【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1教案：2.3.1双曲线及其标准方程1 含解析【高考】.doc，共(10)页，581.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.3.1双曲线及其标准方程【教材内容分析】本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是

最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握.【学情分析】知识结构分析：学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注

椭圆与双曲线的区别和联系.能力体系分析：本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力.【教学目标】通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结

双曲线的定义；通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣.【教学重点】双曲线的定义；双曲线标准方程的两种形式.【教学难点】

双曲线标准方程的推导方法及化简过程.【教具准备】多媒体投影仪，几何画板动画【教学方法】采用启发、探究式教学.-2-【教学环节】教学环节教学内容师生活动设计意图(一)创设情境，感知图形回顾初中时学习过的反比例函数的图像；观察电厂的冷却塔图片，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的

一部分.教师引入，学生回忆初中所学内容；多媒体展示图片，学生观察，实物感知双曲线的形状.教师引入课题，告知学生本节课的学习目标、学习重点和学习难点.这一段可由一名学生代表阅读.通过学生熟悉的知识以及生活中的实例让学生感知双曲线的形状，这样的两个例子简

单、生动，学生易于接受.(二)动画演示，引入双曲线是如何形成的？可以如何给双曲线下定义？借助经典的拉链动画，引导学生总结动点在运动过程中的特征，从而引入双曲线的定义.教师手动演示双曲线的形成过程，先演示靠近2F的一支，由学生总结动点特征:.21常

数=−MFMF并解释为什么有这样的特征:随着拉链的闭拢和拉开，两条线段减小或增加的量相等，所以差值始终是同一个常数.再演示靠近1F的那一支，仍然由学生总结特征:.12常数=−MFMF接着，强调以上两个常数是相等充分调动学生的积极性，突出学

生的主体地位，并且通过总结特征提高学生的语言表达能力，对图形的认知能力.学生概述定义时往往会漏掉常数的范围，这个问题暂时保留，-3-定义的，两支曲线合在一起叫做双曲线，引导学生把两个式子合二为一:.21常数=−MFMF并把数学式子转化成自然语言，概述双曲线的定义：平面内到两个定点

的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线.(此处暂时不说常数的范围.)下一个环节来解决。保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻.教学环节教学内容师生活动设计意图(三)剖析定义剖析定义中的要点：①“平面内”三个字容易漏掉，去掉后不严谨；②

由学生发现“绝对值”三个字的重要性；③常数是不是像椭圆中一样有范围限制？如果有的话，是什么？为什么？刚才给出定义时没有加上常数的范围，定义叙述不完整，所以现在要对定义进行补充，确保定义的严谨性.最终双曲线的定义为：第一点教师做提醒；第二点要

点拨学生去掉“绝对值”三个字后点的轨迹会是什么，学生慎重考虑后应该能够找到正确答案:去掉绝对值后轨迹变成了双曲线的一支.之后教师提醒学生做题时需注意这一点；第三点由学生分组去讨论，然后派代表说明本组的讨论结果，直至解

决问题,得到结论：①常数等于21FF时，点的轨迹是直线21FF上以21FF、为端点向外的两条射线；②常数大于21FF时，点的轨迹学生的表达往往不严谨，“平面内”这三个字是很容易被忽略的，所以教师要强调.第二点学生略作思考，就能够意识到这三个

字的重要性；第三点对学生而言最为困难，如果强硬给出的话，学生被动接受，-4-，夯实基础平面内到两个定点21FF、的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情

况下，焦距用c2表示，常数用a2表示，显然这里有.022ac不存在；③常数等于0时，点的轨迹是线段21FF的垂直平分线.以双曲线和椭圆作比较，两类曲线中a和c的大小关系不同，在椭圆中，,0ca而在双曲线中，.0ac要提醒学

生注意.不利于学生的理解和掌握，所以我采取小组讨论的做法，由学生自己得出范围，加深学生对范围的理解.回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程.标准方程为其中.,00ba椭圆的标准方程有两学生刚刚

学习过椭圆，对椭圆的标准方程的推导过程印象比较深刻，用同样的步骤推导双曲线的标准方程：①建系以直线21FF为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.②设点设双曲线上任意一点M坐标为),(yx，焦距为,c2则).,(),,(0021cFcF−常数记为a2.③写出限

制条件.12222=−byax-5-(四)类比椭圆，推导方程种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：.12222=−bxay其中.,00ba两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？学生思考并做答：在

等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上.这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调..221aMFMF=−④列出等式.)()(ayaxyax22222=+−−++⑤化简这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生演板

，最终化简为像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁，结合,0ac可设,222bac=−其中0b(意义讲性质时再涉及).于是双曲线的方程可化为.12222=−byax这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为).,(),,(002

1cFcF−双曲线与椭圆标准方程中cba、、的关系不同，要给学生强调，这也是今后在做题过程中学生易混淆的地方.培养学生的运算能力.通过双曲线与椭圆的对比，学生可以加深对两种曲线的理解.122222=−−acyax-6-(五)例题讲解，学以

致用例1、已知双曲线的焦点),,(051−F2F),,(05双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.对例题的条件进行修改，得到如下三个变式训练：1、已知),,(501−F2F),,(50动点P满足.

