【文档说明】福建省宁德市五校教学联合体2023届高三下学期3月质量监测数学试题 含解析.docx，共(28)页，2.356 MB，由小赞的店铺上传

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福宁古五校教学联合体2023届高三毕业班三月质量监测数学试题一、单选题：1.集合2|6Axyxx==+−，2|0xaBxxa−−=−，若|23ABxx=，则a的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B

【解析】【分析】解出集合A中的函数定义域和集合B中分式不等式，得到这两个集合，由|23ABxx=，求a的值．【详解】函数26=+−yxx有意义，则260xx+−，解得3x−或2x，则3Axx=−或2x.不等式20xaxa−−−解得2

axa+，则2Bxaxa=+.由|23ABxx=，则有23a+=，得1a=.故选：B2.已知复数i2i,,R1ixyxy+=−+，则xy−=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算，结合复数相等的充

要条件即可求解31x,y==，.【详解】由i2i,,R1ixyxy+=−+得()()i2i1i22ii13ixy+=−+=+−+=+，所以31x,y==，则xy−=2，故选：A3.已知53πsin,4544ππ+=

，则cos的值为（）A.1010−B.31010−C.1010D.31010【答案】A【解析】【分析】确定πππ24+得到25cos45π+=−，ππcoscos44=+−，展开计算得到答案.详解】π3π44

，πππ24+，5sin45π+=，故225cos1sin45π4π+=−−+=−，ππππππcoscoscoscossinsin444444

=+−=+++2525210525210=−+=−.故选：A4.恩格尔系数100%n=食品消费支出总额消费支出总额，国际上常用恩格尔系数n来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕.某地区家庭2021年底恩格尔系数n为50%，刚达

到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数n满足30%40%n达到富裕水平，至少经过（）年（参考数据：lg0.60.2

2−，lg0.80.10−，lg121.08，lg131.11）A.8年B.7年C.4年D.3年【答案】C【解析】【分析】根据“每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%”以及30%40

%n列不等式，解不等式即得.【详解】设经过的年份为x年，依题意有1.20.50.41.3x，即120.813x，两边取以10为底的对数得12lglg0.813x，即lg0.83.3lg12lg13x−，故至少经过4年，可使家庭恩格尔系数n满足30%40%n

达到富裕水平.故选：C.【5.如图，圆O半径为1，圆外一点P到圆心O的距离为2，过P引圆O的两条切线，切点分别记为A、B，M为圆O上的一个动点，则PAPM的最小值为（）A.31−B.33−C.32D.3【答

案】B【解析】【分析】结合图形，利用向量的线性运算可得()PAPMPAPOOM=+，结合数量积的定义求其最小值.【详解】由已知OAPA⊥，2PO=，1OA=，所以3PA=，因为()PAPMPAPOOMPAPOPAOM=+=+，又3,1PAOM==

，()cos,3113PAOMPAOMPAOM=−=−，当且仅当,OMPA反向时取等号，即PAOM的最小值为3−，因为3,PAPAOA=⊥，所以()3PAPOPAPAOAPAPAPAOA=+=+=uuruuuruuruuruuruuruuruuruur，所以

PAPM的最小值为33−.故选：B.6.已知双曲线22:1124xyC−=，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则||dPF+的最小值为（）A.243+B.63C.8D.10【答案】A【解析】【分析】设双曲线左焦点为(

40)F−，,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将||dPF+转化为2||aPEFP++，利用当,,PFE三点共线时，2FaPEP++取得最小值，即可求得答案.详解】由双曲线22:1124xyC−=,可得23,2ab==，(40)F，,设双曲线左焦点为(40)F−，

，不妨设一条渐近线为3:3blyxxa=−=−，即30xy+=，作PEl⊥，垂足为E，即||PEd=，作FHl⊥,垂足为H，则22|4|||21(3)FH−==+，因为点P为C左支上的动点，所以2PFPFa−=，可得2PF

aPF=+，故2|2|dFPPEaPFaPEFP+=++=++，由图可知，当,,PFE三点共线时，即E和H点重合时，2||aPEFP++取得最小值，最小值为223||432FH+=+，即||dPF+的最小值为432+，故选：A．7.如图1所示，四边形ABCD是边长为2的正方形

，点E、F、M分别为线段BC、CD、BE的中点，分别沿AE、AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B、C、D三点重合于点P，得到如图2所示的三棱锥P﹣AEF，则下列结论中正确的有（）【A.点P在平面AEF上的投影为AEF△的外心B.

