【文档说明】安徽省合肥市第一中学滨湖校区2024-2025学年高二上学期素质拓展训练(一)数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，1.328 MB，由小赞的店铺上传

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合肥一中滨湖校区2024～2025学年度第一学期高二数学素质拓展训练（一）考试用时：90分钟满分：120分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4−关于x轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4−−B.()2,1,4C

.()2,1,4−−−D.()2,1,4−【答案】C【解析】【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点(2,1,4)−关于x轴对称的点坐标为(2,1,4)−−−.故选：C.2.已知,,abc为空间的一个基底，则下列各组向量中能构

成空间的一个基底的是（）A.ab+，cb+，ac−B.2ab+，b，ac−C.2ab+，2cb+，abc++rrrD.ab+，abc++rrr，c【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.【详解】对于A，设()

()abxcbyac+=++−rrrrrr，即()()()abxcbyacyaxbxyc+=++−=++−rrrrrrrrr，解得1xy==，所以ab+，cb+，ac−共面，不能构成空间的一个基底，故A错

误；对于B，设()2abxbyac+=+−rrrrr，,xy无解，所以2,,abbac+−rrrrr不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；对于C，设()()22abxcbyabc+=++++rrrrrrr，解得12xy=−=，所以2,2,

abcbabc++++rrrrrrr共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设()abxabcyc+=+++rrrrrr，解得11xy==−，所以,,ababcc+++共面，不能构成空间

的一个基底，故D错误.故选：B.3.空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，23OMOA=，点N为BC的中点，则MN=（）A.121232abc−+B.211322abc−++C.111222abc+−D.221332abc+−

【答案】B【解析】【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.【详解】如图，连结ON，因23OMOA=，点N为BC的中点，则11()()22ONOBOCbc=+=+，于是，12211()23322MNONOMbcaabc=−=+−=−++

.故选：B.4.若向量123,,eee是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,xyz，使得：123axeyeze=++，我们把有序实数组(),,xyz叫做基底123,,

eee下向量a的斜坐标.设向量p在基底,,abc下的斜坐标为()1,2,3−，则向量p在基底,,ababc+−下的斜坐标为（）A.13,,322−B.13,,322−−C.1

3,,322−D.13,,322−−【答案】A【解析】【分析】借助待定系数法设()()abnbmaspc++=−+，结合所给定义及其在基底,,abc下的斜坐标计算即可得.【详解】由题意可得23pabc=−++，设()()

abnbmaspc++=−+，即有()()()()23babcmaabnascmnmnbsc−−++++=+++−+=，即可得123mnmns+=−−==，解得12323mns==−=，即()()33

212aabpbc+−=−+，即向量p在基底,,ababc+−下的斜坐标为13,,322−.故选：A.5.已知()()2,0,1,3,2,5ab=−=−，则向量b在向量a上的投影向量是（）A.()13,2,55−

B.()13,2,538−C.()12,0,15−D.()12,0,138−【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量.【详解】因为()()2,0,1,3,2,5ab=−=−，则向量b在向量a上的投影为()()2302155541aba+−+−==+，所以向

量b在向量a上的投影向量是()551112,0,155555aaaa===−.故选:C．6.设O为坐标原点，向量()1,2,3OA=，()2,1,2OB=，()1,1,2OP=，点Q在直线AP上运动，当QAQB取最小值时，QB=（）A.6B.62C.3D.32【答案】B【解析】

【分析】设AQAP=，从而可得QAQB的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解QAQB的最小值，即可得QB的值．【详解】()1,1,2OP=，(1,2,3)OA=，(2,1,2)OB=，点Q在直线OP上运动，可设()(0

,1,1)(0,,)AQAPOPOA==−=−−=−−，(0,,)QA=，(0,,)(1,1,1)(1,1,1)QBQAAB=+=+−−=−−，221101(1)(1)222()22QAQB

=+−+−=−=−−，当12=时，QAQB取得最小值12−，222111161,,122222QB=−−=+−+−=.故选：B．7.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形

