【文档说明】山东省枣庄市薛城区2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx,共(20)页,2.193 MB,由小赞的店铺上传
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2022-2023学年下学期高一期中学情检测数学试题本试卷共4页,22题,全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效、3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1
.(2i)(1i)−+=()A.3i+B.12i−C.3i−D.3【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算求解.【详解】由题意可得:2(2i)(1i)2ii3i−+=+−=+.故选:A.2.若向量()()3,2,4,5OBAB==−,则点A的坐标为()A.()1,7−B.()7,3−
C.()1,3−−D.()7,7【答案】B【解析】【分析】求出OA,即可得出点A的坐标.【详解】由题意,∵()()3,2,4,5OBAB==−,∴()()()3,24,57,3OAOBAB===−−−−∴()7,3A−,故选:B.3.对于横纵坐标均为整数
的向量,若它们的模相同,坐标不同,则称这些向量为“等模整向量”如向量(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)−−−−是模为2的“等模整向量”,则模为10的“等模整向量”的个数为()A.4B.8C.10
D.12【答案】B【解析】【分析】根据“等模整向量”的概念求解.【详解】设向量为(,)ab,则2210ab+=,又,ab为整数,所以a,b从1,1,3,3−−中取值,故符合条件的“等模整向量”为(1,3),(1,3),(1,3),(1,3),
(3,1),(3,1),(3,1),(3,1)−−−−−−−−,共有8个.故选:B4.“近水亭台草木欣,朱楼百尺回波濆”,位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代,历代因战火及灾涝等原因,屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成,共有七层,站在楼上观光,可俯视整
个大明湖的风景.如图,为测量超然楼的高度,小刘取了从西到东相距104(单位:米)的A,B两个观测点,在A点测得超然楼在北偏东60的点D处(A,B,D在同一水平面上),在B点测得超然楼在北偏西30,楼顶C的仰角为45,则超然楼的高度CD(单位:米)为()A
.26B.263C.52D.523【答案】C【解析】【分析】根据题意结合直角三角形分析运算即可.【详解】由题意可得:30,60,45,104BADABDCBDAB====(米),在ABD△中,可得90ADB=,则1sin104522BDABBAD===(米),
在RtBCD△中,可得BCD△为等腰直角三角形,即52DCBD==(米).故选:C.5.矩形ABCD中,3,2ABAD==,M为线段AB上靠近A的三等分点,N为线段BC的中点,则DMAN=()A.1−B.0C.1D.7【答案】
C【解析】【分析】以,ABAD为基底向量表示,DMANuuuuruuur,根据数量积的定义及运算律分析运算.【详解】以,ABAD为基底向量,则11,32DMAMADABADANABBNABAD=−=−=+=+uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuu
ruuuruuur,因为ABAD⊥,则0ABAD=uuuruuur,所以2211151119413236232DMANABADABADABABADAD=−+=−−=−=uuuuruuuruuuru
uuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.故选:C.6.三棱锥−PABC的侧棱,,PAPBPC上分别有三点E,F,G,且111,,23PEPFPGEAFBGC===,则三棱锥−PABC与PEFG−
的体积之比是()A.6B.8C.12D.24【答案】D【解析】【分析】根据体积公式计算三棱锥PEFG−的体积与三棱锥−PABC的体积表达式,再求其比值.【详解】设PFG△的面积为1S,设PBC的面积为2S,则11sin2SPFPGFPG=,21sin2SPBPCBPC=,又F
PGBPC=,11,34PFPGPBPC==,∴12112SS=,过点E作EM⊥平面PBC,过点A作AN⊥平面PBC,如图,则EMAN∥,∴PEM△与PAN△相似,又12PEPA=,∴12EMAN=,∵113PEFGEFPGVVSEM−−==,21
3PABCABPCVVSAN−−==,∴24PABCPEFGVV−−=,∴三棱锥−PABC与PEFG−的体积之比是24.故选:D.7.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(),mbb=,()cos,3sinnCC=,mnac=+,则B=()A.π2B.π3C.
