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以下为本文档部分文字说明：

第一部分考点过关检测考点过关检测1集合与常用逻辑用语1．答案：B解析：由题设有A∩B＝{2,3}，故选B.2．答案：A解析：根据全称量词命题与存在量词命题的否定可知：綈p：∃a∈N，∀b∈N，a≤b.3．答案：B解析：∵A＝{x|－1<x≤1}，B＝{y|y＝

x－1，x∈A}＝{y|－2<y≤0}，∁RB＝(－∞，－2]∪(0，＋∞)．4．答案：C解析：因为集合P代表的是函数的定义域，Q代表函数的值域，P＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}．所以P⊇Q.5．答案：D解

析：设集合A＝{－1,0,1,4,5}，C＝{x∈R|0＜x＜2}，则A∩C＝{1}，∵B＝{2,3,4}，∴(A∩C)∪B＝{1}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．6．答案：D解析：由x2－6x－16<0⇒A＝(－2,8)，B＝(－∞，2]，∴A∩B＝(－2,2

]．7．答案：B解析：由|x－1|＜2解得：－2＋1＜x＜2＋1，即－1＜x＜3.由x(x－3)＜0，解得0＜x＜3.“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的必要不充分条件．8．答案：D解析：因为A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>3}，故集合A，B不存在包含关系

，故A，B选项错误；对于C选项，A∪B＝(0,1)∪(3，＋∞)≠R，故错误；对于D选项，A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}∩{x|x≤3}＝{x|0<x<1}＝A，故D选项正确．9．答案：A解析：一方面，若a＋b＋c＝0，a>b>c，则a>0，c<0.∴b2－4ac>0，∴函数f

(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点，∴“a>b>c”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的充分条件．另一方面，若a＝－1，b＝0，c＝1，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点，但不满足a>b>c，即“a>b>c”不是“函数f(x)＝ax2＋bx

＋c有两个零点”的必要条件．10．答案：C解析：对于A，当b＝0时，ab不存在，A错；对于B，充分性：因为a>b，当a＝1，b＝－1时，1a<1b不成立，充分性不成立．B不对；对于C，根据存在量词命题的否定的定义知C对；对

于D，充分性：若a>2，b>2，由不等式的性质可得ab>4，充分性成立．必要性：若ab>4，取a＝b＝－3，则“a>2，b>2”不成立，必要性不成立．故“a>2，b>2”是“ab>4”的充分条件，不是必要条件，D错．11．答案：ABC解析：A＝{x∈

R|－3<x<6}，若A＝B，则a＝－3，且a2－27＝－18，故A正确．a＝－3时，A＝B，故D不正确．若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确．当B＝∅时，a2－4()a2－27≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确

．12．答案：BC解析：因为“m>2”是“m>3”的必要不充分条件，所以A错误；因为log2a＋log2c＝2log2b⇔ac＝b2(a，b，c均大于0)，所以“log2a＋log2c＝2log2b”是“a，b，c成等比数列

”的充分不必要条件，所以B正确；幂函数的图象都经过点(1,1)，反之不成立，比如：y＝2x－1，所以C正确；若直线l1与l2平行，则直线l1与l2的倾斜角相等；若直线l1与l2的倾斜角相等，则直线l1与l2平行或重合，所以D错误．13．答案：5解析：集合A∪B＝{1,2,

3,4,5}中有5个元素．14．答案：a>b解析：幂函数y＝x3在R上是增函数，所以由a3>b3可得a>b，反之亦成立．所以a3>b3是a>b的充要条件．15．答案：(－3,0]解析：此题等价于全称量词命题“∀x

∈R,4mx2＋4mx－3＜0成立”是真命题．①当m＝0时，原不等式化为“－3＜0”，∀x∈R显然成立；②当m≠0时，只需m<0，Δ<0，即m<0，m2＋3m<0，解得－3＜m＜0.综合①②得－3＜m≤0.16.答案：[－2，

－1]解析：A＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|(x－4)(x＋2)>0}＝{x|x<－2或x>4}，因为B＝{x|x≤a或x≥a＋5}，所以∁RB＝{x|a<x<a＋5}，若A∩(∁RB)＝∅，则a≥－2a＋5≤4，解得－2≤a≤－1.所以a的取值范围是[－2，－1]．考点过

关检测2不等式的性质与基本不等式1．答案：B解析：当c＞0时，ac＞bc，当c＝0时，ac＝bc，当c＜0时，ac＜bc，排除A；由a＞b得a3＞b3，B正确；当a＞b≥0时，a2＞b2，当0≥a＞b时，a2＜b2，排除C

；当a＞b，ab＜0时，有1a＞1b，排除D，故选B.2．答案：D解析：p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1＞0，所以p＞q，故选D.3．答案：B解析：对于A，当c<0时，若ac<bc，则a>b，故选项A错误；对于

B，若a>b，c<0，则ac<bc，故选项B正确；对于C，当a＝2，b＝－3时，满足a2<b2，但是a>b，故选项C错误；对于D，若a<b，则0<a<b，选项D错误．4．答案：C解析：对于A，当x<0时，y＝x＋4x<0，故A项不符合题意．对于B，当0<x<π时，0<sinx≤1，所以y＝sin

x＋4sinx≥5.故B项不符合题意．对于C，由于ex>0，所以根据基本不等式可以得出y＝ex＋4e－x≥2ex·4e－x＝4，当且仅当ex＝2时取得最小值4，故C项符合题意．对于D，由于x2＋1>0，

所以根据基本不等式可以得出y＝x2＋1＋2x2＋1≥22，当且仅当x2＝±1时取得最小值22，故D项不符合题意．5．答案：D解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，所以不是真命题；对于B，当a＝0，b＝－2时，a>b，但

a2<b2，所以不是真命题；对于C，当a＝－4，b＝－1时，a<b<0，a2>ab>b2，所以不是真命题；对于D，若a<b<0，则1a>1b，所以是真命题．6．答案：A解析：因为x>0，y>0，x＋y＝1，所以xy≤x＋y22＝

14，当且仅当x＝y＝12时取等号，则1xy≥4，即最小值为4.7．答案：D解析：由a>0，b>0，可得3aba＋4b＝3a＋4bab＝34a＋1b，又由a＋b＝1，可得4a＋1b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋4ba＋ab≥5＋24ba×ab＝9，当且仅当4ba＝ab时，即a＝23，b＝13

时，等号成立，所以34a＋1b≤39＝13，即3aba＋4b的最大值为13.8．答案：D解析：x＋2y＝(x＋2y)·2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24＝8.所以x＋2y＞m恒成立，只需(x＋2y)mi

n＞m.所以m＜8.9．答案：AC解析：由于0＜a＜b＜c，lna＜lnb，故A正确；由于0＜a＜b＜c，所以b2－a2＝(a＋b)(b－a)＞0，故B错误；1c－a－1c－b＝(c－b)－(c－a)

(c－a)(c－b)＝a－b(c－a)(c－b)<0，故C正确；由于0＜a＜b＜c，故12a＞12b，故D错误．10．答案：AC解析：x2＋1x2≥2x2·1x2＝2，当且仅当x2＝1时等号成立，故A正确；x2＋3＋1x2＋3≥2x2＋3·1x2＋3＝2，当且仅当x2＋3＝1

时等号成立，但x2＋3≥3≠1，故B错误；1a2＋1b2＝1a2＋1b2(a2＋2b2)＝3＋2b2a2＋a2b2≥3＋22，当且仅当a2＝2－1，b2＝2－22时等号成立，故C正确；当a＞0，b＞0，a＋b＝1时，1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2

＋ab＋ba≥4，但a＋b＝1，不一定a＞0，b＞0，故D错误．11．答案：BD解析：对于A，当c＝0时，不等式显然不成立，故A错误；对于B，∵a>b且a＋b＝2，∴a>1且b<1，∴a－1>0且b－1<0，∴1a－1>1b－1，故B正确；对于C，∵a2＋b22＝a2＋b2＋

a2＋b24≥a2＋b2＋2ab4＝a＋b22＝1，∴a2＋b2≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故C错误；对于D，∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝1，∴1a＋1b＝1a＋1ba2＋b2＝a2b＋b2a＋1≥2a2b·b2a＋1＝2，当且仅

当a＝b＝1时等号成立，故D正确．12．答案：BCD解析：因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以x＋1xy＝x＋2x＋yxy＝3y＋1x＝3y＋1x(2x＋y)＝6xy＋yx＋5≥26xy·yx＋5＝26＋5，当且仅当6xy＝yx，即y＝6x时取等号.5＋26≈9.9，

所以可能取值10、11、12.13．答案：ba－b2<a2－ab解析：依题意，因a≠b，则ba－b2－(a2－ab)＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2<0，所以ba－b2<a2－ab.14．答案：5＋26解析：由题意，2a＋

3b＝1，且a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)2a＋3b＝5＋2ba＋3ab≥5＋22ba×3ab＝5＋26，当且仅当2ba＝3ab，即a＝6＋2，b＝6＋3时等号成立．15．答案：32π解析：设矩形的长与宽分别为a，b，则2a＋2b＝16，即a＋b＝8，所以8≥2

ab，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以ab≤16，则旋转形成的圆柱的侧面积为π·2ab≤2π×16＝32π.所以矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为32π.16．答案：6－36解析：由xy2(x＋6y)＝1，可得x(x＋6

y)＝1y2，故(x＋3y)2＝x2＋6xy＋9y2＝x(x＋6y)＋9y2＝1y2＋9y2≥21y2×9y2＝6，当且仅当1y2＝9y2即y＝33时，等号成立．此时x＋3y取得最小值6，x＝6－3y＝

6－3.考点过关检测3一元二次不等式1．答案：B解析：由x2－2x－8≤0，得(x－4)(x＋2)≤0，所以－2≤x≤4.2．答案：D解析：由题意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1,3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以

A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.3．答案：A解析：由题可知，log0.5(4x2－3x)≥0，由对数函数的单调性，可得0

<4x2－3x≤1，解得：－14≤x<0或34<x≤1，所以y＝log0.5(4x2－3x)的定义域为－14，0∪34，1.4．答案：C解析：由题可得－1和12是方程ax2－x－c＝0的两个根，且a<0，∴

－1＋12＝1a－1×12＝－ca，解得a＝－2，c＝－1，则y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－(x＋2)(x－1)，则函数图象开口向下，与x轴交于(－2,0)，(1,0)．5．答案：D解析：ax2＋bx＋2

>0的解集为{x|－2<x<1}，∴－2,1是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且a<0，∴－2＋1＝－ba－2×1＝2a，∴a＝－1，b＝－1，则二次函数y＝2bx2＋4x＋a＝－2x2＋4x－1开口向下，对称轴x＝1，在

区间[0,3]上，当x＝1时，函数取得最大值1，当x＝3时，函数取得最小值－7.6．答案：B解析：因为(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x均成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即(1－a)2－x

2<1恒成立，所以(1－a)2<1＋x2恒成立，所以只需(1－a)2<(1＋x2)min，又因为(1＋x2)min＝1，所以(1－a)2<1，解得0<a<2.7．答案：A解析：因为x∈(0,2]，所以不等式可化为ax＋3ax＜2.当a＝0时，不等式为0＜2，满足题意；当a＞0时，不等式化为x＋3

x<2a，则x＋3x≥2x·3x＝23，当且仅当x＝3时取等号，所以2a＞23，即0＜a＜33；当a＜0时，x＋3x＞2a在x∈(0,2]时恒成立．综上所述，实数a的取值范围是－∞，33.8．答案：A解析：若对于任意的x∈{x|1≤x≤3

}，f(x)<－m＋4恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为x＝12.当m＝0时，－5<0恒成立，当m<0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减，∴在[1,

3]上g(x)max＝g(1)＝m－5<0，得m<5，故有m<0.当m>0时，有g(x)开口向上且在[1,3]上单调递增，∴在[1,3]上g(x)max＝g(3)＝7m－5<0，∴0<m<57.综上，m的取值范围为m<57.9

．答案：ACD解析：对于A，∵不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，∴k＜0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k，解得k＝－25.故A正确；对于B，∵不等式的解集为xx∈R，x≠1k，∴k<0，Δ＝4－24

k2＝0，解得k＝－66，故B错误；对于C，由题意，得k<0，Δ＝4－24k2<0，解得k＜－66，故C正确；对于D，由题意，得k>0，Δ＝4－24k2≤0，解得k≥66，故D正确．10．答案：ABD解析：关于x的不等式ax2＋bx＋c

>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得－2＋3＝－ba－2×3＝ca，则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0

，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－13或x>12，D选项正确．11．答案：AD解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对

称轴为直线x＝a－1，∵任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．12．答案：ABD解析：对于A，由题意，Δ

＝a2－4b＝0，∴b＝a24，所以A正确；对于B，a2＋1b＝a2＋4a2≥2a2·4a2＝4当且仅当a2＝4a2，即a＝2时等号成立，所以B正确；对于C，由韦达定理，知x1x2＝－b＝－a24<0，所以C错误；对于D，由

韦达定理，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝a24－c，则|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4a24－c＝2c＝4，解得c＝4，所以D正确．13．答案：32，＋∞

解析：由題意可知Δ＝4(m－1)2－4(m2－2)≤0，即－8m＋12≤0，得m≥32，故m的取值范围为32，＋∞.14．答案：xx>12或x<14解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解

集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2＋bx＋c＝0的两根．所以2＋4＝－ba2×4＝ca可得：b＝－6ac＝8a，所以cx2＋bx＋a<0可化为：8ax2－6ax＋a<0，因为a<0，所以8ax2－6ax＋a<0

可化为8x2－6x＋1>0，即(2x－1)(4x－1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为xx>12或x<14.15．答案：52解析：关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，所以x1，x2是一元二次

方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2>0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36

a2，又a>0，解得a＝52.16．答案：{t|1<t<2}解析：由题意，可知集合A＝{x|－t<x<t，t>0}，集合B＝{x|－1<x<2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以－t<－1<t2>t或－t<2<t－1<－

t，解不等式组－t<－1<t2>t，得1<t<2；解不等式组－t<2<t－1<－t，得t>2t<1，此时无解．所以实数t的取值范围为1<t<2.单元过关检测一集合、常用逻辑用语、不等式1．答案：B解析：由题设可得∁UB＝{1,5,6}，故A∩(∁U

B)＝{1,6}，故选B.2．答案：B解析：集合B＝{x|(x－1)(x－4)≤0}＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{1,2}．3．答案：D解析：命题为存在量词命题，则命题的否定为：∀x∈(1,3)，x2－4x＋

3>0.4．答案：C解析：由x2－7x＋10<0，得2<x<5，所以B＝{x|2<x<5}，因为A＝{x|－2<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<5}，故选C.5．答案：A解析：|a|≠3⇔a≠3且a≠－3，所以“|a|≠3”是“a≠3”的充分不必要条件，故选A.6．答案：D解析：对于A

，如3>2，－3<0，显然3＋(－3)<2＋0，A不正确；对于B，如3>2，－4>－5，显然3×(－4)<2×(－5)，B不正确；对于C，因bc－ad>0，而ca－db＝bc－adab>0，则ab>0，C不正确；对于D，因c>d>0，则1d>1c>0，

又a>b>0，于是得ad>bc>0，所以ad>bc，D正确．7．答案：D解析：由已知条件可得23a＋14b＝1128a＋3b(a＋b)＝11211＋8ba＋3ab≥11211＋28ba·3a

b＝1112＋63.当且仅当3a＝22b时，等号成立．因此，23a＋14b的最小值是1112＋63.8．答案：A解析：因为关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1<x<x2}，所以x1＋x2＝4a，x1x2＝3

a2，又因为a<0，所以x1＋x2＋ax1x2＝4a＋13a＝－－4a＋1－3a≤－2－4a·1－3a＝－433，当且仅当－4a＝1－3a，即a＝－36时等号成立．9．答案：BC解析：对于A

，B，因为M＝{x|x2－3x＋2≤0}，解不等式得M＝{x|1≤x≤2}，又因为N＝{x|x>－1}，得M⊆N，故A错误，B正确；对于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠∅，故C正确；对于D，因为∁RN＝{x|x≤－1}，所以M∪(∁RN)＝(－∞，

－1]∪[1,2]≠R，故D错误．10．答案：BCD解析：对于A，若c≥0时，则原式不对，所以A错；对于B，由ac2>bc2，则c2>0，两边同乘以1a2，所以a>b，故B正确；对于C，由a<b<0，同乘以负数a，b得a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，

故C正确；对于D，由c>a>b>0，所以0<c－a<c－b，所以1c－a>1c－b>0，故D正确．11．答案：BCD解析：对于A，自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件，故A正确；对于B，x＝1时，12－3<0，所以∃x∈

N*，x2－3<0，故B错误；对于C，y＝x2＋4＋1x2＋4≥2，当且仅当x2＋4＝1x2＋4即x2＝－3，故不存在x∈R，使函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2，故C错误；对于D，命题“∀x>0，x2－3>0”的否

定是“∃x>0，x2－3≤0”，故D错误．故选BCD.12．答案：ACD解析：因为a，b均为正实数，且a＋b＝1，对于A，ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时取“＝”，正确；对于B，ba＋2b＝b

a＋2(a＋b)b＝ba＋2ab＋2≥2ba·2ab＋2＝22＋2，当且仅当ba＝2ab⇒a＝2－1，b＝2－2时取“＝”，错误；对于C，a2＋15b2＋15＝a2b2＋15(a2＋b2)＋125＝a2b2＋15(a＋b)2－25ab＋125＝a2b2＋15－25ab＋125＝

ab－152＋15≥15，当且仅当ab＝15时取“＝”，正确；对于D，a2a＋2＋b2b＋1＝(a＋2－2)2a＋2＋(b＋1－1)2b＋1＝a＋2－4＋4a＋2＋b＋1－2＋1b＋1＝4a＋2＋1b＋1－2，设s＝a＋2，t＝b＋1⇒s＋t

＝4，则上式＝144s＋1t(s＋t)－2＝145＋4ts＋st－2≥145＋24ts·st－2＝14，当且仅当s＝2t⇒a＝23，b＝13时取“＝”，正确．13．答案：∃x>1，x2＋x－1<014．答案：7解析：满足{a}⊆M{a

，b，c，d}的集合M有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，共7个．15．答案：16解析：因为点(a，b)在直线x＋4y＝4上，所以a＋4b＝4，所以4a＋9b＝14(a＋4b)

4a＋9b＝144＋36＋16ba＋9ab≥144＋36＋216ba·9ab＝16，当且仅当16ba＝9ab，即a＝1，b＝34时等号成立，故4a＋9b的最小值为16.16．答案：－2或－1－10解析：若a＝0，则原不等式为8x＋16≥0，即

x≥－2，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故a≠0.设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16(a≠0)，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a<0，因为0为其中一个解，所以7a＋16≥0，

即a≥－167，所以－167≤a<0，又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1，若a＝－2，则不等式为－2x2－8x＋2≥0，解得－2－5≤x≤5－2，因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1,0；若a＝－1，则不等式为－x2

＋9≥0，解得－3≤x≤3，因为x为整数，所以x＝－3，－2，－1,0,1,2,3.所以全部不等式的整数解的和为－10.17．解析：由题意可知，∵A＝{x||x－3|<2}＝{x|1<x<5}，B＝

xx－2x－4>0＝{x|x<2或x>4}，∴A∩B＝{x|1<x<2或4<x<5}，∵A∪B＝R，∴∁U(A∪B)＝∅.18．解析：(1)当a＝2时，ax2－x－1<0⇔2x2－x－1<0⇔(2x＋1)(

x－1)<0，解得－12<x<1，则该不等式的解集为x－12<x<1；(2)依题意，－13，b是方程ax2－x－1＝0的两个根，且a>0，于是得－13＋b＝1a－13b＝－1a，解得a＝6b＝12，则ab＝6×12＝3，所以ab的值是3.19．

解析：(1)因为集合A为空集，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，即实数m的取值范围是{m|m>1}．(2)当m＝－8时，A＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，因为B＝{y|y＝3x，x≤

n}＝{y|0<y≤3n}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以3n≤4，解得n≤2log32，故实数n的取值范围是{n|n≤2log32}．20．解析：(1)∵x>1，∴x－1>0，∴f(x)＝x

＋4x－1－2＝(x－1)＋4x－1－1≥2(x－1)·4x－1－1＝3，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立，∴m＝3.(2)由(1)可知g(x)＝ax2－ax＋3的定义域为R，∴不等式ax2－ax＋3≥0的解集为

R，①a＝0时，3≥0恒成立，满足题意；②a≠0时，a>0a2－12a≤0，解得0<a≤12，∴综上得，a的取值范围为[0,12]．21．解析：(1)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝500×1000x10000－13x2－10x－250＝－13x

2＋40x－250，当x≥80，x∈N*时，L(x)＝500×1000x10000－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x，∴L(x)＝－13x2＋40x－250，0<x<80，x∈N*120

0－x＋10000x，x≥80，x∈N*.(2)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝－13(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，当x≥80，x∈N*时，L(x)＝1200－x＋10000

x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000，∴当x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950，综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品

的生产中所获利润最大．22．解析：(1)不等式f(x)>3ax即为：x2－ax＋2>0，当x∈[1,5]时，可变形为：a<x2＋2x＝x＋2x，即a<x＋2xmin.又x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2x，

即x＝2∈[1,5]时，等号成立，∴x＋2xmin＝22，即a<22.∴实数a的取值范围是：a<22.(2)(a＋1)x2＋x>x2＋2ax＋2，等价于ax2＋(1－2a)x－2>0，即(x－2)(ax＋1)>0，①当a＝0时，不等式整理为x－2>0，解得：x>2；当a≠0时，方程(

x－2)(ax＋1)＝0的两根为：x1＝－1a，x2＝2.②当a>0时，可得－1a<0<2，解不等式()x－2()ax＋1>0得：x<－1a或x>2；③当－12<a<0时，因为－1a>2，解不等式(x－2)(ax＋1)>0得：2<x<－

1a；④当a＝－12时，因为－1a＝2，不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为∅；⑤当a<－12时，因为－1a<2，解不等式(x－2)(ax＋1)>0得：－1a<x<2；综上所述，不等式的解集为：当a＝0时，不

等式解集为(2，＋∞)；当a>0时，不等式解集为－∞，－1a∪(2，＋∞)；当－12<a<0时，不等式解集为2，－1a；当a＝－12时，不等式解集为∅；当a<－12时，不等式解集为

－1a，2.考点过关检测4函数及其性质(1)1．答案：B解析：要使函数有意义，则1－2x>0且2x＋1≠0，解得x<12且x≠－12，故函数的定义域为－∞，－12∪－12，12.2．答案：D解析：f(1)＝ln1＝0，f(f(1

))＝f(0)＝e0＝1.3．答案：B解析：设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.4．答案：A

解析：∵f(x)为定义在R上的周期为2的偶函数，∴f32＝f－12＝f12＝12＋1＝32.5．答案：D解析：函数y＝x＋1的定义域是[－1，＋∞)，函数不是奇函数，y＝x＋ex中x＝0时，y＝1，函数不是奇函数．f(

x)＝x＋1x时，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，是奇函数，f12＝12＋2＝53，f13＝13＋3＝103>52，f(x)在(0,1)上不是增函数，g(x)＝2x－12x＝2x－2－x，g(－x)＝2－x－2x＝－

g(x)是奇函数，且y＝2x是增函数，y＝2－x是减函数，因此y＝2x－2－x是增函数，在(0,1)上也是增函数．6．答案：C解析：因为对∀x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)－f(x2)x1－x

2<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2－2m)>f(1＋m)，所以2－2m<1＋m2－2m>01＋m>0，解得m∈13，1.7．答案：D解析：∵当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x

1－x2>0，∴f(x)在区间[0,1]上是增函数．∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(x)在区间[－1,0]上是增函数．∴当－1≤x<0时，f(x)<0，当0<x≤1时，f(x)>0.∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2

)＝f(0)＝0，且f(x)在区间[1,3]上是减函数．又f(x)＝－f(－x)＝－f[1－(1＋x)]＝－f[1＋(1＋x)]＝－f(2＋x)，∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝f(x)，即函

数f(x)的周期为4.∴f(x)是区间[－3，－1]上的减函数，且f(－2)＝0.综上所述，不等式xf(x)>0的解集为(－2,0)∪(0,1]．8．答案：A解析：根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，则有b2＝1，即b＝2，又由f(0)＝3，则

c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0，则有cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上为减函数，此时有f(bx)<f(cx)，若x＝0，则有cx＝bx＝1，此时有f(bx)＝f(cx)，若x>0，则有1<bx<c

x，而f(x)在(1，＋∞)上为增函数，此时有f(bx)<f(cx)．9．答案：BD解析：选项A中，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数

的定义域和对应法则都相同，是同一函数．故选BD.10．答案：ACD解析：对于A，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数，A正确；对于B，令g(x)＝

f(x)|f(－x)|，则g(－x)＝f(－x)|f(x)|，∵f(x)为R上的任意函数，∴g(x)与g(－x)不满足偶函数定义，B错误；对于C，令g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数，C正确；

对于D，令g(x)＝|f(x)f(－x)|，则g(－x)＝|f(－x)f(x)|＝g(x)，∴g(x)为偶函数，D正确．11．答案：BC解析：因为f(x)＝－x，x<0x2，x>0，当x0>0时，f(x0)＝x20，由f(x0)＝

－x0可得x20＝－x0，解得x0＝0或－1，显然都不满足x0>0，故A错；当x0<0时，f(x0)＝－x0，由f(x0)＝x20可得－x0＝x20，解得x0＝0或－1，显然x0＝－1满足x0<0，故B正确；当x<0时，f(x)＝－x显然单调递减，即f(x)的减区间为(－∞，0)；当

x>0时，f(x)＝x2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0，＋∞)；又f(－x)＝x，－x<0x2，－x>0＝x，x>0x2，x<0，因此f(－x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，

＋∞)上单调递增；即函数f(－x)与f(x)的单调区间和单调性相同，故C正确；D选项，若不妨令x1<x2，f(x1)＝f(x2)＝14，则x1＝－14，x2＝12，此时x1＋x2＝14>0，故D错．12．答案：ABD解析：因为f(x＋2)为奇函数，所

以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于(2,0)对称，故选项B正确，由f(2＋x)＝－f(2－x)可得f(4＋x)＝－f(－x)，由f(3＋x)＝f(3－x)可得f(－x

)＝f(6＋x)，所以－f(4＋x)＝f(6＋x)，可得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)周期为4，所以f(x)的图象关于(－2,0)对称，故选项A正确，f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝2＋log42－

1＝32，故选项D正确，选项C不正确．13．答案：f(x)＝x2＋2(答案不唯一)解析：二次函数f(x)＝ax2＋b，显然满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，由f(0)＝2⇒b＝2，由f(1)＝3⇒a＋2＝3⇒a＝1，所以f(x)＝x2＋

2.14．答案：－x2＋2x解析：当x<0时，－x>0，又因为当x＞0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.15．答案：－1解析：因为函数f(x)＝(

ex＋m·e－x)·sinx是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，即(e－x＋m·ex)·sin(－x)＝(ex＋m·e－x)·sinx对于x∈R恒成立，所以－e－x－m·ex＝ex＋m·e－x对于x∈R

恒成立，所以(ex＋e－x)(m＋1)＝0对于x∈R恒成立，因为ex＋e－x≠0，所以m＋1＝0，解得：m＝－1.16．答案：[－1,1]∪[3，＋∞)(－2,0)∪(0,2)解析：若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，可得f(－2)＝－f(2)＝0，f(0)

＝0，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x－1)≥0等价于－2≤x－1<0或x－1＝0或x－1≥2，解得－1≤x<1或x＝1或x≥3，即满足f(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,1]∪[3，＋∞).f(x)x<0等价于x>0f(x)<0＝f

(2)或x<0f(x)>0＝f(－2)，解得0<x<2或－2<x<0，即满足f(x)x<0的x的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．考点过关检测5函数及其性质(2)1．答案：A解析：方法一由函数y＝x3和y＝－1x3

都是奇函数，知函数f(x)＝x3－1x3是奇函数．由函数y＝x3和y＝－1x3都在区间(0，＋∞)上单调递增，知函数f(x)＝x3－1x3在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝x3－1x3是奇函数，且在区间

(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－1(－x)3＝－x3＋1x3＝－f(x)，故f(x)＝x3－1x3是奇函数．∵f′(x)＝3x2＋3x4>0，

∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.2．答案：B解析：因为f(x)＝x－5，x≥6f(x＋2)，x<6，则f(4)＝f(6)＝6－5＝1，所以f(4)＝1.3．答案：C解析：因为f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝a＋2cosx，所以f(0)＝a＋2cos0＝

0，解得：a＝－2.所以当x≤0时，f(x)＝2cosx－2.所以f4π3＝－f－4π3＝－2cos－4π3＋2＝3.4．答案：A解析：若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，若f(x)

在[0,1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝x－132，但f(x)＝x－132在0，13为减函数，在13，1为增函数，故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0,1]上单

调递增，故“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件．5．答案：C解析：若f(x)为增函数，则a>13－a>0a≥3－a，解得：32≤a<3.若f(x)为减函数，则0<a<13－a<03－a≥a，此时实数a

不存在．综上所述：实数a的取值范围为32，3.6．答案：D解析：∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又f(a)≤f(2)等价于f(|a|)≤f(2)，∴|

a|≥2，∴a≤－2或a≥2，∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．7.答案：D解析：∵定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，f(x)的大致图象如图：∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0；故f(－1)＜0；当x

＝0时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x－1＝2或x－1＝－2时，即x＝3或x＝－1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价于f(x－1)≥0

，此时x>00<x－1≤2，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价于f(x－1)≤0，即x<0－2≤x－1<0，得－1≤x＜0，综上－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1

,3]．8．答案：B解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x

＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．故选B.9．答案：ACD解析：对于A，f(x)＝5x＋1定义域及值域都为R，对于B

，f(x)＝x2＋1的定义域为R，值域为[1，＋∞)，对于C，f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于D，f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．10．答案：AC解析：偶函数的图象关

于y轴对称，x∈[1,2]时，f(x)<0，所以当x∈[－2，－1]时，有f(x)<0，故A正确；偶函数的图象关于y轴对称，x∈[1,2]时，f(x)为增函数，所以f(x)在[－2，－1]上单调递减，故

B错误；∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．由B知f(x)在[－2，－1]上单调递减，故C正确；|f(x)|的图象是将f(x)下方的图象，翻折到x轴上方，由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，所以|f(x)|在[－2，－1]上单调递增，故D错误．综上可知

，正确的结论是AC.11．答案：BD解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，所以函数的图象关于直线x＝2对称，得f(x＋2＋2)＝f(2－x－2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－

f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)的周期为8.所以函数f(x)的图象如图．由图可得，正确答案为：BD.12．答案：AD解析：因为f(x＋2)是奇函数，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝0，即f(2

－x)＋f(2＋x)＝0，故f(x)关于(2,0)对称．又f(x)是偶函数，所以f(－2＋x)＋f(－2－x)＝0，故f(x)关于(－2,0)对称，故A正确，B错误．因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)

＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f[(x＋2)－2]＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为8，即C错误，D正确．13．答案：2或13解析：

∵f(x)＝x2－1，x≥11x，x<1，∴f(－1)＝1－1＝－1，∴f(a)＝3.当a≥1时，f(a)＝a2－1＝3，∴a＝2；当a<1时，f(a)＝1a＝3，∴a＝13.∴a＝2或13.14．答案：1

解析：函数f(x)＝sinx(x＋1)(x－a)的定义域为{x|x≠－1且x≠a}，∵函数f(x)＝sinx(x＋1)(x－a)为奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称，∴a＝1.15．答案：(0,1)解析：由题意，函数f(x)为偶函数，故f(2a

－1)>f(1)⇔f(|2a－1|)>f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，|2a－1|≥0,1>0，故f(|2a－1|)>f(1)⇔|2a－1|<1，∴－1<2a－1<1，∴0<a<1.16．答案：1－1解析：g(x)

＝f(x－1)是奇函数，则f(x)的图象关于点(－1,0)对称，又f(x)是偶函数，f(x)＝－f(－2－x)＝－f(x＋2)，同理f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期，f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，又f(－1)

＝f(1)，所以f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，f(－1)＝0.f(0)＝－1，则f(－2)＝－f(0)＝1＝f(2)，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝1，k∈N，i＝4k＋1时，f(3i＋1)＝f(12k＋4)＝f(0)，i＝4k＋2时，f(3i＋1)＝f(12k＋7)＝f(

－1)，i＝4k＋3时，f(3i＋1)＝f(12k＋10)＝f(2)，i＝4k＋4时，f(3i＋1)＝f(12k＋13)＝f(1)，所以f(3i＋1)关于i也是周期函数，周期为4，而f(0)＋f(－1)＋f(2)＋f(1)＝0，所以i＝14n＋1f(3i＋1

)＝i＝14nf()3i＋1＋f(12n＋4)＝f(0)＝－1.考点过关检测6基本初等函数(1)1．答案：C解析：a＝log52<log55＝12＝log822<log83＝b，即a<c<b.故选C.2．答案：C解析：设幂函数f(x)＝xα，由于它的图象过点(6

4,2)，∴2＝64α，∴α＝16，f(x)＝x16.则f(x)＜f(x2)，即x16<x13，∴0≤x＜x2，∴x＞1，故原不等式的解集为(1，＋∞)．3．答案：D解析：f(log23)＝2flog232＝4flog234＝4×2log234＝3.4

．答案：C解析：∵指数函数f(x)＝ax在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴－2＜a－2＜－1，∴函数g(x)＝(a－2)x3在R上递减．5．答案：C解析：由题意知：t＝－10.2ln40－20100－20＝－5ln14＝10ln2≈7

分钟．6．答案：A解析：由loga14<1，得a>1或0<a<14，由14a<1，得a>0，由a14<1，得0<a<1，∴当loga14<1，14a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14.7．答案：B解析：∵f(x)＝x·2x－1＋

x2x＋1＝x－12x＋1，易知f(x)在R上单调递增，因为0＝lg1<lg3<lg10＝1，ln12<ln1＝0,213>20＝1.所以213>lg3>ln12，所以f(213)>f(lg3)>fln12

，即c>a>b.8．答案：A解析：令t＝x2＋ax＋6，∵外层函数y＝log12t为减函数，∴要使函数y＝log12(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上单调递增，则二次函数t＝x2＋ax＋6在(－∞，2)上单调递减且恒大于0，即－a2≥222＋2

a＋6≥0，解得－5≤a≤－4.∴实数a的取值范围是[－5，－4]．9．答案：BCD解析：这8个函数中定义域均为R的函数是①②⑤⑦，共4个，∴A错误．只有⑤是偶函数，∴B正确．①②③④⑤⑥这6个函数的图象不经过第三象限，⑦⑧这两个函数图象都经过第三象限，

∴C正确．这8个函数中，满足f(x＋2π)＝f(x)的函数只有⑦⑧，故D正确．10．答案：CD解析：因为－1a>0，所以a<0，所以a1－a＝－(－a)·1－a＝－－a，A错；log427·log258·log95＝lg33lg22·lg23lg52·lg5lg3

2＝3×32×2×2＝98，B错；因为函数y＝(m2－3m－3)xm是幂函数，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，因为m≥0，解得m＝4，C对；任意的x1，x2∈[0，＋∞)，f(x1)＋f(x2)2＝x1＋x22≥0，fx1＋x22＝x1＋x22≥0，因为

f(x1)＋f(x2)22＝x1＋x222＝x1＋x2＋2x1x24，则f(x1)＋f(x2)22－fx1＋x222＝x1＋x2＋2x1x24－x1＋x22＝－x1＋x2－2x1x24＝－(x1－x2)

24≤0，所以，f(x1)＋f(x2)2≤fx1＋x22，D对．11．答案：AB解析：设2x＝3y＝t>1，则x＝log2t，y＝log3t，所以，1x＝logt2，1y＝logt3，因为函数f(x)＝logtx在(0，＋∞)上为增函数，则logt3>log

t2>0，即1x<1y，A对；xy＝log2tlog3t＝lntln2lntln3＝ln3ln2>1，B对；由B选项可知，x>y，则12x－y－1<12－1＝2，C错；因为函数g(x)＝x3为R上的增函数，且x>y，故x3>y3，D

错．12．答案：ABC解析：x，y，z>0，令3x＝4y＝6z＝t(t>1)，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.x＋yz＝xz＋yz＝log3tlog6t＋log4tlog6t＝lg6lg3＋lg62l

g2＝32＋lg2lg3＋lg32lg2>32＋2lg2lg3×lg32lg2＝32＋2，故A正确；xyz2＝xz·yz＝lg6lg3·lg62lg2＝(lg2＋lg3)22lg2·lg3＝1＋12lg2lg3＋lg3lg2>1＋lg2lg3×lg3lg2＝2，故B正确；

1x＋12y＝1log3t＋12log4t＝logt3＋12logt4＝logt6＝1z，故C正确；4x＝4logt3＝logt81，3y＝3logt4＝logt64，因为t>1，所以4x>3y，即3x<4y，故D错误．13．答案：11解析：因为1412

－(π－3)0＋127－23＝12212－1＋133－23＝12－1＋13－2＝12－1＋9＝172，lg5＋lg2＋eln2＋14lg0.01＝lg(5×2)＋2＋14×(－2)＝lg10＋2－12＝1＋2－12＝52，所以原式＝172＋5

2＝11.14．答案：1解析：因为f()x＝x3()a·2x－2－x，故f()－x＝－x3()a·2－x－2x，因为f()x为偶函数，故f()－x＝f()x，即x3()a·2x－2－x＝－x3()a·2－x－2x，整理得到()a－1()2x＋2－x＝0，故a＝1.