，侧面11AADD是正方形，且1120AAB=，60DAB=，2AB=，若P是1CD与1CD交点，则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为（）的A.3714B.64C.74D.614【答案】A【解析】【分析】根据平行六

面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义将AP、DC，用基底1,,AAABAD表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中四边形11DDCC是平行四边形

侧面11AADD是正方形又P是11,CDCD的交点所以P是1CD中点因为DCAB=1120AAB=60,2DABAB==所以()(()111111)2222APADACAAADADABAAABAD=+=++

+=++，所以()22221111||42444APAAABADAAABAAADABAD=+++++111444422204227422=+++−++=，所以7,AP=又2DC=，所以()()11112?22

2APDCAAABADDCAAABADAB=++=++()21122AAABABADAB=++()211cos120||2|cos602AAABABADAB=++∣21112222223222=

−++=，的可得cosAP3371472APDCDCAPDC===，所以异面直线AP与DC的夹角的余弦值为37cos,14APDC=.故选：A.8.边长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是1AA，11A

D中点，M是DB靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，()0DPEFMF+=，则DP的最大值是（）A.1B.52C.2D.3【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设(),,Pxyz，从而求得3330442xyz−−+=，再根据向量模长公式结合01,01xy即可求解.【详

解】如图，建立空间直角坐标系，设(),,Pxyz，则()11330,0,0,1,0,,,0,1,,,02244DEFM，所以1113,0,,,,12244EFMF=−=−−，则333,,442EFMF

+=−−，因为()0DPEFMF+=，又(),,DPxyz=，所以3330442xyz−−+=，即2xyz+=，所以22222222xyDPxyzxy+=++=++，又01,01xy，所以22221111322xyxy++++++=，当且仅

当1xy==，此时1z=时，等号成立，所以DP的最大值是3.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若0ab，则向量a，b的夹角是锐角B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有111488APOAOBOC=−++，则,,,PABC四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所

在的直线是异面直线，则这两个向量不共面【答案】BC【解析】【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可.【详解】对于A，当a，b的夹角为0时

，10abab=，故A错误，对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确，对于C，因为111488APOAOBOC=−++，所以()1111188888APA

OOBAOOCABAC=+++=+，所以,,,PABC四点共面，故C正确，对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误.故选：BC10.已知三棱锥PABC−如图所示，G为ABCV重

心，点M，F为,PGPC中点，点D，E分别在,PAPB上，PDmPA=，PEnPB=（0mn），以下说法正确的是（）A若12mn==，则平面DEF∥平面ABCB.111333PGPAPBPC=++C.111266AMAPABAC=++D.若M，D，E，F

四点共面，则111mn+=【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由中位线得//,//DEABDFAC，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC，直接由图形的性质分解向量即可；对于D由B中结论变形为111663PMPDPEPFmn=++，

由四点共面的充要条件即可判断.【详解】对于A，若12mn==，即,DE分别为,PAPB的中点，又点F为PC的中点，所以//,//DEABDFAC，又DE面ABC，AB面ABC，所以//DE面ABC，同理可证//DF面

ABC，又,,DEDFDDEDF=面DEF，所以平面DEF∥平面ABC，故A正确；对于BCD，如图所示：设BC中点为H，连接,AHAM，因为点G为ABCV重心，.所以点G在线段AH上面，所以()221

332PGPAAGPAAHPAABAC=+=+=++()11113333PAAPPBAPPCPAPBPC=++++=++，故B正确；对于C，1111122333AMAPPMAPPGAPPAPBPC=+=+=+++

()()511111666266APPAABPAACAPABAC=++++=++，故C正确；因为()11112233PGPMPAPBPCPDPEPFmn==++=++，所以111663PMPDPEPFmn=++，若M，D，E，F四点共面，则11116

63mn++=，解得114mn+=，故D错误.故选：ABC.11.在平行六面体111ABCDABCD−中，记1,,ABaADbAAc===，设yAxabzcP=++，下列结论中正确的是（）.A.若点P