直线AM与平面PEF所成角的正切值为2C.三棱锥P﹣AEF的内切球半径为12D.过点M的平面截三棱锥P﹣AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为π3π,42【答案】D【解析】【分析】对于A：根据垂直关系分析判断；对于B：根据线面夹角的定义分析运算；对于C

：根据锥体的内切球结合等体积法运算求解；对于D：根据题意将三棱锥P﹣AEF转化为长方体，结合球的性质运算求解.【详解】对于选项A：设AEF△的外心为N，连接,,,NANENFPN，则NANENF==，点P在平面AEF上的投影为AEF△的外心，等价于P

NAPNEPNF，等价于PAPEPF==，所以点P在平面AEF上的投影为AEF△的外心，等价于PAPEPF==，显然,PAPEPEPF=，则点P在平面AEF上的投影为不是AEF△的外心，故A错误；对于选项B：由题意可知：,PAPEPAPF⊥⊥，且,PEPF平面PEF，

PE、PF交于P点，可得PA⊥平面PEF，可得直线AM与平面PEF所成角为AMP，因为4PAPM=，所以tan4PAAMPPM==，故B错误；对于选项C：由题意可知：2,1,5,2PAPEPFAEAFEF======

，则111211,11222PAEPAFPEFSSS=====△△△，()2212325222AEFS=−=△，所以三棱锥PAEF−的表面积1321422PAEFS−=++=，体积111123323PAEFAEFVPAS−=

==△，设三棱锥P﹣AEF的内切球半径为r，则1331344PAEFPAEFVrS−−===，故C错误；对于选项D：如图，将三棱锥PAEF−转化成长方体PEQAFGNH−，则三棱锥PAEF−的外

接球的半径2221622RPAPEPF=++=，可知当截面过外接球的球心O时，截面面积最大，最大值为23ππ2R=；可知当截面与OM垂直时，截面面积最小，设截面半径为1r，可得2221151,224OMENrROM===−=，则截面面积为21ππ4r=；所以截面的面积的取值范围为π3π,42

，故D正确；故选：D.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．（2）若球面上四点P、A、B、C构成

的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长．（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面

对角线长．（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．8.0.2ea=，7log8b=，

6log7c=，则（）A.abcB.bacC.acbD.cab【答案】C【解析】【分析】先构造函数ln(1)()lnxfxx+=，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值65

和76，通过构造函数()e1xgxx=−−，证明e1xx+，判断0.265e，构造函数ln()6ln6xxhx=−，通过单调性判断67log76，于是证明ca，即可求得a、b、c的大小关系.【详解】令ln(1)()lnxfxx+

=(0)x则2ln(1)ln(1)()(1)lnxxxxfxxxx−++=+，显然()0fx即()fx单调递减，所以ln7ln8ln6ln7，即67log7log8，cb.令()e1xgxx=−−(0)x则()e10

xgx=−≥，即()gx在[0,)+上单调递增所以()(0)0gxg=，即e1xx+，所以0.260.215+=e令ln()6ln6xxhx=−则11()6ln6hxx=−当()0hx时，6ln6x，即()hx在6(,)ln6+上单调递增又(6)0h=，所以当6x时，()(6

)0hxh=所以(7)(6)0hh=，即7ln706ln6−即67log76，又7665，所以0.2676log765<e<，即ca.综上：acb.故选：C.二、多选题：9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点,MN分别是

11,ADBD的中点，则（）A.四点1,,,AMNC共面B.直线1AD与平面1BCD平行C.异面直线CN与11DC所成角的余弦值为33D.过,,MBC三点的平面截正方体所得图形面积为5【答案】AC【解析】【分

析】对A，利用中位线定理与平行线的传递性证得//MNCD，从而得以判断；对B，利用线面平行的性质即可判断；对C，由向量法求线线角即可判断；对D，过点M作//PQAD，证所求截面为矩形PBCQ，即可求得面积，从而得以判断.【详解】对A，连接1AD，如图，因为侧面11AA

DD是正方形，M分别是1AD的中点，所以M是1AD的中点，又点N分别是1BD的中点，所以//MNAB，又//ABCD，所以//MNCD，所以,,,MNCD四点共面，又1AMD面MNCD，所以1,,,AMNC四点共面，故A正确；对B，连接1,NCBC，如图，易得11//ABCD，11ABCD