15．答案：－94解析：函数定义域是(0，＋∞)，log2x∈R，f(x)＝log2x4·log4(4x2)＝(log2x－2)(1＋log4x2)＝(log2x－2)(1＋log2x)＝log22x－log2x－2＝

log2x－122－94，所以x＝2时，f(x)min＝－94.16．答案：5(－1，＋∞)解析：因为函数f(x)＝－x2－2x＋4，x≤1log12x，x>1，则f(2)＝log122＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝5；当x≤1

时，f(x)＝－x2－2x＋4在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1]上单调递减，f(1)＝1，当x>1时，f(x)＝log12x在(1，＋∞)上单调递减，且log121＝0<1，所以函数f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)．17．解析：(1)将A(1,6)代入f(x)得：a2＋a－6＝0，

解得a＝2或a＝－3(舍)，故f(x)＝22x－2x＋4；(2)易知f(x)＝2x－122＋154≥154，当x＝－1时取等号，故f(x)的最小值为154；(3)由题意得g(x)＝2x＋42x－1≥22x·42x－1＝3，当且仅当2x＝42x，即x＝1时取等号

，故要使g(x)≥m恒成立，只需m≤3成立，故m的取值范围是(－∞，3]．18．解析：(1)因为函数y＝ax，y＝logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的单调性相同，所以函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上是单调函

数，所以函数f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为a＋a2＋loga2＝6＋loga2，所以a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)，所以实数a的值为2.(2)由(1)可知f(x)＝2x＋log2x，因为对于任意的x∈[2，＋∞

)，不等式kf(x)－1≥0恒成立，所以对于任意的x∈[2，＋∞)，k≥1f(x)恒成立，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝2x＋log2x为单调递增函数，所以f(x)≥f(2)＝5，所以1f(x)≤15，即k≥15，所以实数k的取值范围是1

5，＋∞.考点过关检测7基本初等函数(2)1．答案：B解析：因为a＝e0.01>1，b＝logπe∈(0,1)，c＝ln1π<0，所以a>b>c.2．答案：A解析：由题可得b＝log310＝1lg3，即lg3＝1b.原式＝log56＝lg6lg5＝lg2＋lg31－lg2＝a＋1b1－a

＝ab＋1b－ab.3．答案：B解析：∵f(x)＝2x－1，x≤0－log12(x＋1)，x>0，f(a)＝1，∴当a≤0时，2a－1＝1，解得a＝1(舍去)；当a>0时，－log12(a＋1)＝1，解得a＋1＝2，即a＝1，∴f(

a－2)＝f(－1)＝2－1－1＝－12.4．答案：A解析：∵f(x)＝e|x|－e－|x|，∴f(－x)＝e|－x|－e－|－x|＝e|x|－e－|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝e|x|－e－|x|为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ex

－e－x＝ex－1ex，∵函数y＝ex在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝1ex在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，即函数f(x)＝e|x|－e－|x|在(0，＋∞)上单调递增．5．答案：D解析：令PQ＝33611080＝x，两边同时取对数

，则lgx＝361·lg3－80＝361×0.477－80≈92.197，所以x≈1092.6．答案：D解析：幂函数y＝x－13在(0，＋∞)为减函数，且函数值为正，在(－∞，0)为减函数，且函数值为负，(m＋1)－13<(3－2m)－13等价于

3－2m>0m＋1>3－2m或m＋1<0m＋1>3－2m或3－2m>0m＋1<0，解得23<m<32或m∈∅或m<－1，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪23，32.7．答案：C解析：指数函数y＝13x在

(－∞，＋∞)上是单调递减的，由13a<13b<1可知，a>b>0.所以1a<1b，则－1a>－1b，故C正确；a－b>0，但不一定有a－b>1，则不一定有ln(a－b)>0，故A错误；函数y＝2x在(－∞，＋∞)上

是单调递增的，b－a<0.则2b－a<20＝1，故B错误；当0<c<1时，函数y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，则logca<logcb，故D错误．8．答案：C解析：依题意，不等式f(log4x)>0⇔f(|log4x|)>f12，又f(x)在[0，＋∞)上

是增函数，所以|log4x|>12，即log4x<－12或log4x>12，解得0<x<12或x>2.9．答案：ABC解析：对A，函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，则log1314＝log34<log35，

正确；对B,0.20.3<1<log0.20.1，正确；对C，由于y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，所以3.40.6>1.80.6，正确；对D，函数y＝2x在R上单调递增，则181.3＝2－3

.9<2－3.6，错误．10．答案：ABD解析：由对数运算规律可知，lne2＝2，所以A正确；lg125＝lg53＝3lg5＝3－3lg2，所以B正确；log34＋log32＝log38，所以C错误；log23×lo

g34×log42＝lg3lg2×lg4lg3×lg2lg4＝1，所以D正确．11．答案：ABD解析：由题意a＝lg4，b＝lg25，a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，b－a＝lg25－lg4＝lg254>lg6，ab＝lg4·lg25＝2lg2·2lg5＝4lg2·lg5

>4lg2·lg4＝8(lg2)2.12．答案：AD解析：对于A，由f(－x)＝ln(－x)2－2ln[(－x)2＋1]＝lnx2－2ln(x2＋1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，所以A正确；对于B，不妨设x>0，此时f(x)＝2lnx－2ln(x2＋1)＝2lnxx2＋

1，由xx2＋1＝1x＋1x≤12x·1x＝12(当且仅当x＝1时取“＝”)，有0<xx2＋1≤12，可得f(x)≤2ln12＝－2ln2，可知函数f(x)的值域为(－∞，－2ln2]，所以B错误；对于C，由f12＝ln14－2

ln54＝－ln4－2ln5＋2ln4＝ln4－2ln5＝ln425，f32＝ln94－2ln134＝2ln613≠f12，可知当x>0时，函数f(x)的图象不关于直线x＝1对称，所以C错误；对于D，f(x)＝2lnx－2

ln(x2＋1)＝2lnxx2＋1＝2ln1x＋1x，由函数y＝x＋1x(x>0)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)，又f(x)为偶函数，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1)，(0,1)，所以D正确．13．答案：{x|1<x≤3}解析：由题意可得，自变量x须满足不等式组：

12－log4(x－1)≥0x－1>0⇔log4(x－1)≤12x－1>0⇔x－1≤2x－1>0⇔1<x≤3，所以函数f(x)＝12－log4(x－1)的定义域为{x|1<x≤3}．14．答案：2解析：∵a>1，所以，函数f(x)在区间[a,2a]上为增函数，由已知条件可得lo

ga(2a)＝3logaa＝logaa3，∴a3＝2a，∵a>1，解得a＝2.15．答案：[1，＋∞)解析：由y＝e|x|的图象向右平移1个单位，可得f(x)＝e|x－1|的图象，因为y＝e|x|是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f

(x)在[1，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝e|x－1|在区间[a，＋∞)上是增函数，所以[a，＋∞)⊆[1，＋∞)，解得a≥1，所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．16．答案：647解析：由n≤23log2ωx得，23log2ωx≥4，即log2ωx≥6，∴ωx≥6

4，即ωx的最小值为64.由题知n≤23log2300.01＝23log23000＝23×lg3＋3lg2≈23×0.48＋30.3≈7.7，故矩形纸最多能对折7次．17．解析：(1)∵函数f(x)为奇函数，且定义域

为R.∴f(0)＝0，即1－a2＝0，得a＝1.则f(x)＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝22x2＋1－22x1＋1＝2(2x1－2x2)(2x2

＋1)(2x1＋1)，∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，又(2x2＋1)(2x1＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数．(2)由f1t－2＋f(－1)>0得f1t－2>－f(－1)，又f(x)为奇

函数，且为增函数，所以－f(－1)＝f(1)，所以f1t－2>f(1)，得1t－2>1，即1t－2－1＝3－tt－2>0，得(t－3)(t－2)<0，解得2<t<3，即t的取值范围是(2,3)．18．解析：(1)依题可知f(0)＝0，解得a＝1，所以当x≤0时，f(x)＝log2(1－

x)，设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝log2(1＋x)，又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝log2(1＋x)，所以当x>0时，f(x)＝－log2(1＋x)，综上所述，f(x)＝log

2(1－x)(x≤0)－log2(1＋x)(x>0).(2)当x≤0时，f(x)＝log2(1－x)，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而f(x)在R上单调递减，由f(x2－mx＋m)＋f(2x2－mx＋2

)<0，可得f(x2－mx＋m)<－f(2x2－mx＋2)＝f(－2x2＋mx－2)，又∵f(x)在R上单调递减，∴x2－mx＋m>－2x2＋mx－2，即3x2－2mx＋m＋2>0对任意的x∈[－1,1]恒成立

，记g(x)＝3x2－2mx＋m＋2，对称轴为x＝m3，依题意有g(x)min>0，①当m3<－1，即m<－3时，g(x)在[－1,1]上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝5＋3m>0，解得m>

－53，与m<－3矛盾，此时无解；②当－1≤m3≤1，即－3≤m≤3时，g(x)在－1，m3上单调递减，在m3，1上单调递增，∴g(x)min＝gm3＝－m23＋m＋2>0，解得3－332

<m<3＋332，又因为－3≤m≤3，所以此时3－332<m≤3；③当m3>1，即m>3时，g(x)在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝5－m>0，解得m<5，又因为m>3，所以此时3<m<5；综上所述，实数m的取值范围为3－332，5.考点过关

检测8函数的图象及应用1．答案：B解析：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝|lnx|，其定义域为(0，＋∞)，不是偶函数，不符合题意；对于B，f(x)＝lg|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，是偶

函数，符合题意；对于C，f(x)＝xcosx，其定义域为R，有f(－x)＝－xcosx＝－f(x)，是奇函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x2sinx，其定义域为R，有f(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，是奇函数，不符合题意．2．答案：A解析：由图象可知：

f(0)<0f(1)>0f(－1)<0⇒ab<0①(1－a)(1－b)>0②(－1－a)(－1－b)<0③，因为a>b，所以由①可得：a>0>b，由③可得：－1－b>0⇒b<－1，由②可得：1－a>0⇒a<1，因此有1>a>0>－1>b，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1

＋b<0，所以选项A符合．3．答案：A解析：根据题意可知f(2)＝4，即3a2－k＋1＝4，解得k＝2，所以f(x)＝3ax－2＋1.又因为f(x)在R上是增函数，所以a＞1.因此g(x)＝loga(x－2)

在(2，＋∞)上单调递增，且过定点(3,0)．故选A.4．答案：B解析：f(－x)＝3－x－3xx4＝－3x－3－xx4＝－f(x)，则f(x)是奇函数，则图象关于原点对称，排除A；f(1)＝3－13＝83＞0，排除D；当

x→＋∞，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C.5．答案：A解析：由解析式知：x≠0，且f(－x)＝－xln|－x|＋sin(－x)＝－xln|x|－sinx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除C、D

；当x→＋∞时，xln|x|→＋∞，sinx∈[0,1]，则f(x)→＋∞.6．答案：C解析：由图可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B，D.又“心形”函数的最大值为1，且4－12>1，排除A.7．答案：B解析：函数f(x)＝(

ex＋1)ln|x|ex－1的定义域是{x|x≠0}，当x>1时，f(x)>0，排除A、D.又f(－x)＝(e－x＋1)ln|－x|e－x－1＝(1＋ex)ln|x|1－ex＝－f(x)，即函数为奇函数．排除C.8．答案：D解析：由题可知函数f(x)的定义域关于原点

对称，且当x>0时，－x<0，f(－x)＝e－(－x)·ln[－(－x)]＝ex·lnx＝f(x)，当x<0时，－x>0，f(－x)＝e－x·ln(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，排除A，B；而f(2)＝e2ln2>e2lne＝e22>3，排除C.9．答案：B解析：因为对任意两个

正数x1，x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0，所以在x∈(0，＋∞)上，f(x)单调递减；又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则在x∈(－∞，0)上，f(x)单调递减；如图所示．由于(x－1)f(x)>0，当x>1时

，有f(x)>0，得1<x<2，当x<1时，有f(x)<0，得－2<x<0，综上所述：满足(x－1)f(x)>0的x的取值范围是(－2,0)∪(1,2)．10．答案：A解析：(1)当a>1时，画出两个函数在同一坐标系下的图象若有两个交点，则

0<2a<1，∴0<a<12，因为a>1，所以此种情况不存在；(2)当0<a<1时，画出两个函数在同一坐标系下的图象若有两个交点，则0<2a<1，∴0<a<12，因为0<a<1，所以0<a<12.综上，a的取值

范围是0<a<12.11.答案：AD解析：因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，即可知图象过第一、三、四象限，或过第一、三象限及原点，所以其大致图象如图所示：由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b≤0.12

．答案：ACD解析：当a<0时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1开口向下，对称轴为x＝－1a>0，f(0)＝1，故A符合；当a＝2n(n∈N＋)时，g(x)

＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上，且对称轴为x＝－1a<0，Δ＝4－4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合；当a＝12n(n∈N＋)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上，且对称轴为x＝

－1a<0，Δ＝4－4a>0，图象和x轴有两个交点且均在x轴的负半轴上，故C符合．13．答案：(0,1)解析：设f(x)＝|2x－1|＝2x－1，x≥01－2x，x<0，当x<0时，2x∈(0,1)，则f(x)＝1－2x∈(0,1)

，由题意可知，直线y＝a与函数f(x)的图象有两个交点，作出函数y＝a与函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当0<a<1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有两个交点．因此，实数a的取值范围是(0,1)．14．答案：[－3,1]解

析：函数f(x)＝1x，x<013x，x≥0的图象如图中的“实线”所示．从而|f(x)|＝－1x，x<013x，x≥0的图象如图中的“实线”所示，为解不等式|f(x)|≥13，需观察

图象，易解得y＝13与y＝|f(x)|的交点为(－3，13)和1，13.故不等式|f(x)|≥13的解集为{x|－3≤x≤1}，即[－3,1]．15．答案：(1，－2)解析：根据题意，设f(x)＝x3－3x2的对称中心为点P(a，b)，则函数y＝f

(x＋a)－b是奇函数，则有f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，变形可得f(－x＋a)＋f(x＋a)－2b＝0，则有(－x＋a)3－3(－x＋a)2＋(x＋a)3－3(x＋a)2＝2b，必有a＝1，b＝－2.即函数的对

称中心为(1，－2)．16．答案：15，14解析：根据新定义，作出f(x)的图象如图：要使f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称，则y＝－logax＝log1ax与y＝x－int(x)的图象恰有3个交点，如图所示，则0<a

<1log1a4<1，log1a5≥1解得15≤a<14.考点过关检测9函数的应用1．答案：D解析：y＝x2－x－3在0，12上单调递减，不合题意，A错误；令－0.2x＝0，方程无解，不合题意，B错误；y＝sin2x在π4，3π4上单调递减，不

合题意，C错误；y＝x与y＝－1x在(0，＋∞)上均单调递增，∴y＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增；令x－1x＝0，解得：x＝±1，则y＝x－1x在(0，＋∞)上存在零点x＝1，D正确．2．答案：B解析：因为函数f(x)为单调递增函数，且f(2)＝e－2>0，f(1)

＝－1<0，所以零点所在的区间是(1,2)．3．答案：B解析：令f(x)＝log4x＋1x－2，则f(x)为连续函数，又因为f13＝log413＋3－2＝log413＋1>0，f12＝log412＋2－2＝log412<0，f13f12<0，所以

方程的解所在区间为13，12.4．答案：C解析：由题得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3，故选C.5．答案：C解析：由题可设y＝k5xx2(k≠0)，当x＝1时，y＝10代入可得10＝k

5112＝5k，解得k＝2，所以y＝25xx2，令x＝4，则y＝25442＝262516＝2×39＝78.6．答案：D解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)为周期为2的奇

函数，可得f(－x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝0，∴f(2k－1)＝0(k∈N)，画出函数y＝f(x)与y＝lg|x|的图象，如图所示，当x>0时，y＝f(x)与y＝lg|x|有5个交点，当x<0时，y＝f(x)与y＝lg|x|有

7个交点，故方程f(x)－lg|x|＝0有12个实数根，故D正确．7．答案：B解析：分情况讨论，当m>0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则|2m|>m2m>0⇒0<m<2；当m<0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，同理

可知，需要m2>|2m|m<0⇒m<－2.当m＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．∴m的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)．8．答案：B解析：由题意可知，ρ(1)＝ea＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a

＋b＝1，ρ(3)ρ(1)＝e2a＝425，解得ea＝25.设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t0)＝eat0＋b＝ea＋b·ea(t0－1)＝6.25×25t0－1≤0.1，整理得62.5≤52t0－1，设62.

5＝52m－1，因为524<62.5<525，所以4<m－1<5，即5<m<6，则t0－1≥m－1，即t0≥m.故至少需要放置的时间为6周．9．答案：AC解析：因为f(x)是定义域为R的偶函

数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有

两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小

关系不确定，所以D不正确．10．答案：AB解析：因为f(x)＝ax－cosx的零点个数即函数y＝ax，y＝cosx图象交点的个数，由图可知，当a＝1时，交点只有1个；当a＝13时，交点有3个．正数a越大，交点个数越少．故零点个数可能为1，或2，或3.11．答案：A

D解析：因为M′＝M＋1＝lgAmaxA0＋1＝lg10AmaxA0＝lgA′maxA0，所以A′max＝10Amax，故A正确；因为E′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝104.8×101.5M×101.5＝101.5E

，所以B错误；因为M′＝lg100AmaxA0＝2＋lgAmaxA0＝2＋M，E′＝104.8×101.5(M＋2)＝104.8×101.5M＋3＝103E，所以C错误，D正确．12．答案：AB解析：函数y＝f[f(x)＋1]的零

点个数，即方程f[f(x)＋1]＝0的解的个数，x≤0时，由kx＋1＝0得x＝－1k，k≠0，若k>0，则x＝－1k是f(x)＝0的一个解，k<0时，x＝－1k不是f(x)＝0的解，x>0时，由f(x)＝log2x＝0

，得x＝1是f(x)＝0的一个解．所以若k<0，则由f[f(x)＋1]＝0得f(x)＋1＝1得f(x)＝0，x＝1，D正确；若k>0，则由f[f(x)＋1]＝0得f(x)＋1＝1，或f(x)＋1＝－1k，f(x)＋1＝1即f(x)＝0⇒x＝1或x＝－1k，f(x)＋1＝－1k即f

(x)＝－1k－1，－1k－1<0，log2x＝－1k－1有一解x＝2－1k－1，kx＋1＝－1k－1，x＝－1k2－2k是一解，综上方程f[f(x)＋1]＝0共4个解．C正确．13．答案：[0，＋∞)解析：因为指数函数y＝ax的值域为(0，＋∞

)，故函数f(x)＝ax＋b的值域为(b，＋∞)，因为函数f(x)无零点，则0∉(b，＋∞)，所以，b≥0.14．答案：2，103解析：由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解．设t＝x＋1x

，x∈12，3，则t的取值范围是2，103，所以实数a的取值范围是2，103.15．答案：50解析：由题设，2.66×4＝4×602k＋12×4，解得k＝6×10－4，∴d＝2.4×10－

3v2＋2，要使大桥上每小时通过的车辆最多，则使y＝1000vd＋l最大，∴由题意，y＝1000v0.0024v2＋6＝10000.0024v＋6v≤100020.0024v·6v＝10000.24，当且仅当0.0024v＝6v

，即v＝50km/h时等号成立．16．答案：①0<m<2②2(3－21)<x1x2x3<0解析：当x<0时，由复合函数的单调性知：y＝log2(x2－3x＋1)单调递减，作出函数f(x)的图象，如图所示：由图可知，当0<m<2时，f

(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1<x2<x3，易知x2>0，且x2＋x3＝2×2＝4≥2x2x3，∴0<x2x3<4.令log2(x2－3x＋1)＝2，解得x＝3＋212(舍去)或x＝3－212.∴3－212<x1<0，∴2(3－21)<

x1x2x3<0.17．解析：(1)因为函数f(x)＝lnx－m与y＝ex在1e，1都是增函数，所以函数g(x)＝f(x)＋ex＝lnx＋ex－m在1e，1也是增函数，因为函数g(x)在区间1e，1内存在零点

，所以ln1e＋1－m<0，ln1＋e－m>0，解得0<m<e.所以实数m的取值范围为(0，e)．(2)关于x的方程f()ex＋1＝x2有实数根等价于关于x的方程2m＝2ln(ex＋1)－x有实数根，所以存在实数x使2m＝ln(ex＋1)2－lnex＝ln(ex＋1)2ex＝ln(ex

＋1ex＋2)成立．因为ex＋1ex≥2ex·1ex＝2(当且仅当ex＝1ex，x＝0时取等号)，所以ln(ex＋1ex＋2)≥ln2＋2ex·1ex＝2ln2，所以实数m的取值范围是[ln2，＋∞)．18．解析：(1)因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的

洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝f(x)，其中f(x)＝248－x－1，0≤x≤47－12x，4<x≤14.所以若只投放1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f(3)＝248－3－1＝3.8(克/升)；(2)若只投放一

次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3(克/升)时，它能起到去污的作用．当0≤x≤4时，248－x－1≥3，解得2≤x≤4，当4≤x≤14,7－12x≥3，解得4<x≤8，综上所述，有效去污时间为6分钟；(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放

1个单位的洗衣液，则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×7－12×12＋1×248－2－1＝5>3，所以在第12分钟起(从第一次投放算起)，洗衣液能起到有效去污的作用．单元过关检测二函数1．答案：A解

析：对于A：由幂函数的性质可知y＝x－1是奇函数且在(0，＋∞)上为减函数，故A正确；对于B：由幂函数的性质可知y＝x3是奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，故B错误；对于C：易知y＝3－x是非奇非偶函数，故C错误；对于D：易知y＝12x是非奇非偶函数，故D错误．2．答案：A解析：∵lo

g29>log28＝3,2＝log39<log325<log327＝3,20.9<21＝2，∴a>b>c.3．答案：A解析：f[f(0)]＝f(3)＝log28＝3.4．答案：B解析：要使函数有意义，则需x＋1>

0x＋1≠14－x2≥0，解得－1<x≤2且x≠0，所以x∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．答案：A解析：因为f(－x)＝2－x－2x(－x)2＋1＝－2x－2－xx2＋1＝－f(x)，所以f(x

)为奇函数，排除选项C和D，又f(1)＝2－2－12>0，排除选项B.6．答案：D解析：由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则1a＝logM4，1b＝logM6，1c＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，

∴1a＋1c＝2b，即1c＝2b－1a，去分母整理得，ab＋bc＝2ac.所以ABC不正确，D正确．7．答案：B解析：由题意，采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40%，可得h(

20)＝ma20＝0.2h(30)＝ma30＝0.4，解得a＝2110，m＝0.05，所以h(t)＝0.05×2110t，令h(t)＝0.05×2110t＝0.5，可得2t10＝10，两边同时去对数，故t＝10·lg10lg2＝100.3≈3

3小时．8．答案：B解析：因为f(x)＝|2x－6|，x≥03x＋6，x<0，即f(x)＝3x＋6，x<06－2x，0≤x≤32x－6，x>3，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，x1<x2<x3，作出函数f(x)的图象如图所示：由图象可知，点(x2，f(x2))、

(x3，f(x3))关于直线x＝3对称，则x2＋x3＝6，由图可知，x1∈(－2,0)，因此，x1＋x2＋x3＝x1＋6∈(4,6)．9．答案：AC解析：因为函数f(x)是定义在R上的减函数，且a<b<c，所以f(a)>f(b)>f(c)，又f(a)f(b)

f(c)<0，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个函数值为负或三个函数值都为负，若f(a)，f(b)，f(c)中有一个函数值为负时，则f(a)>f(b)>0>f(c)，此时b<x0<c，故选项C正确；若f(a)，f(b)，f(c)中三个函数值都为负，则0>f(a)>f(b)>f(

c)，此时x0<a，选项A正确．若a<x0<b，则f(a)>f(x0)＝0>f(b)>f(c)，此时不满足f(a)f(b)f(c)<0，故选项B错误；若x0>c，则只能得到f(a)>f(b)>f(c)>0，不满足f(a)f(b)f(c)<0，故选项

D错误．10．答案：BC解析：f(x)＝xα(α∈R)，则f(1)＝1α＝1，故A错误；函数f(x)过点(－1,1)，则f(－1)＝(－1)α＝1，f(－x)＝(－x)α＝(－1)α·xα＝xα＝f(x)，即函数为偶函数，B正确；若f(x)过点(－1，－1)，则f(－1)＝(－1)α＝－1

，f(－x)＝(－x)α＝(－1)α·xα＝－xα＝－f(x)，即函数为奇函数，C正确；当α>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(2)>f(1)，D错误．11．答案：BD解析：因为f(x)为奇函数且f(3)＝0，所以f(－3)＝－f(3)＝0，因为f(

x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)－f(－x)2＝f(x)>0，当x>0时，由f(x)>0，可得x>3，当x<0时，由f(x)>0，可得－3<x<0，故不等式f(x)－f(－x)2>0的解集

为(－3,0)∪(3，＋∞)．12．答案：AD解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(x)与f(x＋2)都为奇函数，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)，函数f(x)图象关于点(2

,0)对称，∴函数f(x)的周期为4，f(x)的图象关于点(－2,0)对称，所以D正确，∴f(2)＝f(－2)＝0即2a－1＝0，－2a＋b＝0，∴a＝12，b＝1，所以A正确，∴f(x)＝12x＋1，－2≤x<0，12x－1，0<x≤2，，∴x∈[－2

,0)，f(x)单调递增，f(x)∈[0,1)，x∈(0,2]，f(x)单调递增，f(x)∈(－1,0]，∴x∈[－2,2]，f(x)∈(－1,1)，∴x∈R时，|f(x)|∈[0,1)，所以B错误，又f(2021)＝f(1)＝－12，所以C错误．13．

答案：－1e2解析：由f(x)是奇函数，则f(－e)＝－f(e)＝－1，∴f(－e)＝ln(－ae)＝－1.则a＝－1e2.14．答案：2解析：由题意，函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，①当a>1时，函数y＝

ax单调递增，故ymax＝a1＝a，ymin＝a0＝1，故a＋1＝3，∴a＝2；②当1>a>0时，函数y＝ax单调递减，故ymax＝a0＝1，ymin＝a1＝a，故a＋1＝3，∴a＝2(舍去)，综上：a＝2.15．

答案：f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)解析：取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝x41x42＝f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(

x)＝4x3的定义域为R，又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.16．答案：5(1,2]解析：当a＝2时，f(4)＝3＋log24＝3＋2＝5；若函数的值域是[4，＋∞)，故当x≤2时，满足f(x)＝6－x≥4，当x>2时，由f(x)＝3＋logax≥4，所以

logax≥1，若0<a<1，当x>2时，logax<0不成立；若a>1，函数y＝logax为增函数，所以loga2≥1⇔loga2≥logaa⇒1<a≤2，所以实数a的取值范围1<a≤2.17．解析：

(1)3(－4)3－120＋0.2512×12－4＝－4－1＋1412×2－12－4＝－4－1＋122×12×2－12×(－4)＝－4－1＋12×22＝－4－1＋2＝－3.(2)log33＋log48＋lg2＋lg5＝l

og3312＋log2223＋lg(2×5)＝12log33＋32log22＋lg10＝12＋32＋1＝3.18．解析：函数y＝x2＋2ax＋1为开口向上的二次函数，对称轴为x＝－a，(1)∵函数在区间[1

，＋∞)上单调递增，∴－a≤1，故实数a的取值范围：a≥－1.(2)∵x∈[1,2]，∴当－a≥2即a≤－2时，函数最小值f(2)＝4a＋5，当－a≤1即a≥－1时，函数最小值f(1)＝2a＋2，当1<－a<2即－2<a<－1时，函数最小值f(

－a)＝－a2＋1.19．解析：(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝32，当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；当m＝32时，f(x)＝x7，不符合题意，故f(x)的解析式为f(x)＝x2.(2)由(1)得：g(x)＝f(x)－2(a－

1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1，函数的对称轴为：x＝a－1，开口朝上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，由题意得在区间[0,4]上f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，所以实数a的值为2.20．解析：(1)当0<x≤5时，L(x)＝60x－

30x－x22－30＝x22＋30x－30；当5<x≤100时，L(x)＝60x－61x－100x＋3752－30＝3152－x＋100x综上所述，L(x)＝x22＋30x－30，0<x≤5，3152－x＋100x，5<x≤100.

(2)当0<x≤5时，L(x)max＝L(5)＝2652；当5<x≤100时，L(x)＝3152－x＋100x，L(x)在(5,10)上单调递增，在(10，＋∞)上单调递减；此时L(x)max＝L(10)＝2752，所以当x＝10，即2022年年产量为10万本时，该

企业所获利润最大，且最大利润为2752万元．21．解析：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即1－kk＝0，解得k＝1.(2)当a＝2时，g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.

令t＝f(x)＝2x－2－x，因为f(x)＝2x－2－x在x∈[0,1]是增函数，所以t∈0，32.令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2，t∈0，32，①若m≤0，h(t)在0

，32上单调递增，故h(t)min＝h(0)＝2≠1，不合题意；②若0<m<32，h(t)在[0，t)上单调递减，在t，32上单调递增，故h(t)min＝h(m)＝2－m2＝1，解得m＝±1，因为0<m<32，所以m＝1；

③若m≥32，h(t)在0，32上单调递减，故h(t)min＝h32＝174－3m＝1，解得m＝1312<32，舍去．综上所述，m＝1.22．解析：(1)因为f(x)＋g(x)＝log4(4x＋1)，①∴f(－x)＋g(－x)＝l

og4(4－x＋1)＝log4(4x＋1)－x，又∵函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，∴f(x)－g(x)＝log4(4x＋1)－x，②由①②得f(x)＝log4(4x＋1)－x2，g(x)＝x2.(2)由h(x)＝f(x)－12log2(a·2x＋22a)

＝log4(4x＋1)－x2－12log2(a·2x＋22a)＝12log2(22x＋1)－x2－12log2(a·2x＋22a)＝0.得：log222x＋12x＝log2(a·2x＋22a)⇒(a－1)22x＋22a·2x－1＝0，

令t＝2x，则t>0，即(a－1)t2＋22at－1＝0(*)方程只有一个大于0的根，①当a＝1时，t＝24>0，满足条件；②当方程(*)有一正一负两根时，满足条件，则－1a－1<0，∴a>1；③当方

程(*)有两个相等的且为正的实根时，则Δ＝8a2＋4(a－1)＝0，解得a＝12或a＝－1(舍)，当a＝12时，t＝2>0，满足条件．综上所述，a＝12或a≥1.滚动过关检测一集合、常用逻辑用语、不等式、函数1．答案：C解析：因为B＝{x|2x>2}＝{x|x

>1}，所以A∩B＝{2,3}．2．答案：D解析：由a>b>0，∴1a<1b，而c≥0时，ca≤cb，因此A不正确；a－1，b－1与0的大小关系不确定，因此B不正确；由a>b>0，∴－a2<－ab，因此C不正确；由a>b>0，∴ab>b2，因此D正确．3．答案：B解析：∵f(

x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，即函数的周期T＝4，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0，又f(－1)＝－f(1)＝－1，∴

f(－1)＋f(8)＝－1.4．答案：C解析：由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)的周期为2，因为f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，因为x∈[0,1)时，f(x1)－f(x2)x1－x2>0，所以

f(x)在(0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，所以f(x)在(－1,1)上单调递增，因为f－152＝f－152＋2×4＝f12，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f112＝f

112－2×3＝f－12，所以f12>f(0)>f－12，即f－152>f(4)>f112.5．答案：A解析：令x2<－x2＋x得0<x<12，所以m(x)＝x2，x∈0，12

－x2＋x，x∈(－∞，0]∪12，＋∞当x∈0，12时，m(x)max<m12＝14，当x∈(－∞，0]∪12，＋∞时，m(x)max＝m12＝14，综上所述，m(x)max＝14.6．答案

：C解析：令f(x)＝e|x－2|－x，则函数f(x)的图象在R上连续，∵f(1)＝e－1>0，f(2)＝1－2＝－1<0，f(3)＝e－3<0，f(4)＝e2－4>0，∴f(1)f(2)<0，f(3)f(4)<0，∴函数f(x)在

区间(1,2)，(3,4)上各有一个零点，即1<x1<2,3<x2<4.7．答案：A解析：若不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>4x＋1＋1ymin，4x＋1＋1y＝124x＋1＋1y(x＋1＋

y)＝125＋4yx＋1＋x＋1y≥125＋24yx＋1·x＋1y＝12(5＋2×2)＝92，当且仅当4yx＋1＝x＋1yx＋y＝1即x＝13y＝23时，4x＋1＋1y最小值为92，所以m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，所

以(2m－3)(m＋3)>0，解得：m<－3或m>32.8．答案：A解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，因为f(－x)＝－x1＋|－x|＝－x1＋|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(x)的

图象关于原点对称，在f(x)的图象上取点(0,0)，它关于(－1,1)对称的点(－2,2)不在f(x)的图象上，故A不正确；当x>0时，f(x)＝x1＋x＝11x＋1为增函数，又f(x)为奇函数，且f(0)＝0，所以f(x)在其定义域上单调递增，故B正确；当x>0时，f(x)＝x1＋x＝11x＋

1∈(0,1)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时，f(x)∈(－1,0)，又f(0)＝0，所以f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；令g(x)＝f(x)－x＝0，得x1＋|x|＝x，得x＝0，所以函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确．9

．答案：ACD解析：函数f(x)＝x定义域为R，函数g(x)＝(x)2的定义域为[0，＋∞)，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A不正确；命题“∃x∈[0,1]，x2＋x≥1”的否定为“∀x∈[0,1]，x2

＋x<1”，满足命题的否定形式，所以B正确；函数y＝sinx＋4sinx0<x<π2，因为0<x<π2，所以0<sinx<1，可知y＝sinx＋4sinx>2sinx·4sinx＝4，所以函数没有最小值，所以C不正确；设函数f(x)＝2x＋2，x<0，2x，x

≥0，两段函数都是增函数，并且x<0时，x→0，f(x)→2，x≥0时，函数的最小值为1，两段函数在R上不是单调递增，所以D不正确．10．答案：AC解析：对于A，由a≥1，b≥1，显然可得a＋b≥2，反之不成立，故正

确；对于B，显然是充要条件，不正确；对于C，∵x>1，∴ex>e，ex＋1>e，ln(ex＋1)>1，反之不成立，正确；对于D，当a2<1即－1<a<1时，f(x)＝x2＋(2－a)x－2a＝(x－a)(x＋2)在(0,1)上不一定有零点，D不正确．11．答案：

BC解析：A.因为y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，所以logca<logcb，故错误；B.因为y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以ac>bc，故正确；C.因为a(b＋c)－b(a＋c)＝(a－b)c>0，所

