(1)xx+−的展开式中，4x项的系数为（结果用数值表示）9.如图，点M为

矩形ABCD的边BC的中点，1AB=，2BC=，将矩形ABCD绕直线AD旋转所得到的几何体体积记为1V，将△MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为2V，则12VV的值为10.为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机

选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为（结果用最简分数表示）11.设函数31228()8axxfxx−−=+（aR），若函数4()5yfx=+的零点为4，则使得28(3)630fn−+成立的整数n的个

数为12.如图，若同一平面上的四边形PQRS满足：(13)(1)mnRPnmQPmnSP=−+−uuruuuruur（0m，0n），则当△PRS的面积是△PQR的面积的13倍时，1mn+的最大值为二.

选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.设xR，则“3x”是“29x”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为3、23、33的学生在样

本中，则另一个学生在样本中的编号为（）A.12B.13C.14D.1515.在平面直角坐标系中，角（32）的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过函数()2xfx=−与12()log()gx

x=−−的交点，角(0,)4，则（）A.21cot()2−+−B.21tan()2−+−C.21cos()2−+−D.21sin()2−+−16.如果数列同时满足以下四个条件：（1）iuZ（1,2,,10i=）；（2）点285(

,2)uuu+在函数4xy=的图像上；（3）向量1(1,)au=r与10(3,)bu=r互相平行；（4）1iiuu+−与12iiuu+−的等差中项为32（1,2,,9i=）；那么，这样的数列1u，2u，，10u的个数为（）A.78B.

80C.82D.90三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，4PA=，M为侧棱PA的中点.（1）求四棱锥PABCD−的体积；（2）求直线PD与平面MBC所成角

的正弦值.18.将关于x的函数2(2)mxyx+=（mR）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像记为C，并设C所对应的函数为()fx.（1）当0m时，试直接写出函数()fx的单调递减区间；（2）设(4)8f=，若函数2()25gxxax=−+（1a）对于任意1[0,1]t，总存在2[0,1

]t，使得21()()gtft=成立，求a的取值范围.19.某地区的平面规划图中（如图），三点A、B、C分别表示三个街区，3ABC=，现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为1，到街区A、C的距离相等.（1）若线段AD的长为3，求sinBCD的值；（2）

若△BCD的面积为3，求点A到直线BC的距离.20.设平面直角坐标系中的动点P到两定点(2,0)−、(2,0)的距离之和为42，记动点P的轨迹为.（1）求的方程；（2）过上的点Q作圆221xy+=的两条切线，切点为1Q、

2Q，直线12QQ与x、y轴的交点依次为异于坐标原点O的点3Q、4Q，试求△34QOQ的面积的最小值；（3）过点(2,0)且不垂直于坐标轴的直线l交于不同的两点M、N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，是否存在（24），使得0213190||02||

DHMN=成立？请说明理由.21.若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（R）倍，则称该数列具有性质()P.（1）已知数列1−，2x−，3x−具有性质(4)P，求实数x的取值范围；（2）删除数列13，23，，3n，中的第3项，第6项，，第3n项，

，余下的项按原来顺序组成一个新数列{}nt，且数列{}nt的前n项和为nT，若数列{}nT具有性质()P，试求实数的最大值；（3）记12nimmmnimuuuuu++==++++（mN），如果0ka（1,2,,2021k=），证明：“202111kk

a=”的充要条件是“存在数列{}nx具有性质(1)P，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列{}nx的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数0A，使得数列{}nx收敛于A；（Ⅲ）202120201110nnknk

knkkkxxaxax−+++==−=−（1,2,n=，这里00x=）”.答案1【答案】4p=【解析】由抛物线的定义得28yx=的焦点到准线的距离为4p=.2【答案】(1,3)−【解析】由|1|2x−解得13x−，故解集为(1,3)−.3【答案】2mn+=【解析】由题意得1xym

xny+=+=应为同一方程，所以1mn==，所以2mn+=.【注】也可使用行列式求解.4【答案】1【解析】由题意得另一根为12i−−，由韦达定理得12)(12)(12)(1)(2321ciibii−+−−+−++−==−−−=5【答案】0m=【解析】由题意