=，所以四边形11ABCD是平行四边形，则11//ADBC，假设直线1AD与平面1BCD平行，又平面1BCD平面MNCDNC=，1AD平面MNCD，所以1//ADNC，则1//BCNC，显然矛盾，假设不成立，故B错误；对C，分别以1,,

DADCDD所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则112(1,1,1),(0,2,0),)(0,0,2),(0,,2NCCD，则11(1,1,1),(0,2,0)CNDC=−=，设异面直线CN与面11

DC所成角为，则1111113coscos,3CNDCCNDCCNDC===，所以异面直线CN与面11DC所成角余弦值为33，C正确；对D，过点M作//PQAD，因为//BCAD，所以//PQBC且PQBC=，所以四边形PBCQ为平行四边形，则,,,,PMQBC五点共面，即过

,,MBC三点的平面截正方体所得图形为平行四边形PBCQ，由题意可知22145PBPAAB=+=+=，因为1111ABCDABCD−为正方体，所以BC⊥平面11ABBA，的又PB平面11ABBA，所以

BCBP⊥，所以平行四边形PBCQ为矩形，则2525S==，故D错误.故选：AC..10.已知函数32()fxxaxbxc=+++(),,Rabc，则下列说法正确的是（）A.若函数()fx的图像关于点(1,(1))f中心对称，则3a=−B.当0

c=时，函数()fx过原点的切线有且仅有两条C.函数()fx在1,1−上单调递减充要条件是23ab−D.若实数1x，2x是()fx的两个不同的极值点，且满足1212xxxx+=，则0a或6a−【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由题意1121fxfxf

++−=（）（）（），可解a的值；对于B，通过设切点利用导数求切线方程，代入原点坐标检验的方法判断；对于C，()0fx在1,1−上恒成立，分类讨论求解；对于D，利用韦达定理和差别式求解.【详解】因为函数()fx的图像关于点(1,(1))f中心对称，所以1121fxf

xf++−=（）（）（），即323211111121xaxbxcxaxbxcabc+++++++−+−+−+=+++（）（）（）（）（）（）（），整理得()230ax+=，所以3a=−，所以A正确．0c=时，原点()0,0在函数32()fxxaxbx=++的图像上，因此过原点有一条切

线；若切点不是原点时，设切点为()()000,0Pxfxx（），则切线方程为()()()32200000032yxaxbxxaxbxx−++=++−，把()0,0代入可得02ax=，若0a=，则函数()fx过原点的切线有且仅有一条；的若0a，则函数(

)fx过原点的切线有两条，因此B不正确．函数()fx在1,1−上单调递减，()2320fxxaxb=++（不恒等于0）在1,1−上恒成立，设()232gxxaxb=++，其图像对称轴为3ax=−，()0gx（不恒等于0）在1,1−上恒成立

，则有13(1)320agab−−=−+或13(1)320agab−−=++或113(1)320(1)320agabgab−−−=−+=++，即323aab−−或323aab+−或332323aabab−

−+−，其中3a且23ab+−时，则329ba−−−，也满足23ab−，所以函数()fx在1,1−上单调递减的充要条件是23ab−，C正确；232fxxaxb=++（），由题意知实数12,xx是方程2320xaxb+

+=的两个不等实根，所以24120ab=−，且1223axx+=−，123bxx=，由1212xxxx+=，得2ba=−，所以260aa+，解得0a或6a−，所以D正确；故选：ACD.11.已知函数()2sin|sin2|fxxx=+，则（

）A.()fx的最小正周期为2πB.()fx的图像关于π2x=对称C.()fx在0,2π上有四个零点D.()fx的值域为332,2−【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由函数2sinyx=与函数|sin2|yx=的最小正周期即可判断；对于B，由(π)()fxfx−+=即

可判断；对于C，分π02x，ππ2x，3ππ2x以及3π2π2x讨论即可判断；对于D，易知()fx的最小值为2−，最大值在(0,π)时取得，根据对称性，考虑π02x时，()2sinsin2fxxx=+的取值情况，利用导数即可求得最大值，进而判断选项D．【详解】对于

A，函数2sinyx=的最小正周期为2π，函数|sin2|yx=的最小正周期为π2，所以函数()2sin|sin2|fxxx=+的最小正周期为2π，选项A正确；对于B，(π)2sin(π)|sin2(π)|2sin|sin(2)|2sin|sin2|()fxxxxxxxfx−+=−++−+=+