π4D.π6【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算可推得cos3sinbCbCac+=+,正弦定理边化角可得sincos3sinsinsinsinBCBCAC+=+.然后根据三角形内角和以及两角和的正弦定理化简可推得3sincos1BB−=,辅助角公式化简可求得π1sin62
B−=,然后根据角的范围,即可得出答案.【详解】由已知可得,cos3sinmnbCbCac=+=+.由正弦定理边化角可得,sincos3sinsinsinsinBCBCAC+=+.因为()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+
,所以有3sinsincossinsinBCBCC−=.又sin0C,所以3sincos1BB−=,即π2sin16B−=,所以π1sin62B−=.因为0πB,所以ππ5π666B−−,所以ππ66B−=,所以π3B=.故选:B.8.已知A,B,C,D
四点都在表面积为100π的球O的表面上,若AD球O的直径,且4,150BCBAC==,则三棱锥ABCD−体积的最大值为()A.43B.83C.4(23)−D.8(23)−【答案】D【解析】【分析】设△ABC的外接圆半径为r,圆心为1O,根据正
弦定理可求r,根据几何关系可求D到平面ABC的距离为定值12OO,当△ABC面积最大时,三棱椎A-BCD体积最大,利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求△ABC面积的最大值,即得.【详解】设球O的半径为R,因为球O
的表面积为100π,故24π100πR=,即5R=,∵4BC=,120BAC=,设△ABC的外接圆半径为r,圆心为1O,∴根据正弦定理知,42sin150r=,即4r=,∴222211543OOOBOB=−=−=,∵AD是直径,O是AD中点,故D到平
面ABC的距离为126OO=,在△ABC中,根据余弦定理得,2222cosBCABACABACBAC=+−,即2216323ABACABACABACABAC=+++,∴16(23)ABAC−≤,当且仅当ABAC=时,等号成立,∴△ABC面积的最大
值为111sin16(23)4(23)222SABACBAC==−=−,∴三棱锥A-BCD体积的最大值14(23)68(23)3V=−=−.故选:D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个
选项中,有多项符!合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.关于复数123,,zzz,下列说法中正确的是()A.11zz=B.2211zz=C.()1231213+=+zzzzzzzD.1212zzzz+=+【答案】ACD【解析】【分
析】根据复数的模及复数的乘法判断B,C选项,根据复数的共轭复数判断D选项,结合共轭复数及模长判断A选项.【详解】设1izab=+23i,icdmzzn=+=+,222211111,i,,abzzabzabzz=+=+==−,A选项正确;()()2222222222211
11i2i,,zabababzababzz=+=−+=+=+,B选项错误;()()()()()()()1231213iiiiiiizzzabcdmnabcdabmnzzzz+=++++=+++++=+,C选项正确;()()12izcdnzm=++++()()12izcdnzm+−++
=,()()12zzcdimni=cmdni+=−+−+−+,1212zzzz+=+D选项正确;.故选:ACD.10.已知正四棱台1111ABCDABCD−中,1114,2,2ABABAA===,则关于该正四棱台,下列说法正确的是(
)A.1π6AAB=B.高为2C.体积为2823D.表面积为123,,【答案】BC【解析】【分析】根据正四棱台的结构特征逐项分析判断.【详解】过1A分别作底面ABCD、AB的垂线,垂足分别为M、N,则112,144AMACA
NAB====,可得222211112,3AMAAAMANAAAN=−==−=.对于A:在Rt1AAN中,可得1113sin2ANAANAA==,且1AAN为锐角,则1π3AAB=,故A错误;对于B:正四棱台的高即为12AM=,故
B错误;对于C:正四棱台的体积()128244224422233V=++=,故C正确;对于D:四棱台的表面积()32444224201232S+=++=+,故D错误;故选:BC.11.石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形,正六边形ABCDEF为其中