在直线1AD上，则1xy+=B.若点P在直线1AC上，则xyz==C.若点P在平面1ABD内，则1xyz++=D.若点P在平面11BBDD内，则1xy+=【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D.【详解】对于A，若点P在直线1AD上

，则0x=，则yAbzcP=+，由于1,,APD三点共线，故1yz+=，A错误；对于B，若点P在直线1AC上，则1,RAPAC=，而1ACcab=++，结合yAxabzcP=++，得xyz===，

B正确；对于C，若点P在平面1ABD内，即1,,,ABDP四点共面，则由yAxabzcP=++，可知1xyz++=，C正确，对于D，若点P在平面11BBDD内，则1,(1)AmABnADsABmsPn=++++=，则()()11

APmABnADsABAAmsABnADsAA=+++=+++，又yAxabzcP=++，则1xymsn+=++=，D正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间两点()1,1,2A−−

，()3,0,4B−，向量()2,21,2cm=−−满足ABc∥，则实数m=_________.【答案】0【解析】【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.【详解】由题意得()2,1,2AB=−uuur因为cAB∥，所以ckAB=ruuur，则222122km

kk−=−==−，解得10km=−=.故答案为：0.13.在三棱锥MABC−中，MA⊥平面ABC，ABCV是边长为2的正三角形，点F满足13CFCM=，则BCAF=_________.【答案】

43【解析】【分析】由题意可得MAAB⊥，MAAC⊥，利用(21)()33BCAFACABACAM=−+计算可得结论.【详解】因为MA⊥平面ABC，,ABAC平面ABC，所以MAAB⊥，MAAC⊥，所以MAAB⊥，MAAC⊥，因为ABC

V，所以60BAC=，因为13CFCM=，所以1()3CFAMAC=−，因为3213AFACCFACAM=+=+，2)21211()(2333333BCAFACABACAMACACAMABACABAM=−+=+−−22022cos60033333332121844=+

−−=−=．故答案为：43.14.已知异面直线,mn所成的角为60.,MN在直线m上，,GH在直线n上，HNm⊥，NHn⊥，1MN=，3NH=，2GH=，则,GM间的距离为_________.【答案】23或4

【解析】【分析】根据空间向量基本定理，以向量,,NMNHHG为基底表示向量MG，利用向量计算空间两点间距离．【详解】以向量NM，NH，HG为基底，由题知：||1NM=，||3NH=，||2HG=，NMNH⊥，N

HHG⊥，π,=3NMHG或2π3，2222||()||||||2||||cos,MGNMNHHGNMNHHGNMHGNMHG=−++=++−，当π,3NMHG=时，22221||132212122MG=++−=，||23MG=，当2π,3NMHG=时，

22221||132212()162MG=++−−=，||4MG=．故答案为：23或4四、解答题：第15题和第16题各15分，第17题17分，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，1CACB==，90BCA

=，棱12AA=，N为1AA的中点.（1）求1BNBC；（2）求直线1AB与1BC所成角的余弦值.【答案】（1）-1（2）3010【解析】【分析】（1）根据线性运算得到112BNABAA=−+uuuruuuruuur，11

BCAAABAC=−−+uuuruuuruuuruuur，然后根据数量积的运算律计算即可；（2）利用数量积的运算律得到11ABBCuuuruuur，然后求夹角的余弦值即可.【小问1详解】因为1CACB==，90BCA=，所以112AB

=+=，()()11BNBCABANBBBC=−+−+uuuruuuruuuruuuruuuruuur()1112ABAAAAABAC=−+−−+uuuruuuruuuruuuruuur22112ABABACAA=−−uuuruuuruuuruuur2122cos4522

=−−1=−.【小问2详解】()()1111ABBCAAABAAABAC=−+−−+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur221AAABABAC=−+uuuruuuruuuruuur421=−+3=，因111ABCABC−为

