【文档说明】安徽省滁州中学2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.394 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-f0b8126ff88c69639a9b5000fd62e922.html

以下为本文档部分文字说明：

安徽省滁州市滁州中学2023—2024学年高二上学期期末测试数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每

小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：选择

性必修一，选择性必修二.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若直线经过()2,0A、()1,3B两点，则直线AB的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】求出直线AB的斜率，结合直线

倾斜角的取值范围可求得直线AB的倾斜角.【详解】由直线经过()2,0A、()1,3B两点，可得直线AB的斜率为30312ABk−==−−，设直线AB的倾斜角为，有tan3=−，又0180，所以120=.故选：C.2.在等比数列na中，22a

=，5274a=−，则公比q=（）A.32−B.23−C.23D.32【答案】A【解析】【分析】利用等比数列性质求解即可.【详解】由题知352278aqa==−，解得32q=−.故选：A3.已知椭圆2214xym+=的一个焦点坐标为()1,0，则实数m的值为（）A.3B.

5C.6D.9【答案】B【解析】【分析】依题意，椭圆的焦点在x轴上，由2225acb=+=，即可求解.【详解】解：由已知可得椭圆2214xym+=的焦点在x轴上，故2am=，24b=，1c=，则2225acb=+=，即5m=.故选：B4.若函数()3213fxx

ax=−在2x=−处有极值，则实数=a（）A.2−B.2C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】由极值的定义得()20f−=，即可求解，注意检验.【详解】解：因为()3213fxxax=−，()22fxxax=−，()fx在2x=−处有极值，所以()20f−=，所以()2240a−+=

，解得1a=−.经检验当1a=−时，()()222fxxxxx=+=+，当<2x−或0x时，()0fx¢>；当20x−时，()0fx，所以()fx在(),2−−，()0,+上单调递增，在()2,0

−上单调递减，函数在2x=−处有极大值，满足题意.故选：D5.已知()1,2,1A−−，()2,0,1n=是平面的一个法向量，且()1,1,2B−是平面内一点，则点A到平面的距离为（）A.55B.33C.2D.22【答案】A【解析】【分

析】利用空间向量法可求得点A到平面的距离.【详解】由已知()2,3,3AB=−，()2,0,1n=是平面的一个法向量,则点A到平面的距离为435541ABnn−+==+.故选：A.6.已知()

fx是函数()fx的导函数，若函数()3fxy=的图象大致如图所示，则()fx的极小值点为（）A1xB.2xC.3xD.5x【答案】D【解析】【分析】分析导数的符号变化，利用导数与函数极值点的关系可得出函数()fx的极小值点.【详解】由()3fxy=的图象知，当()

1,xx−时，()31fx，则()0fx¢>，当()15,xxx时，()31fx，则()0fx，当()5,xx+时，()31fx，则()0fx¢>，故()fx的单调递增区间为()1,x−、()5,x+，单

调递减区间为()15,xx，故()fx的极小值点为5x.故选：D.7.已知数列na，12a=，20a=，且()()222,2,nnnnaanaan++=−=+为奇数为偶数则数列na的前2023项之

和为（）.A.0B.2C.2024D.4048【答案】B【解析】【分析】分析可知，数列na的奇数项构成首项为2，公差为2−的等差数列；数列na的偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列n

a的前2023项之和.【详解】当n为奇数时，22nnaa+=−，22nnaa+−=−，所以数列na的奇数项构成首项为2，公差为2−的等差数列；当n为偶数时，22nnaa+=+，22nnaa+−=，所以数列na的偶数项构成首项为0，公差为2的

等差数列.所以，数列na的前2023项和为：()1012101110111010101222101102222+−++=.故选：B.8.已知点()1,2M，点P是双曲线C：221412xy−=左支上的动点，N是圆D：()2241xy++

=上的动点，则PMPN−的最小值为（）A.510−B.105−C.133−D.313−【答案】D【解析】【分析】利用圆的性质求出||PN的最大值，由点M与抛物线右支的位置求出||PM的最小值，再利用双曲线定义求解即得.【详解】双曲线C的

