【文档说明】小题压轴题专练21—立体几何（二面角2）—2022届高三数学一轮复习.docx，共(19)页，1.679 MB，由管理员店铺上传

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小题压轴题专练21—二面角2一．单选题1．如图在一个120的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若3CD=，1AC=，2BD=，则AB的长为()A．2B．2C．6D．

62．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若ABPA=，则平面ABP与平面CDP夹角的余弦值为()A．13B．22C．32D．333．正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别为棱BC，CD上的点（不包含端点），设二面角1AEFA−−的平面角为，若1tanAAAE=，

则CFCD的取值范围为()A．1(0,]2B．1[,1)2C．1(0,]4D．1[,1)44．在四面体ABCD中，1AB=，23AD=，3BC=，2CD=，2ABCDCB==，则二面角ABCD−−的平面角的大小为()A．2B．3C

．4D．235．所有棱长都为a的正四面体的一个面与某四棱体的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是()A．23B．12C．33D．226．如图，锐二面角l−−的棱上有A，B两点

，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知4AB=，6ACBD==，8CD=，锐二面角l−−的平面角的余弦值是()A．14B．13C．23D．347．如图，在大小为60的二面角AEFD−−中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点

间的距离是()A．2B．2C．1D．38．若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论错误的为()A．BC与平面ACD所成角的正弦值为63B．平面ABC与平面BCD所成角的正切值是2C．AC与B

D所成的角为90D．AD与BC所成的角为45二．多选题9．如图所示，从一个半径为（单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥P﹣ABCD，则以下说法正确的是（）A

．四棱锥P﹣ABCD的体积是m3B．四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积是8πm2C．异面直线PA与CD所成角的大小为60°D．二面角A﹣PB﹣C所成角的余弦值为10．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是等腰梯形，//A

BCD，4AB=，12BCCDDC===，1DC⊥底面ABCD，则()A．BC⊥平面1ACDB．直线1DD与底面ABCD所成的角为4C．平面11ABCD与平面ABCD夹角的余弦值为217D．点C到平面11ABCD的距离为21711．如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板

沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体ABCD，设AD，AC与面BCD所成角分别为，在翻折的过程中，下列叙述正确的是()A．存在某个位置使得ADBC⊥B．若10BC=，当二面角30ABCD−−=时，则1033AD=C．当A在面BCD的射影在三角形BCD的内部（不含边界）

，则D．异面直线AD与BC所成角小于6012．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，H为棱1AA上的动点，下列正确的是()A．CHBD⊥B．二面角11DABC−−的大小为23C．三棱锥1HB

CC−的体积为定值D．若CH⊥平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为22[,]32三．填空题13．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1−，3)和(2，2，4)，则这个二面角的

余弦值为．14．已知A，B为二面角l−−棱l上不同两点，C，D分别在半平面，内，ACl⊥，BDl⊥，2ACBDAB==，若直线AB与CD所成角的余弦值为55，则二面角l−−的大小为．15．已知正方形的边长为4，E

，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上．直线DE与平面EMC所成的角为60，则面MCE与面CEF夹角余弦值为．16．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1BB，11C

D的中点，则下列结论正确的是.（填序号）①异面直线EF与1BD所成角的余弦值为223；②1BD⊥平面1ABC；③直线AE与平面1ABC所成角的正弦值为1515；④二面角1BACD−−的余弦值为33．小题压轴题专练21—二面角2答案1．解：因为CDCAABBD=++，所以2222

222CDCAABBDCAABCABDABBD=+++++，因为线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，又3CD=，1AC=，2BD=，所以22222121||421292CDCAABBD

CABDAB=+++=+++=，则||2AB=．故选：A．2．解：由题意，将几何体补形为正方体，如图所示，则PG为平面ABP与平面CDP的交线，因为PG⊥平面ADEP，又PA，PD平面ADEP，所以PGPA⊥，PGPD⊥，则APD为平面ABP与平面CDP所成的角，因为PA

AD=，PAAD⊥，故4APD=，则2cos2APD=，所以平面ABP与平面CDP夹角的余弦值为22．故选：B．3．解：设正方体1111ABCDABCD−，棱长为a，设BEta=，(0,1)t，因为11tantanAA

AEAAE==，所以1AEA为二面角1AEFA−−的平面角，所以AEEF⊥，所以ABEECF∽，则ABECBECF=，即aataatCF−=，所以(1)CFtta=−，所以211(1)()(042CFtt

tCD=−=−−，1]4，故选：C．4．解：二面角ABCD−−的平面角的大小等于AB与CD所成角的大小，因为ADABBCCD=++，所以22222()2||||cos,2||||cos,2||||cos,ADA

BBCCDABBCCDABBCABBCABCDABCDBCCDBCCD=++=+++++2222||||cosABCDBCABCDAB=+++，CD，因为1AB=，3BC=，2CD=，所以1214922c

os,ABCD=+++，解得1cos,2ABCD=−，所以,ABCD所成的角为23，故二面角ABCD−−的平面角的大小为3．故选：B．5．解：由题意可知，一个三棱柱ABCFED−可被一个平面切成一个三棱锥AFED−与一个四棱