−=+=，所以()fx的图像关于直线π2x=对称，选项B正确；对于C，当π02x时，()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)fxxxxxxxx=+=+=+，易知此时()fx有唯一零点0x=；当ππ2x时，()2sinsin22sin2sincos2s

in(1cos)fxxxxxxxx=−=−=−，易知此时()fx有唯一零点πx=；当3ππ2x时，()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)fxxxxxxxx=+=+=+，易知此时()fx无零点；当3π2π2x时，()2sinsin22sin2sincos2

sin(1cos)fxxxxxxxx=−=−=−，易知此时()fx有唯一零点2πx=，所以()fx在0,2π上有三个零点，选项C错误；对于D，当32x=时，2sinyx=取得最小值2−，此时|sin2|yx=恰好取得最小值0，故()fx的最小值为

2−；由选项C的分析可知，当(π,2π]x时，()0fx，当[0,π]x时，()0fx，而()fx关于直线π2x=对称，故可考虑π02x时，()2sinsin2fxxx=+的取值情况，()()222cos2cos

222cos12cos4cos2cos2fxxxxxxx=+=−+=+−，令()0fx=，解得cos1x=−（舍)或1cos2x=，则π3x=，易知当π03x时，()0fx，()fx单调递增，当ππ32x时，()0fx，()fx单调递减，

所以此时，maxππ2π333()2sinsin333322fxf==+=+=，综上，函数()fx的值域为332,2−，选项D正确．故选：ABD．12.已知抛物线C：24yx=，过焦点F的直线l与C交于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，12y，E与F关

于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是与，则（）A.sintan＞B.AEFBEF∠＝∠C.90AEB＜D.2＜【答案】BCD【解析】【分析】作ADx⊥轴于D，做BCx⊥轴于C，设直

线l的方程为()1ykx=−，与抛物线方程联立求出1212,xxxx+，求出sin，tan可判断A；求出+AEBEkk可判断B；求出tan利用基本不等式得出tan1可判断C；求出tan、tan2，做差tant

an2−与0比较大小可判断D.【详解】作ADx⊥轴于D，做BCx⊥轴于C，所以()1,0Dx，()2,0Cx，抛物线2:4Cyx=的焦点()1,0F，因为12y，所以11x，即90，所以直线

l的斜率存在设为k，可得直线l的方程为()1ykx=−，与抛物线方程联立()214ykxyx=−=，整理得()2222240kxkxk−++=，所以21212224,1kxxxxk++==，2114yx=，对于A，11sin1==+ADyAFx，11

tan1==+ADyEDx，所以sintan=，故A错误；对于B，因为1212,11==++AEBEyykkxx，所以212111+=+=++AEBEyykkxx()()()()()()21122111

1111−++−+++kxxkxxxx()()1212122122011−++−−==++xxxxxxkxx，所以直线AE与BE的倾斜角互补，即AEFBEF=，故B正确；对于C，因为11x，所以11111122tan1112====++ADxxyEDxxx，即45AED，因为A

EFBEF=，所以90AEB，故C正确；对于D，因为90AEB，所以0290b<<，11tan1==−ADyFDx，11tan1==+ADyEDx，所以()()111122211122112tantan21tan111yyxxxyx++===−

−−+，所以()()()()111111111111222111121223tantan201111yxyyxyyxyyxyxxxx+−−−−−−=−==−−−−，所以tantan2，即2ab<，故D正

确.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用问题，对于解析几何的题目要善于运用数形结合的方法，以联立方程和计算为基础，进行题意的转化进而求解答案.三、填空题：13.5(2)xy−展开式中23xy的系数为_________（用数字作答）【答案】20−【解析】【分析

】根据二项式定理得到23420Txy=−，得到答案.【详解】5(2)xy−的展开式的通项为()()()()555155C2C21rrrrrrrrrTxyxy−−−+=−=−，取3r=得到()()233232345C2120Txyxy=−=−故答案为：20−14.已知圆221:

()(2)9Oxmy−++=与圆222:()(2)1Oxny+++=内切，则22mn+的最小值为_______【答案】2【解析】【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆1O的圆心为(,2)m−