半焦距4124c=+=，圆D的圆心()4,0D−是双曲线C的左焦点，令右焦点为()24,0F，圆D半径为1r=，显然点P在圆D外，PNPDr+，当且仅当N是PD的延长线与圆的交点时取等号，22213PMPFMFPF−=−，当且仅当2,,PMF三点共线时取等号，由双曲线的定

义224PFPDa−==，所以2131313PMPNPFPD−−−−=−，即PMPN−的最小值为313−.故选：D【点睛】结论点睛：设O为圆的圆心，半径为r，圆外一点A到圆上的距离的最小值为||AOr−，最大值为||AOr+.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列na中，38a=，公比12q=，其前n项和为nS，则下列说法中正确的是（）A132a=B.62nna−=C.24224aa

=D.82554S=【答案】ABD【解析】【分析】代入等比数列的通项公式和前n项和公式，即可求解.【详解】31232aaq==，A正确；116113222nnnnaaq−−−===，故B正确；2242214aqa==，故C错误；()818125514aqSq−==−，故D正确.故选：

ABD10.若直线20kxyk−+=与圆()()22124xy−+−=有公共点，则实数k的取值可能是（）A.0B.2C.3D.4【答案】AB【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系求解参数范围即可.【详解】直线20kxyk−+=恒过定点()2,0−，圆()()22124xy−+−

=的圆心为()1,2，半径为2，显然点()2,0−在圆外，直线与圆有公共点，.则圆心到直线的距离22221kkdk−+=+，解得1205k.故选：AB11.已知椭圆C：22162xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，直线l与椭圆C交于M，N两点，且点()1,1P为线段MN的中点，则

下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为63B.12PFF△的面积为1C.直线l的方程为340xy+−=D.2103MN=【答案】AC【解析】【分析】对A：根据椭圆方程求得,ac，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点P的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点P坐标，即可求

得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得.【详解】根据题意，作图如下：对A：由题知26a=，22b=，则24c=，所以离心率为2636cea===，A正确；对B：12121141222PFFPSFFy===，B错误；

对C:设()11,Mxy，()22,Nxy，则2211162xy+=，2222162xy+=，两式相减得()()()()1212121262xxxxyyyy+−+−=−，因为()1,1P为线段MN的中点

，所以122xx+=，122yy+=，所以121213yyxx−−=−，即直线MN的斜率为13−，所以直线l的方程为()1113yx−=−−，即340xy+−=，经检验符合题意，C正确；对D：联立221,62340,xyxy+=+−=得22410xx−−=，1680

=+，121212,2xxxx+==−；所以()22121212151433MNxxxx=+−+−=，D错误.故选：AC.12.已知函数()fx为定义在()(),00,−+U上的奇函数，若当0x时，()()0xfxfx−，且()10f=，则（）A.(

)()2ee2ffB.当2m时，()()1fmmfC.()()3ππ30ff−+D.不等式()0fx解集为()()1,01,−+【答案】ACD【解析】【分析】构造函数()()fxgxx=结合导数求出单调性，再结合奇

偶性，分别判断各个选项即可.【详解】构造函数()()fxgxx=，其中0x，因为函数()fx为定义在()(),00,−+上的奇函数，则()()fxfx−=−，所以()()()()fxfxgxgxxx−−===−，故函数()gx偶函数，当0x时，(

)()()20xfxfxgxx−=，所以函数()gx(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，因为()10f=，则()()1101fg==，则()()110gg−==.因为e2，所以()()e2gg，即()()e2e2ff，()()2ee2ff，故A正确；为在不妨取1m=，

则()10f=，()10mf=，B错误；因为偶函数()gx在()0,+上单调递增，则()()()ππ3ggg−=，即()()π3π3ff−−，整理可得()()3ππ30ff−+，C正确；当0x时，由()0f

x可得()()()01fxgxgx==−，解得10x−，当0x时，由()0fx可得()()()01fxgxgx==，解得1x.综上所述，不等式()0fx解集为()()1,01,−+，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：构造函数，根据导函数判断函数的

单调性，结合函数的奇偶性判断不等关系三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()fx为函数()2exfxx=的导函数，则()3f=______.【答案】3e27##31e27【解析】【分析】求出导数后代入求值即可.【详解】由函数()2exfxx=可