821=−PFPF求点P的轨迹方程.2、已知),,(051−F2F),,(05动点P满足.821=−PFPF求点P的轨迹方程.3、已知),,(051−F2F),,(05动点P满足.1021=−PFPF求点P的轨迹方程.例2、已知双曲线的焦点),,(601−F2

F例1难度系数不大，给学生适当的时间，自己去做，一般情况下学生会在练习本上直接写出本题的正确答案，所以教师要通过投影给出规范的解题步骤.三个变式均是对定义的考查，如果学生对定义中的要点理解到位，就可以顺利地把三个变式求解出来.教师要强调双曲线的一支方程和变式训练3中两条射线的方程应如何表示，这是易

错点.例2较之例1难度略大，计算量也稍大，所以要给学生充分的思考时间.这道题由两个学生演板，一般情况下学生会利用6=c和双曲线过点),(52−M列方程求解，这一方法思路自然，运算较繁；有些数学程度较好并

且善于思考的同学会想到利用定义求出,21MFMF−即a2，再利本节课的重点就是双曲线的定义及标准方程，而定义中的要点一是绝对值，二是常数的范围，设计例1就是要使学生正确把握定义，正确理解定义.例2让学生演板，体现了学生在课堂上的主体作用，两种方法的对比会让学生明白解题时技巧的重要

性，从而引导学生在日常学习中一定要多动脑思考，不止为做题而做题，一道题目-7-),,(60且经过点M).,(52−求双曲线的标准方程.用6=c即可求出,b从而双曲线的方程得以求出，这一方法相对来讲计算量较小，而且紧扣本节课的学习重点.要给学生强调定义的重要性.有多种解法时，可权衡一下

哪一种解法更有利于节省时间，提高效率.-8-(六)课堂练习，沙场练兵1、已知双曲线的焦点在坐标轴上，.,37==ba则双曲线的标准方程为.2、过双曲线13422=−yx左焦点1F的直线交双曲线的左支于NM、两点

，2F为其右焦点，MNNFMF−+22的值等于.3、在ABC中，B),,(),,(0404−C动点A满足CBsinsin−.sinA21=则动点A的轨迹方程为.教师通过投影打出三道题目，学生自己审题，动手计算.然后教师

提问学生回答自己计算得到的答案:1、194922=−yx或.194922=−xy2、8.3、).(2112422=−xyx学生动手去做，通过学生的做题状况教师能够看出学生对本节课知识点的掌握情况，三道练习题由浅入深，层层深入

，使学生体会到学习的快乐和收获.第3题稍有难度，用到了正弦定理，有些学生可能会不明白为什么要有,2x这一点涉及到双曲线的性质，正好为学习双曲线的性质做铺垫.-9-(七)课堂小结，整理收获请同学们回顾本节课我们所学习的主要内

容.由学生自己总结本节课的收获：①双曲线的定义；②双曲线的标准方程的两种形式；③双曲线标准方程的求解方法.学生叙述不完整或不准确的地方，教师予以补充或纠正，同时提醒学生要牢记定义.学生总结，加深理解，印象深刻，形

成学生自己的认知结构.突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力.(八)课后作业，及时反馈课本第48页练习1、2；课本第54页习题2.2A组1、2；自己动手制作表格，列出椭圆与双曲线的区别和联系.课下独立完成，同学之间交流检验学生课内的掌握情况，并让

学生明白，学习不仅仅是课堂上的事，课下的时间自己要合理支配，科学安排.附：板书设投影仪双曲线及其标准方程一、双曲线的定义学生演板：.21常数=−MFMF双曲线标准方程的推导.12常数=−MFMF即.21常数=−MFMF学生演板（两名学生）：

二、双曲线的标准方程例2的求解过程.12222=−bxay.12222=−byax-10-计大屏幕其中，.,00ba【教后心得】本章教材中的设计与老教材基本上没有太大变化，可以说，任何一个有几年教龄的高中教师，对本节课都是比较熟悉的，可是，要想讲好这堂课，还是需要花费很大功夫.本节课

我自认为有可取之处，简述如下：①课堂效果不错，学生热情高涨，能积极主动地思考并回答问题，和老师配合得很好；②在讲解定义的过程中，我采用了暂时保留常数取值范围的做法，由学生自己讨论得出，而并非教师生硬的给出，学生被动接受，这样学生的学习效果更好；③问题的设计环环相扣

，吸引学生动脑思考；例题基本上全靠学生动手去做，学生在自己解决问题的过程中能够发现问题，及时解决，充分体现了学生在课堂上的主体作用.当然，这节课肯定有不足之处，希望能得到各位前辈的指点，我会在探索中逐渐成长，在成长

中不断进步，完善自己，为河南省乃至全国的教育事业贡献绵薄之力！最后，感谢各位评委耐心地读完我的教学设计，谢谢！你们辛苦了！