锥ABCDE−，由题意可得，该四棱锥ABCDE−为所有棱长均为a的正四棱锥，如图所示，连接EC，BD交于点O，连接OA，则OA⊥平面BCDE，取BC的中点Q，连接OQ，AQ，由三垂线定理可知，AQO是侧面AB

C与底面ACDE所成的二面角的平面角，则223()22aAQaa=−=，2aOQ=，所以32cos332aOQAQOAQa===，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是33．故选：C．6．解：过点B作//BEAC，且BEAC=，连接DE，CE，ACAB⊥，BEAB

⊥，BDAB⊥，BDBEB=，DBE为二面角l−−的平面角，且AB⊥平面DBE，ABDE⊥，则CEDE⊥，4AB=，8CD=，22228443DECDCE=−=−=，2223636481cos22663BEBDDEDBEBEBD+−+−===

．故选：B．7．解：依题意，60AED=，BDBAAEED=++，22221222111211cos1203222BDBAAEEDBAAEAEEDBAED=+++++=+++=−=，||2BD=．故选：A．8

．解：取BD的中点O，连接AO，CO，若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则OABD⊥，OCBD⊥，OAOC⊥，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设1OC=，则(0A，0，1)，(0B，1−，0)，(1C，

0，0)，(0D，1，0)，故(0,1,1),(1,1,0)ADBC=−=，所以||11|cos,|2||||22ADBCADBCADBC===，则AD与BC所成的角为60，故选项D错误；因为(1,0,1),(0,2,0)ACBD=

−=，所以1002(1)00ACBD=++−=，则ACBD⊥，所以AC与BD所成的角为90，故选项C正确；设平面ACD的一个法向量为(,,)txyz=，则00tACxztADyz=−==−=

，令1z=，则1xy==，故(1,1,1)t=，又(1,1,0)BC=，所以||26cos,3||||32BCtBCtBCt===，则BC与平面ACD所成角的正弦值为63，故选项A正确；因为平面BCD的一

个法向量为(0,0,1)m=，又(0,1,1)BA=，(1,1,0)BC=，设平面ABC的法向量为(,,)nabc=，则00nBAbcnBCab=+==+=，令1a=，则1b=−，1c=，故(1,1,1)n=−，所以||13|co

s,|||||313nmnmnm===，设平面ABC与平面BCD所成角为，则6sin3=，tan2=，所以平面ABC与平面BCD所成角的正切值是2，故选：D．9．解：设正方形边长为x，则由如图1知MN＝x+2•x•sin60°＝x（+1），又因为MN＝2•，所以x

（+1）＝2•，解得x＝2，对于A，因为PO⊥平面ABCD，所PO⊥OA，因为OA＝，PA＝2，所以PO＝＝，所以，所以A错；对于B，因为OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝，所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为，所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为

4＝8π（m2），所以B对；对于C，因为AB∥CD，所以异面直线PA与CD所成角等于∠PBA，又因为△PAB为正三角形，所以∠PBA＝60°，所以C对；对于D，取PB中点Q连接AQ，CQ，则PB⊥AQ，PB⊥CQ，所以二面

角A﹣PB﹣C的平面角为∠AQC，cos∠AQC＝＝，所以D对．故选：BCD．10．解：如图，因为1DC⊥底面ABCD，且BC平面ABCD，则1BCDC⊥，在等腰梯形ABCD中，过点C作CGAB⊥于点G，因为4AB=，2BCCD==，//ABC

D，则3AG=，1BG=，22213CG=−=，故22223(3)23ACAGCG=+=+=，所以22216ACBCAB+==，则BCAC⊥，又1ACDCC=，AC，1DC平面1ADC，所以BC⊥平面1ADC，故选项A正确；由选项A

可知，AC，BC，1DC两两垂直，因为1DC⊥平面ABCD，所以14DDC=，故直线1DD与底面ABCD所成的角为4，故选项B正确；以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1(0,0,0),(2

3,0,0),(0,2,0),(0,0,2)CABD，所以1(23,2,0),(23,0,2)ABAD=−=−，设平面11ABCD的法向量为(,,)nxyz=，则100nABnAD==，即23202320xyxz−+=−+=，令1x=，则3yz==，故(1,3,

3)n=，又1(0,0,2)CD=为平面ABCD的一个法向量，所以111||2321|cos,|7||||1332CDnnDCCDn===++，所以平面11ABCD与平面ABCD夹角的余弦值为217，故选项C正确；点C到平

面11ABCD的距离为1||23221||7133CDnn==++，故选项D错误．故选：ABC．11．解：对于A，过D作//DEBC=，连接CE，AE，又ABAC=，90CBD=，四边形BCE