，半径为13r=，圆2O的圆心为(,2)n−−，半径为21r=，两圆的圆心距||dmn=+，两圆内切，||2mn+=，可得()2222222442mnmnmnmnmn++=−+=+，所以222mn+．当且仅当1mn==时，取得最小值，

22mn+的最小值为2．故答案为：2．15.已知某批零件的质量指标(单位：毫米)服从正态分布()225.40,N，且()25.450.1P=，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值

不位于区间()25.35,25.45的产品件数，则()DX=_______【答案】0.48##1225【解析】【分析】由正态分布的性质求()25.3525.45P，再结合二项分布的方差公式求()DX.【详解】因为()225.40,N，又()25.450.1P=

，所以()25.350.1P=，所以()25.3525.4510.20.8P=−=，所以产品的质量指标值不位于区间()25.35,25.45的概率为0.2，因为X表示3件产品的质量指标值不位于区间()

25.35,25.45的产品件数，所以()3,0.2XB，.所以()30.20.80.48DX==，故答案为：0.48.16.已知函数()()23e,?0e,?0xxxfxxax−=−，若()()12fxfx=，且

12xx−的最大值为4，则实数a的值为_______．【答案】2e−【解析】【分析】由题意可知若()()12fxfx=，当12xx−为最大值时，即()23exx−在2x的切点与exa−平行，因此求出0x时()fx在2x处导数，即可求出2x，根据(

)()12fxfx=求出1x，最后根据12max4xx−=得出答案.【详解】令()()23exgxx=−，()()()2e23e21exxxgxxx=+−=−令()()21e0xgxx=−解得12

x，因此()gx在10,2单调递减，1,2+单调递增()03g=−，()3gx=−的另一个根在13,22，因为()()12fxfx=，若12xx−的最大值为4，则1x和2x不能

同时大于零；令()ehxxa=−，()hx在(,0−单调递增设10x，20x，12xx−的最大值为4，即0x时，()()23exgxx=−上的一点切线和()ehxxa=−平行，此时这一切点的横坐标为2x，而()e

hx=，因此()1ehx=，由此可得()()22221eexgxx=−=，解得21x=，故()1eg=−()()()()1212efxfxhxgx===−，即11ee1eaxax−=−=−12max11e4x

ax−=−=−，解得2ae=−或6ea=，因为110eax=−，所以2ae=−故答案为：2e−【点睛】结论点睛：若一条直线与一条曲线分属不同的定义域，且直线与曲线的单调性相同，但直线因参数而不确定位置时：若()()12fxfx=，且12xx−是最大值时，可

得结论()()12fxfx=.四、解答题：17.在数列na中，121aa==，且2(1)4nnnaa++−=.（1）令21nnba−=，证明：数列nb为等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）记数列na的前n项和为nS，求23S.【答

案】（1）证明见解析，43nbn=−（2）297【解析】【分析】(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列nb为等差数列，再由等差数列通项公式求数列nb的通项；(2)由递推关系证明2224nnaa++=，利用等差数列求和公式和组合求和法求23S.【小问1详解】因为2(

1)4nnnaa++−=，所以212121(1)4nnnaa−+−+−=，即21214nnaa+−−=，又21nnba−=，所以121214nnnnbbaa++−−=−=，又111ba==，所以，数列

nb为以1为首项，4为公差的等差数列，所以1(1)443nbnn=+−=−.【小问2详解】因为2(1)4nnnaa++−=，所以2222(1)4nnnaa++−=，即2224nnaa++=所以231223Saaa=+++()()13232422aaaaaa=+++++++()()()

()12122468102022bbbaaaaaaa=+++++++++++12(145)(145)2972+=++=.18.记锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()()sinsincoscosABACBC−−=.（1）求证：BC=（2）若sin2aC=，求

2211ab+的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）2564【解析】【分析】（1）根据两角和差公式，结合锐角三角形可证明；（2）由（1）可得bc=，结合正弦定理可得2sinaB=，2sinbA=，代入所求式子，根据二倍角公式转换为关

于cos2B的二次函数形式，根据角度范围得cos2B的方位即可求最大值.【小问1详解】解：由于()()sinsincoscosABACBC−−=，所以sincoscossinsincoscossincoscosABABACACBC−−=，整理的()cossincoscossin