得()2xmfx−=的图像经过点(2,4)，所以242m−=，所以0m=.6【答案】152m=−+【解析】因为()674limnnxxxx→+++=，所以641xxm=−，所以2441mxxm=−，所以21mm=−，又()1,1m−，所以152m=−

+.7【答案】3【解析】由三视图可得直观图，在四棱锥PABCD−中，最长的棱为PA即()2222213PAPBPC=+=+=8【答案】28【解析】8892828(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxx+−=+−−=−−−，故4x只由28(1)x−提供，

4x的系数为2828C=.9【答案】6【解析】1V为圆柱体的体积，2V为圆锥体的体积，221211122,1133VV====，所以126VV=10【答案】4455【解析】选择的4天恰好为连续4天

的概率是415124455PC==.11【答案】14【解析】因为函数4()5yfx=+的零点为4，所以5(4)4f=−，又31228()8axxfxx−−=+，所以8165(4)124af−−==−，所以9a=，所以312298()8xxfxx−−=+，根据复合函数的单

调性，易得()fx在)0,+上单调递减，且63(64)8f=−，由()283630fn−+得()26383fn−−，所以20364n−，故67,33,67n−−，又nZ，故8

,7,,3n=，故整数n的个数为14.12【答案】1053−【解析】法一：因为(13)(1)mnRPnmQPmnSP=−+−，所以131mnPRPQPSmn−−=+，过点S作SAPR⊥于A，过点Q作QBPR⊥于B，

因为PRS△的面积是PQR△面积的13，所以3QBSA=，从而3BQSA=，在131mnPRPQPSmn−−=+的两边同时点乘BQ，得03131BQSAmnPQPSmn−−=+，由向量数量积的几何意义（投影）得22,33

PQPSBQBQSASA==−，从而22130(3)1mnmQAnBS−−−=+，即13130(1)mnmn−−=+−，整理得3110mn+=，所以11010105(23)3134234()mnmnmnnmnm===−++++++

，当且仅当3mn=时取等号，所以1mn+的最大值为5(23)−.法二：在PR的反向延长线上取点R，使得PRPR=，由平面几何知识得,PRSPRSPRQPRQSSSS==，(13)(1)mnRPnmQPmnSP=−+−转化为(1

3)(1)0PSnmPQmnmnPR−+−+=，由奔驰定理得(13)1(1)3PRSPRQSnmSmn−==−，即3(13)(1)nmmn−=−，从而3110mn+=，以下同法一.13【答案】A【解析】()()29,33,xx−−+，故为充分非必要条件，选A

.14【答案】B【解析】学生40人，现用系统抽样的方法，从中抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为10，故另一个学生在样本中的编号为1315【答案】D【解析】因为122()2()log()log(),xfxgxxx=−=−

−=−互为反函数，其交点在yx=上，又32，所以54=，而0,4，所以53,42+，所以()()2tan()1,,cot()0,1,sin()1,2++++−−

，故选D.16【答案】B【解析】由（1）得(1,2,,10)iui=Z，由（2）得2852uuu+=，由（3）得1013uu=，由（4）得1123iiiiuuuu++−+=−，从而11iiuu+−=或12iiuu+−=，从而101129,18uuu−=，故15

,6,7,8,9u=，考虑13258617094uuuuuuuuuu→→→→→→→→→的变换，每一步变换均为1+或2+，且3254uuuu→→→和6587uuuu→→→所加之和相等，①若15u=，则1015u=，则9步中只有1步为2+，且只能在2边，故有3种；②若16u=，则1018u=，

则9步中有3步2+，6步1+，共有111333128CCC+=种；③若17u=，则1021u=，则9步中有5步2+，4步1+，共有12231133333336CCCCCC+=种；④若18u=，则1024u=，则9步中有7步2+，2步1+

，共有13332233333312CCCCCC+=种，⑤若19u=，则1027u=，则9步都为2+，共有1种，综上，共有3283612180++++=种，选B.17【答案】（1）163；（2）105.

18【答案】（1）[0,2)和(2,4)；（2）72a.19【答案】（1）36；（2）3932+.20【答案】（1）22184xy+=；（2）28；（3）不存在，理由略.21【答案】（1）563x；（2）max58=；（3）证明略.