得()3e2exxxfxx−=，故()3e327f=.故答案为：3e2714.已知na为等差数列，且121aa+=，895aa+=，则5a=______.【答案】32##1.5【解析】【分析】利

用等差中项的性质求解即可.【详解】由等差中项性质得()()1289192855226aaaaaaaaaa+++=+++=+=，解得532a=.故答案为：3215.已知双曲线()222:109xyCbb−=的左、右焦点分别是1F、2F，离心率为43，P为双曲线上一点，4OP=（O为坐标原点）

，则12PFF△的面积为______.【答案】7【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得c的值，可求得12FF的值，推导出12FPF为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出12PFPF的值，再利用三角形的面积公式可求得12PFF△的面积.【详解】如图所示：因为

双曲线C的离心率433ccea===，所以4c=，128FF=，设点P在双曲线的右支上，由1212142OPFFOFOF====，可得22OPFOFP=，11OPFOFP=，所以，()121212121π22FPFOPFO

PFOPFOPFOFPOFP=+=+++=，由双曲线定义可得126PFPF−=，由勾股定理可得222121264PFPFFF+==，所以()222121212236PFPFPFPFPFPF−=+−

=，可得1214PFPF=，因此12PFF△的面积为12172SPFPF==.故答案为：7.16.已知正四面体−PABC的棱长为4，空间内动点M满足22MAMB+=，则PMPC的最大值为______.【答案】842+【解析】【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利

用三角函数有界性求解即可.【详解】设AB的中点为O，因为动点M满足22MAMB+=，所以2OM=，即点M在以O为球心，以2为半径的球面上.因为PMPOOM=+，所以()PMPCPOOMPCPOPCOMPC=+=+.因为正四面体−PABC的棱长为4，所以4si

n6023POCO===，在三角形POC中，4PC=，23POCO==.取PC的中点为E，OEPC⊥，所以PO在PC上的投影向量的模为PE，所以248POPCPEPC===.设OM，PC夹角为，所以8c

os842cosPMPCPOPCOMPCOMPC=+=+=+.因为cos1,1−，所以842,842PMPC−+，即PMPC的最大值为842+.故答案为：842+四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列na的前n项和为nS，2312aa+=，648S=.（1）求数列na的通项公式；（2）记11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=+（2）69nnTn=

+【解析】【分析】（1）利用已知求解等差数列的基本量即可；（2）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，由2312aa+=，648S=，得1111122312,65661548,2adadadadad+++=+=+=+=解得1

3a=，2d=，所以()31221nann=+−=+.【小问2详解】由（1）得11nnnbaa+=，所以()()1111212322123nbnnnn==−++++，所以121111111235572123nnTbbbnn

=+++=−+−++−++111232369nnn=−=++.18.已知函数()lnmfxxx=+.（1）若函数()fx在区间1,22上单

调递减，求实数m的取值范围；（2）当2m=，122x时，()fxa恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）)2,+（2）)4ln2,−+【解析】【分析】（1）分析可知，对任意的1,22x，()0fx，利用

参变量分离法可知，mx对任意的1,22x恒成立，即可求得实数m的取值范围；（2）由题意可知，当2m=且1,22x时，()maxafx，利用函数的单调性求出函数()fx在1,22上的最大值，即可求得实数a的取值范围.【小

问1详解】解：因为()fx在区间1,22上单调递减，所以，对任意的1,22x，()0fx，所以()210mfxmxxx=−+，令()gxx=，只需()max2mgx=，所以实数m的取值范围为)2,

+.【小问2详解】解：由（1）知，2m=时，()2lnfxxx=+，()fx在1,22上单调递减，则()max14ln22fxf==−，对任意的1,22x，()fxa恒成立，则()maxafx，则

4ln2a−，故实数a的取值范围为)4ln2,−+.19.已知数列na的前n项和为nS，13a=，且1132nnnnSaSa+++=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若()1nnbna=+，求数列nb的前n项和nT.【答案】

（1）3nna=（2）1213344nnnT++=−【解析】【分析】（1）分析题意，先利用定义判定等比数列，再求通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意得111332nnnnnnSSaaaa+++−+=+=，又130a=，所以11