以a(b＋c)>b(a＋c)，故正确；D.因为ab－bc＝ac－b2bc，且ac－b2无法确定正负，故错误．12．答案：BCD解析：当x>0时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，∴x∈(0,1)∪(3

，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(1,3)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又1<log23<log25<3，∴f(log23)>f(log25)，故A错误，B正确；由解析式可得，f(x)图象如图

：对于C，由f(1)＝f(4)＝5，所以当1≤a≤4时，x∈(－1，a]上函数值域为[1,5]，故C正确；对于D，由[f(x)]2－(t＋5)f(x)＋5t＝0，即[f(x)－5][f(x)－t]＝0，得f(x)＝5

或f(x)＝t，∵y＝f(x)与y＝5有3个公共点，当1<t<5时，y＝f(x)与y＝t有4个公共点，此时共有7个公共点，故D正确．13．答案：(－1,0)∪(0,2]解析：由4－x2≥0ln

(x＋1)≠0x＋1>0解得－2≤x≤2x≠0x>－1，所以定义域为：(－1,0)∪(0,2]．14．答案：4解析：由题意，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，故2＋aex－1＝－2＋ae

－x－1，即2＋aex－1＝－2－aex1－ex，整理得4＋a－aexex－1＝4－a＝0，解得a＝4.15．答案：2解析：因为x>0，y>0，x＋y2＝4，由基本不等式得4＝x＋y2≥2xy2，化为xy2≤4，当且仅当x＝2，y＝2时取等号．则log2x＋2log2y＝log2

(xy2)≤log24＝2.因此log2x＋2log2y的最大值是2.16．答案：1414，12解析：函数f(x)＝ex，x≤0－x2＋x＋14，x＞0，则f[f(0)]＝f(e0)＝f(1)＝14.x≤0时，f(x)≤1，x＞0时，f(x)＝－x2＋x＋14，对称轴为：x＝1

2，开口向下，函数的最大值为f12＝－14＋12＋14＝12，x→0时，f(0)→14，方程f(x)＝b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：14，12.17．解析：(1)根据题意，若∀x∈R，关于x的方程x2＋mx＋m

＋3＝0有两个不相等的负实根，则Δ＝m2－4(m＋3)>0x1＋x2＝－m2<0x1x2＝m＋3>0，解得m>6，故M＝{m|m≤6}．(2)由(x－a)(x－2)<0且a≠2，得当a<2时，N＝{x|a<x<2}，当a>

2时，N＝{x|2<x<a}．因x∈N是x∈M的充分条件，所以2≤6a≤6a≠2，解得a<2或2<a≤6.18．解析：(1)f(x)的对称轴为x＝－a2，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以－a2≤1，解得a≥－2.(2)因为f(x)＝(x＋a＋1)(x－1)，当a＋1<

－1，即a<－2时，解集为{x|1≤x≤－a－1}；当a＋1＝－1，即a＝－2时，解集为{x|x＝1}；当a＋1>－1，即a>－2时，解集为{x|－a－1≤x≤1}．19．解析：(1)因为函数f(x)＝log21＋ax

x－1是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log21－ax－x－1＝－log21＋axx－1，即log2ax－1x＋1＝log2x－11＋ax，所以a＝1，f(x)＝log21＋xx－1，令1＋xx－1>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}．(2)f(x

)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]．20．解析：(1)由已知，当t＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k，解得k＝2

，所以x＝3－2t＋1.由已知，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2022年的利润y＝1.5x·8＋16xx－8－16x－t＝28－16t＋1－t(t≥0)(2)因为y＝29－(t＋1)＋16t＋1，所以(t＋1)＋16t＋1≥216＝8，当且仅当t＋1＝16t

＋1即t＝3时取等号．所以y≤29－8＝21，即ymax＝21(万元)．答：该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．21．解析：(1)当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，f(－x)＝9－x9－x＋3＝11＋3·9x，因为f(x)是(－1,1)上的奇函数，所以f(x)

＝－f(－x)＝－11＋3·9x，当x＝0时，f(0)＝0，所以，f(x)在(－1,1)上的解析式为f(x)＝－11＋3·9x，－1＜x＜00，x＝09x9x＋3，0＜x＜1；当－1＜x＜0时，9x∈19，1，1＋3·9x∈43，4，－11＋3

·9x∈－34，－14，当0＜x＜1时，9x∈(1,9)，1＋－39x＋3∈14，34，所以，f(x)在(－1,1)上的值域为－34，－14∪{0}∪14，34；(2)当0＜x＜1时，f(x

)＝9x9x＋3，f(x)＋f(1－x)＝9x9x＋3＋91－x91－x＋3＝9x9x＋3＋99＋3·9x＝1，所以f12022＋f20212022＝f32022＋f20192022＝f52022＋f2

0172022＝…＝1，故f12022＋f32022＋f52022＋…＋f20212022＝10112.22．解析：(1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0

)＝0，∴f(0)＝1－(t－1)1＝0，∴t＝2，经检验知符合题意，f(x)＝ax－a－x，∵函数f(x)的图象过点1，32，∴a－a－1＝32，得2a2－3a－2＝0，解得：a＝2或a＝－12，因为a>0且a≠1，∴a＝2.(2)由(1)得f(x)＝2x－2－x，

由f(kx－x2)＋f(x－1)<0，得f(kx－x2)<－f(x－1)，∵f(x)为奇函数，∴f(kx－x2)<f(1－x)，∵2>1，∴f(x)＝2x－2－x为R上的增函数，∴kx－x2<1－x对一切x∈R恒成立，即x2－(k＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立，故Δ＝

(k＋1)2－4<0，解得－3<k<1.(3)g(x)＝22x＋2－2x－m(2x－2－x)，设t＝2x－2－x，则(2x－2－x)2－m(2x－2－x)＋2＝t2－mt＋2，∵x∈[1，log23]，∴t∈32，8

3，记h(t)＝t2－mt＋2，∴函数h(t)＝t2－mt＋2在32，83有最大值为1，①若对称轴t＝m2>2512，∴h(t)max＝h32＝174－32m＝1⇒m＝136，不合题意．②若对称轴t＝m2≤2

512，m2≤2512h(t)max＝h83＝1⇒m≤256m＝7324⇒m＝7324，综上所述：故存在实数m＝7324，使函数g(x)在[]1，log23上的最大值为1.考点过关检测10导数及其运算1．答案：C解析：因为f(x)＝e2x＋1

－3x，则f′(x)＝2e2x＋1－3，所以f′(0)＝2e－3.2．答案：C解析：由题意f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2.3．答案：A解析：设f(x)＝(x－3)ex，则f′(x)＝(x－2

)ex，则切线斜率为f′(0)＝－2，又f(0)＝－3，所以切线方程为y－(－3)＝－2(x－0)，即2x＋y＋3＝0.4．答案：B解析：由f(x)＝3exsinx，得f′(x)＝3(exsinx＋excosx)，∴f′(0)＝3(e0sin0＋e0cos0)＝3，

设f(x)＝3exsinx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为θ(0≤θ<π)，∴tanθ＝3，即θ＝π3.5．答案：A解析：由题意知：g(x)＝f′(x)＝(xsinx＋cosx)′＝xcosx，因为g(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－g(x)，所以函数g(x)

是奇函数，故排除B，C选项，又x→0＋时，x>0，cosx>0，故此时g(x)>0，故A正确，D错误．6．答案：A解析：由y＝lnxx－ax2可得y′＝1－lnxx2－2ax，又曲线在x＝1处的切线与直线2x－y

＋1＝0平行，且直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则1－2a＝2，解得a＝－12.7．答案：D解析：由题意得y′＝12aex＋lnx＋1，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝12ae＋1＝2，所以a＝2e，又切点1，12ae在切线上，代入可得12ae＝2＋b，解得b＝－1.8．答案：C

解析：y′＝1＋1x，当x＝1时，切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2(x－1)＋1＝2x－1，因为它与抛物线相切，ax2＋(a＋2)x＋1＝2x－1有唯一解即ax2＋ax＋2＝0，故a≠0a2－8a＝0，解得a＝8，故选C.9．答案：D解析：∵f1(x)＝sinx

＋cosx，∴f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，…，即fn(x)是周期为4的周期函数，∴f2021(x)＝f1(x)＝si

nx＋cosx.10．答案：D解析：在曲线y＝ex上任取一点P()t，et，对函数y＝ex求导得y′＝ex，所以，曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et()x－t，即y＝etx＋()1－tet，由题意可知，点()a，b在直线y＝

etx＋()1－tet上，可得b＝aet＋()1－tet＝()a＋1－tet，令f(t)＝()a＋1－tet，则f′(t)＝()a－tet.当t<a时，f′(t)>0，此时函数f(t)单调递增，当t>a时，f′(t)<0

，此时函数f(t)单调递减，所以，f(t)max＝f()a＝ea，由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f(t)的图象有两个交点，则b<f(t)max＝ea，当t<a＋1时，f(t)>0，当t>a＋1时，f

(t)<0，作出函数f(t)的图象如图所示：由图可知，当0<b<ea时，直线y＝b与曲线y＝f(t)的图象有两个交点．故选D.解法二画出函数曲线y＝ex的图象如图所示，根据直观即可判定点()a，b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．

由此可知0<b<ea.故选D.11．答案：AB解析：(2x3－3x2＋5)′＝6x2－6x，故A正确；(ex＋lnx)′＝ex＋1x，故B正确；令u＝x3，则cosx3′＝(cosu)′＝－sinu·

u′＝－13sinx3，故C错误；2x＋4x＋1′＝－2x－2＋[]－4(x＋1)－2×1＝－2x2－4(x＋1)2，故D错误．12．答案：AD解析：设过点(－1,3)的直线与曲线y＝f(x)相切的切点为x0，1x0，由f(x)＝1x求导得f′(x)＝－1x2，于是得切

线方程为y－1x0＝－1x20(x－x0)，即y＝－1x20x＋2x0，则3＝1x20＋2x0，解得x0＝1或x0＝－13，因此得切线方程为y＝－x＋2或y＝－9x－6，所以所求切线的方程是y＝－x＋2或y＝－9x－6.13．答案：－12解析：因为函数f(x)＝sinx＋2xf′

π3，所以f′(x)＝cosx＋2f′π3，则f′π3＝cosπ3＋2f′π3，解得f′π3＝－12.14．答案：1解析：由已知f′(x)＝ex－ae－ax，g(x)＝x(e

x－ae－ax)，g(－x)＝－x(e－x－aeax)，g(x)是偶函数，则x(ex－ae－ax)＝－x(e－x－aeax)恒成立，即ex－ae－ax＝－e－x＋aeax恒成立，令x＝0得1－a＝－1＋a，a＝1，此时g(x)＝x(ex－e－x)，满足g(－x)＝g(x)．15．答案：4x－2y－

3＝0解析：由f(x)＝lnx＋12x2，得f′(x)＝1x＋x(x>0)，由1x＋x≥21x·x＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴x＝1满足题意，此时f′(1)＝2，又f(1)＝12，∴所求切线方程为y－12＝2(x－1)，即4x－2y－3

＝0.16．答案：y＝x＋12解析：由y＝ex求导得：y′＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝e0＝1，而切点为(0,1)，所以所求切线方程为y＝x＋1；设直线y＝x＋1与曲线y＝lnx＋b相切的切点为(x0，y0)，由y＝lnx

＋b求导得：y′＝1x，于是得1x0＝1，x0＝1，显然有y0＝x0＋1y0＝lnx0＋b，即lnx0＋b＝x0＋1，ln1＋b＝1＋1，解得b＝2，所以b＝2.17．解析：(1)因为f(x)＝14f′(1)x2＋2f(1)x－4，所以f′(x)＝12

f′(1)x＋2f(1)，则f(1)＝14f′(1)＋2f(1)－4f′(1)＝12f′(1)＋2f(1)，解得f(1)＝2f′(1)＝8，所以f(x)＝2x2＋4x－4.(2)设该切线的切点坐标为(x0,2x20＋4x0－4)，因为f′(x0)＝4x0＋4，所以该切线方程为y

－(2x20＋4x0－4)＝(4x0＋4)(x－x0)，将(0，－6)代入方程整理得x20＝1，解得x0＝±1，当x0＝－1时，切线方程为y＝－6；当x0＝1时，切线方程为y＝8x－6，所以经过点(0，－6)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝－6或y＝8x－6.18．解析：(1

)函数f(x)＝12－x2的定义域为R，f′(x)＝－2x，令f′(x)＝－2x＝－2，得x＝1，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝11，∴曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0.(2)由(1)知f′(x)＝－2x，则f′(t)＝－2t，又f(t)＝

12－t2，所以曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12.若t＝0，则围不成三角形，故t≠0.令x＝0，得y＝t2＋12，记A(0，t2＋12)，O为坐标原点，则|OA|＝t2＋12，令

y＝0，得x＝t2＋122t，记Bt2＋122t，0，则|OB|＝t2＋122|t|，∴S(t)＝12|OA||OB|＝(t2＋12)24|t|，∵S(t)为偶函数，∴仅考虑t>0即可．当t>0时，S

(t)＝14t3＋24t＋144t，则S′(t)＝143t2＋24－144t2＝34t2(t2－4)(t2＋12)，令S′(t)＝0，得t＝2，∴当t变化时，S′(t)与S(t)的变化情况如表：t(0,2)2(2，＋∞)S′(

t)－0＋S(t)极小值∴S(t)min＝S(2)＝32.考点过关检测11利用导数研究函数的单调性、极值与最值(1)1.答案：D解析：函数f(x)＝2x－5lnx＋32x2的定义域为：{x|x>0}，f(x

)＝2x－5lnx＋32x2⇒f′(x)＝2－5x＋3x＝(3x＋5)(x－1)x，当f′(x)<0时，函数单调递减，因为x>0，所以解得0<x<1.2．答案：C解析：由f(x)＝x3－27x，得f′(x)＝3x2－27，由f′(x)

＝0，得x＝－3或x＝3(舍去)，当－4≤x<－3时，f′(x)>0，当－3<x≤2时，f′(x)<0，所以f(x)在[－4，－3)上递增，在(－3,2]上递减，所以当x＝－3时，f(x)取得最大值f(－3)＝(－3)3－27×(－3)＝54.3．答案：A解析：∵f(1)＝

－1，∴舍去B，∵f(0)＝e－2cos1>0，∴舍去D，∵x>2时，f(x)＝ex－1－2cos(x－1)，∴f′(x)＝ex－1＋2sin(x－1)≥e－2>0，∴函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增．4．答案

：A解析：设g(x)＝ax3＋bx＋c，可得g′(x)＝3ax2＋b，由图象可知，函数f(x)先递增，再递减，最后递增，且当x＝1时，g(x)取得极小值，所以函数g(x)既有极大值，也有极小值，所以g′(x)＝3ax2＋b＝0有两个根，即x＝±－b3a，所以－b3a＝1，可得a>0，

b<0且3a＝－b，又由f(0)＝lnc>0，可得c>1，由f(1)＝ln(a＋b＋c)>0＝ln1，可得a＋b＋c>1，所以c>1－a－b＝1－a＋3a＝1＋2a>a，所以c>a>b.5．答案：C解析：f′(x)＝1－lnxx2－1＝1－ln

x－x2x2.令φ(x)＝1－lnx－x2，则φ′(x)＝－1x－2x<0，所以φ(x)＝1－lnx－x2在(0，＋∞)上单调递减．因为φ(1)＝0，所以当0<x<1时，φ(x)>0；当x>1时，φ(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，故f(x)的极大

值点为1，f(x)的极大值为f(1)＝－1.6．答案：D解析：由题意，f′(x)＝2x(x－a)－x2(x－a)2＝x2－2ax(x－a)2(x≠a)，∴f′(x)≤0在(1,2)恒成立，∴x2－2ax≤0即a≥x2在(1,2)恒成立，∴a≥1.7．答案：A解析：

f′(x)＝6x2＋6mx＋2n.因为f(x)在x＝1处有极小值，且极小值为6，所以f′(1)＝0f(1)＝6，即6＋6m＋2n＝02＋3m＋2n＋m2＝6，解得m＝5n＝－18或m＝－2n＝3

.当m＝5n＝－18时，f′(x)＝6x2＋30x－36＝(x＋6)(6x－6)，则f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝1处有极小值6.当m＝－2n

＝3时，f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2，则f(x)在R上单调递增，f(x)无极值．8．答案：C解析：设g(x)＝x2·f(x)，g′(x)＝x2·f′(x)＋2x·f(x)，由条件可知当x>0时，g′(

x)>0，函数g(x)在(0，＋∞)单调递增；因为f(x)是奇函数，所以g(x)也是奇函数，且在(－∞，0)单调递增，因为f(2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0，所以函数g(x)>0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)，而x2f(x)>

0⇔f(x)>0，f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0，所以f(x)>0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．9．答案：AD解析：由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x＝－1时，f′(x)＝0，当－1<x<2时

，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x＝2时，f′(x)＝0，当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x＝4时，f′(x)＝0，当x>4时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确

；f(x)在[－2,1]上是有减有增函数，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C错误；f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，故选项D正确．10．答案：BCD解析：因为x＝1是函数f(x)＝a

x＋lnx的极值点，所以f′(1)＝0，∴a＋11＝0，∴a＝－1，∴f′(x)＝－1＋1x＝1－xx＝0⇒x＝1，当x>1时，f′(x)<0，当0<x<1时，f′(x)>0，因此f(x)有极大值－1，无极小值．11．答案

：BC解析：f′(x)＝1－lnxx2，所以f′(1)＝1，f(1)＝0，∴f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y－0＝f′(1)(x－1)，即y＝1·(x－1)＝x－1，故选项A不正确；在(0，e)上，f′(x)>0，f(x

)单调递增，在(e，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的极大值也是最大值为f(e)＝lnee＝1e，且当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，所以方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则0<a<1e，故选项BC正

确；因为在(0，e)上，f(x)单调递增，在(e，＋∞)上，f(x)单调递减，所以函数没有极小值点，故选项D错误．12．答案：AB解析：f′(x)＝6x2－2ax＝6xx－a3，令f′(x)＝6

xx－a3＝0，解得x＝0或a3.①当a≤0时，可知f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1,2－a＋b＝1，即a＝0，b＝

－1.故A正确．②当a≥3时，可知f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.故B正确．③当0<a<3时，可知f(x)在[0,1]的最小值为

fa3＝－a327＋b，最大值为b或2－a＋b或－a327＋b＝－1，b＝1，则a＝332，与0<a<3矛盾．若－a327＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0<a<3矛盾．故C、D错误．13．答案：sinx(答案不唯一)解析：由于正弦函数f(x)＝sinx为

奇函数，且存在极值．14．答案：(－∞，－16]∪[2，＋∞)解析：f′(x)＝2x2－4x＋a，函数f(x)在区间[－1,4]上具有单调性等价于f′(x)＝2x2－4x＋a≤0或f′(x)＝2x2－4

x＋a≥0在[－1,4]上恒成立，即a≤(－2x2＋4x)min或a≥(－2x2＋4x)max，即a≤－16或a≥2.15．答案：1解析：由题设知：f(x)＝|2x－1|－2lnx定义域为(0，＋∞)，∴当0<x≤12时，f(

x)＝1－2x－2lnx，此时f(x)单调递减；当12<x≤1时，f(x)＝2x－1－2lnx，有f′(x)＝2－2x≤0，此时f(x)单调递减；当x>1时，f(x)＝2x－1－2lnx，有f′(x)＝2－2x>0，此时f(x)单调递增；又f(x)在各分段的界

点处连续，∴综上有：0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增；∴f(x)≥f(1)＝1.16．答案：2a<2解析：当a<2时，f(x)在区间(－∞，a)，(2，＋∞)上f′(x)>0，f(x)递增，在区间(a

,2)上f′(x)<0，f(x)递减．f(x)的极大值点为a，极小值点为2.当a＝2时，f′(x)＝(x－2)2≥0，f(x)在R上递增，无极值．当a>2时，f(x)在区间(－∞，2)，(a，＋∞)上f′(x)>0，f(x)递增

，在区间(2，a)上f′(x)<0，f(x)递减．f(x)的极大值点为2，极小值点为a.17．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，则f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，得－x2＋2>0，

解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．(2)方法一若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．即f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0在(－1,1)上恒成立，令g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，则g(

x)＝－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立．所以g(－1)＝－1＋(2－a)＋a≥0，g(1)＝－1＋(a－2)＋a≥0，解得a≥32.方法二f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，令f′(x)>0，即－x2＋(a－2)x＋a>0，解得a－2－a2＋42

<x<a－2＋a2＋42.所以函数f(x)的单调递增区间为a－2－a2＋42，a－2＋a2＋42，又因为f(x)在(－1,1)上单调递增，所以(－1,1)⊆a－2－a2＋42，a－2＋a2＋42，即a

－2－a2＋42≤－1，a－2＋a2＋42≥1，解得a≥32.18．解析：(1)由f(x)＝xex可得f′(x)＝ex－xexe2x＝1－xex，所以函数f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝1－1e＝0，切点为1，1e，所以函数f(x)在x＝1处的切线方程为：y－1e＝

0×(x－1)即y＝1e.(2)因为f′(x)＝ex－xexe2x＝1－xex，由f′(x)>0可得x<1；由f′(x)<0可得x>1；所以函数f(x)在(－∞，1)单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以x＝1时，f(x)取得极大值为f(1)＝1e，无极小值．综上所述：f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，f(x)的极大值为f(1)＝1e，无极小值．考点过关检测12利用导数研究函数的单调性、极值与最值(2)1.答案：D解析：由题意，x∈(－∞，－3

)时，y>0，(x－1)3<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－3,1)时，y<0，(x－1)3<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(1,3)时，y>0，(x－1)3>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(3，＋∞)时

，y<0，(x－1)3>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．2．答案：C解析：如图所示：当a≤0时，函数f(x)有极大值点x＝1，当a>0时，函数f(x)无极值点，则“f(x)存在极值点”是“a≤0”的充分必要条件．3．答案：D解析：若f

(x)在区间12，2内存在单调递增区间，则f′(x)>0，x∈12，2有解，故a>－12x2，令g(x)＝－12x2，g(x)＝－12x2在12，2递增，∴g(x)>g(12)＝－2，故a>－2.4．答案：C解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋2a＋1

63，根据题意知方程3x2＋2ax＋2a＋163＝0有两个不等实根，于是得Δ＝4a2－122a＋163>0，整理得a2－6a－16>0，解得a>8或a<－2，所以a的取值范围是(－∞，－2)∪(8，＋∞)．5．答案：D解析：令g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)－f(x)ex>

0，故g(x)在R上递增，不等式ex－1f(x)<f(2x－1)，即f(x)ex<f(2x－1)e2x－1，故g(x)<g(2x－1)，故x＜2x－1，解得：x＞1.6．答案：D解析：f′(x)＝6x2－6bx＝6x(x－b)，①当b>0时，可得函数f(x)

的增区间为(－∞，0)，(b，＋∞)，减区间为(0，b)，若函数f(x)在区间(－1,1)有最小值，必有b<1f(－1)≥f(b)，有b<1b3－3b－2≥0，由b<1，有b3<1，b3－3b－2<0，不合题意；②当b≤－1时，此时函数

f(x)的增区间为(－∞，b)，(0，＋∞)，减区间为(b,0)，f(x)在区间(－1,1)最小值为f(0)＝0，符合题意；③当－1<b<0时，此时函数f(x)的增区间为(－∞，b)，(0，＋∞)，减区间为(b,0)，只需要f(－1)＝－2－3b≥0，得－1<b≤－23；④

当b＝0时，f(x)＝2x3在区间(－1,1)单调递增，不合题意，故实数b的取值范围为－∞，－23.7．答案：D解析：∵b>1，∴beb>0，∴－cec>0，∴c<0，∴b>c，∵lnaea＝beb>0，∴lna>0，∴a>1，∴a>c，∵lnaea＝beb

，设f(x)＝xex(x>1)，∴f′(x)＝1－xex<0，∴函数f(x)在(1，＋∞)单调递减，设g(x)＝x－lnxex(x>1)，h(x)＝x－lnx(x>1)，∴h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，h

(x)>h(1)＝0，∴x－lnx>0，∴g(x)＝x－lnxex>0，∴xex>lnxex，∴aea>lnaea＝beb，∵函数f(x)在(1，＋∞)单调递减，∴a<b，∴b＞a＞c.8．答案：B解析：由题意可得：lnk≤ex2－ex2在R上恒成立，令f(x)＝ex

2－ex2，则lnk≤f(x)min，f′(x)＝ex2·2x－2ex＝2x(ex2－e)．当x>0时f′(x)＝2x(ex2－e)＝0可得x＝1，当0<x<1时f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，因为f(x)＝ex2－ex2是偶函数，关于原点对称的区间单调性相反，所以f

(x)＝ex2－ex2在(－∞，－1)和(0,1)单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)单调递增，所以f(x)min＝f(±1)＝e1－e×1＝0，所以lnk≤0，可得k≤1，又因为k>0，所以0<k≤1，所以实数k的取值范围为0<

k≤1.9．答案：AC解析：当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1,2)2(2,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0＋0－0－0＋f(x)单调递增单调递增单调递减单调递

减单调递增由上表可知，f(x)在x＝1处有极大值，故A正确；x＝2不是f(x)的极值点，故B错误；f(x)在[1,3]上单调递减，故C正确；f(x)的极大值为f(1)，极小值为f(3)，若f(1)<0或f(3)>0，则f(

x)有1个零点；若f(1)＝0或f(3)＝0，则f(x)有2个零点；若f(1)>0，f(3)<0，则f(x)有3个零点，故D错误．10．答案：ABD解析：由已知f′(x)＝(2x＋2)ex－(x2＋2x－2)exe2x＝4－x2ex，f′(x)＝0

⇒x＝±2，当x<－2或x>2时，f′(x)<0，－2<x<2时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上递减，在(－2,2)上递增，f(x)min＝f(－2)＝－2e2，f(x)max＝f(2)＝6e2，A正确；x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋

∞时，f(x)→0，f′(0)＝4，B正确；当－2e2<k≤0时，f(x)＝k只有两个根，C错；若x∈[0，t]时，f(x)max＝6e2，则t≥2，t的最小值为2，D正确．11．答案：BD解析：设h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]，因为f′(x)＋f

(x)>0，所以h′(x)>0，h(x)在R上是增函数，因为a是正实数，所以a<2a，所以eaf(a)<e2af(2a)，即f(a)<eaf(2a)，又ea>1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A错误．因为－a<a，所以e－af(－a)<eaf(a)

，即e2af(a)>f(－a)，故B正确．因为a>0，所以eaf(a)>e0f(0)＝f(0)，即f(a)>f(0)ea，又ea>1，所以f(a)，f(0)大小不确定，故C错误，D正确．12．答案：ACD解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

，f′(x)＝1－2lnxx3，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝e处取得极大值f(e)＝12e，A正确；令f(x)＝0，则lnx＝0，即x＝1，故f(x)只有一个零点，B错误；显然e<3<π，因此f(π

)<f(3)，易知f(π)＝lnππ＝12·lnππ，f(2)＝ln22＝12·ln22＝12·ln44，设h(x)＝lnxx，则h′(x)＝1－lnxx2，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，而e<π<4，所以h(π)>h(4)，即lnππ>ln44，所以f(2)

<f(π)，所以f(2)<f(π)<f(3)，C正确；令g(x)＝lnxx2＋1x2(x>0)，则g′(x)＝－1＋2lnxx3，当x∈0，1e时，g′(x)>0，当x∈1e，＋∞时，g′(x)<0，所以g(x)在x

＝1e处取得极大值也是最大值g1e＝e2，因为f(x)＋1x2<k在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以k>e2，D正确．13．答案：1解析：由题意，f′(x)＝－sinx－cosx＋aex，∵f(x)＝cosx－aex在x＝π2处取得极值，∴

f′π2＝－sinπ2－cosπ2＋aeπ2＝0，解得，a＝1.14．答案：0，1e解析：由题知，y＝g(x)＝lnxx与y＝k有两个交点，g′(x)＝1－lnxx2(x>0)，由g′(x)>0得0<x

<e；由g′(x)<0得x>e，∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，g(x)max＝g(e)＝1e，且当x>e时，g(x)>0，函数图象如图所示：所以k∈0，1e.15．

答案：1解析：∵函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，∴f′(x)＝2x(3x－a)，x∈(0，＋∞)，①当a≤0时，f′(x)＝2x(3x－a)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1，f(x)在(0，＋∞)上没有

零点，舍去；②当a>0时，f′(x)＝2x(3x－a)>0的解为x>a3，∴f(x)在0，a3上递减，在a3，＋∞上递增，又f(x)只有一个零点，∴fa3＝－a327＋1＝0，解得a＝3，f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x

－1)，x∈[－1,1]，f′(x)>0的解集为(－1,0)，f(x)在(－1,0)上递增，在(0,1)上递减，f(－1)＝－4，f(0)＝1，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝1，∴f(x)在[－1,1]上的最大值为1.16．答案：(

0,1)[1，＋∞)解析：函数f(x)＝lnx＋1x定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－lnxx2，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，则有f(x)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞

)上单调递减，所以f(x)的单调增区间是(0,1)；因∀a，b∈[1，e]，a≠b，均有alnb－blnab－a<m成立，不妨令1≤a<b≤e，于是得alnb－blna<mb－ma⇔a(lnb＋m)<b(lna＋m)⇔lnb＋mb<lna＋ma，令g(x)＝lnx＋mx，x

∈[1，e]，则有∀a，b∈[1，e]，a<b，g(a)>g(b)恒成立，从而得g(x)在[1，e]上单调递减，因此，∀x∈[1，e]，g′(x)＝1－m－lnxx2≤0⇔m≥1－lnx，而1－lnx在[1，e]上单调递减，则当x＝1时，(1－lnx)max

＝1，即m≥1，所以m的取值范围是[1，＋∞)．17．解析：由题设，f′(x)＝1x＋2ax－(2a＋1)＝(x－1)(2ax－1)x(x>0)①当a≤0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，令f′(x)＜0，得x＞1，∴f(x)在(0,1)上单调

递增，在(1，＋∞)上单调递减；②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝12a，ⅰ)当a＝12时，f′(x)＝(x－1)2x≥0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；ⅱ)当a>12时，令f′(x)＞0

，得0<x<12a或x＞1；令f′(x)＜0，得12a<x<1，∴f(x)在0，12a和(1，＋∞)单调递增，在12a，1单调递减；ⅲ)当0<a<12时，令f′(x)＞0，得0＜x＜1或x>12a；令f′(x)＜0，得1<x<12a，∴f(x)在(0,1)和12a，＋∞单调

递增，在1，12a单调递减；综上：当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减；当a＝12时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>12时，f(x)在0，12a和(1，＋∞)单调递增，在

12a，1单调递减；当0<a<12时，f(x)在(0,1)和12a，＋∞单调递增，在1，12a单调递减．18．解析：(1)∵f(x)＝xlnx－a(x－1)，∴f′(x)＝x′lnx＋x(lnx)′－a＝lnx＋1－a，

∴f′(x)＝lnx＋1－a.∵x＝e是函数f(x)的一个极小值点．∴f′(e)＝0，∴f′(e)＝lne＋1－a＝0，∴a＝2.当a＝2时f(x)＝xlnx－2(x－1)，∴f′(x)＝lnx－1，令f′(x)>0，lnx－

1>0，∴x>e，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，lnx－1<0，∴0<x<e，∴f(x)在(0，e)上单调递减；∴x＝e是函数f(x)的一个极小值点，∴a＝2满足题意．(2)由(1)可知：f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∵x∈[1,3]，∴f(x)

在[1，e]上单调递减，在[e,3]上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取f(x)min＝f(e)＝－e＋2，∵f(3)＝3ln3－2(3－1)＝3ln3－4，且3ln3<4，∴f(3)＝3ln3－4<0.又∵f(x)max＝max{f(1)，f(3)}，f(1)＝0>f(3)＝3ln3－4，

∴f(x)max＝f(1)＝0.综上：函数f(x)在区间[1,3]上的f(x)min＝－e＋2，f(x)max＝0.考点过关检测13利用导数研究不等式1．解析：(1)因为f′(x)＝3x2＋4，所以曲线y＝f(x)在x＝m处的切线斜率为f′(m)＝3m2＋4，又f′

(m)＝m3＋4m＋2m，所以m3＋4m＋2m＝3m2＋4，整理得m3＝1，即m＝1.(2)证明：设函数g(x)＝f(x)－alnx－a2(x－1)－5＝x3＋(4－a2)x－alnx＋a2－5，则g

′(x)＝3x2＋4－a2－ax＝3x3＋(4－a2)x－ax，设函数h(x)＝3x3＋(4－a2)x－a，则h′(x)＝9x2＋4－a2.显然h′(x)＝9x2＋4－a2在(1，＋∞)为增函数，因为－2<a<2，所以h′(1)＝13－a2>0，所以h′(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立

，则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)>h(1)＝－a2－a＋7.因为－2<a<2，所以－a2－a＋7>0，则h(x)>0，从而g′(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所

以g(x)>g(1)＝0，从而f(x)>alnx＋a2(x－1)＋5.2．解析：(1)∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴切线方程为：y＝x－1.(2)

设函数h(x)＝xlnx－a(x2－1)，由题知f(x)<a(x2－1)，x>1，即h(x)<0在x>1时恒成立，又∵h′(x)＝lnx＋1－2ax，当h′(x)<0时，即lnx＋1x<2a时，函数h(x)单调递减，设g(x)＝lnx＋1x，则g′(x)＝－lnxx2<0，∴

g(x)max＝g(1)＝1，即1<2a，则a>12符合题意，当a≤0时，h′(x)＝lnx＋1－2ax>0恒成立，此时，函数h(x)单调递增，即h(x)>h(1)＝0对任意x∈(1，＋∞)恒成立，不合题意．当0<a<

12时，设m(x)＝h′(x)＝lnx＋1－2ax，则m′(x)＝1x－2a＝0，故x＝12a>1，x∈1，12a时，函数m′(x)>0，此时m(x)单调递增，故h′(x)>h′(1)＝1－2a>0，∴x∈1，12a时

，函数h(x)单调递增，∴x∈1，12a时，h(x)>0成立，不合题意，综上，实数a的取值范围为12，＋∞.3．解析：(1)因为f(x)＝xex－2lnx－x2＋x－2，所以f′(x)＝(x＋1)ex－2x－2x＋1，则f′(1)＝(1＋1)e－2－2＋1＝2e－3.因为f

(1)＝e－1＋1－2＝e－2，所以所求切线方程为y－(e－2)＝(2e－3)(x－1)，即y＝(2e－3)x－e＋1.(2)证明：设g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.由g′(x)>0，得x>0；由g′(x)<0，得x<0.所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上

单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号．因为ex≥x＋1，所以elnx≥lnx＋1，所以x≥lnx＋1，所以2x≥2lnx＋2.当x>0时，xex>x2＋x，所以xex＋2x>

x2＋x＋2lnx＋2，则xex－2lnx－x2＋x－2>0，即f(x)>0.4．解析：(1)函数的定义域为()0，＋∞，又f′()x＝1－lnx－1＝－lnx，当x∈()0，1时，f′()x>0，当x∈()1，＋∞时，f′()x<0，故f()x的单调递增区间为()0，1，单调递减区间

为()1，＋∞.(2)因为blna－alnb＝a－b，故b()lna＋1＝a()lnb＋1，即lna＋1a＝lnb＋1b，故f1a＝f1b，设1a＝x1，1b＝x2，由(1)可知不妨设0<x1<1<x2.因为x∈()0，1时，f()x＝x()1－lnx

>0，x∈()e，＋∞时，f()x＝x()1－lnx<0，故1<x2<e.先证：x1＋x2>2，若x2≥2，x1＋x2>2必成立．若x2<2，要证：x1＋x2>2，即证x1>2－x2，而0<2－x2<1，故即证f()x1>f()2－x2

，即证：f()x2>f()2－x2，其中1<x2<2.设g()x＝f()x－f()2－x，1<x<2，则g′()x＝f′()x＋f′()2－x＝－lnx－ln()2－x＝－ln[]x()2－x，因为1<x<2，