0ABCBC−=，即()cossin0ABC−=，因为A为锐角，所以cos0A，故sin()0BC−=，由B，C为锐角可得BC=；【小问2详解】解：由（1）得bc=，因为sin2aC=，且由正弦定理得si

nsinsinsin2aCcAbAaB====，所以2sinaB=，2sinbA=，则()22222222221111111cos2113sinsinsinsin()sinsin2sin2cos2cos2(*)44442488BABBBCBBBBBa

b−+=+=++=+=+=−−+，因为π02π0π22BB−，所以ππ42B，则π2π2B，所以1cos20B−，根据二次函数的性质可知，当1cos24B=−时，(*)取得最大值2564．19.如图，

在三棱柱111ABCABC-中，ABC为边长为2的正三角形，D为BC的中点，12AA=，且160CCB=，平面11BBCC⊥平面ABC.（1）证明：1CDAB⊥；（2）求二面角11AACD−−的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由余弦定理求出1CD的长，证明1CDBC⊥，利用面面垂直的性质定理证明1CD⊥平面ABC，继而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面11AAC的一个法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案.【小问1详解

】证明：因为2BC=，且D为BC的中点，所以1CD=,因为112CCAA==，160CCB=，所以2211112cos41221cos603CDCCCDCCCDCCD=+−+−==，所以22211CCCDCD=+，所以1CDBC⊥.因为平面11BBCC⊥平面ABC，且

平面11BBCC平面ABCBC=，1CD平面11BBCC，所以1CD⊥平面ABC，又AB平面ABC，所以1CDAB⊥.【小问2详解】因为ABAC=，D为BC的中点，所以ADBC⊥,因为平面11BBCC⊥平面ABC，且平面11BBCC平面ABCBC=，

AD平面ABC，所以AD⊥平面11BBCC，又1CD平面11BBCC，所以1ADCD⊥.所以AD，DB，1CD两两垂直，故以AD，DB，1CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则(3,0,0

)A，(0,1,0)C−，1(0,0,3)C，所以1(3,0,3)AC=−，11(3,1,0)CACA==,设平面11AAC的一个法向量()111,,xnyz=，则11100nACnCA==,即1111

33030xzxy−+=+=,令11x=，解得13y=−，11z=，所以(1,3,1)n=−；平面1ADC的一个法向量可取(0,1,0)m=，设二面角11AACD−−的大小为，[0,π]，

则||315|cos|5||||51mnmn===，所以2210sin1cos55=−==.20.某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、

购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环

境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．（1）求购物中心得分为50分的概率；（2）若已知购物

中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？（3）列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．【答案】（1）14（2）16（3）分布列见解析，40【解析】【分析】（1）得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，

然后按照古典概型的概率进行计算；（2）由条件概率的公式进行计算即可；（3）按求分布列的步骤进行计算，进而可得数学期望.【小问1详解】将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：112221222122332

33233CCCCCCCCCC54++=（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：()324216C=（种）则()5412164PA==，∴购物中心得分为50分的概率为14【小问2详解】将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则()

()221233324CCC124CPAB==，()()()1124164PABPBAPA===，【小问3详解】X可能的取值为2、3、4、5、6()()211233324CCC1224CPX===，()()11112122212233233233324CCCCCCCCCC134CPX++

===()()2221112112121123322332233233324CCCCCCCCCCCCCC5412CPX+++===，()154PX==()()222233324CCC1624CPX===X23456P124145121

4124()1151123456424412424EX=++++=∵10X=，∴()()1040EEX==．21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，过点21,2−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为

F，定直线:2mx=，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，过A，B两点分别作APm⊥于P，BQm⊥于Q，直线AQ、BP交于点M，证明：M点为定点，并求出M点的坐标．【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析

，3,02．【解析】【分析】（1）由条件列关于,,abc的方程，解方程求,,abc可得椭圆方程，（2）令l的方程为：1xmy=+，联立方程组利用设而不求法可得1212,yyyy+，由条件求直线AQ与BP的方程，证明两直线都过点3

,02即可.【小问1详解】因为椭圆22221xyab+=的离心率为22，所以22cea==，22212bcaa=−=，又椭圆22221xyab+=过点21,2−，所以221121ab+=，解得2,1ab==，所以椭圆C的方程为2212xy+=；【小问2详解】由（1