D为矩形，则ADAE=，在ADE中，90ADE，即不存在某个位置使得ADDE⊥，即不存在ADBC⊥，故选项A错误；对于B，取BC中点F，CD中点G，连接AF，FG，AG，则//FGBD，在等腰RtABC中，AFBC⊥，15,522AFBCAC===，又BCBD⊥，则FGBC⊥，则

AFG即为二面角ABCD−−的平面角，即30AFG=，在RtBCD中，3103203,2333BDBCCDBD====，则153103,233FGBDCGDG====，在AFG中，2223cos22AFFGAGAFGAFFG+−

==，解得533AG=，在ACG中，22236cos28ACCGAGACGACCG+−==，在ACD中，22236cos28ACCDADACGACCD+−==，解得1033AD=，故选项B正确．对于C

，当点A在平面BCD的射影在线段FG上，设射影点为H，连接DH，CH，在BCD中，有DHCH，又tan,tanAHAHDHCH==，则tantan，则，故选项C正确；对于D，//BCDE，AD与BC所成角即为AD与DE所成角，又ADDE=，当平

面ABC⊥平面BCD时，AD与DE所成角最大，设BDa=，则22373,,22DEBCaBFaDFBFBDa====+=，1322AFBCa==，在RtAFD中，22102ADAFDFa=+=，故102AEa=，在ADE中，222301cos2102ADDEAEADE

ADDE+−==，则60ADE，存在有异面直线AD与BC所成角大于60，故选项D错误．故选：BC．12．解：对于A，如图1，易得DB⊥面11AACC，由CH面11AACC，可得CHBD⊥，故A正确；

对于B，如图2，易得111112DBDABCACDC=====，取1AB中点O，连接1DO，OC，可得11DOAB⊥，1COAB⊥，1DOC为二面角11DABC−−的平面角，在△1DOC中，136222DOCO===，12DC=，1662144cos366222DOC+−

==，故B错；对于C，H为棱1AA上的动点，H到面1BCC的距离为定值，故三棱锥1HBCC−的体积为定值，故C正确；对于D，如图3建立空间直角坐标系，则(0C，1，0)，设(1H，0，)t，01t剟，CH⊥平面，平面

的法向量为(1CH=，1−，)t，则直线CD与平面所成角的正弦值为2||13[3||||2CHDCCHDCt=+，2]2，故D错．故选：AC．13．解：在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1−，3)，(2，2，4)，两向量的夹角的余弦值

为02123415cos61026−+==，这个二面角的余弦值为156．故答案为：156．14．解：在内，过点B作//BEAC，且BEAC=，连接CE，则四边形ACEB为矩形，可得BEAB⊥，CEAB=，由BDl⊥，BEl⊥，得DBE为二面角l−−的平面角，设22AC

BDABa===，则ABCEa==，又直线AB与CD所成角的余弦值为55，5cos5CEDCECD==，得55CDCEa==，则2DEa=，DBE为等边三角形，且60DBE=，故二面角l−−的大小为60．

故答案为：60．15．解：由已知得，EFAE⊥，EFDE⊥，AEDEE=，EF⊥平面ADE，又EF平面ABFE，平面ABFE⊥平面ADE，取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，(1,0,0),(0,0,

3),(0,4,3),(1,4,0)EDCF−−，(1,0,3),(1,4,3)EDEC==，设(1M，t，0)(04)t剟，则(2,,0)EMt=，设平面EMC的法向量为(,,)mxyz=，则20430mEMxtymECxyz=+==++=，则可

取8(,2,)3tmt−=−，由DE与平面EMC所成的角为60，则22832(8)243tt=−++，2430tt−+=，解得1t=或3t=，均有直线DE与平面EMC所成的角为60，取ED的中点Q，则QA

为平面CEF的法向量，13(,0,)22Q−，33(,0,)22QA=−，设平面MCE与平面CEF的夹角为，则222|24||2||cos|||||||841934()3QAmttQAmtttt−−===−−+++，当1t=时，1cos

4=，当3t=时，1cos4=，平面MCE与平面CEF夹角的余弦值为14．故答案为：14．16．解：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、1DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为

2，则(0D，0，0)，(2E，2，1)，(0F，1，2)，(2B，2，0)，1(0D，0，2)，(2A，0，0)，(0C，2，0)，1(2B，2，2)，(2,1,1)EF=−−，1(2,2,2)BD=−−，设异面直线EF与1BD所成角为，则111||42222cos|cos,

|3||||623EFBDEFBDEFBD++====，故①正确；1(0,2,2)AB=，1(2,0,2)CB=，1122220BDAB=−+=，1122220BDCB=−+=，11BDAB⊥，11BDCB⊥，又111

ABCBB=，1BD⊥平面1ABC，故②正确；(0,2,1)AE=，设直线AE与平面1ABC所成角为，则111|||2(2)12|15sin|cos,|15||||512AEBDAEBDAEBD−+===

=，故③正确；平面ACD的一个法向量为(0,0,1)n=，11123cos,3||||123nBDnBDnBD===，由图可知，二面角1BACD−−为钝角，则其余弦值为33−，故④错误．结论正确的是①②③．故答案为：①②③．