故0<x()2－x<1，故－lnx()2－x>0，所以g′()x>0，故g()x在()1，2上为增函数，所以g()x>g()1＝0，故f()x>f()2－x，即f()x2>f()2－x2成立，所以x1＋x2>2成立，综上，x1

＋x2>2成立．设x2＝tx1，则t>1，结合lna＋1a＝lnb＋1b，1a＝x1，1b＝x2可得：x1()1－lnx1＝x2()1－lnx2，即：1－lnx1＝t()1－lnt－lnx1，故lnx1＝t

－1－tlntt－1，要证：x1＋x2<e，即证()t＋1x1<e，即证ln()t＋1＋lnx1<1，即证：ln()t＋1＋t－1－tlntt－1<1，即证：()t－1ln()t＋1－tlnt<0，令S()t＝()t－1ln

()t＋1－tlnt，t>1，则S′()t＝ln()t＋1＋t－1t＋1－1－lnt＝ln1＋1t－2t＋1，先证明一个不等式：ln()x＋1≤x.设u()x＝ln()x＋1－x，则u′()x＝1x＋1－1＝－xx

＋1，当－1<x<0时，u′()x>0；当x>0时，u′()x<0，故u()x在()－1，0上为增函数，在()0，＋∞上为减函数，故u()xmax＝u()0＝0，故ln()x＋1≤x成立．由上述不等式可得当t>

1时，ln1＋1t≤1t<2t＋1，故S′()t<0恒成立，故S()t在()1，＋∞上为减函数，故S()t<S()1＝0，故()t－1ln()t＋1－tlnt<0成立，即x1＋x2<e成立．综上所述，2<1a＋1b<e.考点过关检测14利用导数研究函数的零点(或方程的根)1．解析

：(1)函数f(x)＝lnx－ax的导数为f′(x)＝1x－a，即在x＝2处的切线l的斜率为12－a，由切线l与直线x＋2y－3＝0平行，即有12－a＝－12，解得a＝1；(2)关于x的方程f(x)＋m＝2x－x2在12，2上恰有两

个不相等的实数根，即有－m＝lnx－3x＋x2在12，2上恰有两个不相等的实数根．令g(x)＝lnx－3x＋x2，g′(x)＝1x－3＋2x＝1－3x＋2x2x＝(2x－1)(x－1)x，当12<x<1时，g′(x)<0，g(x)递减，当1<x<2时，g′(x)>0，g(x)

递增．即有x＝1时g(x)取得最小值，且为－2，又g12＝－ln2－54，g(2)＝ln2－2，g(2)－g12＝ln4－34>0，∴－2<－m≤－ln2－54，解得ln2＋54≤m<2.2．解析：(1)当a＝3时，f(x)＝2x3－3x2＋2，所以f′(x)＝6x2

－6x＝6x(x－1)，令f′(x)>0，解得x>1或x<0，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以当x＝0时，f(x)取得极大值为f(0)＝2，当x＝2

时f(2)＝6，所以函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为6；(2)由f(x)＝2x3－ax2＋2，所以f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)，当a＝0时f′(x)＝6x2≥0，所以函数在定义域

上单调递增，则f(x)只有一个零点，故舍去；所以a≠0，令f′(x)＝0得x＝0或x＝a3，函数f(x)有三个零点，等价于f(x)的图象与x轴有三个交点，函数的极值点为x＝0，x＝a3，当a>0时，令f′(x)>0得x<0或x>a3，所以函数在(－∞，0)和a3，＋∞上单调递增，令f′

(x)<0得0<x<a3，所以函数在0，a3上单调递减，所以函数在x＝0处取得极大值f(0)＝2，在x＝a3处取得极小值fa3＝－a327＋2<0，解得a>332；当a<0时，令f′(x)>0得x>0或x<a3，所以函数

在－∞，a3和(0，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0得a3<x<0，所以函数在a3，0上单调递减，所以函数在x＝0处取得极小值f(0)＝2，所以f(x)的图象与x轴不可能有三个交点；综上可得a>332，即a∈(332，＋∞)．3．证明：(1)当x

>1时，f(x)>(1－a)x2－(1－b)等价于ex>x＋1.设g(x)＝ex－x－1，当x>1时，g′(x)＝ex－1>0，g(x)单调递增，故g(x)>g(1)，ex－x－1>e－2>0，即ex>x＋1.于是当x>1时，f(x)>(1－a)x2－(1－b

)．(2)f(x)定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x(ex－2a)．若0<a<12，当x<ln2a或x>0时，f′(x)>0，当ln2a<x<0时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，ln2a)单调递增，在(ln2a,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．f(ln2a)＝(ln2a

－1)2a－a(ln2a)2＋b≤aln2a(2－ln2a)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上没有零点；因为0<a<12，b≤2a，所以b<1，∴f(0)＝b－1<0，当x0满足x0>1且x0>1－b1－a时，由(1)可知f(x0)>(1－a

)x20－(1－b)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点；综上所述，f(x)有且仅有一个零点．4．解析：(1)f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，故x∈0，1e时，f

′(x)<0，f(x)单调递减；x∈1e，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴x＝1e时，f(x)取得最小值f(x)min＝f1e＝－1e；(2)由f(x)≤x2－ax＋2得：xlnx≤x2－ax＋2，∵x>0，∴a≤x－lnx＋2x

，令g(x)＝x－lnx＋2x，g′(x)＝1－1x－2x2＝x2－x－2x2＝(x－2)(x＋1)x2(x>0)，当x∈(0,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；∴[g(x)]

min＝g(2)＝3－ln2，∵对一切x∈(0，＋∞)，都有a≤x－lnx＋2x恒成立，∴a∈(－∞，3－ln2]；(3)令lnx－1ex＋2ex＝0，则xlnx＝xex－2e，即f(x)＝xex－2e，由(1)知当

x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝f1e＝－1e，设h(x)＝xex－2e(x>0)，则h′(x)＝1－xex，当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h′(x

)<0，h(x)单调递减．∴h(x)max＝h(1)＝－1e.∴对一切x∈(0，＋∞)，f(x)>h(x)，即lnx－1ex＋2ex>0.∴函数y＝lnx－1ex＋2ex没有零点．单元过关检测三导数及其应用1．答案：A解析：因为f(x)＝f′(2)x2－3x，则f′(x)＝2f′(2)·x－3，所

以f′(2)＝4f′(2)－3，得f′(2)＝1，所以，f(x)＝x2－3x，因此，f(1)＝－2.2．答案：A解析：f′(x)＝(x2＋2x)·ex－2e，f′(1)＝3e－2e＝e，由于曲线y＝f(x)在x

＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，所以2a·e＝－1⇒a＝－2e.3．答案：B解析：由函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以当x>1时，f′(x)

<0；x＝1时，f′(x)＝0；x<1时，f′(x)>0；所以当x<0时，y＝－xf′(x)>0，当0<x<1时，y＝－xf′(x)<0，当x＝0或x＝1时，y＝－xf′(x)＝0，当x>1时，y＝－xf′(x)>0，可得选项B符合题意．4．答案：B解析：因为f′(x)

＝3x2＋6mx＋n，由题有f′(－1)＝0f(－1)＝0，即3－6m＋n＝0－1＋3m－n＋m2＝0，解得m＝1n＝3或m＝2n＝9，检验：当m＝1n＝3时f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合题意，舍掉；当

m＝2n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，得x<－3或x>－1；令f′(x)<0得－3<x<－1.所以f(x)在(－∞，－3)，(－1，＋∞)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，符合题意，则m＋n＝2＋9＝11.5．答案：C解析：∵f

(x)＝－x2＋4x＋blnx在(0，＋∞)上是减函数，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝－2x＋4＋bx≤0，即b≤2x2－4x，∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2.6．答案：A解析：设g(x)＝f(x

)x，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2<0，∴g(x)为单调递减函数．∵3>ln4>1，∴g(3)<g(ln4)<g(1)，即a>b>c.7．答案：C解析：f′(x)＝－3x2＋3，当－1<x<1时，f′(x)>0，当

x<－1或x>1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，故在x＝－1处函数f(x)取得极小值－2.因为函数f(x)在开区间(

a－5,2a＋1)上有最小值，所以在区间(a－5,2a＋1)内必存在极小值点x＝－1，且此极小值点为最小值，因此a－5<－1<2a＋1，解得－1<a<4.又因为f(2)＝－2＝f(－1)，为了保证在区间(a－5,2a＋1)上的最小值在x＝－1处取到，所以a≤

12.综上－1<a≤12.8．答案：D解析：因为f(x)＝ex－ax2＋2ax有两个极值点，所以f′(x)＝0有两个不同实数根，所以ex－2ax＋2a＝0有两个不同实数根，所以ex＝2a(x－1)有两个不同实数根，显然a≠0，所以12a＝x－1ex有两个不同实数根，记g(x)＝x－1e

x，g′(x)＝2－xex，当x∈(－∞，2)时g′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(2)＝1e2，又因为x∈(－∞，1]时，g(

x)≤0；当x∈(1,2)时，g(x)∈0，1e2；当x∈[2，＋∞)时，g(x)∈0，1e2，所以当12a＝x－1ex有两个不同实数根时12a∈0，1e2，所以2a>e2，所以a>e22

.9．答案：CD解析：由题意，根据f′(x)的图象，可得当－3<x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0)<f(1)，所以A不正确；x＝1不是函数f(x)的极值点，所以B不正确；x＝－1是函数f(x)的极小值点，

所以C正确；x＝－3是函数f(x)的极大值点，所以D正确．10．答案：ABC解析：函数f(x)＝xln(x＋1)，则f′(x)＝ln(x＋1)＋xx＋1＝ln(x＋1)－1x＋1＋1，可得：f′(x)单调递增，且f′(0)＝0，函数的定义域为(－1，＋∞)，所以函数f(x)在

区间(－1,0)单调递减，在区间(0，＋∞)单调递增，故A选项正确；且f(x)在x＝0处取得极小值，故B选项正确；C选项中，f′(1)＝ln2＋12，所以在x＝1处的切线斜率为ln2＋12，故C选项正确；D选项

中，因为函数的定义域不关于原点对称，所以不具备奇偶性，故D选项错误．11．答案：BD解析：函数g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)－f(x)ex，当x>－1时，f′(x)－f(x)>0，g′(x)>0，故g(x)在(－1，＋∞)上为增函

数，A错误；当x<－1时，f′(x)－f(x)<0，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，－1)单调递减，故x＝－1是函数g(x)的极小值点，B正确；若g(－1)>0，则y＝g(x)没有零点，故C错误；g(x)在(－1，＋∞)上为增函数，

则g(2)<g(e)，即f(2)e2<f(e)ee，化简得e2f(e)>eef(2)，D正确．12．答案：BC解析：A.y＝x3－3x，y′＝3x2－3，当x1＝0时，y′＝－3是最小值，不存在x2满足题意；B.f(x)＝3x＋1

x，定义域是{x|x≠0}，f′(x)＝3－1x2，它是偶函数，因此对任意的x1≠0，取x2＝－x1都有f′(x1)＝f′(x2)，满足题意；C.f(x)＝sinx，f′(x)＝cosx，它是周期函数，最小正周期是2π，因此对任意x1∈R，取x2＝x1＋2π，都有f′(x1)＝f′(x2)，满

足题意；D.f(x)＝(x－2)2＋lnx，定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2(x－2)＋1x，令g(x)＝f′(x)＝2(x－2)＋1x(x>0)，g′(x)＝2－1x2＝2x2－1x2，当0<x<22时，g′(x)<0，g

(x)递减，当x>22时，g′(x)>0，g(x)递增，g22＝22－4是极小值也是最小值，取x1＝22，则不存在x2≠x1使得f′(x1)＝f′(x2)，不满足题意．13．答案：0，22解析：函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为f′(x)＝6x－3x

＝6x2－3x，由f′(x)<0，得6x2－3<0，即0<x<22，即函数的单调递减区间为0，22.14．答案：x－y＋1－π2＝0解析：因为f(x)＝1－cosxsinx，所以f′(x)＝(1－cosx)′·sinx－(1－cosx)·(sinx)′sin2x＝si

n2x－cosx＋cos2xsin2x＝1－cosxsin2x，则所求切线的斜率为k＝f′π2＝1－cosπ2sin2π2＝1，所以所求切线方程为y－1＝x－π2，即x－y＋1－π2＝0.15．答案：2π解析：f′(x)＝1－

cosx＋xsinx，当x∈[0，π]时，f′(x)＝1－cosx＋xsinx≥0，所以函数f(x)在[0，π]上递增，所以f(x)max＝f(π)＝π＋π＝2π.16．答案：(0,1)解析：由题意，f(x)＝|ex－1|＝1－ex，x<0ex－1，x≥0，则f′(x)＝

－ex，x<0ex，x>0，所以点A(x1,1－ex1)和点B(x2，ex2－1)，kAM＝－ex1，kBN＝ex2，所以－ex1·ex2＝－1，x1＋x2＝0，所以AM：y－1＋ex1＝－ex1(x－x1)，M(0，ex1x1－ex1＋1

)，所以|AM|＝x21＋(ex1x1)2＝1＋e2x1·|x1|，同理|BN|＝1＋e2x2·|x2|，所以|AM||BN|＝1＋e2x1·|x1|1＋e2x2·|x2|＝1＋e2x11＋e2x2＝1＋e2x11＋e－2x1

＝ex1∈(0,1)．17．解析：(1)令x＝0，则f(0)＝e0＝1，所以f(x)与y轴的交点A的坐标(0,1)．(2)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a，∴f′(0)＝1－a＝－1，解得a＝2，∴f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝ex－2＝0，解得x＝

ln2，当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln2时，f(x)有极小值f(ln2)＝2－2ln2.故函数极小值为2－2ln2，无极大值．18．解析：(1)由题意知f(1)＝3－c，因此－b－c＝3－c，从而b＝－3.由题意求

导得f′(1)＝0，因此a－2b＝0，解得a＝－6；(2)由(1)知f′(x)＝－12xlnx．令f′(x)＝0，解得x＝1.x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)递增极大值递减因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，而f(x)的

单调递减区间为(1，＋∞)；所以f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝3－c，此极大值也是最大值．要使f(x)≥2c2(x>0)有解，只需3－c≥2c2.即2c2＋c－3≤0，从而(2c＋3)(c－1)≤0，解得－32≤c≤1.所以c的取值范

围为－32，1.19．解析：(1)由题意得：f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2ax＝1－2ax2x，①当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a>0时，令f′(x)＝0得：x＝

12a，列表如下：x0，12a12a12a，＋∞f′(x)＋0－f(x)递增极大值递减∴f(x)在0，12a上单调递增，在12a，＋∞上单调递减；综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0

时，f(x)在0，12a上单调递增，在12a，＋∞上单调递减．(2)当a>0时，由(1)知：①当12a≤1，即a≥12时，f(x)在[1,2]上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝－a；②当1<12a<2，即18<a<12时，f(x)在1，12a上单调递增，在

12a，2上单调递减，∴f(x)max＝f12a＝－12ln2a－12；③当12a≥2，即0<a≤18时，f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)max＝f(2)＝ln2－4a；综上所述：f(x)max＝ln2－4a，0<a≤18－12ln2a－12，18<a<1

2－a，a≥12.20．解析：(1)由题意得f′(x)＝(x－1)ex＋2ax－b.∵函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线的斜率为－3，∴f′(0)＝－b－1＝－3，解得b＝2.(2)∵f(x)>－e－1恒成立，∴f(1)＝

－e＋a－2>－e－1，即a>1.下面证明当a>1时，不等式f(x)>－e－1在x∈R上恒成立．当a>1时，f(x)≥(x－2)ex＋x2－2x(当x＝0时，取“＝”)．令g(x)＝(x－2)ex＋x2－2x，则g′(x)＝(x－1)ex

＋2(x－1)＝(x－1)(ex＋2)．由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)<0，得x<1.∴函数g(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(1)＝－e－1，∴g(x)≥－e－1(当x＝1时，取“＝”)．∴f(x)>－e－1.综上

，实数a的取值范围为a>1.21．解析：(1)当a＝－1时，f′(x)＝1x－1＝1－xx，x>0.由f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递

减，∴f(x)只有极大值，无极小值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1.(2)f′(x)＝1x＋a＝1＋axx(x>0)．当a≥0时，∵f′(x)＝1＋axx>0，∴函数f(x)＝lnx＋ax在(0，＋∞)上单调递增，从而f(x)至多有一个零点，

不符合题意．当a<0时，∵f′(x)＝ax＋1ax(x>0)，∴f(x)在0，－1a上单调递增，在－1a，＋∞上单调递减．由f－1a＝ln－1a－1>0得－1e<a<0.由f

()e2＝2＋ae2<0得a<－2e2.当－1e<a<－2e2时，f(1)＝a<0，满足f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点．∴a的取值范围是－1e，－2e2.22．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－2a＋1x＝x2－2ax＋1x，

由x>0有：当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数；当a>0时，x2－2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－4≤0，即0<a≤1时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数；当a>1时，

f′(x)＝0有两不等正根，x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1，当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上为增函数；当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，所以，

f(x)在(x1，x2)上为减函数．综合以上知：当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；当a>1时，f(x)的增区间为：(0，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)．(2)由g(x)＝xf(x)－12x3＋2x⇔g(x

)＝x(lnx－2ax＋2)，所以x1，x2是方程lnx－2ax＋2＝0的两不等根，且0<x1<x2，所以：lnx1＋2＝2ax1且lnx2＋2＝2ax2，所以a＝lnx2－lnx12(x2－x1)，所以lnx1＋

lnx2＋4＝lnx2－lnx1x2－x1(x1＋x2)，所以ln(x1x2)＋4＝x2x1＋1x2x1－1lnx2x1，设t＝x2x1，则由x2－3x1≥0知：t≥3，令g(t)＝t＋1t－1lnt(t≥3)，则g′(t)＝t－1t

－2lnt(t－1)2(t≥3)，令h(t)＝t－1t－2lnt(t≥3)，则h′(t)＝(t－1)2t2>0，所以h(t)在[3，＋∞)上为增函数，所以h(t)≥h(3)＝3－13－ln3>0，所以g′(t)＝t－1t－2ln

t(t－1)2>0，所以g(t)在[3，＋∞)上为增函数，所以g(t)≥g(3)＝2ln3＝ln9，所以ln(x1x2)＋4≥ln9，即ln(x1x2)≥ln9e4，x1x2≥9e4，所以x1＋x2>2x1x2＝6e2＝6e

－2，即x1＋x2>6e－2.滚动过关检测二集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数1．答案：A解析：联立方程2x－y＝0y＝x2－3，解得x＝3y＝6或x＝－1y＝－2，即A∩B＝{(3,6)，

(－1，－2)}，有2个元素，故A∩B的真子集有22－1＝3个．2．答案：B解析：充分性：取a＝15，b＝10，满足2aba＋b≤1，但是ab＝2，不满足ab≤1.故充分性不满足；必要性：ab≤1⇒2aba＋b≤2ab2ab＝ab

≤1.故必要性满足．故“2aba＋b≤1”是“ab≤1”的必要不充分条件．3．答案：C解析：令F1(x)＝f(x)＋g(x)，则F1(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－F1(x)，且F1(－x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故

A、B错误；令F2(x)＝f(x)g(x)，则F2(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F2(x)，且F2(－x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选C.4．答案：D解析：因为f(x)＝0.54x在

R上递减，所以1＝0.540>0.540.45>0.540.54，又因为f(x)＝x0.54在[0，＋∞)上单调递增，所以0.540.54>0.450.54>0，由1＝0.540>0.540.45>0.540.54,0.540.54>0.450.54>0，所以1>0.540.4

5>0.450.54>0，因为g(x)＝log0.54x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.540.45>log0.540.54＝1，所以c>a>b.5．答案：A解析：∵函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4a

x＋a2，又f(x)＝x(x－a)2在x＝2处有极值，∴f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或6，又由函数在x＝2处有极小值，故a＝2，a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，所以函数f(x)＝x

(x－a)2在x＝2处有极大值，不符合题意．6．答案：C解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－

3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，所以由xf(x－2)≤0可得：x<0－3≤x－2≤0或x>00≤x－2≤3或x＝0，解得－1≤x≤0或2≤x≤5.7．答案：C解析：因为正实数x，y

满足1x＋4y＝1，所以x＋y4＝x＋y41x＋4y＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，当且仅当4xy＝y4x且1x＋4y＝1，即x＝2，y＝8时取等号，所以x＋y4min＝4，因为存在x，y使不等式x＋y4<m2＋3m有解，所以m2＋3m>

4，解得：m>1或m<－4，所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．8．答案：C解析：由题意可知，函数f(x)在R上单调递减．f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.构造h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(

x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，即e2f(2)<ef(1)，ef(2)<f(1)，故A，B错误；构造g(x)＝f(x)ex，定义域为R，则g′(x)＝f′(x)·ex－ex·f(x)(e

x)2＝f′(x)－f(x)ex>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(1)，即f(2)e2>f(1)e，f(2)>ef(1)，故D错误．9．答案：BC解析：∵lna<lnb，∴0<a<b，∴1a>1b，故A错误，B正确；令f(x)＝3x＋x，易得f

(x)是单调递增函数，∴f(a)<f(b)，即3a＋a<3b＋b，故C正确，D错误．10．答案：AC解析：由y＝f′(x)的图象可知：当a<x<x3或x5<x<b时，f′(x)>0，当x3<x<x5时f′(x)<0，所以y＝f(x)在(a，x3)

上单调递增，在(x3，x5)上单调递减，在(x5，b)上单调递增，对于A、B，y＝f(x)在(a，x3)上单调递增，所以y＝f(x)在(x1，x3)上单调递增，所以f(x1)<f(x2)<f(x3)，故选项A正确，选项B不正确；对于C，y＝f

(x)在(a，x3)上单调递增，在(x3，x5)上单调递减，在(x5，b)上单调递增，所以y＝f(x)在x＝x3处取得极大值，在x＝x5处取得极小值，所以f(x)在(a，b)内有2个极值点，故选项C正确；对于D，由图知f′(0)>0，根据导数的几何意义可知f(

x)的图象在点x＝0处的切线斜率大于0，故选项D不正确．11．答案：ABD解析：A.f(x)的定义域为R关于原点对称，f(－x)＝|－x|＋|－x|12－cos(－x)＝|x|＋|x|12－cosx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确；

B.当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋x12－cosx，f′(x)＝1＋12x＋sinx,1＋sinx≥0，12x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C.因为f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单

调递减，所以x≤0，f(x)≥f(0)＝－1，故错误；D.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝2－cos1>0，f(0)·f(1)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又因为f(x)为偶函数，

所以方程f(x)＝0有且仅有两根，故正确．12．答案：BC解析：对于A,0是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于B，当x<1时，f′(x)＝(x＋1)ex，则当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－1<x<1时，f′(

x)>0，f(x)单调递增，所以，当0<x<1时，0<f(x)<e；当x>1时，f′(x)＝ex(x－3)x4，则当1<x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以，当1<x<3时，e327<f(x)<e，画出图象

如图1，综上可得，选项B正确；对于C，f(x)min＝f(－1)＝－1e，选项C正确．结合函数f(x)的单调性及图象可得：函数f(x)有且只有一个零点0，则g(x)＝xf(x)也有且只有一个零点0.所以对于选项D，关于x的方程[g(x)]2－2ag(x)＝0有两个不

相等的实数根⇔关于x的方程g(x)[g(x)－2a]＝0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)－2a＝0有一个非零的实数根⇔函数y＝g(x)的图象与直线y＝2a有一个交点，且x≠0，则g(x)＝x2ex，x<1，exx2，x≥1

.当x<1时，g′(x)＝exx(x＋2)，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：xx<－2－2－2<x<000<x<1g′(x)＋0－0＋g(x)增极大值减极小值增极大值g(－2)＝4e2，极小值g(0)＝0；当x≥1时，g′(

x)＝ex(x－2)x3，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：x11<x<22x>2g′(x)－e－0＋g(x)e减极小值增极小值g(2)＝e24.画出图象如图2，综上可得，4e2<2a<e24或2a>e，解得a的取值范围是2e2，e2

8∪e2，＋∞.故D错误．13．答案：[1，＋∞)解析：由ax2－2x＋1≥0，∀x>0恒成立，可得，a≥2x－1x2对∀x>0恒成立，令y＝2x－1x2，则y＝1－1x－12，1x>0，当1x＝1时，ymax＝1，所以a≥ymax＝1.14．

答案：y＝2x解析：函数y＝ln(2x＋1)的导数为y′＝22x＋1，所以切线的斜率k＝22×0＋1＝2，切点为(0,0)，则切线方程为y＝2x.15．答案：6876解析：∵样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝

N0·2－T5730，由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的37，∴N0·2－T5730＝37N0，即2－T5730＝37，两边同时取以2为底的对数，得：－T5730＝log23－log27＝l

g3lg2－lg7lg2≈0.480.3－0.840.3＝－1.2.∴T＝1.2×5730＝6876年．∴推测良渚古城存在的时期距今约6876年．16．答案：0(0,2)解析：由y＝x3－3x，得y′＝3x2－3；由y′>0得x>1或x<－1；由y′<0得－1<x<1；所以y＝x3－3x在

(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；因此，当x＝－1时，函数y＝x3－3x取得极大值2；当x＝1时，函数y＝x3－3x取得极小值－2；由x3－3x＝0可得x＝0或x＝±3；在同一直角坐标系中，作出函数y＝x3－3x与y＝x的大致图象如图，由

图象可得，当x∈[－3，0]∪[3，＋∞)时，x3－3x≥0；因为f(x)＝x3－3x，x<a，x，x≥a，，为使不等式f(x)≥0的解集为[－3，＋∞)，结合图象可知，只有a＝0；所以f(x)＝

x3－3x，x<0，x，x≥0，因为方程f(x)＝m有3个不同的解，等价于函数y＝f(x)与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)＝x3－3x，x<0，x，x≥0，的大致图象如图：由图象可得，0<m<2.17．解析：(1)当a＝4时，函数f(

x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2.因为x∈[1,3]，所以x－2∈[－1,1]，(x－2)2∈[0,1]，－(x－2)2＋2∈[1,2]，所以函数f(x)的值域为[1,2]．(2)由－x2＋ax

－2<0，得：ax<x2＋2.因为x∈[1,3]，所以a<x2＋2x＝x＋2x.因为x＋2x≥22，当且仅当x＝2时等号成立，所以x＋1xmin＝22，所以a<22.18．解析：(1)∵f(x)的图象关于坐标原点成中心对称，∴f(

x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，2－1－a2－1＝－2－a2，解得a＝1.又a＝1时，f(x)＝2x－12x，f(－x)＝2－x－12－x＝－2x－12x＝－f(x)，所以a＝1.(2)∵在y轴的右侧函数f(x)的图象始终在g(x)的

图象上方，∴2x－12x>1＋(m＋1)·2x2x，即m＋1<2x－22x对x∈(0，＋∞)恒成立．∵y＝2x与y＝－22x在(0，＋∞)上都是增函数，∴y＝2x－22x在(0，＋∞)上是增函数，∴当x>0时，2x－22x>－1，∴m＋1≤－1，解得

m≤－2，故所求实数m的取值范围为(－∞，－2]．19．解析：(1)∵曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x＋2，又直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的导数为f′(x)＝－2x2＋ax，∴f′(1

)＝－212＋a1＝－1，∴a＝1.(2)∵f′(x)＝－2x2＋ax＝ax－2x2，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，在区间(0，e]上f′(x)＝－2x2<0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝2e.②当2a<0即a<0

时，在区间(0，e]上f′(x)<0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝2e＋a.③当0<2a<e，即a>2e时，在区间0，2a上f′(x)<0，此时函数f(x)在

区间0，2a上单调递减，在区间2a，e上f′(x)>0，此时函数f(x)在区间2a，e上单调递增，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f2a＝a＋aln2a.④当2a≥e，即0<a≤2e时，在区间(0，e]上f′(x)≤0，此

时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝a＋2e.综上所述，当a≤2e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a＋2e，当a>2e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f

2a＝a＋aln2a.20．解析：(1)由题意，f′(x)＝1a＋x＋xex(1＋x)2－a，因为x＝0是函数f(x)的一个极值点，所以f′(0)＝1a－a＝0，解得a＝±1.又因为a＋0>0，所以a＝1.

(2)证明：由(1)可知f(x)＝ln(x＋1)＋ex1＋x－x的定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝11＋x＋xex(1＋x)2－1＝x(ex－x－1)(1＋x)2，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，当x∈[0，＋∞)

时，g′(x)≥0；当x∈(－1,0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－1,0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，从而对于∀x∈(－1，＋∞)，g(x)≥g(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，则f

(x)在(－1,0)上单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故对于∀x∈(－1，＋∞)，f(x)≥f(0)＝1.21．解析：(1)由题可知，预计每件产品的

售价为x元(13≤x≤17)，而每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，所以商店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．(2)∵L＝(x－5－a)(18－x)

2，x∈[13,17]，∴L′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，令L′＝0，解得：x＝28＋2a3或x＝18，∵10≤a≤13，∴16≤28＋2a3≤18，所以①当13≤28＋2a3<17，即10

≤a≤11.5时，当x∈13，28＋a3时，L′(x)≥0，L(x)单调递增，当x∈28＋a3，17时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，∴Lmax＝L28＋2a3＝427(13－a)3；②当17≤28＋2a3≤18，即11.5≤a≤13时，则L′(

x)≥0恒成立，所以L(x)在[13,17]单调递增，∴Lmax＝L(17)＝12－a，所以Q(a)＝427(13－a)3，10≤a<11.512－a，11.5≤a≤13.22．解析：(1)F(x)＝f(x2)＝ax2＋elnx2＝ax2＋2elnx(x>0)则F′(x)＝2ax＋

2ex＝2ax2＋2ex，当a≥0时，F′(x)≥0，则F(x)为单调递增函数，当a<0时，令F′(x)＝0，解得x＝－ea，当x∈0，－ea时，F′(x)>0，则F(x)为单调递增函数，当x∈－ea，＋∞时，F′(x)<0，则F(

x)为单调递减函数，综上：当a≥0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a<0时，F(x)的增区间为0，－ea，减区间为－ea，＋∞.(2)由ax＋elnx＝x2x－elnx(x>0)，可得a＋elnxx＝11－elnxx，令t＝h(x)＝elnxx，则a

＋t＝11－t，所以t2＋(a－1)t－a＋1＝0①，由h′(x)＝e(1－lnx)x2＝0，得x＝e，所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，又x→＋∞时，h(x)→0，作出h(x)图象，如图所示，由题

意可得方程①的根，有一个t1必在(0,1)内，令一个根t2＝1或t2＝0或t2∈(－∞，0)，当t2＝1时，方程①无意义，当t2＝0时，a＝1，t2＝0不满足题意，所以当t2∈(－∞，0)时，由二次函数的性质可得02＋(a－1)·0－a＋1<012

＋(a－1)·1－a＋1>0，解得a>1.综上：实数a的取值范围为(1，＋∞)．考点过关检测15三角恒等变换(1)1．答案：D解析：cos1875°＝cos(360°×5＋75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°

－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.2．答案：D解析：由已知tanα＝12－32＝－33，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×－331－－332＝－3.3．答案：A解析：因为cosθ＝－13(θ∈(0，π))

，所以sinθ＝1－cos2θ＝223，故cos3π2－θ＝－sinθ＝－223.4．答案：D解析：2sin10°－cos20°sin20°＝2sin(30°－20°)－cos20°sin20°＝212cos20°－32sin20°－cos20°s

in20°＝－3sin20°sin20°＝－3.5．答案：A解析：sin3π2＋2α＝－cos2α＝1－2cos2α＝1－2×59＝－19.6．答案：A解析：α的终边在第四象限，sinα＝－45，所以cosα＝1－－452＝35，则s

inα＋π4＝22()sinα＋cosα＝22×－45＋35＝－210.7．答案：B解析：由sinπ2＋α＝12可得cosα＝12，因为－π2<α<0，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32，所以cosα－π3＝cosαcosπ

3＋sinαsinπ3＝12×12－32×32＝－12.8．答案：B解析：由sinπ2－2α＝－45，得cos2α＝－45，则cos4α＝2cos22α－1＝2×－452－1＝725.9．答案：C解析：将式子进行齐次化处

理得：sinθ()1＋sin2θsinθ＋cosθ＝sinθ()sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθsinθ＋cosθ＝sinθ()sinθ＋cosθ＝sinθ()sinθ＋cosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝

4－21＋4＝25.故选C.10．答案：B解析：∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝54，∴2sinαcosα＝14，∵(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－14＝34，∴cosα－sinα＝±32，又∵α∈π4，π2，∴0<cosα<sinα，即c

osα－sinα＝－32.故选B.11．答案：ACD解析：因为sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24，cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24

，所以sin15°＋cos15°＝62，所以A正确，因为cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－24，所以B错误，因为tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝1－331＋33＝2－3，所以23tan15°

＋tan215°＝23×(2－3)＋(2－3)2＝1，所以C正确；因为tan45°＝tan(33°＋12°)＝tan33°＋tan12°1－tan33°tan12°＝1，所以tan33°＋tan12°＝1－

tan33°tan12°，所以tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1，所以D正确．12．答案：ABD解析：∵sinθ＋cosθ＝15①，∴(sinθ＋cosθ)2＝152，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425.∵θ∈(

0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈π2，π，故A正确．(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，∴sinθ－cosθ＝75②，故D正确．①＋②得sinθ＝45，①－②得cosθ＝－35，故B正确．tanθ＝sinθcosθ＝

45－35＝－43，故C错误．13．答案：2425解析：因tan(π－α)＝－34，则tanα＝34，sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝2·3434

2＋1＝2425.14．答案：335解析：由题意知，－sinα＝23cosα，则tanα＝－23，所以tanα－π3＝tanα－31＋3tanα＝－331－6＝335.15．答案：18解析：因为x∈0，π2，所以sinx≠0，因此由2sin2x＝3sinx⇒4sinx

cosx＝3sinx⇒cosx＝34，所以cos2x＝2cos2x－1＝2×342－1＝18.16．答案：－21010解析：由三角函数定义知：tanα＝255－55＝－2；|OP|＝－552

＋2552＝1，则sinα＝255，cosα＝－55，sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝255·22－55·22＝1010.考点过关检测16三角恒等变换(2)1．答案：

B解析：∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∵A，B∈(0，π)，∴A－B＝0，即A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形．2．答案：D解析：因为－

π<α<0，所以－3π4<π4＋α<π4，又cosπ4＋α＝－35<0，所以－3π4<π4＋α<－π2，所以sinπ4＋α＝－45，所以cosα＝cosπ4＋α－π4＝cosπ4＋

αcosπ4＋sinπ4＋αsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.3．答案：A解析：设α＋π6＝x，所以α＝x－π6，cosx＝45，故sin2α－π6＝sin2x－π2＝－cos2x＝1－2cos2

x＝1－2×452＝－725.4．答案：D解析：∵sin2α－π6＝－12，∴sinπ6－2α＝12，∴cos2α＋π3＝12，∴cos2π3＋4α＝cos22α＋π3＝2cos2

2α＋π3－1＝2×122－1＝－12.5．答案：A解析：因为θ∈π4，π2，所以θ＋π4∈π2，3π4，又sinθ＋π4＝45，所以cosθ＋π4＝－35，则tanθ＋π4＝－43，所以tanθ＝tanθ＋π4－π4＝tan

θ＋π4－tanπ41＋tanθ＋π4tanπ4＝－43－11－43＝7.6．答案：B解析：因α，β∈(0，π)且tanα＝12，cosβ＝－1010可知α为锐角，β为钝角，故sinβ>0，sinβ＝1－cos2

β＝31010，tanβ＝sinβcosβ＝－3，∴α∈0，π2，β∈π2，π，∴α＋β∈π2，3π2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12＋(－3)1－12×(－3)＝－1，所以α＋β＝3π4.7．答案：D解

析：a＝12cos4°－32sin4°＝sin(30°－4°)＝sin26°，b＝2tan12°1＋tan212°＝2·sin12°cos12°1＋sin12°cos12°2＝2sin12°cos12°sin212°＋cos212°＝sin24°，c＝1－sin40