直棱柱，所以1AAAB⊥，1BBBC⊥，所以1426AB=+=，1415BC=+=，设直线1AB与直线1BC所成角为，所则111111330coscos,1065ABBCABBCABBC====uuuruuuruuuruuuruuuru

uur.16.已知空间四点()0,2,3A，()1,4,6B，()1,5,5C，()0,3,Dn.（1）若向量kABAC−与AC互相垂直，求实数k的值：（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积：（3）若D点在平

面ABC上，求实数n的值.【答案】（1）1413（2）33为（3）2【解析】【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可.（2）利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出sin，再利用三角形面积公式并

结合题意求解即可.（3）将点共面问题转化为向量共面问题，利用向量共面的充要条件建立方程，求解即可.【小问1详解】因为()0,2,3A，()1,4,6B，()1,5,5C，()0,3,Dn，所以()1,2,3AB=，()1,3,2AC=，()

0,1,3ADn=−，所以(),2,3kkkAkB=，()2,33,21kACkABkk−=−−−，因为向量kABAC−与AC互相垂直，所以13)2)03(22(3kkk−−−+=+，化简得13140k−=，解得1413k=，【小问2详解】因为(

)1,2,3AB=，()1,3,2AC=，且设夹角为，所以16613cos14149149++==++++，而sin0恒成立，所以33sin14=，而14AB=，14AC=，所以平行四边形的面积为3331411414232

=，【小问3详解】因为D点在平面ABC上，所以,,,ABCD四点共面，所以,,ABACAD共面，而由题意得()1,2,3AB=，()1,3,2AC=，()0,1,3ADn=−，故存在,R，使得A

DABAC=+，所以0+=，231+=，33n+=−，解得1,1,2n=−==，故实数n的值为2.17.若()12Ω,,,,,,R,1,2,,niniaaaaaaain===，则称

n为n维空间向量集，00,0,,0=为零向量，对于Rk，任意()()1212,,,,,,,nnaaaabbbb==，定义：①数乘运算：()12,,,nkakakaka=；②加法运算：()1122,,,nnabababab+=+++；③数量积运算：1122

nnabababab=+++；④向量的模：22212naaaa=+++，对于n中一组向量()1,2,,iaim=，若存在一组不同时为零的实数()1,2,,ikim=使得11220mmkakaka+

++=，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，（1）对于3n=，判断下列各组向量是否线性相关：①()()1,1,1,2,2,2ab=−=−；②()()()1,1,1,2,2,2,3,1,4abc=−=−=−；（2）已知

1234,,,线性无关，试判断12233441,23,34,4−−−−是否线性相关，并说明理由；（3）证明：对于n中的任意两个元素,，均有24+，【答案】（1）①线性相关，②线性相关（2）线性无关，理由见解

析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）（2）利用n维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解；（3）利用n维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证.【小问1详解】对于①，假设a与b线性相关，则存在不全为零的实数12,kk使得120kakb+=，

则12122020kkkk−−=+=，即1220kk+=，可取122,1kk==−，所以,ab线性相关，对于②，假设,,abc线性相关，则存在不全为零的实数123,,kkk使得1230kakbkc++=，则12312312323020240kkkkkk

kkk−−+=++=+−=，得12320,0kkk+==，可取122,1kk==−，所以,,abc线性相关.【小问2详解】假设12233441,23,34,4−−−−线性相关，则存在不全为零的实数1234,,,kkkk，使得()()()()11222333444

1233440kkkk−+−+−+−=，则()()()()141212323434233440kkkkkkkk−+−+−+−=，因为1234,,,线性无关，所以14213243020330440kkkkkkkk−=−=−

=−=，得12340kkkk====，矛盾，所以向量12233441,23,34,4−−−−线性无关.【小问3详解】设()()1212,,,,,,,nnaaabbb==，则()1122,,,nnababab+=+++，所以()()()22221122n

nababab+=++++++，又1122nnababab=+++，所以24+−()()()()222112211224nnnnabababababab=++++++−+++()()()22211220nnababab

=−+−++−，当且仅当1122,,,nnababab===同时成立时，等号成立，所以24+【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到n维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解..