）点F的坐标为()1,0，因为直线l的斜率不为零，所以可设l的方程为：1xmy=+，由22112xmyxy=++=得22(2)210mymy++−=，方程22(2)210mymy++−=的判别式()222442880mmm=++=+，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则12222

myym+=−+，12212yym=−+，因为BQPQ⊥，所以2(2,)Qy，所以1212AQyykx−=−，故AQ的方程为：1221(2)2yyyyxx−−=−−，由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令0y=，则2121212121122(2)(1)222yx

ymymyyyxyyyyyy−−−−−+=+=+=+−−−，而12222myym+=−+，12212yym=−+，12122yymyy+−=−，所以222111322222yyyxyy+−+=+=−+=−，

故直线AQ恒过定点，且定点为3(,0)2，因为APPQ⊥，所以1(2,)Py，所以2122BPyykx−=−，故BP的方程为：2112(2)2yyyyxx−−=−−，令0y=，则1212121212121(2)(1)22

2yxymymyyyxyyyyyy−−−−−+=+=+=+−−−，而12122yymyy+−=−，所以121211322222yyyxyy+−+=+=−+=−，故直线BP恒过定点，且定点为3(,0)2，所以直线AQ、BP交于点定M，点M的坐标

为3(,0)2.【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直

线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数()e21=+−xfxax，其中a为实数，e为自然对数底数，e2.71828=.（1）已知函数xR，()0fx，求实数a取值的集合；（2）已知函数2()()Fxfxax=−有两个不同

极值点1x、2x，证明12122()3axxxx+【答案】（1）12−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx的导数，对实数a分类讨论求出()fx的最小值，解不等式min()0fx≥即可求解；（2）由函数2()()Fxfxa

x=−有两个不同极值点1x、2x，可求出a的取值范围，由已知得21211ee1xxxx−=−，取对数得()()2121ln1ln1xxxx−=−−−，通过换元111xt−=，221xt−=，构造函数()lnuttt=−，讨论函数()lnuttt=−的单

调性，确定12tt，的不等关系，再转化为1x、2x的关系即可证明．【小问1详解】由()e21=+−xfxax，得()e2xfxa=+，当0a时，因为1(1)120efa−=−−，不合题意；当a<0时，当(),ln(2)xa−−时，()0fx，()fx单调递减

，当()ln(2),xa−+时，()0fx，()fx单调递增，所以()min()ln(2)22ln(2)1fxfaaaa=−=−+−−，要()0fx，只需min()22ln(2)10fxaaa=−+−−，令()ln1gxxxx=−−，则()lngxx=−，当(

0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；当(1,)x+时，()0gx，()gx单调递减；所以()(1)0gxg=，则由(2)22ln(2)10gaaaa−=−+−−得21a−=所以12a=−，故

实数a取值的集合12−【小问2详解】由已知()2e21xFxaxax=−+−，则()e22xFxaxa=−+，因为函数()Fx有两个不同的极值点1x、2x，所以()Fx有两个不同零点，若0a时，则()

Fx在R上单调递增，()Fx在R上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当0a时，由e220xaxa−+=，得112exxa−=，令()1exxx−=，所以()2exxx−=，当(),2x−时，()0x，()x单调递增；当()2,x+时，()0x，()x

单调递减.所以()()2max12ex==，且当1x时，()0x，当1x时，()0x，如下图所示：由图可知，当21102ea时，即当22ea时，直线12ya=与函数()x的图象有两

个交点，不妨设这两个交点的横坐标分别为1x、2x，且12xx，且当1xx或2xx时，112exxa−，则()112e02exxxFxaa−=−，当12xxx时，112exxa−，则()112e02exxxFxaa−=−.综上所述，当22ea

时，函数()Fx有两个极值点；设12xx，则1212xx，因为12()()0xx==，所以11e22xaxa=−，22e22xaxa=−，则21211ee1xxxx−=−，取对数得2121ln(1)ln(1)xxxx−

=−−−，令111xt−=，221xt−=，则2121lnlntttt−=−，即221112lnln(01)tttttt−=−，令()lnuttt=−，则12()()utut=，因为1()uttt=−，所以()lnut

tt=−在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，令11()()2lnvtututttt=−=−−，则22(1)()0tvtt−=，()vt在(0,)+上单调递增，又(1)0v=，所以当(0,1)t时，()(1)0vtv=，即1()utut，因为21

t，121t−，()lnuttt=−在(1,)+上单调递增，所以211tt，所以21111xx−−，即1212xxxx+，所以212121212212()()323xxxxexxaxx+++，故121232()xxaxx

+成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩

构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com