3,3nnnnaaaa++==，所以na是首项为3，公比为3的等比数列，故3nna=.【小问2详解】由（1）知()()113nnnbnan=+=+，则()2323334313nnTn=+++++，①()2341323334313n

nTn+=+++++，②①与②两式相减得()2312633313nnnTn+−=++++−+()()()11111913913161363133132222nnnnnnnn−++

++−=+−+=−+−+=−+−，故1213344nnnT++=−20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ADAB⊥，3PAAD==，2ABBC==，点N为BC中点，点M为棱PD上靠近点P的

三等分点.（1）求证：直线//MN平面PAB；（2）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）26【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】在PA上取点E，使得1

PE=，连接EB，EM..因为13PEPMPAPD==，EPMAPD=，所以EPMAPD∽△△，所以PEMPAD=，所以//EMAD，因为//ADBC，所以//EMBN，因为1EMBN==，所以四边形EBNM为平行四边形，所以//MNEB，又因为EB

平面PAB，MN平面PAB，所以直线//MN平面PAB.【小问2详解】如图以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则()2,2,0C，()0,3,0D，()0,0,3P，()0,1,2M，()2,1,0N，(

)0,3,3PD=−，()2,2,3PC=−，()2,0,2MN=−，设平面PCD的一个法向量为()111,,nxyz=，则111112230330,xyzyz+−=−=，令12z=，则12y=，11x=，即()1,2,2n=，设MN与

平面PCD所成角，即22sincos,6223nMNnMNnMN====，所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为26.21.设抛物线C：22ypx=（0p）的焦点为F，点()2,Pn是抛物线C上位于第一象限的一点，且4=PF.

（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN的斜率为定值.【答案】（1）28yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求p，即

可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点P的坐标，设直线PM和PN的直线方程与抛物线方程联立，求得点,MN的坐标，并表示直线MN的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知422pPF==+，解得4p=，所以抛物线C的方程为

28yx=.【小问2详解】因为点P的横坐标为2，即282y=，解得4y=，故P点的坐标为()2,4，由题意可知，直线PM，PN不与x轴平行，设()11,Mxy，()22,Nxy，设直线PM：()42m

yx−=−，即42xmym=−+，代入抛物线的方程得()2842ymym=−+，即2832160ymym−+−=，则148ym+=，故184ym=−，所以()211428442882xmymmmmmm=−+=−−+=−+，即(

)2882,84Mmmm−+−，设直线PN：()42myx−−=−，即42xmym=−++，同理可得284ym=−−，则()222428442882xmymmmmmm=−++=−−−++=++，即()2882,84Nmmm++−−直线MN的斜率121216

116MNyymkxxm−===−−−，所以直线MN的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线PM与PN的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点,MN的坐标.22.已知函数()e2cosxfxxx=−−.（1）求曲线()yfx=在原点处

的切线方程；（2）讨论()fx在R上的零点个数.【答案】22.0xy+=23.2【解析】【分析】(1)由导数的几何意义进行求解；(2)求出函数的导数()esin2xfxx=+−，当0x时，()fx在(,0−上单调递减，()()00fxf=，0是()fx的一个零点；当0x时，进行

二次求导结合零点存在性定理进行判断.【小问1详解】解：由已知可得，()e2sinxfxx=−+，则()00f=，()01f=−，所以曲线()yfx=在原点处的切线方程为yx=−，即0xy+=.【小问2详解】由（1）知，()esin2xfxx=+−.①当0x时，有e1x，sin

1x，所以()esin20xfxx=−+恒成立，所以()fx在(,0−上单调递减，()()00fxf=，0是()fx的一个零点；②当0x时，()esin2xfxx=+−，设()esin2xgxx=+−，则()ecos1cos0xg

xxx+=+恒成立，所以()gx，即()fx在()0,+上单调递增.又()010f=−，()1e2sin10f=−+，所以根据零点存在定理可知，()10,1x，使得()10fx=.当10xx时，()0fx，所以()fx在()10,x上单调递减

；当1xx时，()0fx¢>，所以()fx在()1,x+上单调递增.又()0110f=−=，所以()10fx.因为()222e4cos2e40f=−−−，根据零点存在定理可知，()21,2xx，使得()20fx=.综上所述，()

fx在R上的零点个数为2.