的一个六元环,设1AB=,P为正六边形ABCDEF内一点(包括边界),则下列说法正确的是()A.44ADABAF=+B.23ACADAB=C.AD在AB上的投影向量为ABD.APAB的取值范围为13,22−【答案】BCD【解析】【分析】建系,利用向量坐
标的运算判断A、B、C,对于D:结合向量的投影分析运算.【详解】如图,以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,则()()133333130,0,,,,,2,0,,,,22222222ABCDEF−−
,可得()133313,,,,2,0,,222222ABACADAF=−=−==uuuruuuruuuruuur.对于A:因为()444,0ABAF
=+uuuruuur,则44ADABAF+uuuruuuruuur,故A错误;对于B:233203322ACADAB=+−==uuuruuuruuur,故B正确;对于C:因为,60ABAD=
,则1cos,212ADABAD==uuuruuuruuur,所以AD在AB上的投影向量为ABABAB=,故C正确;对于D:分别过C、F作直线AB的垂线,垂足分别为M、N,则12BMAN==,可得AP在AB上
的投影的取值范围为13,22−,且1AB=,所以APAB的取值范围为13,22−,故D正确;故选:BCD.12.已知ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC内一点N满足sinsinsin0,ANABNBC
NCAN++=与BC交于点D,则下列说法正确的是()A.0aNAbNBcNC++=B.0||||ABACANABAC−=C.1sin2cADbADbcA+=D.bABcACANabc+=++【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理判断
A,再由向量的线性运算判断D,根据数量积运算判断B,由B知AN在角平分线上可判断C.【详解】sinsinsin0ANABNBCNC++=,由正弦定理可得200aNAbNBcNCR++==,故A正确;()()()0aANbABANcAC
AN−+−+−=,可得bABcACANabc+=++,故D正确;222211()|()()0|||bABcACbABcACbccbbcbcabcABACANAAaBCbc−=+−−==++++,故B正确;如图
,AD是A的角平分线,11111sinsinsin22222cADAbADAbcA+=,故C不正确.故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.2023i=___________.【答案】i−【解析】【分析】根据虚数单位的周期性求解.【详解】
202345533iiii+===−,故答案为:i−14.ABC中,AD为边BC的中线,3AB=,2AC=,60BAC=,则中线AD的长为_________.【答案】192##1192【解析】【分析】先由三角形ABC构建平行四边形ABEC,使AD转化为12AE,然
后在ABE根据余弦定理求AE,即可.【详解】如图,以ABC边AB,AC为邻边做平行四边形ABEC,因AD为边BC的中线,则由平行四边形性质知,,ADE共线,且2AEAD=,在平行四边形ABEC中,2BEAC==,180120ABE
BAC=−=,在ABE中,由余弦定理得:222222cos32232cos12019AEABBEABBEABE=+−=+−=,所以19AE=,11922ADAE==,故答案为:19215.设M为ABC内一点,且1123AMABAC=+,则MBC与ABC的面积之比为____
_______.【答案】16【解析】【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点M的位置,进而分析运算即可.【详解】在AC取点N,使得32ACAN=,则11112322AMABACABAN=+=+uuuruuuruuuruuuruuur,可知:点M为BN的中点,可得11112236MB
CNBCABCABCSSSS===△△△△,即16MBCABCSS=△△,所以MBC与ABC的面积之比为16.故答案为:16.16.早在15世纪,达·芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法:
如图(1),先制作三张一样的黄金矩形512ABCD−=短边长边,然后从长边CD的中点E出发,沿着与短边平行的方向,即12EFAD=,再沿着与长边AB行的方向剪出相同的长度,即FEFG=;将这三个矩形穿插两两垂直放置(如图(2)),连接所有顶点即可得到一个正二十
面体(如图(3)).若黄金矩形的短边长为2,则按如上制作的正二十面体的表面积为______________,其内切球的表面积为______________.【答案】①.203②.(1465)3+【解析】【分析