°2＝1－cos50°2＝sin225°＝sin25°.因为sin26°>sin25°>sin24°，所以a>c>b.8．答案：C解析：sin2x－sinxcos2x－sinxsin2x2＝2sinxcosx－sinxcos2x－sinx1－cos

x2＝2sinx(2cosx－cos2x－1)1－cosx＝2sinx(2cosx－2cos2x)1－cosx＝4sinxcosx(1－cosx)1－cosx＝4sinxcosx＝4sinxcosxsin2x＋cos2x因为tanx＝2，所以分子分母同除以c

os2x，可得：原式＝4tanxtan2x＋1＝84＋1＝85.9．答案：B解析：由题意得：sinα＋cosα＝2ksinαcosα＝k2＋k，∵sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝4k2－2(k2＋k)＝1

，即2k2－2k－1＝0，解得：k＝2±234＝1±32；∵sinα＋cosα＝2sinα＋π4，∴sinα＋cosα∈[]－2，2，即2k∈[]－2，2，∴k∈－22，22，∴k＝1－32.10．答案：A解析：由0<

α<β<π2，可得－π2<α－β<0，因为cos(α－β)＝45，sinβ＝22，可得sin(α－β)＝－35，cosβ＝22，所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)s

inβ＝－35×22＋45×22＝210.11．答案：ABD解析：tan25°＋tan35°＋3tan25°·tan35°＝tan(25°＋35°)[1－tan25°·tan35°]＋3tan25°·tan35°＝3，故A正确；sin50°(

1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·212cos10°＋32sin10°cos10°＝sin50°·2sin(30°＋10°)cos10°＝sin50°·

2cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝1，故B正确；1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10°＝212cos10°－32sin10°cos10°·sin

10°＝2sin(30°－10°)cos10°·sin10°＝4，故C错误；tan22.5°tan45°－tan222.5°＝12·2tan22.5°1－tan222.5°＝12·tan45°＝12，故D正确．12．答案：AC解析：因为cos(α＋β)＝－55，cos2

α＝－513，其中α，β为锐角，所以：sin2α＝1－cos22α＝1213，故A正确；因为sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝

－513×－55＋1213×255＝29655，故B错误；可得cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝12－55＋29565＝8655，故C正确；可得sinαsinβ＝12

[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝1229565－－55＝21655，所以tanαtanβ＝218，故D错误．13．答案：3解析：因为sin2α1＋cos2α＝2sinαcosα2cos2α＝ta

nα＝－2，所以tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝3.14．答案：8解析：注意到tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可化为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．证明一般结论如下：(1＋tan

α)[1＋tan(45°－α)]＝1＋tanα＋tan(45°－α)＋tanα·tan(45°－α)＝1＋tan45°·[1－tanαtan(45°－α)]＋tanαtan(45°－α)＝1＋1＝2，由于20°＋

25°＝21°＋24°＝22°＋23°＝45°，故原式＝2×2×2＝8.15．答案：－142解析：由题意，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝74，又α∈0，π2，所以sinα＋cosα>0，则sinα＋cosα＝72，所以c

os2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22(sinα－cosα)＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)22(sinα－cosα)＝－142.16．答案：7254138解析：∵α是锐角，tanα＝34，∴sinα＝35，cosα＝45，∴cos2

α＝2cos2α－1＝2×452－1＝725，sin2α＝2sinα·cosα＝2×35×45＝2425，∴tan2α＝247，∵α、β是锐角，∴－π2<α－β<π2，∵sin(α－β)＝55，∴cos(α－β)＝2

55，tan(α－β)＝12，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan(α－β)1＋tan2α·tan(α－β)＝247－121＋247×12＝4138.综上：cos2α＝72

5，tan(α＋β)＝4138.考点过关检测17三角函数图象与性质(1)1．答案：D解析：A.f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，则f(x)是偶函数，当x∈

π2，π时，f(x)＝sinx为减函数，不满足条件．B.y＝cosx是偶函数，当x∈π2，π时，f(x)＝cosx为减函数，不满足条件．C.f(－x)＝|tan(－x)|＝|－tanx|＝|tanx|＝f(x)，则f(x)是偶函数，当x∈

π2，π时，f(x)＝－tanx为减函数，不满足条件．D.y＝cos2x是偶函数，当x∈π2，π时，2x∈(π，2π)，f(x)＝cos2x为增函数，满足条件．2．答案：A解析：将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线C1，则C1的解析式

为y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为y＝sinx＋π3.3．答案：C解析：由图可知：T2＝7π12－π12＝π2，所以T＝π

＝2πω，故ω＝2，又fπ12＝1，可求得φ＝2kπ＋π3，k∈Z，由|φ|<π2可得φ＝π3.4．答案：D解析：由题意可得f(x)＝sinx＋5π12cosx－π12＝sinx＋5π12cosx＋5π12－π2＝sin2

x＋5π12，∴f(x)＝12－12cos2x＋5π6，故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数．5．答案：D解析：因为cosx－1≠0，所以f(x)的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，则x≠0，故排除C；而f(－x)＝－xcos(－x

)－1＝－xcosx－1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；当x∈0，π2时，cosx－1<0，f(x)＝xcosx－1<0，所以排除A.6．答案：B解析：因为f(x)＝sin2x的周期为T＝2πω＝2π2＝π，

A错；将f(x)的图象向左平移π4个单位，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin2x＋π4＝sin2x＋π2＝cos2x，B正确．令2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ2(k∈Z)，因此f(x)＝sin2x关于点

kπ2，0(k∈Z)对称，令kπ2＝π4，得k＝12∉Z，所以π4，0不是f(x)的对称中心，C错；令2x＝π2＋kπ(k∈Z)，x＝π4＋kπ2(k∈Z)，令π4＋kπ2＝π2，得k＝12∉Z，所以x＝π2不是f(x)的对称直线，D错．7．答案：B解析：由题意得

f(x)＝sinxcos3x－sin3xcosx＝sinxcosx(cos2x－sin2x)＝12sin2xcos2x＝14sin4x，因为x∈R，y＝sinx的最大值为1，所以f(x)的最大值为14.8．答案：B解析

：由题意，cosπ3＋φ＝0，则π3＋φ＝kπ＋π2，解得φ＝kπ＋π6(k∈Z)，∴当k＝0时，|φ|的最小值为π6.9．答案：AD解析：先将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g

(x)＝sinx＋π3的图象．或者先将f(x)图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度，也可以得到g(x)＝sinx＋π3的图象．10．答案：AD解析：T＝2π2＝π，所以A正确．

－π6≤x≤π12，－π3≤2x≤π6，0≤2x＋π3≤π2，所以函数g(x)在－π6，π12上单调递减，所以B错误．函数y＝2cosx＋π6图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12得到y＝2cos2x＋π6

，所以C错误．g7π12＝2cos7π6＋π3＝2cos3π2＝0，所以D正确．11．答案：AD解析：因为函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，所以2π|ω|＝4π，∵

ω>0，∴ω＝12，f(x)＝3cos12x＋φ，因为将f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝fx＋π3＝3cos12x＋π3＋φ＝3cos12x＋π6＋φ，因为g(

x)是奇函数，所以π6＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)⇒φ＝kπ＋π3(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以k＝0，即φ＝π3，故选项A正确，C错误，所以g(x)＝－3sin12x，当x∈π3，3π2时，12x∈π6，3π4，所以g(x)的最大值为：－3sinπ6＝

－32，因此选项D正确，B错误．12．答案：AD解析：由图知：T2＝5π12－－π12＝π2，而T＝2πω，可得ω＝2，A正确；∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f－π12＝2sin

－π6＋φ＝0且f(0)＝2sinφ>0，有φ＝kπ＋π6，k∈Z，又|φ|<π，∴k＝0，即φ＝π6，B错误；综上，f(x)＝2sin2x＋π6，∴x∈－5π12，π12，则2x＋π6∈－2π3，π3，显然f(x)在

－5π12，π12上不单调，C错误；若x1＋x2＝π3，则x2＝π3－x1，故f(x2)＝fπ3－x1＝2sin5π6－2x1＝2sinπ＋2x1－5π6＝2sin2x1＋π6＝f(x1)，D正确．13．答案：－π4解析：由题意T＝2×π2＝π，ω>0，所以ω

＝2πT＝2，f－π8＝2sin－π4＋φ＝－2，－π4＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π4.14．答案：－π3解析：f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)＝2sin2x＋π

3＋φ，因为f(x)是奇函数，所以π3＋φ＝kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以k＝0，φ＝－π3.15．答案：y＝3sin2x＋π3解析：由题意，周期T＝2πω＝25π6－π3＝π，解得ω＝2，

所以函数y＝3sin(2x＋φ)，又图象过点π3，0，由π3－T4＝π3－π4＝π12，由图可知，图象过点π12，3，所以3＝3sin2·π12＋φ，得φ＋π6＝π2＋2kπ，k∈Z，又0≤φ<2π，

所以φ＝π3，故函数的解析式为y＝3sin2x＋π3.16．答案：π632解析：由题意可知将函数g(x)图象上的点－π3，0向右平移π4个单位长度，可得f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点，坐标为－π12，0，因为f(x)的图象与x轴正半轴的第一个交点为5π1

2，0，所以－π12ω＋φ＝05π12ω＋φ＝π，解得ω＝2φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6，g(x)＝sin2x＋π4＋π6＝cos2x＋π6，故g(

0)＝32.17．解析：(1)因为f(x)＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6，故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当x∈－π3，π4时，2x－π6∈－5π6，π3，故当2x－π6＝－π2，即x＝－π6时，f(x)mi

n＝－1，当2x－π6＝π3，即x＝π4时，f(x)max＝32，故函数f(x)在区间－π3，π4上的最大值为32，最小值为－1.18．解析：(1)由函数f(x)的图象，可得A＝2，14T＝2π3－5π12＝π4，可得T＝π，因为ω>0，所以ω＝2πT＝2，所以f(x)＝2

sin(2x＋φ)，又因为f(x)图象过点2π3，－2，可得－2＝2sin4π3＋φ，解得4π3＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，可得φ＝π6＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以φ＝π6，所以函数f(x)的解析式为f(x)

＝2sin2x＋π6.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位得到y＝g(x)的图象，可得g(x)＝2sin2x－π6＋π6＝2sin2x－π6令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ

，k∈Z，可得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，所以g(x)的单调递增区间是－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．考点过关检测18三角函数图象与性质(2)1．答案：B解析：由题得y＝sinπ3－2x＝sin

π－23π－2x＝sin2x＋23π＝sin2x＋π3，所以函数y＝sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到函数y＝sin2x＋π3的图象．2．答案：A解析：由题意y＝3cos2x＋π4＝3sin

2x＋π4＋π2＝3sin2x＋3π4＝3sin2x＋3π8，故要得到函数y＝3cos2x＋π4的图象，只需将y＝3sin2x的图象向左平移3π8个单位．3．答案：A解析：由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的大致图象知，f(0)＝

2sinφ＝3，所以sinφ＝32，应取φ＝2π3，又f8π9＝2sin8π9·ω＋2π3＝0，所以sin8π9·ω＋2π3＝0，应取8π9·ω＋2π3＝2π，解得ω＝32，所以f(x)的最小正周期为T＝2

πω＝2π32＝4π3.4．答案：D解析：由函数f(x)的最小正周期T＝π可得ω>0，所以T＝2πω＝π，可得ω＝2，这时f(x)＝2sin(2x＋φ)，向左平移π6可得g(x)＝2sin2x＋π6＋φ＝2sin2x＋π3＋φ，要使函数g(x)

为奇函数，则π3＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f(x)＝2sin2x－π3，对称轴满足2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，可得A，C不正确；对称中心满足2x－π3＝kπ，k∈Z，所以x＝kπ2＋π6，可得D正确，B不正确．5．答案：B解

析：f(x)＝5cosx＋12sinx＝13sin(x＋φ)，其中cosφ＝1213，sinφ＝513，依题意，当x＝θ时f(x)取得最小值，即sin(θ＋φ)＝－1，θ＋φ＝2kπ－π2，θ＝2kπ－π2－φ，所

以cosθ＝cos2kπ－π2－φ＝－sinφ＝－513.6．答案：D解析：因为函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，所以f(x)的周期T＝2π×2＝2πω，可得ω＝12，所以f(x)＝2cos12x＋φ，因为f(0)＝2

cosφ＝1，所以cosφ＝12，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2cos12x＋π3，令π＋2kπ≤12x＋π3≤2π＋2kπ(k∈Z)，可得4π3＋4kπ≤x≤10π3＋4kπ(k∈Z)，所以f(x)在4π3，10π3单调递增，在

－2π3，4π3上单调递减，因为[0,2]⊆－2π3，4π3，[2,4]⊆－2π3，4π3，所以选项A，B不正确；f(x)在4，4π3上单调递减，在4π3，6上单调递增，故选项C不正

确；因为[6,8]⊆4π3，10π3，所以f(x)在[6,8]上单调递增，故选项D正确．7．答案：D解析：将函数y＝2sin2x图象向左平移π3个单位长度得到y＝2sin2x＋π3＝2sin2

x＋2π3的图象，再向上平移1个单位长度可得到f(x)＝2sin2x＋2π3＋1的图象，故A错误．T＝2π2＝π，故B错误；令2x＋2π3＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝－π12＋kπ2，k∈Z，当k＝0时，x＝－π12；当k＝1时，x＝512π，故C错误．令π2＋2kπ≤2

x＋2π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，所以f(x)在π6，5π12上单调递减，故D正确．8．答案：A解析：函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后，图象所对应解析式为：g(x)＝2sin2

x＋π6＋φ＝2sin2x＋π3＋φ，由g(x)关于y轴对称，则π3＋φ＝kπ＋π2，可得φ＝kπ＋π6，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f(x)＝2sin2x＋π6，当x∈

0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，所以当2x＋π6＝π2时，即x＝π6时，f(x)max＝fπ6＝2sinπ2＝2.9．答案：BC解析：将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移π3个单位，得到y＝sin2x－2π3＋π3＝sin2x－π3，而y＝

cos5π6－2x＝cosπ2＋π3－2x＝－sinπ3－2x＝sin2x－π3，y＝sin2x＋2π3＝sin2x－π3＋π＝－sin2x－π3.10．答案：AC解析：对于A，f(x)的定义

域为R，且f(－x)＝|cos(－x)|－sin|－x|＝|cosx|－sin|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，因为y＝|cosx|是周期为π的周期函数，y＝sin|x|关于y轴对称，不是周期函数，所以f(x)＝|cosx|－sin|x|不

是周期函数，故B错误；对于C，当x∈π2，π时，f(x)＝－cosx－sinx＝－2sinx＋π4，x＋π4∈3π4，5π4，f(x)单调递增，故C正确；对于D，当x＝5π4时，f(x)＝cos5π4－sin5π4＝22＋22＝2>1，

故f(x)的最大值不为1，故D错误．11．答案：CD解析：f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π4(ω>0)，由相邻最高点与最低点的水平距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，所以T＝2π2ω＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin2x＋π4.ω＝1，所以选项A

错误；由x∈－π4，π6，得t＝2x＋π4∈－π4，7π12，因为函数y＝2sint在－π4，π2单调递增，在π2，7π12单调递减，所以选项B错误；C项，将f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到的函数解析式为g(

x)＝2sin2x－38π＋π4＝2sin2x－π2＝－2cos2x，因为函数g(x)＝－2cos2x是偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴对称；D项，因为fπ8＝2sinπ2＝2，所以直线x＝π8是函数f(x)的一条对称轴，所以对∀x∈R，都有fπ8＋

x＝fπ8－x，故正确答案为CD.12．答案：AD解析：由题意可知，当△MPN的面积最大时，点P为函数y＝f(x)图象上的一个最高点，设点P的坐标为(x0,2)，由余弦型函数的对称性可知|PM|＝|PN|，又PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，且

∠PMN＝π4，则直线PM的斜率为kPM＝2－0x0＋1＝1，得x0＝1，则点P的坐标为(1,2)，所以，函数y＝f(x)最小正周期为T＝4×(1＋1)＝8，∴ω＝2πT＝π4，∵f(1)＝2cosπ4＋φ＝2，得cosπ4＋φ＝1，∵

－π2<φ<π2，∴－π4<π4＋φ<3π4，∴π4＋φ＝0，得φ＝－π4，则f(x)＝2cosπ4x－π4，∴f(0)＝2cos－π4＝2cosπ4＝2，A选项正确；∴ω＋φ＝0，B选项错误；解不等式2kπ－π≤π4x－π4≤2kπ(k∈Z)，解得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z

)，所以，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)，C选项错误；∵f(5)＝2cosπ＝－2，所以，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝5对称，D选项正确．13．答案：2sin3x－π4解析：由函数f(x)的对称中心与对称轴x＝π4的最小距离为π6，∴T4＝π6

，即T＝2π3＝2πω，∴ω＝3，由x＝π4是函数f(x)的对称轴，∴3×π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π4，k∈Z，又|φ|<π2，令k＝0，则φ＝－π4，故f(x)＝2sin3x－π4.14．答案：kπ－π4，0(k∈Z)解析

：∵x＝π4是函数f(x)的对称轴，∴f(0)＝fπ2，∴b＝a，∴f(x)＝2asinx＋π4，x＋π4＝kπ，则x＝kπ－π4，k∈Z，即对称中心为kπ－π4，0(k∈Z)．15．答案：π3解析：将y＝3sin2x－π6向左平

移m(m>0)个单位可得：y＝3sin2x＋2m－π6，∵y＝3sin2x＋2m－π6图象关于y轴对称，∴2m－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得：m＝π3＋kπ2(k∈Z)，又m>0，∴mmin＝π3

.16．答案：1－3，1－32解析：f(x)＝sinωx·(cosωx－3sinωx)＝sinωxcosωx－3sin2ωx＝12sin2ωx＋32cos2ωx－32＝sin2ωx＋π3－32，因为f(x)的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(

x)＝sin2x＋π3－32，当x∈0，π2时，2x＋π3∈π3，4π3，sin2x＋π3∈－32，1所以f(x)∈－3，1－32.17．解析：f(x)＝2sinωxco

sωx－π6－12＝2sinωxcosωxcosπ6＋sinωxsinπ6－12＝3cosωxsinωx＋sin2ωx－12＝32sin2ωx－12cos2ωx＝sin2ωx－π6.若选①若x＝－π6是函数f(x)图象的一条对称轴，则－πω3－π6＝kπ＋π2

，k∈Z，即－πω3＝kπ＋2π3，k∈Z，得ω＝－3k－2，k∈Z，又0<ω<2，当k＝－1时，ω＝1，f(x)＝sin2x－π6.若选②若π12是函数f(x)的一个零点，则π12×2ω－π6＝kπ，即π6ω＝kπ＋π6，k∈Z，

得ω＝6k＋1，k∈Z，又0<ω<2，∴当k＝0时，ω＝1，所以f(x)＝sin2x－π6.若选③若f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为π2，则T＝π＝2π2ω，故ω＝1，所以f

(x)＝sin2x－π6.由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，令k＝0，得π3≤x≤5π6.令k＝－1，得－2π3≤x≤－π6.又－π2≤x≤π2，所以f(x)在－π2，π2上单调递减区间为－π2，－π6，

π3，π2.18．解析：(1)f(x)＝6cosxsinx－π6＋32＝6cosx32sinx－12cosx＋32＝33sinxcosx－3cos2x＋32＝332sin2x－3(1＋cos2x)2＋32＝3sin2x－π6所以f(x)的最小正周期T＝π，由题意

2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝kπ2＋π3，k∈Z，所以f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π3，k∈Z.(2)令y＝f(x)－a，得a＝f(x)，由函数y＝f(x)－a在x∈－π12，5π12存在零点，只需求f(x)＝3sin2x

－π6在x∈－π12，5π12的值域．∵x∈－π12，5π12，∴2x－π6∈－π3，2π3，∴sin2x－π6∈－32，1，故f(x)∈－332，3，∴a∈－

332，3.考点过关检测19正弦定理和余弦定理1．答案：A解析：∵在△ABC中，B＝60°，∴根据正弦定理asinA＝bsinB，可得sinA＝asinBb＝1×sin60°3＝12，又∵在△ABC中a<b，可得A<B，∴A＝30°.2．答案：A解析：因为sinA＝sinBcosC，所以a＝b

·a2＋b2－c22ab，整理为2a2＝a2＋b2－c2，即a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形．3．答案：D解析：因为bsinA＝acosB，结合正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB，即sinB＝cosB，又因为B∈(0，π)，所以B＝π4，bsinB＝csinC，即22

2＝6sinC，所以sinC＝32，故角C为π3或2π3.4．答案：D解析：在△ABC中，b＝3，c＝3a，B＝π6，由余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(3a)2－23a2×32＝a2，解得a＝3，则A＝π6，

所以，C＝2π3，因此，cosC＝cos2π3＝－12.5．答案：A解析：由正弦定理得：(a＋b)(a－b)＝c2＋bc(1＋cosA)，整理得：a2＝b2＋c2＋bc(1＋cosA)，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA

，∴－2cosA＝1＋cosA，解得：cosA＝－13.6．答案：C解析：因为12bcosA＝sinB，可化为bsinB＝2cosA.由正弦定理可知asinA＝2cosA，即23sinA＝2cosA，解得tanA＝3，又A∈(0°，180°)，所以∠A＝60°，由

余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，即(23)2＝62－3bc，解得bc＝8，所以三角形的面积S＝12bcsinA＝12×8×32＝23.7．答案：D解析：由3c2＝16S＋3(b2－a2)，则3

c2＋3a2－3b2＝16S，即3×2accosB＝16×12acsinB，所以3cosB＝4sinB，且cosB≠0，所以tanB＝34.8.答案：A解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋B

C2－2AB·BC·cos∠ABC＝22＋12－2×2×1×cos120°＝7，即AC＝7，又由cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝7＋4－127×2＝5714.9．答案：AD解析：由正弦定理sinB＝bsinAa＝512，又0<B<π6，故B只有一个解，A正确；由正弦定

理sinB＝bsinAa＝1，又0<B<5π6，显然B＝π2只有一个解，B错误；由正弦定理sinB＝bsinAa＝324>1，显然B无解，C错误；由正弦定理sinB＝bsinAa＝62>1，显然B无解，D正确．10

．答案：AC解析：若A<B，则a<b，由正弦定理可得sinA<sinB，A对；若A<B，且A、B∈(0，π)，则0<sinA<sinB，则cos2A＝1－2sin2A>1－2sin2B＝cos2B，B错；因为0<A<B<π，且余弦函数y＝cosx在(0，π)上为减函数，故cosA>cos

B，C对；取A＝π6，B＝2π3，则sin2A＝sinπ3＝32，sin2B＝sin4π3＝－32，此时，1sin2A>1sin2B，D错．11.答案：ABD解析：做出图形：由已知设BD＝2DC＝2x，∠BAD＝∠CAD＝α，在△ABD，△CAD中，由正弦定理得ADsinB＝BDsinα

，ADsinC＝CDsinα，两式相除得sinCsinB＝BDCD＝2，所以sinC＝2sinB.由以上可知，A正确；若B＝30°，结合已知得sinC＝2sinB＝1，故C＝90°，故B正确；若∠BAD＝30°，则∠BAC＝60°，所以C＝120°－B，代入sinC

＝2sinB得sin(120°－B)＝2sinB，即sin120°cosB－cos120°sinB＝2sinB，即32cosB＝32sinB，所以tanB＝33，所以B＝30°，C＝90°，故△ABD为等腰三角形，△ADC为直角三角形，故C错误，D正确．12．答案：ABC

解析：对于A，由余弦定理可得12＝a2＝b2＋c2－2bccosA＝24－bc，得bc＝12，故S＝12bcsinA＝33，A对；对于B，由基本不等式可得24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，当且仅当b＝c＝23时，等号成立，

由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝24－122bc＝6bc，则S＝12bcsinA＝12bc1－cos2A＝12(bc)2－36≤12122－36＝33，B对；对于C，∵∠AMB＋∠AMC＝π，则cos∠AMB＝cos(π－∠AMC)＝－cos∠AMC，由

余弦定理可得cos∠AMB＝AM2＋a24－c2AM·a，cos∠AMC＝AM2＋a24－b2AM·a，所以，AM2＋a24－c2AM·a＝－AM2＋a24－b2AM·a，整理可得AM2＝b2＋c22－a24＝9，则AM＝3，C对；对于D，由余弦

定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝122bc≥12b2＋c2＝12，当且仅当b＝c＝23时，等号成立，因为A∈(0，π)且函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，故0<A≤π3，D错．13．答案：5解析：由题意，由于

B为△ABC的内角，故B∈(0，π)，∴sinB>0，∴sinB＝1－cos2B＝5314，由正弦定理，asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA，代入可得：b＝7×531432＝5.14．答案：1＋54解析：∵A＝B

，∴a＝b，又b＋acosC＝c＝1，由余弦定理可得：b＋a·a2＋b2－c22ab＝c＝1，即b＋b·b2＋b2－12b2＝1，∴4b2－2b－1＝0，又b>0，∴b＝1＋54.15．答案：152解析：由条件可知ab＝cosAcosB

＝sinAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，即A＝B，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝2a2－12a2＝6，解得：a＝2，∵cosC＝14，∴sinC＝1－cos2C＝154，∴S△ABC＝12a2s

inC＝152.16．答案：60°8解析：因为csinA＝3acosC，结合正弦定理得sinCsinA＝3sinAcosC，因为A∈(0，π)，所以sinA>0，故sinC＝3cosC，显然cosC≠0，所以ta

nC＝3，故C＝60°，结合余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab，故4＋ab＝a2＋b2，因为a2＋b2≥2ab，即4＋ab≥2ab，故4≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，此时a2＋b2＝8，所以，a2＋b2的最大值为8.17．解析：(1)选①：因

为2bsinA＝atanB＝asinBcosB，所以2ab＝abcosB，所以cosB＝12，所以B＝π3；选②：因为a2－b2＝ac－c2，所以(a2＋c2)－b2＝ac，所以2accosB＝ac，所以cosB＝12，所以B＝π3；选③：因为3sinB＝co

sB＋1，所以3sinB－cosB＝1，所以2sinB－π6＝1，所以sinB－π6＝12，因为B－π6∈－π6，5π6，所以B－π6＝π6，所以B＝π3；(2)因为b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝4

，又因为S△ABC＝12acsinB＝32，所以ac＝2，所以(a＋c)2－3ac＝4，所以(a＋c)2＝10，所以a＋c＝10，所以△ABC的周长为2＋10.18．解析：(1)因为2sinC＝3sinA

，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝a2＋b2－c22ab＝18，所以C为锐角，则sinC＝1－cos2C＝378，因此，S△ABC＝12absinC＝12×4×5×3

78＝1574.(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋(a＋1)2－(a＋2)22a(a＋1)＝a2－2a－32a(a＋1)<0，解得－1<a<3，则0<a<3，由三角形三边关系可得a＋a＋

1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.考点过关检测20三角函数与解三角形的综合1．解析：(1)由函数f(x)＝cosπ6－2x＋cos2x＋π6＋sin2x＋π3－sinπ3－2x＝2sin

2x＋π3，因为x∈0，π2，所以2x＋π3∈π3，4π3，即f(x)的值域为[－3，2]；(2)由题意知，在锐角△ABC中，f(A)＝2sin2A＋π3＝1⇒A＝π4，又a＝1，由余弦定理和基本不等式可得a2＝b2＋c

2－2bccosA≥2bc(1－cosA)，有bc≤121－22＝1＋22，当且仅当b＝c时等号成立，所以S＝12bcsinA≤121＋22×22＝2＋14，即△ABC的面积S的最大值为：2＋14.2．解析：

∵bcosA＋acosB＋2ccosC＝0，∴由正弦定理可得sinBcosA＋sinAcosB＋2sinCcosC＝0，即sin(A＋B)＋2sinCcosC＝0，∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)＝sinC，∴s

inC＋2sinCcosC＝0，∵sinC≠0，∴1＋2cosC＝0，即cosC＝－12，又C∈(0，π)，∴C＝2π3.∵△ABC的面积S＝12absinC＝12absin2π3＝23，∴ab＝8.选择条件①：由余弦定理知c2＝a2＋b2－2

abcosC＝a2＋b2－2×8×cos2π3＝a2＋b2＋8，又ac＝47，∴c2＝47c2＋2c72＋8，化简得，3c4－56c2－784＝0，解得c2＝28或－283(舍负)，∴c＝27.选择条件②：∵sinB＝2sinA，∴

由正弦定理得b＝2a，又ab＝8，∴a＝2，b＝4，由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－2×2×4×cos2π3＝28，∴c＝27.选择条件③：由正弦定理知，asinA＝csinC，∴asinC＝csinA＝3，∵C

＝2π3，∴a＝2，又ab＝8，∴b＝4.下面的步骤同②.3．解析：(1)∵bsinC＋3·ccosB＋c＝0，由正弦定理可得sinBsinC＋3·sinCcosB＋sinC＝0，∵sinC≠0，则sinB＋3co

sB＋1＝0，即sinB＋3cosB＝－1，即2sinB＋π3＝－1，∴sinB＋π3＝－12，又0<B<π，则π3<B＋π3<4π3，∴B＋π3＝7π6，解得B＝5π6.(2)由正弦定理知：asinA＝bsinB＝csinC＝4，∴3c＋2a＝4()3sinC＋2sinA＝4

3sinπ6－A＋2sinA＝4312cosA－32sinA＋2sinA＝432cosA＋12sinA＝4sinA＋π3，∵0<A<π6，∴π3<A＋π3<π2，∴32<si

nA＋π3<1，∴23<4sinA＋π3<4，∴3c＋2a的取值范围为()23，4.4．解析：(1)由正弦定理得，ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，又AD＝2，AC＝3，sin∠ADC＝34.∴sin∠ACD＝AD

sin∠ADCAC＝2×343＝12，又BC⊥CD，∴∠ACD＝30°.(2)由BC⊥CD，∠ACD＝30°可得∠ACB＝60°，在△ABC中，S△ABC＝12·AC·BC·sin∠ACB＝12×3·BC×32＝

334·BC由正弦定理得，BCsin∠BAC＝ACsinB，∴BC＝ACsin∠BACsinB＝3sin(120°－B)sinB＝332tanB＋12，∵△ABC为锐角三角形，∴0°<∠BAC＝120°－B<90°，0°<B<90°，∴30°<B

<90°，∴tanB>33，∴0<1tanB<3，12<32tanB＋12<2，∴32<BC<6，∴S△ABC＝334·BC∈938，932.单元过关检测四三角函数与解三角形1．答案：A解析：设扇形的半径为R，则12×8×R2

＝4，故R＝1，故弧长为l＝8×1＝8，故该扇形的周长为2R＋8＝10.2．答案：D解析：sin(210°－α)＝sin[270°－(60°＋α)]＝－cos(60°＋α)＝－35.3．答案：B解析：∵sinB＝3

sinC，∴b＝3c，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝8c2＝4，∴c2＝12，∴c＝22.4．答案：D解析：因为sin4α－cos4α＝13，所以cos2α＝－13，因为α∈0，π2，所以sin2α>0，sin2α＝223，所以cos2α＋π4

＝22(cos2α－sin2α)＝22－13－223＝－4－26.5．答案：A解析：因为函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2()k∈Z，对于函数f()x＝7sin

x－π6，由2kπ－π2<x－π6<2kπ＋π2()k∈Z，解得2kπ－π3<x<2kπ＋2π3()k∈Z，取k＝0，可得函数f()x的一个单调递增区间为－π3，2π3，则0，π2⊆－π3，2π3，π2，π⃘

－π3，2π3，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f()x的一个单调递增区间为5π3，8π3，π，3π2⃘－π3，2π3且π，3π2⃘5π3，8

π3，3π2，2π⃘5π3，8π3，CD选项均不满足条件．故选A.6．答案：C解析：由题可知S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24，所以a2＋b2－c2＝2absinC由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝c

osC，∵C∈(0，π)，∴C＝π4.7．答案：D解析：∵g(x)＝fx＋π6＝sin2x＋π6－π6＝sin2x＋π6，∴y＝g(x)＋cos2x＝sin2x＋π6＋cos2x＝32sin2x＋32cos2x＝3sin

2x＋π3，∵x∈0，π2，∴2x＋π3∈π3，4π3，则－32≤sin2x＋π3≤1，∴3sin2x＋π3∈－32，3.8．答案：D解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的

最小正周期为π，所以T＝2πω＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)，将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π3个单位后得到y＝sin2x＋π3＋φ＝sin2x＋2π3＋φ的图象，因为y＝sin2x＋2π3＋φ是偶函数，所以

2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝－π6＋kπ，k∈Z，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，即f(x)＝sin2x－π6，因为fπ6＝sinπ6＝12，所以选项A、C错误；因为fπ12＝sin0＝0

，所以函数f(x)的图象关于点π12，0对称，即选项D正确．9．答案：AC解析：∵角α的终边过点(－3，－2)，∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，∴sinαtanα<0，cosαtanα<0，sinαcosα>0.10．答案：AB解

析：选项A:1－cos120°2＝sin260°＝sin60°＝32；选项B：cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32；选项C：cos15°sin45°－sin15°cos45°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12；选项D：tan15°1－tan15°＝12×2tan15°1

－tan15°＝12tan30°＝12×33＝36.11．答案：ABD解析：对于A：若a>b，由正弦定理可得2RsinA>2RsinB，R指△ABC外接圆的半径，所以sinA>sinB，故选项A正确；对于B：因为A＝30°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，asinA＝b

sinB即312＝4sinB，故sinB＝23，因为b>a，所以B>A，故B为锐角或钝角，△ABC有两解，故选项B正确；对于C：若△ABC为钝角三角形且角C为钝角，由余弦定理可得：cosC＝a2＋b2－c22ab<0，所以a2＋b2<c2，故选项C不正确；对于D：因为A＝60°，a＝

2，由余弦定理得：a2＝4＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时取等号，故bc≤4，所以△ABC面积S＝12bc×32＝34bc≤34×4＝3，即最大值为

3，故选项D正确．12．答案：BC解析：由题意得：g(x)＝2sin2x－π3，把x＝π3代入，gπ3＝2sinπ3＝3，故A错误；x＝－π12代入，g－π12＝2sin－π2＝－2，故函数g(x)的图象的一条对称轴是x＝－π12，故B正确；x∈π3，π

2，则2x－π3∈π3，2π3，故g(x)＝2sin2x－π3的最小值为3，故C正确；x∈[0，π]，则2x－π3∈－π3，5π3，故g(x)＝2sin2x－π3在[0，π]上不单调，选项D错

误．13．答案：－12解析：由题意，角θ的终边经过点P(2，a)，可得|OP|＝2＋a2.又由cosθ＋π2＝13，得sinθ＝－13，根据三角函数的定义，可得sinθ＝a2＋a2＝－13，解得a＝－12.14．答案：3－4310解析：因为cosα＝35，α∈32π，2π

，所以sinα＝－1－cos2α＝－45，所以cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝35×12＋－45×32＝3－4310.15．答案：3003米解析：在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝300，所以可得AC＝BCsin∠BAC＝

30012＝600，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理可得：ACsin∠AMC＝AMsin∠ACM，即60022＝AM32，所以可得AM＝3006，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，

所以MN＝AM·sin∠MAN＝3006×22＝3003(米)．16．答案：(3,6](12,24]解析：由ca＋b＋ab＋c＝1，可知c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，化简得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理可得cosB＝12，又B∈(0，π)，B＝π3，因为πR2＝3π，解得R

＝3，由bsinB＝b32＝2R＝23，解得b＝3，由余弦定理得ac＝a2＋c2－9＝(a＋c)2－2ac－9，由基本不等式可得(a＋c)2－9＝3ac≤34(a＋c)2，解得a＋c≤6，根据两边之和大于第三边可得a＋c>3，即a＋c的取值范围是(3,

6]；f(x)＝cos2x＋4(a＋c)sinx＋1＝－2sin2x＋4(a＋c)sinx＋2＝－2[sinx－(a＋c)]2＋2＋2(a＋c)2又－1≤sinx≤1，可知sinx＝1时，函数f(x)的最大值为4(a＋c)，函数f(x)的

最大值的取值范围为(12,24]．17．解析：(1)f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ⇒－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为：－π6＋k

π，π3＋kπ(k∈Z)．(2)由(1)，2sin2a－π6＝65⇒sin2a－π6＝35，因为a∈0，π3，所以2a－π6∈－π6，π2，则cos2a－π6＝45，所以sin2a＝sin2a

－π6＋π6＝sin2a－π6·32＋cos2a－π6·12＝35·32＋45·12＝4＋3310.18．解析：(1)由2acosC－c＝2b及正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，所以

2sinAcosC－sinC＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，又∵sinC≠0，∴cosA＝－12，又∵A∈(0，π)，∴A＝2π3；(2)由a＝23，A＝2π3，根据余弦

定理得b2＋c2＋bc＝12，由△ABC的面积为S＝12bcsinA＝34bc＝34，得bc＝4，所以b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝16，得b＋c＝4，所以△ABC周长a＋b＋c＝4＋23.19．解析：(1)f(x)＝sinωx＋π6＋2sin2ωx

2＝32sinωx－12cosωx＋1＝sinωx－π6＋1.由题设，T2＝πω＝π，则ω＝1，∴f(x)＝sinx－π6＋1.(2)由题设，f(A)＝sinA－π6＋1＝32，则A－π6＝2kπ＋π6或A－π6＝2kπ＋5π6，∴A＝2kπ＋π3或A＝2kπ＋

π，又0<A<π，∴A＝π3，由S＝12bcsinA＝63，则bc＝24，cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－2848＝12，则b2＋c2＝52，∴b2＋576b2＝52，解得b2＝36或b2＝16，又b<a，∴b2＝16，可得b＝4，故c＝6.

综上，b＝4，c＝6.20．解析：(1)f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m＝3sin2x＋cos2x＋m＋1＝232sin2x＋12cos2x＋m＋1＝2sin2x＋π6＋m＋1，由x∈

0，π2，得2x＋π6∈π6，7π6，故f(x)的最小值为m＝1.(2)由f(α)＝2sin2α＋π6＋2＝165，得sin2α＋π6＝35，设2α＋π6＝β，则α＝β2－π12，且sinβ＝35，π

2<β<7π6，故cosα＋π3＝cosβ2－π12＋π3＝cosβ2＋π4＝22cosβ2－sinβ2，因为π2<β<7π6，则π4<β2<7π12，从而cosβ2－sinβ2<0，所以cosα

＋π3＝22cosβ2－sinβ2＝－22cosβ2－sinβ22＝－221－sinβ＝－55.21．解析：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝4＋12－83cosA＝16－83cosA，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝4＋4－8cosC，

∴16－83cosA＝8－8cosC，所以3cosA－cosC＝1.(2)S1＝12×2×23sinA＝23sinA，S2＝12×2×2sinC＝2sinC，则S21＋S22＝12sin2A＋4sin2C＝16－(

12cos2A＋4cos2C)，由(1)知：3cosA＝1＋cosC，代入上式得S21＋S22＝16－12cos2A－4(3cosA－1)2＝－24cos2A＋83cosA＋12，配方得S21＋S22＝－24cosA－362＋14，

∴当cosA＝36时，S21＋S22取到最大值14.22．解析：(1)由正弦定理得：2sinBcosA＋sinA＝2sinC，∴2sinBcosA＋sinA＝2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2sinBcosA，∴sin

A＝2sinAcosB，∵sinA>0，∴cosB＝12，∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)设△ABC外接圆半径为R.∵acosB＋bcosA＝1，由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝1，∴2Rsin(A＋B)＝1

，∴2RsinC＝1，∴c＝1.由正弦定理a＝csinAsinC＝sinC＋π3sinC＝12sinC＋32cosCsinC＝12＋32tanC，∴S＝12acsinB＝1212＋32tanC·32＝38＋38tanC

.∵△ABC为锐角三角形，∴0<C<π20<2π3－C<π2，即π6<C<π2，∴tanC>33，∴0<1tanC<3，∴38<S<32，∴△ABC面积的取值范围是38，32.滚动过关检测三集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形

1.答案：B解析：因为P＝{1,2,3}，Q＝{y|y＝2cosθ，θ∈R}＝{y|－2≤y≤2}，所以P∩Q＝{1,2}．2．答案：A解析：由cos2α＝12可得2cos2α－1＝12，解得：cosα＝±32，所以“cos

α＝32”是“cos2α＝12”的充分不必要条件．3．答案：C解析：因为1<log35<log3332＝1.5，log23>log2232＝1.5，所以a<b，又因为c＝2－0.3<20<1，故c<a<

b.4．答案：B解析：∵f(x)max＝2，f(x)min＝－2，A>0，∴A＝2；∵f(x)最小正周期T＝43×13π12－π3＝π，∴ω＝2πT＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f

π3＝2sin2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－2π3(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sin2x＋π3.5．答案：D解析：因为f(x)＝(ex＋e－x)tanx

，x≠kπ＋π2，k∈Z，定义域关于原点对称，且f(－x)＝(ex＋e－x)tan(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，故排除C选项，当x＝0时，f(0)＝0，故排除B选项；当x＝1时，f(1)>0，故排除A.6．答案：D解析：由cosθ－sinθ＝43，

平方得：sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝169，则1－sin2θ＝169，即sin2θ＝－79<0，则2kπ＋π<2θ<2kπ＋32π或2kπ＋32π<2θ<2kπ＋2π，k∈Z，即有kπ＋π2<θ<kπ＋34π

或kπ＋34π<θ<kπ＋π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，cosθ－sinθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．7．答案：A解

析：因为23acosC－3bcosC＝3ccosB，所以23sinAcosC－3sinBcosC＝3sinCcosB，所以23sinAcosC＝3sin(C＋B)＝3sinA，因为A，C∈(0，π)，所以sinA≠0，cosC＝32，又C∈(0，π)，所以C＝π

6.8．答案：D解析：f(x)≥0即(3a)x≥x3a，则xln(3a)≥3alnx，则ln(3a)3a≥lnxx，令g(x)＝lnxx(x≥1)，g′(x)＝1－lnxx2(x≥1)，当x∈(1，e)，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)

，g′(x)<0，g(x)单调递减，∵a>1，∴3a>3>e，又g(3a)≥g(x)，∴3a≤x(x≥2e)恒成立，∴a∈1，2e3.9．答案：BD解析：终边在y轴上的角的集合为θθ＝π2＋kπ，k∈Z

，故选项A不正确；因为3a＝4b＝12，所以a＝log312，b＝log412，则1a＋1b＝log123＋log124＝log1212＝1，故选项B正确；因为x＋y＝(x＋y)1x＋4y＝5＋yx＋4xy≥5＋2yx·4xy＝9，

当且仅当y＝2x＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为9，故选项C不正确；因为幂函数f(x)＝kxa的图象过点(2,4)，所以k＝1,2a＝4，即a＝2，所以k＋a＝3，故选项D正确．10．答案：BC解析：已知a，b∈R，且3a<3b

<1，所以a<b<0，对于A选项，a2>b2，故错误；对于B选项，|a|>|b|，y＝lnx为增函数，所以ln|a|>ln|b|，故正确；对于C选项，ba，ab均为正数，且不相等，所以ba＋ab>2，故正确；对于D选

项，a＋b＝－(－a－b)<－2(－a)(－b)，所以a＋b＋2ab＜0，故错误．11．答案：ABD解析：若cosA＝cosB，则b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22ac，整理得：a＝b，故△ABC为等腰三角形，故A正确；若

△ABC为锐角三角形，有A＋B>π2，整理得A>π2－B，故sinA>sinπ2－B，则sinA＞cosB，故B正确；由于a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理求出b＝a2＋c2－2accosB＝221，故△ABC唯一，故C错误；sin2A＋sin2

B＜sin2C，利用正弦定理：a2＋b2＜c2，故cosC＝a2＋b2－c22ab<0，故C∈π2，π，故△ABC是钝角三角形，故D正确．12．答案：BC解析：对A，因为y＝cosx是偶函数，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以h(x)＝f(x)cosx为偶函数，故

A错误；对B，f(x)＝ex＋e－x－x2，f(－x)＝e－x＋ex－x2＝f(x)，则此函数满足f(x)是偶函数，f′(x)＝ex－e－x－2x，f″(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，所以f′(x)为R上的增函数，在[0，＋∞)上，f′

(x)≥f′(0)＝0，所以此函数也满足在[0，＋∞)上单调递增，故B正确；对C，设函数h(x)＝f(x)－f(2)，h(2)＝f(2)－f(2)＝0＝h(－2)，所以h(x)在R上有且只有两个零点，当x＝0时，g(0)＝0，所以g(x)＝x[f(x

)－f(2)]在R上有且只有三个零点，故C正确；对D，因为x[f(x)－f(2)]≤0，所以当x<0时，f(x)－f(2)≥0，则x≤－2；当x≥0时，f(x)－f(2)≤0，即f(x)≤f(2)，可得

0≤x≤2，故x[f(x)－f(2)]≤0的解集为(－∞，－2]∪[0,2]，故D错误．13．答案：12解析：因为f(x)＝2x，x≤0log2x，x>0，所以f12＝log212＝－1，则ff

12＝f()－1＝12.14．答案：120°解析：在△ABC中，利用正弦定理可得：abc＝357，∴△ABC的最大内角为∠C，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k，则cosC＝a2＋b2－c22ab

＝9k2＋25k2－49k230k2＝－12，∵0°<∠C<180°，∴∠C＝120°.15．答案：－119解析：∵cosπ6－x＝13，∴sin2x－π6＝1－cos2x－π6＝1－cos2π6－x＝89，∴cos5π6＋

x＝cosπ－π6－x＝－cosπ6－x＝－13.∴cos5π6＋x－sin2x－π6＝－13－89＝－119.16．答案：3e2e解析：函数f(x)＝2x－x2的零点个数，即y＝2x与y＝x2两个函数图象的交点个数，根据指数函数与二次函数的图象，当x≤0

时，y＝2x单调递增，值域为(0,1]，而y＝x2单调递减，值域为[0，＋∞)，两个函数图象有一个交点；当x>0时，f(2)＝22－22＝0，f(4)＝24－42＝0，函数f(x)有两个零点；综上，函数f(x)＝2x－x2的零点个数为3个．函数f(x)＝ax－x2(a>1)恰有两个

零点，等价于y＝ax(a>1)与y＝x2两个函数图象恰有两个交点．因为指数函数y＝ax(a>1)图象与抛物线y＝x2在(－∞，0]上有且只有一个交点，即函数f(x)＝ax－x2(a>1)在(－∞，0]上有且只有一个零点，所以问题转化为：当x>0时，f(x)＝0，即ax＝x2有且只有一个实根，方

程两边取对数，可得xlna＝2lnx，从而问题等价于该方程有且只有一个实根，即直线y＝xlna与曲线y＝2lnx有且只有一个公共点，所以直线y＝xlna为曲线y＝2lnx的切线，设切点为(m,2lnm)，由y′＝2x，则切线的斜率为2m＝lna，又切点(m,

2lnm)在切线y＝xlna上，则2lnm＝mlna，联立求解得a＝e2𝑒.17．解析：(1)由asinB＝3bcosA⇒sinAsinB＝3sinBcosA，因为sinB≠0，化简得tanA＝3，A＝π3.(2)若选①，则a＝

19，c＝5，A＝π3，由余弦定理可得2bccosA＝b2＋c2－a2，代入数据化简得b＝2或3，根据大边对大角原则判断，b＝2或3都成立，故选①不成立；若选②，则cosC＝13，c＝42，A＝π3，求得sinC＝2

23，由正弦定理可得asinA＝csinC，解得a＝33，由sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝3＋226，因为A＝π3，cosC＝13，C唯一，则B唯一，三角形存在且唯一确定，S△ABC＝12acsinB＝12×3

3×42×3＋226＝32＋43；若选③，由AB边上的高h＝3可得sinA＝hb，解得b＝2，又a＝3，由余弦定理可得2bccosA＝b2＋c2－a2，代值化简得c＝1＋6或1－6(舍去)，三角形存在且唯一确定，S△ABC＝12bcsinA＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.18．解析：(1

)由图可知，函数f(x)图象过点0，32，故cosφ＝32，由于0＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝cosπx＋π6，令πx＋π6＝kπ(k∈Z)，则x＝k－16(k∈Z)，令k＝1，得x＝56，由图可知，0，32与x0，32关于直线x＝5

6对称，所以0＋x02＝56，解得x0＝53.(2)g(x)＝f(x)＋fx＋13＝cosπx＋π6＋cosπx＋13＋π6＝cosπx＋π6＋cosπx＋π2＝cos

πx＋π6－sinπx＝cosπxcosπ6－sinπxsinπ6－sinπx＝－32sinπx＋32cosπx＝3sinπx＋5π6，由－12≤x≤13得－π2≤πx≤π3，π3≤πx＋5π6≤7π6，所以g(

x)的最大值为3sinπ2＝3，最小值为3sin7π6＝－32.19．解析：(1)由题设，BD＝asinCsin∠ABC，由正弦定理知：csinC＝bsin∠ABC，即sinCsin∠ABC＝cb，∴B

D＝acb，又b2＝ac，∴BD＝b，得证．(2)由题意知：BD＝b，AD＝2b3，DC＝b3，∴cos∠ADB＝b2＋4b29－c22b·2b3＝13b29－c24b23，同理cos∠CDB＝b2＋b29－a22b·b3＝10b29－a

22b23，∵∠ADB＝π－∠CDB，∴13b29－c24b23＝a2－10b292b23，整理得2a2＋c2＝11b23，又b2＝ac，∴2a2＋b4a2＝11b23，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得a2b2＝13或a2b2＝32，由余弦

定理知：cos∠ABC＝a2＋c2－b22ac＝43－a22b2，当a2b2＝13时，cos∠ABC＝76>1不合题意；当a2b2＝32时，cos∠ABC＝712；综上，cos∠ABC＝712.20．解析：(1)因为f(x)＝3sin(π＋x)sin

x－π2＋cos2π2＋x－12，所以f(x)＝3(－sinx)(－cosx)＋sin2x－12＝32sin2x＋1－cos2x2－12＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6，令

－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)；(2)因为f(A)＝1，所以f(A)＝sin2A－π6＝1，又因为A∈(0，π)，所以A＝π3，在三角形ABC中，利用余弦定理得：cosA

＝b2＋c2－42bc＝12，整理得：b2＋c2－4＝bc，又因为b2＋c2≥2bc，所以b2＋c2－4≥2bc－4，即bc≥2bc－4，所以bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立，S△ABC＝12bcsinA＝34bc，所以S△ABC≤3，当且仅当a＝b＝c＝2时，S△A

BC取得最大值3.21．解析：(1)h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x2＋x－1的定义域为(0，＋∞)，且h′(x)＝1x－2x＋1＝－2x2＋x＋1x＝－(x－1)(2x＋1)x.当0<x<1时，h′(x

)>0；当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是h(x)的极大值点，故h(x)的极大值为h(1)＝－1，没有极小值.(2)证明：设直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，ln

x1)，(x2，x22－x2＋1)，由f′(x)＝1x，得l的方程为y－lnx1＝1x1(x－x1)，即l：y＝1x1·x＋lnx1－1；由g′(x)＝2x－1，得l的方程为y－(x22－x2＋1)＝(2x2－1)(x－x2)，即l：y＝(2x2－1)x－x22＋1.比

较l的方程，得1x1＝2x2－1lnx1－1＝－x22＋1，消去x2，得lnx1＋(1＋x1)24x21－2＝0.令F(x)＝lnx＋(1＋x)24x2－2(x>0)，则F′(x)＝1x－1＋x2x3＝(2x＋1)(x－1)2x3.当0<x<1时，F′(x)<0；当x

>1时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以F(x)min＝F(1)＝－1<0.因为F(e2)>ln(e2)－2＝0，所以F(x)在(1，＋∞)上有一个零点；由F(x)＝ln

x＋12x＋14x2－74，得F(e－2)＝－2＋e22＋e44－74＝e2－42＋e4－74>0，所以F(x)在(0,1)上有一个零点．所以F(x)在(0，＋∞)上有两个零点，故有且只有两条直线与函数f(x)，g(x)的图

象都相切．22．解析：(1)a＝3时，f(x)＝lnx＋x2－3x，f(1)＝－2，所以切点坐标为P(1，－2)．f′(x)＝1x＋2x－3，f′(1)＝0，于是所求切线的斜率k＝0.又因为所求切线过点P(1，－2)，所以

曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝－2.(2)f′(x)＝2x2－ax＋1x，∵x1，x2是函数f(x)的两个极值点，∴x1，x2是函数f′(x)两个大于0的零点，∴x1，x2是方程2x2－ax＋1＝0的两个不

同正解，则x1＋x2＝a2①x1x2＝12②，且a2>0Δ＝a2－8>0⇒a>22.由①，②可得x1－x2＝x1－12x1，x1＋x2－a＝x1＋x2－2(x1＋x2)＝－(x1＋x2)＝－x1＋12x1，所

以f(x1)－f(x2)＝lnx1＋x21－ax1－lnx2－x22＋ax2＝lnx1x2＋(x1－x2)(x1＋x2－a)＝ln(2x21)－x1－12x1x1＋12x1＝ln(2x21)－

x21－14x21＝ln(2x21)＋1－4x414x21.又∵x1<x2且x1＋x2＝a2，∴0<x1<a4.令2x21＝t0<t<a28，则f(x1)－f(x2)＝lnt＋1－t22t.构造函数h(t)＝

lnt＋1－t22t0<t<a28，h′(t)＝1t－1＋t22t2＝－(t－1)22t2≤0，∴h(t)是0，a28上的减函数．∴h(t)>ha28，且t→a28时，h(t)→ha28

，ha28＝lna28＋64－a416a2，∴f(x1)－f(x2)>lna28＋64－a416a2.考点过关检测21等差数列与等比数列(1)1．答案：D解析：设等差数列{an}的公差为d，由2S2＝S1＋S3a4＝4，得2(2a1＋d

)＝a1＋3a1＋3da1＋3d＝4，解得a1＝4d＝0，所以{an}是常数列，故a9＝4.2．答案：A解析：∵1a3＝12，1a7＝1，且数列1an是等差数列，∴d＝1－124＝18，∴1an＝n＋18，∴an＝8n＋1，∴a5＝86＝43.3．答案：A解析：设公差为

d，因为a2＝1,3<a4<5，所以3<1＋2d<5，即1<d<2，从而a7＝a2＋5d＝1＋5d∈(6,11)．4．答案：B解析：S6＝a11－1261－12＝6332a1＝1894，故a1＝24，故a6＝a1q5＝24×125＝2432＝34.5．答案：A解析：设等比数列{a

n}的公比为q，因为an>0，a1＝12，Sn<2，所以0<q<1，Sn＝12(1－qn)1－q<2⇒1－qn－4＋4q1－q<0⇒－qn－3＋4q1－q<0，因为0<q<1，所以有－3＋4q<0⇒－3＋4q<qn，因为0<q<1，所以0<qn<1，因此要想－3＋4q<qn对于n∈N*恒

成立，只需－3＋4q≤0⇒q≤34，而0<q<1，所以0<q≤34.6．答案：C解析：因为等比数列{an}为递增数列且a2<0，所以a1<a2<0，则q＝a2a1∈(0,1)，即0<q<1.7．答案：A解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，对任意的n∈N*，an>0，q>0，

由等比中项的性质可得a23＝a2·a4＝16，解得a3＝4，所以，a4＋a5＝a3(q＋q2)＝4(q＋q2)＝24，整理可得q2＋q－6＝0，∵q>0，解得q＝2，因此，an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.8．答案：B解析：由题意可知bn＋1－bn＝can＋1－can

＝c(an＋1－an)＝cd，∴{bn}是以cd为公差的等差数列，故B正确，A错误；当{an}不是常数列时，比如an＝n，c＝1时，明显{bn}不是等比数列，故CD错误．9．答案：ACD解析：由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，得a2＝－3，设等差数列{an}的公差为d，则有a5

＝a2＋3d，所以d＝a5－a23＝3－(－3)3＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝－3＋(n－2)×2＝2n－7，所以a1＝2－7＝－5，a4＝8－7＝1>0，S6＝6×(－5)＋6×52×2＝0，由S4－S3＝a4＝1>0，得S4>S3.10．答案：AC解析：因为等比数列{

an}的公比为q，且a5＝1所以a3＝1q2，a4＝1q，a6＝q，a7＝q2，因为a3＋a7＝1q2＋q2≥2，故A正确；因为a4＋a6＝1q＋q，当q<0时式子为负数，故B错误；因为a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C

正确；因为a3－2a4－1＝1q2－2q－1＝1q－12－2，存在q使得a3－2a4－1<0，故D错误．11．答案：BC解析：令bn＝1an，则bn＋1bn＝anan＋1＝1q(n∈N＋)，所以1an是等比数列，选项A正确；若an<0，则log2an无意义，所以选

项B错误；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列，所以选项C错误；若Sn＝3n－1＋r，则a1＝S1＝1＋r，a2＝S2－S1＝3＋r－(1＋r)＝2，a3＝S3－S2＝9

＋r－(3＋r)＝6，由{an}是等比数列，得a22＝a1a3，即4＝6(1＋r)，解得r＝－13，所以选项D正确．12．答案：BC解析：A.当n＝1时，S1＝2，a1＝1，S1≠a1，故错误；B．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2·3n－

1，当n＝1时，a1＝S1＝2，符合n≥2的情况，所以an＝2·3n－1，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，故正确；C．因为{an}是等差数列，所以S9＝(a1＋a9)×92＝2a5×92＝9a5，故正确；D．当a1＝q＝1时，S1·S3＝1×

3＝3，S22＝22＝4，所以S1·S3>S22显然不成立，故错误．13．答案：9解析：设等差数列{an}的公差为d，而{an}是正项数列，则a1>0，因a1a2＝3a2a3＝15，则a1(a1＋d)＝3(a1＋d)(a1＋2d)＝15，整理得d＝2a1，而a

1(a1＋d)＝3，解得a1＝1，d＝2，则有a5＝1＋(5－1)·2＝9，所以a5＝9.14．答案：2116解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1q2·a1q3＋a1q4＝0，将a1＝2代入得2q

＋1＝0，得q＝－12，所以S6＝a1(1－q6)1－q＝21－1641＋12＝2116.15．答案：4n＋1解析：因为数列{2n＋1}是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列{4n－3}是以1为首项，以4为公差的等差数列，所以这两个数列的

公共项所构成的新数列{an}是以5为首项，以4为公差的等差数列，所以{an}的通项公式为an＝5＋(n－1)4＝4n＋1.16．答案：－123解析：因为a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，所以q＝a2＋a4a1＋a3＝－510＝－12，所以

a1＋a3＝a1＋q2a1＝10，即a1＝8，所以an＝a1qn－1＝8×－12n－1；所以当n为偶数时，an<0，当n为奇数时，an＝8×－12n－1＝8×12n－1＝24－n>0要使an>1，所以4

－n>0且n为奇数，即n<4且n为奇数，所以n＝1或n＝3.n的最大值为3.17．解析：方案一选条件①.(1)设等差数列{an}的公差为d.由题设知a1＋2d＝76a1＋6×52d＝51，解得a1＝1d＝3，∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)，知

数列{an}是递增数列，且a1>0，∴Sn的最小值为S1＝1，无最大值．方案二选条件②.(1)设等差数列{an}的公差为d.由题设知d＝an－an－1＝－3.∵a3＝a1＋2×(－3)＝7，∴a1＝13.∴an＝13－3(n－1)＝16－3n.(2)由(1

)知，{an}是递减数列．令an>0，可得n≤5，故Sn的最大值为S5＝5×(13＋1)2＝35，无最小值．方案三选条件③.(1)设等差数列{an}的公差为d.由S5＝5(a1＋a5)2＝5a3＝a3a5，得a5＝5，∴d＝a5－a3

5－3＝－1，∴an＝a3＋(n－3)×(－1)＝10－n.(2)由(1)知，{an}是递减数列，令an＝0，得n＝10，故Sn的最大值为S9＝S10＝10×(9＋0)2＝45，无最小值．18．解析：(1)由等

差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝

－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋n(n－1)2×2＝n2－5n，则不等式Sn>a

n即：n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.考点过关检测22等差数列与等比数列(2)1．答案：B解析：∵a2＋a5＋a12＋a15＝2(a2＋a15)＝36，∴a1＋a16＝a2＋a15＝18，∴S16＝16(a1＋

a16)2＝8×18＝144.2．答案：B解析：由等比数列性质可知a2·a6＝a3·a5＝4＝a24，所以a4＝2或a4＝－2，但a2＋a6>0，可知a4>0，所以a4＝2，则tanπa43＝tan2π3＝－3.3．答案：B解析：

∵数列{an}为等差数列，∴数列Snn为等差数列，设其公差为d，又S1010－S88＝2d＝2，解得：d＝1，又S11＝a1＝－2021，∴S20212021＝－2021＋2020＝－1，∴S2021＝－

2021.4．答案：C解析：由题得a5a2017＝3，根据等比数列性质知：a1a2021＝a2a2020＝…＝a1010a1012＝a1011a1011＝3，于是a1011＝312，则log3a1＋lo

g3a2＋log3a3＋…＋log3a2021＝log3(a1a2a3…a2021)＝log331010·312＝20212.5．答案：A解析：因为3a2是a3与a4的等差中项，所以a3＋a4＝6a2，所以a1q2＋a1q3＝

6a1q，又因为a1>0，q≠0，所以q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3，又因为an>0，所以q>0，所以q＝2.6．答案：C解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质，知a2a3＝a1a4＝2a1，所以a4＝2，由a

4与2a7的等差中项为54，知a4＋2a7＝2×54，所以a7＝14，所以q3＝a7a4＝18，则a1＝a4q3＝16.7．答案：B解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为4的等比数列，所以a2＝4a1，所以a1＋d＝4a1，得d＝

3a1.所以ak3＝44a1＝256a1，所以a1＋(k3－1)d＝256a1.即(k3－1)·3a1＝255a1，解得k3＝86.8．答案：B解析：设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：

2b3＝a2＋a6a28＝b3b5⇒2q2＝2＋6d(1＋7d)2＝q6⇒d＝1q＝2，∴an＝n，bn＝2n－1，a100＝100，b100＝299，b100>a100，故A不正确；a1024＝1024，b

11＝210＝1024，故B正确；a10＝10，b5＝24＝16，故C不正确；a99＝99，b9＝28＝256，故D不正确．9．答案：BCD解析：对于A，当a1<0，q>1时，{an}为递减数列，故A错误；对于B，当a1<0，q

>1时，{an}为递减数列，当a1>0，q>1时，{an}为递增数列，故B正确；对于C，{an}是等比数列，则a3、a7、a11仍成等比数列，故C正确；对于D，等比数列{an}中，q>1，则Sn＝a1(1－qn)1－q必不为0，故D正确．10．答案：AC解析：因为a

2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2(a3＋1)，因为a3＝4.又{an}是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2(a3＋1)，得a3q＋1q＝2(a3＋1)，即q＋1q＝52，解得q＝2或12.11．答案：BC解析：当Sn＝(n＋1)2时，a1＝S

1＝4；an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1(n≥2)，a1＝4不满足上式，所以数列{an}不是等差数列，选项A错误；当Sn＝2n－1时，a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)

＝2n－1，且a1＝1满足上式，所以此时数列{an}是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可知：S2n－1＝2n－12(a1＋a2n－1)＝2n－12·(2an)＝(2n－1)an，故选项C正确；当an＝(－

1)n时，{an}是等比数列，而S2＝－1＋1＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，不能构成等比数列，选项D错误．12．答案：AD解析：数列{an}是公比q为－23的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，则a9＝a1－238，a10＝a1－2

39，∴a9·a10＝a21－2317＜0，故A正确；∵a1正负不确定，故B错误；∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；由a9＞b9且a10＞b10，则a1－238＞12＋8d，a1－239＞12＋9d，可得等差数列{bn}

一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确．13．答案：2解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a4＝a1a5＝144，又因为a2＋a4＝30，解得：a2＝6a4＝24或a2＝24a4＝6，由无穷等比数列{an}的各项均大于1可知q≥1，

所以a2＝6a4＝24，因为a4＝a2·q2，即24＝6q2，解得：q＝2.14．答案：67解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn＝n＋52n－1，所以设Sn＝

kn(n＋5)，Tn＝kn(2n－1)，(k≠0)，则a7＝S7－S6＝7k·(7＋5)－6k·(6＋5)＝18k，b6＝T6－T5＝6k·(2×6－1)－5k·(2×5－1)＝21k，∴a7b6＝18k21k＝67.15．答案：－12解析：由－1，a1，

a2，－4成等差数列，可得公差d＝－4－(－1)4－1＝－1，所以a1－a2＝1，又由－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，可得b22＝－1×(－4)＝4，设等比数列的公比为q，可得b2＝－1×q2<0，所以b2＝－2，所以a1－a2b2＝－12.16．答案：216

22n＋1－2解析：第四次构造得到的数列为1,2,24,26,24,2，故b4＝216因为bn＝1·a1·a2·…·ak·2，所以由数列的构造方式可得bn＋1＝(bn)2所以lgbn＋1＝2lgbn，因为lgb1＝2lg2所以数列{lgbn}是首项为2lg2，公比为2的等比数列所以lgbn

＝2(lg2)·2n－1＝2nlg2＝lg22n，所以bn＝22n所以Hn＝b1b2…bn＝22·222·223…22n＝22＋22＋23＋…＋2n＝22(1－2n)1－2＝22n＋1－2.17．解析：(1)由题意知4a1＋6d＝10(a1＋2d)2＝(a1＋

d)(a1＋6d)，解得a1＝－2，d＝3，或a1＝52，d＝0(舍去)，所以an＝3n－5.(2)bn＝3n－5＋2n，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：Sn＝n(－2＋3n－5)2＋2(1－2n)1－2

＝3n2－7n2＋2n＋1－2＝2n＋1＋32n2－72n－2.18．解析：(1)由Sn＋1＝2＋λan得：当n＝1时，S2＝2＋λa1，所以a2＝λ＋1；当n＝2时，S3＝2＋λa2，所以a3＝λ2，因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，即2(λ＋1)＝1＋

λ2，所以λ＝1±2；(2)因为{an}为等比数列，所以a1，a2，a3成等比数列，所以(λ＋1)2＝λ2，即λ＝－12，所以等比数列的公比q＝12，所以an＝a1qn－1＝12n－1，经验：当a

n＝12n－1时，Sn＋1＝1－12n＋11－12＝2－12n＝2－12an满足题意，综上所述：an＝12n－1.考点过关检测23数列通项与数列求和(1)1．解析：(1)由a1,4a3－1,2S4成等差数列，且公比q＝2，所以2(4a3－1)＝a1

＋2S4，即8a1·22－2＝a1＋2×a1(1－24)1－2，整理得32a1－2＝a1＋30a1，解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.(2)bn＝an＋log2an＝2n＋n.因为{an}为等比数

列，令cn＝n，cn－cn－1＝1，故{cn}为等差数列因此分组求和可得：Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋[2n－1＋(n－1)]＋(2n＋n)＝(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2(1－2n)1－2＋n(

n＋1)2＝2n＋1－2＋n(n＋1)2.2．解析：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，因为a2＝4，S5＝5a3＝30，所以a1＋d＝4a1＋2d＝6，解得a1＝2d＝2，所以an＝2n.(2)bn＝2a2n－1＝

24n2－1＝12n－1－12n＋1，所以Tn＝1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.3．解析：(1)∵an＝an－1＋2n－1(n≥

2)，∴an－an－1＝2n－1，a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，an－an－1＝2n－1.左右两边同时相加得，an－a1＝21＋22＋23＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－2＋a1＝2n＋1，当a1＝3时也符合上式，所以an＝2n＋1.(

2)由bn＝log2(an＋1－1)得bn＝log2(2n＋1－1)＝n所以1bnbn＋1＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，Tn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.4．证明：选择①，设数列{an}的公差为d，由S7＝49，a5

＝9，得7a1＋7×62d＝49，a1＋4d＝9，解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.又因为bn＝1anan＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，所以Tn

＝b1＋b2＋b3＋x＋bn＝121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1，所以Tn＝121－12n＋1<12.选择②，设数列{an}的公差为d，因为S5＝a8＋10，所以4a1＋3d＝10，又a1＋4d＝9，解得

d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.又因为bn＝1anan＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1.所以

Tn＝121－12n＋1<12.选择③，设数列{an}的公差为d，因为S8－S6＝28，即a7＋a8＝28，又因为a5＝9，所以2a5＋5d＝28，解得d＝2，所以a1＝a5－4d＝9－4×2＝1，所以an＝2n－1.又因为bn＝1anan＋1＝1(

2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1，所以Tn＝121－12n＋1<12.考点过关检测24数列通项与数列求和(2)1

．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a5＝12，a10－a7＝6，可得a1＋4d＝12，a1＋9d－(a1＋6d)＝6，解得a1＝4，d＝2，所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2；设等比数列{bn}的公比

为q，q>0，由b1＝a1＝4，b4＝a15＝32，可得4q3＝32，解得q＝2，所以bn＝4·2n－1＝2n＋1；(2)anbn＝(n＋1)·2n＋2，前n项和Sn＝2·23＋3·24＋…＋(n＋1)·2n＋2，

2Sn＝2·24＋3·25＋…＋(n＋1)·2n＋3，上面两式相减可得－Sn＝23＋(23＋24＋…＋2n＋2)－(n＋1)·2n＋3＝8＋8(1－2n)1－2－(n＋1)·2n＋3，化简可得Sn＝n·2n＋3.2．解析

：(1)当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－3，解得a1＝3，当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3，则2Sn－2Sn－1＝2an＝(3an－3)－(3an－1－3)，即an＝3an－1，又a1≠0，

则an≠0，∴anan－1＝3(常数)，故{an}是以a1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{an}的通项公式为an＝3n(n∈N*)．(2)由(1)可得：bn＝log3an＋nan＝n＋n3n，∴Tn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋13＋232＋333＋…＋n3

n，设Pn＝13＋232＋333＋…＋n3n，则13Pn＝132＋233＋334＋…＋n3n＋1∴1－13Pn＝13＋132＋133＋…＋13n－n3n＋1＝13－13n＋11－13－n3n＋1＝12－2n＋32×3n＋1，∴Pn＝3212－2n＋3

2×3n＋1＝34－2n＋34×3n，又1＋2＋3＋…＋n＝n2＋n2，∴Tn＝12n2＋12n＋34－2n＋34×3n(n∈N*)．3．解析：(1)设数列{an}的公比为q，由题意有a1＋a2＋a

3＝1310a2＝3a1＋3a3，所以a1＋a3＝10a2＝3，所以3q＋3q＝10，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝13或q＝3因为{an}是递增的等比数列，所以q>1，所以q＝3，所以a1＝1，

所以an＝3n－1.(2)选择①：因为bn＝2Sn－1，所以4Sn＝b2n＋2bn＋1,4Sn－1＝b2n－1＋2bn－1＋1(n≥2)，两式相减得4bn＝b2n－b2n－1＋2(bn－bn－1)(n≥2)，即(b

n＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0(n≥2)，因为bn＋bn－1≠0(n≥2)，所以bn－bn－1＝2(n≥2)所以数列{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，因此cn＝(2n－1)·3n－1，Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－

1)×3n－1，3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，两式相减得－2Tn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n，即－2Tn＝1＋23(1－3n－1)1－3－(2

n－1)·3n＝1－3(1－3n－1)－(2n－1)·3n＝－2＋3n－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)·3n，所以Tn＝1＋(n－1)·3n.选择②：由2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，b2＝3，所以数

列{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，因此cn＝(2n－1)·3n－1，以下同①；选择③：由Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1得Sn－Sn－1＝1，∴{Sn}是以1为首项，1

为公差的等差数列，Sn＝n，∴Sn＝n2，所以bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，检验n＝1时也满足，所以bn＝2n－1，cn＝(2n－1)·3n－1，以下同①.4．解析：(1)因为数列{an}满足：an＋1－2an＝0，a3＝8

，所以an＋1＝2an，设{an}的公比为q，可得q＝2，又a3＝8，即4a1＝8，解得a1＝2，所以an＝2n；(2)bn＝nan＝n2n，Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，12Tn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，上面两式相减可

得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1，化简可得Tn＝2－n＋22n，因为Tn＋1－Tn＝2－n＋32n＋1－2＋2＋n2n＝n＋12n＋1>0，所以{Tn}递增，T1最小，且为12，所以