】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形,且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长可得其表面积,根据对称性可知内切球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处,从而可求出球的半径,得出答案.【详解】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形,且每个等边三角形的边
长都等于黄金矩形的短边长2.所以表面积为:12022sin602032=根据对称性可知:三个黄金矩形的对角线交于一点,设该点为O由对称性可知,内切球和外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处,点O连接其中一个面ABC
,如图,作1OO⊥面ABC,则OA为外接球半径,1OO为内切球的半径.黄金矩形的短边长为2,设长边为2y,则25122y−=,即2225151y==+−所以黄金矩形的对角线长为()222511025++=+所以外接球的半径为:110+252由正三棱锥的性质可知,1O为ABC的中心,1O
C为ABC的外接圆半径,所以12432sin603OC==,所以1233=OC所以222111025414654312OOOCOC++=−=−=所以内切球的表面积为1465(1465)4123++=故答案为:203;(1465)
3+四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数512iz=+.(1)求||z;(2)若z是关于x的方程20xaxb++=的一个根,求实数a,b的值.【答案】(1)5(2)2,5ab=−=
【解析】【分析】(1)根据复数的除法求z,进而求模长;(2)将z代入方程,根据复数相等列式求解.【小问1详解】因为55(12i)12i12i(12i)(12i)z−===−++−,所以2||125z=+=.【小问2详解】由(1)可得:12zi=−,将z
代入方程20xaxb++=得:()()212i12i(3)i(24)0ababa−+−+=+−+−−=,则30240aba+−=+=,解得:2,5ab=−=.18.已知,,abc是同一平面内的三个向量,其中()1,3a=.(1)若4c=,且∥ca,求c坐标;(2)若1b=,且
()()25abab+⊥−,求a与b的夹角.【答案】(1)(2,23)c=或(2,23)c=−−(2)π3【解析】【分析】(1)设(,)cxy=,然后根据向量模以及向量垂直的坐标表示,列出方程组,求解即可得出答案;(2)根据已知可推得1ab=,然后即可得出1cos,2ab=,进而得出答案.【小
问1详解】设(),cxy=,由已知可得221630xyyx+=−=,解得223xy==或223xy=−=−所以()2,23c=或()2,23c=−−.【小问2详解】由已知可得,()22132a=+=.由()()25abab+
⊥−得()()250abab+−=,即222350aabb−−=,即8350ab−−=,所以1ab=,所以1cos,2ababab==.因为,0,πab,故π,3ab=.19.如图,圆锥SO的底面半径为3,此圆锥的侧面展开图是一个半圆.(1)求圆锥SO的表面积;
(2)若圆锥SO的底面圆周和顶点S都在球O的球面上,求球O的体积.【答案】(1)27π(2)323π【解析】【分析】(1)设,OAOBrSASBl====,根据圆锥的侧面展开图是一个半圆,由π2π6πlr==求得母线后再利用表
面积公式求解.(2)令SOR=,利用球的截面圆性质,由222OOOBOB=+求得半径即可.【小问1详解】解:设,OAOBrSASBl====,由题意得:π2π6πlr==,则6l=.所以π18π,9π
,27πSrlSSSS====+=侧表侧底底.【小问2详解】令SOR=,由222OOOBOB=+,得22(33)9RR−+=,解得23R=.故34π323π3VR==球.20.ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知()(sinsin)sin3sinbc
BCaAbC++=+.(1)求角A的大小;(2)若2a=,求cb−的取值范围.【答案】(1)π3A=(2)(2,2)cb−−【解析】【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理分析运算;(2)利用正弦定理进行
边化角,在结合三角恒等变换及余弦函数分析运算.【小问1详解】因为()(sinsin)sin3sinbcBCaAbC++=+,由正弦定理得2()()3bcbcabc++=+,整理得222bcabc+−=,所以2221cos22bcaAbc+−==,且()0,πA,故π3A=.【小问2详