2×12>m－2021，解得m<2022，则m的最大值为2021.单元过关检测五数列1．答案：B解析：设数列{an}的公比为q，因为a4＋2a6＝a2，所以a1q3＋2a1q5＝a1q，即2q4＋q2－1＝0，解得q2＝12，所以a5＝a1q4＝14.2．答案：D解析：数列{an}

为等差数列，又∵a2＋a3＋a4＝6，根据等差数列性质得到a2＋a3＋a4＝3a3＝6，a3＝2，又a6＝4，∴a6－a3＝3d＝2，d＝23.3．答案：A解析：因为数列{an}是等比数列，设公比为q，由a5·a6＝a7得a1q4·a1q5＝a1q6，即a1q3＝1，即a4＝1，由等比数

列的性质可得，T7＝a1a2a3a4a5a6a7＝a74＝1.4．答案：C解析：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝52，S4＝22，设等差数列的首项为a1，公差为d，由S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋

a6＋a7＋a8＋a9＝52，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝22，由两式相减可得(S9－S4)＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝52－22，即5a1＋30d＝30，a1＋6d＝6即a7＝6.5．答案：B解析：∵Sn＝32an－12，∴当n≥2时，Sn－1＝32an－1－12，∴an＝Sn－Sn－1

＝32an－12－32an－1－12＝32an－32an－1，化简可得：an＝3an－1，当n＝1时，a1＝S1＝32a1－12，解得：a1＝1.∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为3，∴S5＝a1(1－q5)1－q＝1×(1－35)1－3＝12

1.6．答案：D解析：因为{an}是递增等差数列，S5＝15，所以5a1＋5×42d＝15，即a1＋2d＝3，①由a1，a2，a3＋1成等比数列，所以(a1＋d)2＝a1(a1＋2d＋1)，整理得a21＋2a1d＋d2＝a21＋2a1d＋a1，即d2＝a1

，②①②联立求得d＝1a1＝1，或d＝－3a1＝9(舍去)所以S10＝10×1＋10×92×1＝55.7．答案：B解析：令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，所以{an}是首项为a1＝3，公差为

3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，所以a1＋a2＋a3＋…＋ak＝k(a1＋ak)2＝k(3＋3k)2＝135，整理可得：k2＋k－90＝0，解得：k＝9或k＝－10(舍)．8．答案：B解析：

设每个工程队承建的基站数形成数列{an}，则由题可得an＝1－16an－1＝56an－1，故{an}是以56为公比的等比数列，可得S8＝a11－5681－56＝10，解得a1＝10×6768－58.9．答案：BC解

析：由题意可知，在等差数列{an}中，因为a9＝S17，所以a9＝17(a1＋a17)2＝17(2a9)2＝17a9，则a9＝0，故选项B正确；因为公差d≠0，所以a8≠0，故选项A错误；因为a9＝0，所以a1＋8d＝0，所以a1＝－8d，所以S16＝

16a1＋16×152d＝16a1＋152d＝16×－12d＝－8d＝a1，所以选项C正确；因为S10－S8＝a9＋a10＝a10＝a1＋9d＝－8d＋9d＝d，且d未知正负，所以选项D错误．10．答案：ABD解析：因为a4＝2

a2＋a3，可得a1q3＝2a1q＋a1q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又由正项的等比数列{an}，可得q>0，所以q＝2，所以A正确；数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所

以B正确；则S10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，所以C不正确；由an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n，所以an＋an＋1<an＋2，所以D正确．11．答案：CD解析：因为an是Sn与λ的等差中项

，所以2an＝Sn＋λ，令n＝1，得2a1＝a1＋λ，解得a1＝λ，所以2a2＝a1＋a2＋λ，解得a2＝2λ.又2an－1＝Sn－1＋λ(n≥2)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以λ为首项，2为公比的等比数列，所以an

＝λ·2n－1，选项A错误．当λ<0时，数列{an}是单调递减数列，所以选项B错误．因为an＝λ2n－1，所以1an＝1λ2n－1，当λ>0时，数列1an是单调递减数列；当λ<0时，数列

1an是单调递增数列，所以选项C正确．由于anan＋2＝(λ2n－1)(λ2n＋1)＝λ222n>0，所以选项D正确．12．答案：BC解析：对于A，Sn＝(1＋n)n2，S2n＝n(1＋2n)，S4n＝2n(1＋4n)，所

以S2nS4n＝n(1＋2n)2n(1＋4n)＝1＋2nn(1＋4n)不为常数，故A不正确；对于B，由并项求和法知：S2n＝n，S4n＝2n，S2nS4n＝n2n＝12，故B正确；对于C，Sn＝2＋4n－22×

n＝2n2，S2n＝8n2，S4n＝32n2，所以S2nS4n＝14，故C正确；对于D，Sn＝2(1－2n)1－2＝2(2n－1)，S2n＝2(4n－1)，S4n＝2(16n－1)，所以S2nS4n＝4n－116n－1＝14n＋1不为常数，故D错误．13．答案：－18解析：等差

数列{an}中2a8＝a11＋a5，结合已知可得：2a8－a11＝a5＝－6，∴a2＋a6＋a7＝3a5＝－18.14．答案：9解析：因为an＝lgn＋1n，所以Sn＝lg21＋lg32＋…＋lgn＋1n＝lg21×32×…×n＋1n＝lg(n＋1)，又Sn＝1

，即lg(n＋1)＝1，所以n＋1＝10，即n＝9.15．答案：4解析：因为{an}为等比数列，且公比为q，所以a2＝a1·q，a3＝a1·q2且a1≠0，q≠0.因为16a1,4a2，a3成等差数列，所以16a1＋a3＝2×4a2，有16a1＋a1·q2＝2×4

a1·q，q2－8q＋16＝0，解得q＝4.16．答案：5720－15()n＋32n－4解析：(1)由对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12,

5×6,10×3,20×32，共4种不同规格(单位dm2)；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6,5×3,10×32，20×34，共5种不同规格；(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半

，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()dm2，第n次对折后的图形面积为120×12n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n＋1种，故

得猜想Sn＝120(n＋1)2n－1，设S＝k＝1nSk＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120()n＋12n－1，则12S＝120×221＋120×322＋…＋120n2n－1＋120(n＋1)2n，两式作差得：12S＝240

＋12012＋122＋…＋12n－1－120()n＋12n＝240＋601－12n－11－12－120()n＋12n＝360－1202n－1－120()n＋12n＝360－120()n＋32n，因此，S＝720－240()n＋32n

＝720－15()n＋32n－4.17．解析：(1)因为an＋1＝2an－1an，所以an＋1－1＝an－1an，因为a1＝2，所以an－1≠0﹐所以1an＋1－1＝anan－1＝1＋1an－1，所以1an＋1－1－1an－1＝1，又因为1a1－1＝1.所以1an－1

是以1为首项，公差为1的等差数列．(2)由(1)得1an－1＝1＋n－1＝n，所以an＝1＋1n，所以a1a2…an＝21·32…n＋1n＝n＋1，所以bn＝1n＋1，所以b21＋b22＋…＋b2n＝122＋132

＋…＋1(n＋1)2<11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1<1，即b21＋b22＋…＋b2n<1.18．解析：(1)由题意，bn＋1－bn＝2，∴{bn}为等差数列，公差d＝2，b1＝a1＝2，∴bn＝b

1＋(n－1)d＝2n，∵c1＝a2＝2，cn＋1＝2＋c1＋c2＋…＋cn，∴c2＝2＋c1＝4，cn＝2＋c1＋c2＋…＋cn－1(n≥2)，∴cn＋1＝cn＋cn，则cn＋1cn＝2(n≥2)且c2c1＝2，∴cn＋1cn＝2(n≥1

)，即{cn}为等比数列，公比q＝2，∴cn＝c1qn－1＝2n.(2)数列{an}的前20项的和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝b1＋c1＋b2＋c2＋…＋b10＋c10＝(b1＋b2＋…＋b10)＋(c1＋c2＋…＋c10)＝1

02(b1＋b10)＋c1(1－210)1－2＝110＋2046＝2156.19．解析：(1)当n＝1时，由a2n＋3an＋2＝6Sn，得a21＋3a1＋2＝6S1＝6a1，即a21－3a1＋2＝0.又a1∈(0,2)，解得a1＝1.由a2n＋3an

＋2＝6Sn，可知a2n＋1＋3an＋1＋2＝6Sn＋1，两式相减，得a2n＋1－a2n＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，由于an>0，可得an＋1－an＝3，所以{an}是首项为1，公差为

3的等差数列，所以an＝3n－2.(2)因为an＝3n－2，所以bn＝1anan＋1＝1(3n－2)(3n＋1)＝1313n－2－13n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝131－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝n3n

＋1.20．解析：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得：a1＋5d＋a1＋8d＝a1＋12d＋3(a1＋d)2＝a1＋4d，解得a1＝1，d＝2，故an＝2n－1；由3b2n＋1＋2bnbn＋1－b2n＝0可得：(3bn＋1－bn)(bn＋1

＋bn)＝0，即有bn＋1＝13bn或bn＋1＝－bn(舍)，从而有数列{bn}为首项为1，公比为13的等比数列，即可得bn＝13n－1；(2)由(1)得anbn＝2n－13n－1，Tn＝130＋331＋532＋…＋2n－33n－2＋2n－13n－1①，13Tn

＝131＋332＋533＋…＋2n－33n－1＋2n－13n②，①－②得：23Tn＝1＋213＋132＋133＋…＋13n－1－2n－13n＝1＋2×131－13n－11－13－2n－13n＝2－13n－1－2n－13n，故Tn＝3－n＋13n

－1.21．解析：(1)选①，∵{an}是公差不为0的等差数列，设公差为d，由a1，a3，a21成等比数列，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋20d)，又d≠0，∴4a1＝d，又a2＝5，即a1＋d＝5，解得a1＝1，d＝4，∴an

＝1＋(n－1)×4＝4n－3.选②，由S4＝28，a2＝5，有4a1＋6d＝28，a1＋d＝5，可得a1＝1，d＝4，∴an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.选③，由Sn＋1＝Sn＋an＋4，可得an＋1－an＝d＝4，又a2＝5，即a1＋d＝5，∴a1＝1，故

an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.∵{bn}是等比数列，由b2＝9，b1＋b3＝30，q>1，∴b1q＝9，b1＋b1q2＝30，解得q＝3，b1＝3，即bn＝3n.(2)a80＝317,35＝243<317<36＝729，∴{c

n}的前80项中，数列{bn}的项最多有5项，其中b2＝9＝a3，b4＝81＝a21为公共项，又a77＝305>243＝b5，∴{cn}的前80项是由{an}的前77项及b1，b3，b5构成．T20＝c1＋c2＋c3＋…＋c8

0＝a1＋a2＋…＋a77＋b1＋b3＋b5＝11781＋3＋27＋243＝12054.22．解析：(1)当Gn＝n时，由Gn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nann，得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，当n＝1时

，T1＝a1＝1，当n≥2时，Tn－Tn－1＝nan＝n2－(n－1)2＝2n－1，即an＝2n－1n，检验n＝1时，a1＝1成立，∴an＝2n－1n；(2)当Gn＝2时，由Gn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nann

，得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，当n＝1时，T1＝a1＝2，当n≥2时，Tn－Tn－1＝nan＝2n－2(n－1)＝2，即an＝2n，检验n＝1时，a1＝2成立，∴an＝2n，∴bn＝(－1)n＋18(4

n2－1)an＝(－1)n＋14n4n2－1＝(－1)n＋112n－1＋12n＋1，当n为奇数时，Sn＝1＋13－13＋15＋15＋17－17＋19＋…－

12n－3＋12n－1＋12n－1＋12n＋1＝1＋12n＋1.当n为偶数时，Sn＝1＋13－13＋15＋15＋17－17＋19＋…＋12n－3＋12n－1－12n－1＋12n＋1＝1－12n＋1，

∴Sn＝1＋12n＋1，n＝2k－1，k∈N*1－12n＋1，n＝2k，k∈N*，∵bn＝(－1)n＋112n－1＋12n＋1，∴b2n－1＋b2n＝14n－3＋14n－1－14n－1＋14n＋

1＝14n－3－14n＋1，∴S2n＝1－15＋15－19＋…＋14n－3－14n＋1＝1－14n＋1，令Cn＝1－14n＋1，则Cn＋1＝1－14n＋5，Cn＋1－Cn＝1(4n＋1)(4n＋5)>0，所以数列{Cn}为递增数列，

即数列{S2n}为递增数列，∴当n＝1时，(S2n)min＝S2＝1－15＝45.滚动过关检测四集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列1.答案：A解析：因为A＝{y|y＝x2－1}＝[－

1，＋∞)，所以∁RA＝(－∞，－1)，又因为B＝x12x>1＝(－∞，0)，所以(∁RA)∩B＝{x|x<－1}．2．答案：D解析：当x<0时，f(x)x<0得出f(x)>0＝f(

－1)，因为f(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x<－1；当x>0时，f(x)x<0得出f(x)<0＝f(1)，因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以x>1即f(x)x<0的解集是{x|x<－1或x>1}．3．答案：A解析：由已知可得a6>0，a7<0，a1＋5d>0a

1＋6d<0，又a1＝30，所以30＋5d>030＋6d<0，解得－6<d<－5.4．答案：C解析：由y＝lnx＋1求导得：y′＝1x，则曲线y＝lnx＋1在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y＝x，设直线y＝x与曲线y＝ex＋a相切的切点为(t，et＋a)，由y＝ex＋a

求导得y′＝ex，于是得et＝1et＋a＝t，解得t＝0a＝－1，所以a＝－1.5．答案：C解析：因为a1，12a3,2a2成等差数列，所以有2×12a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，消去a

1，得q2－2q－1＝0，解得q＝1＋2或q＝1－2(舍)所以(S10－S8)(S8－S6)＝(a10＋a9)(a8＋a7)＝q2(a8＋a7)(a8＋a7)＝q2，所以q2＝(1＋2)2＝3＋22.6．答案：A解析：由点P(4,1)在函数y＝ax12＋b(a>0，b>0

)的图象上，可得2a＋b＝1，所以2a＋1b＝2a＋1b(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当a＝b，即a＝13，b＝13时取等号，此时2a＋1b取得最小值9.7．答案：

B解析：若Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)，则Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an(n≥2)，根据等比数列的定义，{an}是公比为2的等比数列不成立；若{an}是公比为2的等比数列，则an＋1＝2an(n≥2)，即Sn＋1－Sn＝2(Sn－

Sn－1)，所以Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)成立；所以“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．8．答案：A解析：由题可知：f′(x)＝2x－1，xn＋1＝xn－x2n－xn－22xn－1＝x2n＋22

xn－1，所以xn＋1－2xn＋1＋1＝x2n＋22xn－1－2x2n＋22xn－1＋1＝xn－2xn＋12，则两边取对数可得lnxn＋1－2xn＋1＋1＝2lnxn－2xn＋1，即an＋1＝2an，所

以数列{}an是以1为首项2为公比的等比数列，所以S2021＝a1(1－qn)1－q＝22021－1.9．答案：BD解析：对于A，取a＝0，b＝－1可知a2024>b2024不成立，故A错误；对于B，由ab<0，1a>1b得，a>0>b，故B正确；对于C，取a＝3，b＝0，c＝1，d＝2

可知c>d不成立，故C错误；对于D，∵a>b>0，∴b＋1a＋1－ba＝a－ba(a＋1)>0，∴b＋1a＋1>ba成立，故D正确．10．答案：ABD解析：因为无穷等差数列{an}的公差d∈N*，且5,17,23是{an}中的三项，所以设

17－5＝12＝md23－17＝6＝nd，解得d＝6m－n，所以d的最大值为6，故A正确；因为a1≤5，d∈N*，所以2a2－a8＝a1－5d≤0，故B正确；因为d＝6m－n，所以m－n＝2时，d＝3，数列可能为5,8,

11,14,17,20,23，…，故C错误；因为137＝23＋19×6，所以137一定是等差数列{an}中的项，故D正确．11．答案：BCD解析：g(x)＝2sin2x＋π6－π6＝2sin2x＋π6，故A错误；令x＝－π12可得g－π12＝2sin

0＝0，故B正确；令x＝－π3可得g－π3＝2sin－π2＝－2，故C正确；x∈－π6，π6，所以2x＋π6∈－π6，π6，易知y＝sinx在－π2，π2上单调递增，所以g(x)在－π6，π6上单调递增，故D正确．1

2．答案：ABC解析：对于A，数列{an}的前n项和Sn＝a·2n＋1＋bn＋c(a，b，c为常数)，而{an}是等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，不可能是Sn＝a·2n＋1＋bn＋c，所以若a≠0

，则{an}不是等差数列，故A正确；对于B，若a＝0，b≠0，c＝0，则Sn＝bn，所以n＝1时，a1＝S1＝b；n≥2时an＝Sn－Sn－1＝bn－b(n－1)＝b，对n＝1也成立，所以an＝b，所以{an}是等差数列，故B正确；对于C，若a＝0，b≠0，c＝0，则Sn＝bn，所以n＝1

时，a1＝S1＝b≠0；n≥2时an＝Sn－Sn－1＝bn－b(n－1)＝b≠0，对n＝1也成立，所以an＝b≠0，所以{an}是等比数列，故C正确；对于D，若a＝1，b＝0，c＝－1，则Sn＝2n＋1－1，所以n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n

，a2＝4，a3＝8，所以a2a1≠a3a2，所以{an}不可能是等比数列，故D不正确．13．答案：－45解析：∵tanα＝12，∴cos2α＋π2＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－2sinαcosαcos2α＋sin2α＝－2tanα1＋tan2α＝－45.14．答案：－π3解

析：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ＋π3为奇函数，∴φ＋π3＝kπ，即φ＝kπ－π3，又|φ|<π2，∴k＝0，有φ＝－π3.15．答案：1022解析：由f(x)＝13x3－6x2＋32x得f′(x)＝x2－12x＋32，又

因为a2，a3是函数f(x)＝13x3－6x2＋32x的两个极值点，所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，故a2＋a3＝12a2·a3＝32，因为q>1所以a2＝4，a3＝8，故q＝

2，则前9项和S9＝2(1－29)1－2＝210－2＝1022.16．答案：541解析：(1)当m＝5时，a1＝5，a2＝5×3＋1＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，所以需5次步骤后变成1；(2)若第5次步骤后变成1，则a6＝1，a5＝2，a4＝4，a3＝8

或1，当a3＝8时，a2＝16，a1＝32或a1＝5；当a3＝1时，a2＝2，a1＝4，所以m的可能值是{4,5,32}，m的可能值的和是4＋5＋32＝41.17．解析：(1)因为f(x)＝312cos2x＋32sin2x－sin2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin

2x＋π3，所以，函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)当x∈[m,0]时，2m＋π3≤2x＋π3≤π3，因为函数y＝sinu在直线u＝π3左侧的第一个最小值点为u＝－π2，故－π2∈

2m＋π3，π3，即2m＋π3≤－π2，解得m≤－5π12.因此，实数m的最大值为－5π12.18．解析：(1)∵acosC＋(c＋2b)cosA＝0，∴由正弦定理可得：sinAcosC＋(sinC＋2sinB)cosA＝0，整理得sinAcosC＋sinCcosA＋2s

inBcosA＝0，即：sin(A＋C)＋2sinBcosA＝0，所以sinB＋2sinBcosA＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝－12，∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)由a＝23，b＋c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴12＝(b＋c)2－2bc－2

bccos2π3，即有12＝16－bc，∴bc＝4，∴△ABC的面积为S＝12bcsinA＝12×4×sin2π3＝3.19．解析：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5又a2k＋2＝a

2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，故a2k＋2＝a2k＋3即bn＋1＝bn＋3即bn＋1－bn＝3所以{}bn为等差数列，故bn＝2＋()n－1×3＝3n－1.(2)设{}an的前20项和为S20，则S20＝

a1＋a2＋a3＋…＋a20，因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，所以S20＝2()a2＋a4＋…＋a18＋a20－10＝2()b1＋b2＋…＋b9＋b10－10＝2×10×2＋9×102×3－10＝300.20．解析：(1)因

为(2b－c)cosA－acosC＝0，所以2sinBcosA－sinCcosA－cosCsinA＝0，所以2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即2sinBcosA－sinB＝0.因为0<B<π，所以sinB≠0，所以cosA＝

12.因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由(1)可知A＝π3，则sinA＝32.因为△ABC的面积为33，所以12bcsinA＝34bc＝33，所以bc＝12.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥bc＝1

2，则a≥23.设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝asinA≥2332＝4，即r≥2，故△ABC外接圆的面积S＝πr2≥4π，当且仅当b＝c＝23时，等号成立．即当b＝c＝23时，△ABC外接圆面积的最小值为4π.21．解析：(1)当n≥2时，an

＝Sn－Sn－1＝a＋3cn－a－3cn－1＝3(c－1)cn－1，∴an＋1＝3(c－1)cn.(*)则an＋1＝can.当n＝1时，a1＝S1＝a＋3c，因为{an}为等比数列，所以a2＝a1·c＝(a＋3c)c.由(*)式可知，a2＝3

(c－1)c，∴3c(c－1)＝c(a＋3c)，解得a＝－3；(2)c＝54时，an＝3454n－1.∵bn＝1nan，∴bn＝34n54n－1，bn＋1＝34(n＋1)54n.bn

＋1≥bn，即34(n＋1)54n≥34n54n－1⇒n≥4，bn＋1<bn⇒n<4.于是b1>b2>b3>b4＝b5<b6<b7<b8<…，所以n＝4或5时，bn取得最小值，最小值为b4＝b5＝3751024.2

2．解析：(1)函数g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x>0)，设φ(x)＝－13x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，所以当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减；所以φ(x)的最大值为φ(1)＝－13＋1＝23，又φ(0)＝0，可知：①当m>23时，函数g(x)没有零点，②当m＝23时，函数g(x)有且仅有1个零点，③当0<m<23时，函数g(x)有2个零点，④当m≤

0时，函数g(x)有且只有1个零点．综上所述，当m>23时，函数g(x)没有零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且仅有1个零点；当0<m<23时，函数g(x)有2个零点．(2)对任意b>a>0，f(b)－f(a)b－a<1恒成立，等价于f(b)－b<f(a)－a恒成立，设h(

x)＝f(x)－x＝lnx＋mx－x(x>0)，则h(b)<h(a)，可得h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h′(x)＝1x－mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，分离m可得m≥－x2＋x＝－x－122＋14(x

>0)恒成立，所以m≥14，所以m的取值范围是14，＋∞.考点过关检测25平面向量的线性运算1．答案：B解析：由题意，AM→＝OM→－OA→＝12b－a.2．答案：D解析：由2a＋b＝(1,2)

，又(2a＋b)∥c，∴2t＝2－t，可得t＝23.3．答案：A解析：DE→＝DC→＋CE→＝12AC→＋23CB→＝12AC→＋23(AB→－AC→)＝23AB→－16AC→＝23a－16b.4．答案：C解析

：因为△AHE∽△CBE，所以AHBC＝AEEC＝12，所以点H是线段AD的中点，所以EH→＝EA→＋AH→＝－13AC→＋12AD→＝－13(AB→＋AD→)＋12AD→＝16AD→－13AB→.5．答案：B解析：由题意及图：AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋mBN→＝AB

→＋m(AN→－AB→)＝mAN→＋(1－m)AB→，又AN→＝23NC→，所以AN→＝25AC→，所以AP→＝25mAC→＋(1－m)AB→，又AP→＝λAB→＋13AC→，所以1－m＝λ25m＝13，解得：m＝56，λ＝16.6．答案：D解

析：ED→＝AD→－AE→＝AD→－13AC→＝AD→－13(AB→＋AD→)＝23AD→－13AB→，又∵ED→＝λAD→＋μAB→，AD→，AB→不共线，根据平面向量基本定理可得λ＝23，μ＝－13，∴λ＋μ＝13.7．答案：B解析：对于A：OP→＝14OC→－12OE→＝14OC→＋1

2OB→，以O为公共起点，14OC→，12OB→为邻边作平行四边形，得对角线OP→＝14OC→＋12OB→，显然点P不在△ODE内部；对于B：OP→＝14OC→＋12OE→，以O为公共起点，14OC→，12OE→为

邻边作平行四边形，得对角线OP→＝14OC→＋12OE→，显然点P在△ODE内部；对于C：OP→＝14OE→＋12OC→，以O为公共起点，14OE→，12OC→为邻边作平行四边形，得对角线OP→＝14OE→＋12OC→，显然点P不在△ODE内部；对于D：OP→＝14OE→－12OC

→＝14OE→＋12OF→，以O为公共起点，14OE→，12OF→为邻边作平行四边形，得对角线OP→＝14OE→＋12OF→，显然点P不在△ODE内部．8．答案：D解析：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如

图直角坐标系，设|EF|＝1，由E为AF的中点，∴E(0,0)，G(1,1)，A(－1,0)，B(1，－1)，D(0,2)，则EG→＝(1,1)，AB→＝(2，－1)，AD→＝(1,2)，由EG→＝λAB→＋μAD→，得：(1,1)＝λ(2，－1)＋μ(1,2)，∴2λ＋μ＝1－λ＋2μ

＝1，解得λ＝15μ＝35，则λ＋μ＝45.9．答案：ABC解析：对于A选项，FD→＋DA→＝FA→，正确；对于B选项，FD→＋DE→＋EF→＝FE→＋EF→＝0，正确；对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知DE→＋DA→＝DF→＝EC→，正确；对于D选

项，DA→＋DE→＝DF→≠FD→，所以D错误．10．答案：BC解析：由题意，P1P→＝13P1P2→或P1P→＝23P1P2→，由于P1P2→＝(3，－3)，设P(x，y)，则P1P→＝(x－1，y－3)则当P

1P→＝13P1P2→时，(x－1，y－3)＝13(3，－3)，∴x＝2，y＝2，即P(2,2)；P1P→＝23P1P2→时，(x－1，y－3)＝23(3，－3)，∴x＝3，y＝1，即P(3,1)．11．答案：BD解析：易证△DEN∽△BAN，又OB＝O

D，N是线段OD的中点，∴DE＝13AB，∴AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋13AB→∴D说法错误；∵AO→＝12AC→＝12AB→＋12AD→∴C说法正确；∵AN→＝AO→＋ON→＝12(AB→＋AD→)＋14(AD→－AB→)＝34AD→＋14AB→∴A说法正确，B说法错误

．故选BD.12.答案：CD解析：设AB＝1，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则AB→＝(1,0)，AE→＝(－1,1)，设点P(x0，y0)，则有x0＝λ－μ，y0＝μ得λ＝x0＋y0，μ＝y0，

故λ＋μ＝x0＋2y0，对于A选项，若λ＋μ＝2，则x0＋2y0＝2，可知直线x0＋2y0＝2与正方形边界交于点D和BC的中点，故A选项错误；同理可得，C，D选项正确；对于B选项，若λ＋μ＝4，则x0＋2y0＝4，可知直线x0＋2y

0＝4与正方形边界没有交点，故错误．13．答案：－12，5解析：由题设，点M是线段BC的中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)＝12[(2,8)＋(－3,2)]＝－12，5.14．答案：－8解析：由题得

AB→＝λDB→，2a＋kb＝－λa＋4λb，∴2＝－λk＝4λ，∴k＝－8，λ＝－2.15.答案：12解析：如图所示：因为O，D分别为边AB，BC的中点，所以AD→＝12AB→＋12AC→＝12AB→＋1212AB→＋OC→

＝34AB→＋12OC→，所以OC→＝－32AB→＋2AD→，即x＝－32，y＝2，x＋y＝12.16．答案：2－14解析：因为在△ABC中，BD→＝13BC→，所以DC→＝2BD→.由向量定比分点公式得AD→＝21＋2AB→

＋11＋2AC→，即AD→＝23AB→＋13AC→.因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设AE→＝xAD→(0<x<1)．所以AE→＝2x3AB→＋x3AC→，对比AE→＝λAB→＋μAC→可得λ＝2x

3，μ＝x3.代入λ＝2x3，μ＝x3，得λμ＝2x3x3＝2；代入λ＝2x3，μ＝x3可得λ2－2μ＝2x32－2×x3＝4x29－2x3(0<x<1)，根据二次函数性质知当x＝－－232×49＝3

4时，()λ2－2μmin＝49×342－23×34＝－14.考点过关检测26平面向量的数量积1．答案：A解析：由题意，a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×12＋1×2×cos120°＝2－1＝1则a·()2a＋b＝1.2．答案：D解析：由已知，得BC→＝AC→－AB→＝(

2，t)－(1,3)＝(1，t－3)，又|BC→|＝1，所以(t－3)2＋1＝1，解得t＝3，所以AB→·AC→＝(1,3)·(2,3)＝2＋9＝11.3．答案：B解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2，y)，且2a＋b＝(2,6)，所以2x－2＝22＋y＝6得x

＝2，y＝4，即a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝2×(－2)＋1×4|a||b|＝0，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π2，即a与b的夹角为π2.4．答案：B解析

：因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，所以a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×12＝1，所以|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝22＋4－4×1＝4，所以|a－2b|＝2.5．答案：C解析：由a＋b＋c＝0，得a

＋b＝－c，所以|a＋b|＝|－c|，即|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以a·b＝－12，由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－12，得〈a，b〉＝2π3.6．答案：C解析：由题可知：a·b＝10，a与b的夹角为60°，|b|＝5，所以a·b＝|a|·|

b|·cos60°＝52·|a|＝10⇒|a|＝4，则|a|＝32＋x＝4，由x≥0，所以x＝7.7．答案：A解析：如图，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos120°＝－12，b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝1×1×cos120°＝－12，c·a＝|c||

a|cos〈c，a〉＝1×1×cos120°＝－12，所以a·b－b·c＋c·a＝－12.8．答案：B解析：如图：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝1，AB→＝3AE→，则B(3,0)，D(0,1)，C(3,1)，E(1,0)，则BD→＝(－3

,1)，CE→＝(－2，－1)，故cos〈BD→，CE→〉＝BD→·CE→|BD→|·|CE→|＝6－110×5＝22，因为0°≤〈BD→，CE→〉≤180°，所以〈BD→，CE→〉＝45°.9．答案：BD解析：对于A中，由a－b＝

(1－2,2＋4)＝(－1,6)，所以A不正确；对于B中，由|a|＝12＋22＝5，|b|＝22＋(－4)2＝25，所以B正确；对于C中，由a＝(1,2)，b＝(2，－4)，可得12≠2－4，所以C不正确；对于D中，由向量的夹角公

式，可得cosα＝a·b|a||b|＝1×2＋2×(－4)5×25＝－35，所以D正确．10．答案：BD解析：AB→＝(－1，k)，AC→＝(2,1)，BC→＝AC→－AB→＝(3,1－k)，若A＝90°，则AB→·AC→＝0，∴－2＋k＝0，解得k＝2；若B＝90°，则AB→·B

C→＝0，∴－3＋k(1－k)＝0，此时方程无解；若C＝90°，则AC→·BC→＝0，∴6＋(1－k)＝0，解得k＝7.结合选项可知BD正确．11．答案：AC解析：|b－2a|2＝|b|2＋4|a|2－4

a·b＝5，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以A正确，D不正确；|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝2，所以B不正确，同理C正确．12.答案：ACD解析：如图建

立平面直角坐标系，因为OC→＋3OD→＝0，所以OC＝3OD，设OD＝a(a>0)，则A(0,3a)，O(0,0)，B(3a,3a)，D(－a,0)，C(3a,0)，因为DA→·OB→＝(a,3a)·(3a,3a)＝3a2＋9a2＝12a

2＝12，所以a＝1，对于A，|OA→|＝3a＝3，所以A正确，对于B，|OE→|＝12＋12＝2，所以B错误，对于C，AO→·CF→＝(0，－3)·(－3，－1)＝3，所以C正确，对于D，DA→·DF→＝(1,3)·(1，－1)＝－2，所以D正确．13．答案：－3解析：因为a＝(2,1)，b

＝(1,3)，所以3a＋kb＝(6＋k,3＋3k)因为(3a＋kb)⊥a，所以2×(6＋k)＋1×(3＋3k)＝0，解得k＝－3.14．答案：－1解析：2a＋b＝(4,2m＋1)，∵b·(2a＋b)＝7，∴2×4＋2m＋1＝7，解得：m＝－1.15．答案：－92解析：由已知可得(a＋

b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－92.16．答案：－36316解析：由于∠ABC＝90°，如图以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐

标系，由于AD＝4，∠CAD＝30°，故CD＝2，AC＝23，又AB＝3BC，故BC＝3，AB＝3，∴B(0,0)，C(3，0)，A(0,3)，D(23，1)，∴CB→·CD→＝(－3，0)·(3，1)＝－3.不妨设AE→＝tAD→

(0≤t≤1)，∴BE→＝BA→＋AE→＝BA→＋tAD→＝(0,3)＋t(23，－2)＝(23t,3－2t)，CE→＝CB→＋BE→＝(－3，0)＋(23t,3－2t)＝(23t－3，3－2t)，∴BE→·CE→＝23t×(23t－3)＋(3－2t)2＝16t2－18t＋9，故当t

＝916时，BE→·CE→取得最小值为6316.考点过关检测27平面向量的综合应用1．答案：A解析：由已知，cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，故5sin2α＝1，所以2sinαcosα＝－4sin2α＝－

45.2．答案：B解析：由AD→＝AC→－AB→＝BC→可知，四边形ABCD为平行四边形；又由AC→·BD→＝0可知，四边形对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形．3．答案：B解析：由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴AC→·BD→＝(AD→＋DC→)·

BD→＝AD→·BD→＋DC→·BD→＝|AD→||BD→|cos∠BDA－|DC→||BD→|cos∠BDC＝|AD→|2－|DC→|2＝4－16＝－12.4．答案：B解析：因为aBA→＋(b－2c)BC→＋cAC→＝0，所以(a－c)BA→＋(

b－c)BC→＝0，所以a－c＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，故△ABC为等边三角形．5．答案：D解析：设BC的中点是O，|AC→|2－|AB→|2＝AC→2－AB→2＝(AC→＋AB→)·(AC→－AB→)＝2AO→·BC→＝2AM→·BC→，即(AO→－AM→)·BC→＝MO→·BC→

＝0，所以MO→⊥BC→，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心．6．答案：D解析：f(x)＝x－1x－2＝1x－2＋1，函数f(x)的图象关于点P对称，直线l与函数f(x)的图象交于A，

B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有OA→＋OB→＝2OP→，于是(OA→＋OB→)·OP→＝2OP→2＝2×(22＋12)＝10.7．答案：B解析：∵4OP→＝2xOA→＋yOB→，∴OP→＝x2OA

→＋y4OB→，由于A、B、P是直线l上三个相异的点，所以x2＋y4＝1，又x>0，y>0，由基本不等式得2x＋yxy＝1x＋2y＝1x＋2yx2＋y4＝xy＋y4x＋1≥2，当且仅当y＝2x时取等号．8．答案：C解析：如图所示，由正六边形的几何性质可知，

△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为边长为4的等边三角形，当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，||PO→取最大值4，当点P为正六边形各边的中点时，|PO→|取最小值，即|PO

→|min＝4sinπ3＝23，所以，|PO→|∈[23，4]．所以，PM→·PN→＝(PO→＋OM→)·(PO→＋ON→)＝(PO→＋OM→)·(PO→－OM→)＝PO→2－4∈[8,12]．9．答案：CD解析：易知A(cosα，sinα)，B(cosβ，si

nβ)，OA→·OB→＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，故A错误；当|AB→|＝2时，OA→⊥OB→，∴OA→·OB→＝0，故B错误；由于sinα>0，故AB过原点时，|AB→|最

大且最大值为2，故C正确；因为cosβ＝255，且β为第四象限角，所以sinβ＝－55.∵|AB→|＝1，∴∠AOB＝π3，即α－β＝π3＋2kπ，k∈Z，∴3cosα－sinα＝－2sinα－π3＝－2sinβ＝255，故D正确．10．答

案：CD解析：因为|a|＝2，|b|＝2，故A错误；因为a－b＝(1，－1)，b＝(1,1)，且1×1＋1×(－1)＝0，所以(a－b)⊥b，故B错误，C正确；因为cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝222＝22，所以a与b的夹角为π4.故D正确．故选CD.11．答案：ABC解析：AC→