解】因为243sinsinsin332abcABC====,可得4343sin,sin33bBcC==,则()4343πsinsinsinsin333cbCBBB−=−=+−4
331cossinsin322BBB=+−433143πcossincos32236BBB=−=+,因为2π03B,所以ππ5π666B+,则π33cos,622B+−的所
以()43πcos2,236B+−,即(2,2)cb−−.21.已知ABC是边长为2的等边三角形,D为边BC的中点,E为边AC上任一点(包括端点),F在线段ED延长线上,且EDDF=.(1)当||CF最
小时,求ADBE的值;(2)求AEAF取值范围.【答案】(1)32−(2)90,4【解析】【分析】(1)设([0,1])AEAC=,把CF转化为ABAC−,由2||()CFCF=求出2||444,[0,1]CF=−
+,从而可知当12=时,||CF最小,把ADBE转化为用,ABAC表示,再把12=代入即可求出ADBE的值;(2)把AEAF转化为用,ABAC表示,化简为只含变量的二次函数,用二次函数求最值的方法即可求得AEAF的取值范围.【小问1
详解】如图,设([0,1])AEAC=22()CFAFACAEEDACAEADAEAC=−=+−=+−−2ADAEACABACACACABAC=−−=+−−=−2222||()2CFABACABABACAC=−=−+的因为2ABAC=,所以2||444,[0,1]CF
=−+当12=时,||CF最小,此时22111113()222442ADBEABACACABABABACAC=+−=−−+=−.【小问2详解】由(1)知AFACABAC−=−,故(1)AFABAC=+−,因为[(
1)]AEAFACABAC=+−()22ABACAC=+−246=−+,因为[0,1],所以90,4AEAF.22.ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sinsincossincosaAbCA
cAB=+.(1)求sinsinAC的值;(2)若BD是ABC的角平分线.(i)证明:2··BDBABCDADC=−;(ii)若1a=,求BDAC的最大值.【答案】(1)12(2)(i)证明见解析;(ii)322【解析】【分析】(1)根据正弦定理边化角,结合两角和正弦公式化
简,即可得答案;(2)(i)在ABD△和BCD△中,分别应用正余弦定理,得出线段之间的等量关系,结合角平分线以及分式的性质,即可证明结论;(ii)利用(i)的结论以及基本不等式即可求得答案.【小问1详解】因为ABC中,4sinsincossincosaAbCAcAB=+,故
24sinsinsincossinsincossin(sincossincos)ABCACABCBAAB=+=+的()2sinsinsinCABC=+=,因为(0)sinsin0,,π,,ACAC,故sin1sin2AC=;【小问
2详解】(i)证明:ABD△中,由正弦定理得sinsinADABABDADB=①,又2222cosABADBDADBDADB=+−②,同理在BCD△中,sinsinCDBCCBDCDB=③,2222cosBCCDBDCDBDCDB=+−④,B
D是ABC的角平分线,则ABDCBD=,则sinsinABDCBD=,又πADBCDB+=,故sinsincoscos0,ADBCDBADBCDB=+=,故①÷③得ADABCDBC=⑤,即,ADAB
CDBCACABBCACABBC==++,由CD②AD+④得,()()222CDABADBCCDADADCDCDADBD+=+++2CDADACACBD=+,则222CDABADBCBDCDADAC+
=−22BCABABBCCDADBABCDADCABBC+=−=−+,即2··BDBABCDADC=−;(ii)因为sin1sin2AC=,故2ca=,则由⑤得2ADABCDBC==,则,2133ADACDCAC==,由1a=以及(i
)知22229BDAC=−,即22229BDAC+=,则2222293BDACBDAC+,当且仅当2229BDAC=,结合22229BDAC+=,即3212,BDAC==时等号成立,故322BDAC,即BDAC的最大值为322.【点睛】难点点睛:本题解答的难点在于2··BD
BABCDADC=−的证明,证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系,然后利用分式的性质进行变形,过程比较复杂,计算量较大,因此要十分注意.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xi
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