·AB→＝|AC→|·|AB→|cosA，由|AB→|·cosA＝|AC→|可得|AC→|2＝AC→·AB→，即选项A正确，BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|cosB，由|BA→|·cosB＝|BC→|可得|BC→|2＝

BA→·BC→，即选项B正确，∵|AC→|·|BC→|＝|AB→|·|CD→|，由选项A，B可得|CD→|2＝AC→·AB→×BA→·BC→|AB→|2，即选项C正确，由AC→·CD→＝|AC→|·|CD→|cos(π－∠ACD)<0，又|AB→|2>0，知选项D不正确．12．答案：BD解析：

向量a＝(sinx，3cosx)，b＝(cosx，－cosx)，若a∥b，则－sinxcosx－3cos2x＝0，又x∈0，π2，∴tanx＝－3，显然当x∈0，π2时，不存在实数x，使得a∥b，故A错误；若a⊥

b，则sinxcosx－3cos2x＝0，又x∈0，π2，∴tanx＝3，∴x＝π3，故B正确；∵向量a＝(sinx，3cosx)，b＝(cosx，－cosx)，∴f(x)＝a·b＋32＝sinxcosx－3cos2x＋32＝12s

in2x－32cos2x＝sin2x－π3，当x∈0，π2时，2x－π3∈－π3，2π3，函数f(x)的最大值为1，此时x＝5π12；函数f(x)的最小值为－32，此时x＝0，故C错误，D正确．13．答案：34π或74π解析：由于a⊥b，所

以sinθ＋cosθ＝0，sinθ＝－cosθ，tanθ＝－1，由于0<θ<2π，所以θ的值为34π或74π.14．答案：252解析：如图，由于AP→＝4AB→|AB→|＋AC→|AC→|，所以AE→＝4AB→|AB→|，AF

→＝AC→|AC→|，则|AE→|＝4，|AF→|＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，即腰长为5，故△ABC的面积S＝12×5×5＝252.15．答案：－6解析：因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以设点P(2cosθ，2s

inθ)，θ∈R，则PA→＝(3－2cosθ，－2sinθ)，PB→＝(－2cosθ，4－2sinθ)，所以PA→·PB→＝－2cosθ×(3－2cosθ)－2sinθ×(4－2sinθ)，化简得PA→·PB→＝4－8sinθ－6cosθ＝4－10sin(θ＋φ)，tanφ＝34，所以当sin(

θ＋φ)＝1时，PA→·PB→取得最小值－6.16．答案：2π32解析：由正弦定理，得2sinA＋sinC＝2sinBcosC，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，得2cosBsinC＋sin

C＝0，由0<C<π，得sinC≠0，所以cosB＝－12，由0<B<π，得B＝2π3.由题意，得12acsin2π3＝12a×1×sinπ3＋12c×1×sinπ3，化简得ac＝a＋c，由基本不等式，得ac＝a＋c≥2ac，即ac≥4(当且仅当a＝c＝2时取等号)．所以AB→·B

C→＝accosπ3≥2(当且仅当a＝c＝2时取等号)．17．解析：(1)f(x)＝OA→·OB→＝sinx＋sinxcosx＋sinx(sinx－1)＝sinx＋sinxcosx＋sin2x－sinx＝12sin2x＋1－cos2x2＝12(sin

2x－cos2x)＋12＝22sin(2x－π4)＋12，x∈R，所以f(x)max＝2＋12，最小正周期是T＝2π2＝π；(2)2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z，所以增区间是[kπ－π8，kπ＋3π8]，k∈Z.18．解析：(1)

因为2bcosA＝acosC＋ccosA，所以由正弦定理可得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，即2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以2cosA＝1，cosA＝12，∵A∈()0，π，故A＝π3；(2)由BD→＝2DC→，得AD→＝AB→＋

BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→，所以AD→2＝19AB→2＋49AB→·AC→＋49AC→2＝169＋49×4×3cosπ3＋49×9＝769，所以|AD→|＝2193.考点过关检测28复数1．答案：A解析：2－i1－

3i＝()2－i()1＋3i10＝5＋5i10＝1＋i2，所以该复数对应的点为12，12，该点在第一象限．2．答案：A解析：∵z1＝3－i，z1，z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10.3．答案：A解析：由已知得z1z2＝(a－i)(2＋i

)＝(2a＋1)＋(a－2)i是纯虚数，所以2a＋1＝0且a－2≠0，可得a＝－12.4．答案：B解析：z＝1＋3i1－2i＝(1＋3i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝5i－55＝i－1，∴|z|＝(－1)2＋12＝2

.5．答案：C解析：因为z＝1＋i，所以z－＝1－i，所以z－z＝1－i1＋i＝(1－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i.6．答案：A解析：z3＋i＝2＋ai，∴z＝6－a＋(2＋3a)i，∵|z

|＝52，∴(6－a)2＋(2＋3a)2＝52，解得正数a＝1.7．答案：D解析：因为z＝1＋i，所以zz＝1＋i1－i＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝i，z－z＝1－i1＋i＝(1－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝

－i，所以(zz)2020＋(z－z)2021＝i2020＋(－i)2021＝1－i，故其虚部为－1.8．答案：A解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，根据复数的几何意义知：|z－1|表示复平面内点P(x，y)与点A(1,0)的距离，|

z－i|表示复平面内点P(x，y)与点B(0,1)的距离，因为|z－1|＝|z－i|，即点P(x，y)到A，B两点间的距离相等，所以点P(x，y)在线段A，B的垂直平分线上，所以在复平面上z对应点的轨迹为直线．9．答案：AD解析：由已知z＝21－i＝2(1＋i

)(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)2＝1＋i，∴|z|＝2，z－z2＝1＋i－(1＋i)2＝1＋i－2i＝1－i，共轭复数为1－i，z的虚部为1.其中真命题为AD，BC为假命题．10．答案：ACD解析：由已知，3－a

i＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，则a＝－1，所以z＝－2i为纯虚数，z2＝－4为实数，因为z－＝2i，则z＋z－＝0，z·z－＝4.11．答案：AB解析：由题意，复数z1＝2－1＋i＝2(－1－i)

(－1＋i)(－1－i)＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点(－1，－1)位于第三象限，所以A正确；由z1＝－1－i，可得复数的虚部为－1，所以B正确；由z41＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；由|z1|＝(－

1)2＋(－1)2＝2，所以满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，所以D不正确．12．答案：ABD解析：设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，则z1z2＝a2＋b2为实数，A选项正确．设1z＝a∈R，(a≠0)，则

z＝1a∈R，B选项正确．5i－2＝5(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝－2－i，其共轭复数是－2＋i，C选项错误．设a∈R是方程的实根，则a2＋2a＋b＋(a＋1)i＝0，∴a＝－1，b＝1，D选项正确．13．答案：－7解析：∵(a＋i)(3＋4i)＝

(3a－4)＋(3＋4a)i的实部与虚部相等，∴3a－4＝3＋4a，即a＝－7.14．答案：52解析：∵z＝(2＋i3)(1－ai)＝(2－i)(1－ai)＝2－a－(2a＋1)i且z∈R，∴2a＋1＝0，可得a＝－12，因此，z＝52.15．答案：52解析：

依题意可得Z1(1,2)、Z2(3,1)|OZ1|＝1＋4＝5，|OZ2|＝9＋1＝10，|Z1Z2|＝(1－3)2＋(2－1)2＝5，所以|OZ1|2＋|Z1Z2|2＝|OZ2|2，所以OZ1⊥Z1Z2，所以S△OZ1Z

2＝12|OZ1|·|Z1Z2|＝12×5×5＝52.16．答案：0－1解析：eiπ＋1＝cosπ＋isinπ＋1＝－1＋1＝0，12＋32i＝cosπ3＋isinπ3＝eπ3i，因此，12＋32i3＝eπ3i3＝eπi＝cosπ＋is

inπ＝－1.单元过关检测六平面向量、复数1．答案：A解析：∵z＝ii－1＝i(1＋i)－2＝12－12i，∴z－＝12＋12i，复数z的共轭复数z－在复平面内对应的点是12，12，在第一象限．2．答案：B解析：∵a∥b，∴2(m－2)＝7m

，解得：m＝－45.3．答案：D解析：对于A选项，零向量与任何非零向量平行，A选项不满足条件；对于B选项，∵1×(－3)＋3×(－1)＝－6≠0，B选项不满足条件；对于C选项，∵1×3＋3×1＝6≠0，C选项不满足条件；对于D选项，∵1×(－

3)＋3×1＝0，D选项满足条件．4.答案：B解析：∵M为BC的中点，∴AM→＝12(AC→＋AB→)＝12(AD→＋DC→)＋12AB→，又AB→＝－2CD→，∴DC→＝12AB→，∴AM→＝12AD→＋12AB→＋12AB→＝34AB→＋12AD→.5．

答案：D解析：由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝12，因此，|2a＋b|＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝7.6．答案：A解析：△ABC中，依题意AD→＝

CD→－CA→＝12CB→－CA→，CE→＝CB→＋BE→＝CB→＋23BA→＝CB→＋23(CA→－CB→)＝13(CB→＋2CA→)，AD→·CE→＝12(CB→－2CA→)·13(CB→＋2CA→)＝16(CB→2－4CA→2)＝16(42－4·22)

＝0.7．答案：B解析：根据题意得点D为线段AB三等分点靠近B点的点，点E为线段AC三等分点靠近C点的点，所以AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋xDE→＝AD→＋x(AE→－AD→)＝xAE→＋(1－x)AD→＝23xAC→＋23(1－x)AB→，所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ

＋μ＝23x＋23(1－x)＝23.8．答案：B解析：四边形ABCD是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2

)，设点P(x，y)，PA→＝(－x，－y)，PB→＝(2－x，－y)，PC→＝(2－x,2－y)，于是得：(PA→＋PB→)·PC→＝(2－2x，－2y)·(2－x,2－y)＝2(x－1)(x－2)＋2y(y－2

)＝2(x－32)2＋2(y－1)2－52，当x＝32，y＝1时，(PA→＋PB→)·PC→取得最小值－52，所以(PA→＋PB→)·PC→的最小值是－52.9．答案：CD解析：依题意iz＝－2＋i，两边乘以i得－z＝－1－2i，z＝1＋2i，所以z的实部为1，虚

部为2，所以AB错误．z－＝1－2i，所以C正确．||z＝12＋22＝5，所以D正确．10．答案：BC解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，∴a＋b＝(－1,3)，∵c＝(2，t)，∴a·c＝2t＋2若(a＋b)∥c，∵c＝(2，t)，∴－1×t＝2×

3，∴t＝－6，故A不正确；若(a＋b)⊥c，∵c＝(2，t)，∴－1×2＋t×3＝0，∴t＝23，故B正确；若t＝1，则c＝(2,1)，∵a·c＝2t＋2＝4，|a|＝5，|c|＝5，∴cos〈a，c〉＝a

·c|a|·|c|＝45×5＝45，故C正确；若向量a与向量c夹角为锐角，则a·c>0，∵a＝(1,2)，c＝(2，t)，∴a·c＝1×2＋2×t>0，∴t>－1若向量a与向量c平行，则1×t＝2×2，t＝4，故向量a与向量c夹角为锐角时t>－1且t≠4

，故D不正确．11．答案：BCD解析：EF→＝12CB→＝12(CA→＋AB→)＝12(b＋c)，A错误．BE→＝BC→＋CE→＝BC→＋12CA→＝a＋12b，B正确．CF→＝12(CA→＋CB→)＝12(b－a)，C正确．A

D→＋BE→＋CF→＝12(AB→＋AC→)＋12(BC→＋BA→)＋12(CA→＋CB→)＝12(AB→－CA→＋BC→－AB→＋CA→－BC→)＝0，D正确．12．答案：BC解析：因为在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，所以CE→＝12

(CA→＋CD→)＝12CA→＋14CB→＝－12AC→＋14(AB→－AC→)＝14AB→－34AC→，所以A错误，B正确，对于C，由AB→·CE→＝0，可得AB→·14AB→－34AC→＝0，所以14AB→2－34AB→·AC→＝0，即|AB→|2－3|AB→|·|AC→|cosA

＝0，所以当cosA＝|AB→|3|AC→|时，AB→·CE→＝0，所以C正确，对于D，取AB的中点F，连接CF，则CB→＋CA→＝2CF→，若CE→∥(CB→＋CA→)，则可得CE→∥CF→，所以C，

E，F三点共线，因为EF∥BC，所以CE∥BC，这显然不可能，所以不存在△ABC，使得CE→∥(CB→＋CA→)，所以D错误．13．答案：825＋625i解析：z＝(1＋i)23＋4i＝1＋2i＋i23＋4i＝2i3＋4i＝2i(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝8＋6i32＋42＝8＋6i2

5＝825＋625i.14．答案：20解析：由题意，得a－b＝(cosθ，sinθ－1)，所以|a－b|＝cos2θ＋(sinθ－1)2＝2－2sinθ，所以当sinθ＝－1时，|a－b|取得最大值2；由a⊥b，得a·b＝cosθ·0＋

sinθ·1＝0，所以sinθ＝0，所以tanθ＝sinθcosθ＝0.15．答案：25解析：因为A，C，D三点共线，设AC→＝mCD→，且AC→＝AB→＋BC→＝2e1－e2＋3e1＋3e2＝5e1＋2e2，5

e1＋2e2＝m(e1＋ke2)，即5e1＋2e2＝me1＋mke2，因此5＝m2＝mk，解得m＝5k＝25.16．答案：32532解析：因为2PA→＋3PB→＋5PC→＝0，所以2(PA→＋PC→)＝－3(PB→

＋PC→)，因为F为AC中点，G为BC中点，所以PA→＋PC→＝2PF→，PB→＋PC→＝2PG→，所以2PF→＝－3PG→，所以F、P、G三点共线，且PF＝32PG易知GF为三角形ABC的中位线，设△APC中PC边上

的高为h1，△BPC中PC边上的高为h2，所以S△APCS△BPC＝12×PC×h112×PC×h2＝h1h2＝PFPG＝32，而S△APB＝12S△ABC，所以△APB，△APC，△BPC的面积之比为532.17．解析：(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1

,2＋i，－1＋2i，∴A(1,0)，B(2,1)，C(－1,2)，∴AB→＝(1,1)，AC→＝(－2,2)，BC→＝(－3,1)，∴向量AB→，AC→，BC→对应的复数为1＋i，－2＋2i，－3＋i；(2)

设D(x，y)，则AD→＝(x－1，y)＝BC→＝AC→－AB→＝(－3,1)，故x＝－2，y＝1；故D点对应的复数为－2＋i.18．解析：(1)因为a＝(1，3)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(3，3)，设a－b与a之间的夹角为θ，则cosθ＝(a－b)·a|a－b|·|a|＝643＝32

，因为θ∈[0，π]，所以a－b与a之间的夹角为π6.(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4＋4t＋4t2＝(2t＋1)2＋3，因为t∈[－1,1]，所以|a－tb|2∈[3,12]，故|a－tb|的取值范围

是[3，23]．19．解析：(1)在菱形ABCD中，DE∥AB，所以△DEF∽△BAF，则DFBF＝DEAB＝12，可得DF→＝13DB→，DF→＝13()AB→－AD→＝13AB→－13AD→，所以x＝13，y＝－13.(

2)AE→＝AD→＋12AB→，BD→＝AD→－AB→AE→·BD→＝(AD→＋12AB→)·(AD→－AB→)＝AD→2－12AB→2－12AB→·AD→＝4－2－2×cos60°＝1.20．解析：(1)a·b＝|a||b|cos60°＝1，|a＋b|

＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2＝7.(2)∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos60°＝12，∴|a＋λb|＝|a＋λb|2＝1＋λ＋λ2＝λ＋122＋34，当λ＝－12时，|a＋λb|的最小值

为32.21．解析：(1)∵0<AB→·AC→≤32，又∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosθ＝bc·cosθ，∴0<bc·cosθ≤32，∵bc＝6，∴0<cosθ≤22，∵θ∈(0，π)，∴θ∈π4，π2.(2)∵f

(θ)＝2sin2(π4＋θ)－3cos2θ＝1－cos2π4＋θ－3cos2θ＝1＋sin2θ－3cos2θ＝1＋212sin2θ－32cos2θ＝1＋2sin2θ－π3

，∵θ∈π4，π2，2θ－π3∈π6，2π3，当2θ－π3＝π6，即θ＝π4时sin2θ－π3min＝12；当2θ－π3＝π2，即θ＝5π12时sin2θ－

π3max＝1；∴1≤2sin2θ－π3≤2，即2≤1＋2sin2θ－π3≤3，故f(θ)的最大值为3，最小值为2.22．解析：(1)在△ABD中，AB＝4，AD＝22，∠ABD＝π4，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，所以sin∠ADB＝4×sinπ42

2＝1，因为0<∠ADB<π，所以∠ADB＝π2.所以BD＝22，所以DE＝BE＝2，AE＝10.所以cos∠AED＝cos∠BEC＝55.因为AE→＝2EC→，所以EC＝102.由余弦定理得，BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋52－2×2×102×55＝

52，所以BC＝102.(2)因为AC＝3，AE→＝2EC→，所以AE＝2.设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝(22)2＋4x2－422×22×2x.在△AED中，由余弦定理得，cos∠ADB＝(22)2＋x2－222×22×x，所以4x2

－882x＝x2＋442x，解得x＝22.所以BD＝42.在△ABD中，由余弦定理得，cos∠BAD＝AB2＋AD2－BD22×AB×AD＝16＋8－32162＝－24.滚动过关检测五集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面

向量与复数1.答案：C解析：因为M＝{x|log3(x－2)<0}＝{x|2<x<3}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|2<x<3}．2．答案：C解析：因为z＝2－i，故z－＝2＋i，故zz－＋i＝()2－i()2＋2i＝6＋2i.3．答案：A解

析：a＝cos5π12，sin5π12，b＝cosπ12，sinπ12，a·b＝cos5π12cosπ12＋sin5π12sinπ12＝cosπ3＝12.4．答案：A解析：因为BC→＋

CD→＝BD→＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，所以A，B，D三点共线．5．答案：A解析：由题设，a2a3＝a21q3＝8，又a1＝1，可得q＝2，∴a4＋a5a1＋a2＝a1q3＋a1q4a1＋a1q＝243＝8.6．答案：D解析：由E为线段AD的中点，则CE→

＝12(CA→＋CD→)，又D满足BC→＝3BD→，∴CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)，∴CE→＝12CA→＋23(AB→－AC→)＝13AB→－56AC→.7．答案：B解析：∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝

0，即3a2－a·b－2b2＝3|a|2－|a|·|b|cos〈a，b〉－2|b|2＝0，又|b|＝2|a|且|a|≠0，∴3|a|2－2|a|2cos〈a，b〉－4|a|2＝－|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－22，又〈a，b〉∈[]0，π，∴

〈a，b〉＝3π4，即〈a，b〉＝135°.8．答案：B解析：令g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)－f(x)ex，∵x>0时，f′(x)>f(x)恒成立，∴x>0时，g′(x)>0，即g(x)单调递增，又f(x)ex＝f(－x)e－x

，则g(－x)＝g(x)，g(x)为偶函数．∴x<0时，g(x)单调递减．f(2)e2＝f(－2)e－2<f(3)e3＝f(－3)e－3，即f(2)<e5f(－3)、f(3)>e5f(－2)、ef(－3)>f(－2)，∴A、C、D错误，B正确．9．答案：AB解析：由题意z＝1

01－2i＝10(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝2＋4i，|z|＝25，A选项正确；z－2＝4i，B选项正确；z在复平面内对应点为(2,4)，对应点在第一象限，C选项错误；sinα＝44＋16＝255，D选项错误．10

．答案：ACD解析：对A：命题“∃x0∈R，x20＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x，故A错误；对B：由函数f(x)＝cosax－sinax＝2cosax＋π4，则T＝2πa＝π，则a＝±2，故B正确；对C：a＝2时，x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，而(x2

＋2x)min＝3<(2x)max＝4，故C错误；对D，当“a·b<0”时，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”，故D错误．11．答案：ACD解析：因为f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－

6)＝－f(x－3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，故A选项正确；由于函数为R的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－3)＝－f(x)＝f(－x)，所以根据周期性得f(x＋3)＝f(－x)，所以fx＋32＝f32－x，

所以f(x)的图象关于x＝32对称，故B错误，D正确；对于C选项，结合周期性得f(2021)＝f(336×6＋5)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1＋3＝2，故正确．故选ACD.12．答案：AC解析：A：OP1→＝(cosα，sinα)，OP2→＝(cosβ，－sinβ

)，所以|OP1→|＝cos2α＋sin2α＝1，|OP2→|＝(cos2β)＋(－sinβ)2＝1，故|OP1→|＝|OP2→|，正确；B：AP1→＝(cosα－1，sinα)，AP2→＝(cosβ－1，－sinβ)，所以|AP1→|＝(co

sα－1)2＋sin2α＝cos2α－2cosα＋1＋sin2α＝2(1－cosα)＝4sin2α2＝2|sinα2|，同理|AP2→|＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2|sinβ2|，故|AP1→|，|AP2→|不一定相等，错误；C：由题意得：OA→·OP3→

＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，OP1→·OP2→＝cosα·cosβ＋sinα·(－sinβ)＝cos(α＋β)，正确；D：由题意得：OA→·OP1→＝1×cosα＋0×sinα＝cosα，

OP2→·OP3→＝cosβ×cos(α＋β)＋(－sinβ)×sin(α＋β)＝cos()β＋()α＋β＝cos()α＋2β，故一般来说OA→·OP1→≠OP2→·OP3→，错误．故选AC.13．答案：92解析：由题设，m＋2n＝loga12＋2log

a3＝loga92，∴am＋2n＝aloga92＝92.14．答案：45解析：因为数列{an}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝15，所以a5＝5，所以S9＝9()a1＋a92＝9a5＝45.15．答案：2sinπ3x＋π6解析：由图象

知：3T4＝112－1＝92，即T＝6，则T＝2πω＝6，可得ω＝π3，∴A()1，A，B的横坐标为1＋T2＝1＋3＝4，即B(4，－A)，∵OA→⊥OB→，∴(1，A)·(4，－A)＝0，则1×4－A2＝0，A>0，得A

＝2，∴f(x)＝2sinπ3x＋φ，由五点作图法知：π3×1＋φ＝π2，得φ＝π6，综上，函数的解析式为f(x)＝2sinπ3x＋π6.16．答案：11616解析：如图所示，由AD→＝13DC→得AD→＝14AC→，所以AP→＝mAB→＋4nAD→，所以m＋4n＝

1(m>0，n>0)，所以mn＝14m·(4n)≤14m＋4n22＝116，等号成立当且仅当m＝12，n＝18，所以mn的最大值为116.因为4m＋1n＝4m＋1n(m＋4n)＝8＋

16nm＋mn≥16，等号成立当且仅当m＝12，n＝18，所以4m＋1n的最小值为16.17．解析：(1)因为向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a＋kb＝λ()ka＋2b，且a与b不共线，所以1＝kλk＝2λ，解得：λ＝－22k＝－2或

λ＝22k＝2(舍)；所以实数k的值为－2；(2)因为向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝1×2×12＝1，(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝

2|a|2－a·b－|b|2＝2×12－1－22＝－3，|2a＋b|＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4＋22＝23，|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1＋22＝3，所以cosθ＝(2a＋b)·(a－b)|2a＋b|

·|a－b|＝－323×3＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.18．解析：(1)f(x)＝m·n＝2sinxcosx＋3cos2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，∴f(x)的

最小正周期T＝π；令π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得：π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ(k∈Z)．(2)由fA2－π6＝2sinA＝3得：sinA＝32

，又A为锐角，∴A＝π3；∴asinA＝bsinB＝csinC＝732＝1433，∴b＋c＝1433(sinB＋sinC)＝1433×13314＝13.19．解析：(1)设{an}的公比为q，因为a2＝2，a4＝a3＋4，所以a2q2＝a2

q＋4，即2q2＝2q＋4，所以q2－q－2＝0，因为q>0，所以q＝2，所以an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1，所以a3＝b3＋b1＝4，设{bn}的公差为d，则d＝1，所以(b1＋2d)＋b1＝4d

＝1，解得b1＝1d＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n；(2)因为an＝2n－1，所以a1＝20＝1，所以an＋bn＝2n－1＋n，所以Tn＝(20＋22＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋n)＝(1－2n)1－2＋n(1＋n)2＝2n＋n2＋n2－1，所以Tn＝2n＋n2＋n2－1.

20．解析：(1)因为m∥n，所以(c－a)(sinA＋sinC)＝(b－a)sinB，由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，因为C∈(0，π)

，故C＝π3.(2)由(1)知B＝2π3－A，由题设及正弦定理得6sinC＋3sin2π3－A＝3sinA，即22＋32cosA＋12sinA＝sinA，可得sinA－π3＝22.由于0<A<2π3，－π3<A－π3<π3，所以cosA－π3＝22，故

sinA＝sinA－π3＋π3＝sinA－π3cosπ3＋cosA－π3sinπ3＝22×12＋22×32＝6＋24.21．解析：(1)由n(an＋1－an)＝an＋1得：nan＋1＝(

n＋1)an＋1，即an＋1n＋1＝ann＋1n(n＋1)∴an＋1n＋1＝ann＋1n－1n＋1，即有an＋1＋1n＋1＝an＋1n，∴数列an＋1n是常数数列；(2)由(1)知：an＋

1n＝a1＋1＝3，∴an＝3n－1，∴bn＝(－1)n(3n－1)，即bn＝3n－1，n为偶数－(3n－1)，n为奇数，∴当n为偶数时，Sn＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[]－(3n－4)＋(3n－1)＝3n2，显然Sn≤－99无解；当n为

奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝3(n＋1)2－[]3(n＋1)－1＝－3n＋12，令Sn≤－99，解得：n≥1973，结合n为奇数得：n的最小值为67.22．解析：(1)当a＝12时，f(x)＝12x2＋x－

ex，所以f′(x)＝x＋1－ex，令g(x)＝f′(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，所以当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(

x)≤g(0)＝0，即f′(x)≤0，所以函数f(x)为R上的单调递减函数．(2)若f(x)≤1恒成立，即ax2＋x－ex≤1恒成立，显然，当x＝0时成立，当x≠0时，不等式等价于a≤ex－x＋1x2恒成立，令

h(x)＝ex－x＋1x2，则h′(x)＝(x－2)(ex＋1)x3，当h′(x)>0时，得x<0或x>2，即函数h(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，当h′(x)<0时，得0<x<2，即函数h(x)在(0,2)上单调递减，由于x→

－∞时，h(x)由正数趋近于0，当x＝2时，h(2)min＝e2－14>0，所以函数h(x)的草图如图，所以a≤ex－x＋1x2min恒成立，只需a≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0]．考点过关检测29空间立体图形、简单几何体的表面积与体积

1.答案：C解析：对A：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以A错误，反例如图：对B：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故B错误；对C：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

，故C正确；对D：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．2．答案：C解析：因为O′A′∥B′C′，O′A′＝B′C′，所以直观图还原得OA∥BC，OA＝BC＝O′A′＝6，四边形OABC为

平行四边形，OD⊥BC，则C′D′＝O′C′＝2，∴CD＝2，O′D′＝2O′C′＝22，OD＝2O′D′＝42，OC＝CD2＋OD2＝22＋()422＝6，所以OC＝OA＝6，故原图形为菱形．3．答案：A解析：设该圆柱的底面圆半径为r，则其高(母线)为h，而圆柱的轴截面

是正方形，则h＝2r，圆柱侧面积为2πrh＝4π，从而r＝1，h＝2，故该圆柱的体积是πr2h＝2π.4．答案：B解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×2，解得l＝22.故选B.5．答案：C解析：正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，所以外接

球的直径2R＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝6，所以4R2＝6，外接球的表面积4πR2＝6π.6．答案：D解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝22－(22－2)2＝2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所

以该棱台的体积V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.7．答案：C解析：如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，由题意得：AB＝2丈＝20尺，圆周长BE＝3尺，则葛藤绕圆柱7周后长为BD＝AB2＋(7BE)2＝202＋212＝29尺．8．答案：B解析：由

底面ABC是面积为33的正三角形，可知底面ABC的边长为23，因为三棱锥P­ABC外接球的球心O恰好在平面ABC内，因为三角形ABC的外接圆半径为232×sin60°＝2，所以球O的半径为2，所以当PO⊥平面ABC时，三

棱锥P­ABC的体积最大．所以三棱锥P­ABC体积的最大值为13×33×2＝23.9．答案：ACD解析：圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面

三角形A1C1D.10．答案：ABD解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝AB2－(20－10)2＝103，体积V＝13π

×103×(102＋10×20＋202)＝700033π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π.11．答案：CD解析：对于A，∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，∴圆柱的侧面积为S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；对于B，∵圆锥的底面直径和高都与

一个球的直径2R相等，∴圆锥的侧面积为S＝πR·(2R)2＋R2＝5πR2，故B错误；对于C，圆柱的侧面积为S＝2πR×2R＝4πR2，球面面积为S＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；对于D，圆柱的表面积为S1＝2π

R×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积为S2＝πR·(2R)2＋R2＋πR2＝(5＋1)πR2，球的表面积为S3＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确．12．答案：BC解析：依题作出图形，如图：设正四面体的棱长为a，则它的外接球和内切球的球心重合，作AG⊥平面BCD，垂足

为G，则G为△BCD的重心，且CG＝23CE＝33a，则正四面体的高为AG＝AC2－CG2＝63a，设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，由图可知，33a2＋63a－R2＝R2，解得R＝64a，r＝63a－64a

＝612a，依题可得R－r＝26，即64a－612a＝26，解得a＝12，故C正确；正四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π64a2＝4π(36)2＝216π，故A错误；正四面体的内切球的体积为V＝43

πr3＝43π612a3＝43π(6)3＝86π，故B正确；线段MN的最大值为R＋r＝64a＋612a＝36＋6＝46，故D错误．13．答案：26π解析：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的

侧面展开的面积为斜截圆柱的侧面积的两倍，所以斜截圆柱的侧面积S＝(5＋8)×2π×2×12＝26πcm2.14．答案：1解析：根据题意，设AB＝x，BC＝y，BB1＝z，因为长方体ABCD­A1B1C1D1体积为48，所以xyz＝48，因此三棱锥B­EFG的体积VB­EFG＝VG­EBF＝13·

S△EBF·BG＝13·x2·y22·z2＝xyz48＝1.15．答案：1219解析：由题意，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BE＝14BB1＝2,4AB＝3AA1，可得AA1＝BB1＝CC1＝8，BE＝2，在DD1上取点F，使

得D1F＝2，连接A1F，CF，则有A1F＝CE，A1F∥CE，所以四边形A1ECF是平行四边形，由勾股定理可得A1E＝62＋62＝62，CE＝22＋62＝210，A1C＝62＋62＋82＝234，所以cos∠A1EC＝A1E2＋CE2－A1C22A1E×CE＝7

2＋40－1362×62×210＝－510，所以sin∠A1EC＝9510，所以四边形A1ECF是平行四边形的面积为A1E×EC×sin∠A1EC＝62×210×9510＝1219.16．答案：136π解析：如图添加的三棱锥为直三棱锥E­ADF

，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF­BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△CBE＝12CE×BC＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF－BCE的体积为V＝S△EBCDC＝12×2＝1，添加的三棱锥的体

积为13V＝13；如图，分别取AF、BE的中点M、N，连接AE、MN交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE、MN的中点，在直三棱柱ADF­BCE中，CE⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FD

A＝90°，所以上下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，连接DO，DO即为球的半径，因为DM＝12AF＝22，MO＝1，所以DO2＝DM2＋MO2＝12＋1＝32，所以外接球的表面积为4πDO2＝6π.考点过关检测30空间中的位置关系1．答案：C解析：由已知得，直

线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．2．答案：B解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可以平行，相交，或为异面直线，因此

不正确；对于选项B，若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β，因此正确；对于选项C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β不一定平行，因此不正确；对于选项D，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n不一定垂直，因此不正确．综上，正确的命题是B.3．答案：D解析：

若m⊥α，n∥β，且m∥n，∴n⊥α，n∥β，∴α⊥β，故A不正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β或α∩β，故B不正确；若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则有可能α∥β，不一定α⊥β，所以C不正确；若m⊥α，n⊥β，且m⊥n可以判断α⊥β是正确的，故D正确．4．答案：D解析：A

：由正方体性质有AB∥NQ，NQ⊂面MNQ，AB⊄面MNQ可知：AB∥面MNQ，排除；B、C：由正方体性质有AB∥MQ，MQ⊂面MNQ，AB⊄面MNQ可知：AB∥面MNQ，排除；D：由正方体性质易知：直线AB不平行于面MNQ，满足题意

．5．答案：B解析：如图，作AO⊥平面BCD，O为垂足，由AB⊥CD，知CD⊥平面ABO，∴BO⊥CD.同理可证DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，∴BD⊥平面AC

O，故BD⊥AC.6．答案：D解析：如图，由正方体性质知：面B1CD1∥面BDA1，要使面BDP∥面B1CD1，∴P在面BDA1上，即P，B，A1共面，又AP→＝λAB→＋13AA1→，λ∈[0,1]，∴P∈面ABB1A1，又∵面BDA1∩面ABB1A1＝A1B，∴

P∈A1B，∴λ＋13＝1，可得λ＝23.7．答案：B解析：连接AC1，如图．∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥面ABC1，又AC在平面ABC内，∴由面面垂直的判定知，面ABC⊥面ABC1，由面面垂直的性质知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂

线，垂足必落在交线AB上．8．答案：B解析：BD1⊂面ABD1，AC∩面ABD1＝A，A∉BD1，所以AC与BD1是异面直线，A错；因为AA1∥BB1，AA1⊄面BB1D1，BB1⊂面BB1D1，所以AA1∥面BB1D1，B正确；BD1⊂面BB1D1，B1C∩面BB1

D1＝B1，B1∉BD1，所以B1C与BD1是异面直线，C错；因为A，C，D1三点在面ACD1上，B1D1与面ACD1相交，所以A，C，B1，D1四点不共面，D错．9．答案：CD解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误；直线BN与MB1是异

面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C、D正确．10．答案：AD解析：因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为n⊥β，所以m∥n，选项A正确．当α，β，γ是某三棱柱的三个侧面时，可以满足α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，但是α与β相交，选项B错误．垂直于同一个

平面的两个平面可以相交，选项C错误．因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为β∥γ，所以m⊥γ，选项D正确．11．答案：BC解析：设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OP

C中，OC＝2，CP＝1，故tan∠POC＝12＝22，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图2所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM­NADT可得SN⊥平面ANDT，而OQ⊂平面ANDT，故SN⊥OQ，而SN∩

MN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥M

N，故C正确．对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝12AC＝2，

OQ＝AO2＋AQ2＝1＋2＝3，PO＝PK2＋OK2＝4＋1＝5，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误．12．答案：ABC解析：A.连接EF，FG，GH，EH，如图1所示

，因为F，G为A1C1，B1C1中点，所以FG∥A1B1，又因为E，H为AA1，BB1中点，所以EH∥A1B1，所以FG∥EH，所以E，F，G，H四点共面，故正确；B．连接EG，AC1，如图2所示，因为G，H为BB1，B1C1中点，所以GH∥BC1，又GH⊄平面ABC1，BC1⊂平面A

BC1，所以GH∥平面ABC1，同理，由EH∥AB可证明EH∥平面ABC1且EH∩GH＝H，所以平面EGH∥平面ABC1，故正确；C．取AC的中点F′，连接FF′，F′B，FB1，如图3所示，显然四边形FF′BB1为平行四边形，又因为AA1∥BB1

，AA1⊄平面FF′BB1，BB1⊂平面FF′BB1，所以AA1∥平面FF′BB1，且FH⊂平面FF′BB1，所以直线A1A与FH异面，故正确；D．连接A1B∩AH＝M，A1C∩AF＝N，连接MN，如图4所示，若BC∥平面AFH，因为平面A1BC∩平面AFH＝MN，所以MN∥BC(*

)，因为AA1∥BB1，所以A1MMB＝AA1BH＝2，因为A1F∥AC，所以A1NNC＝A1FAC＝12，所以A1MMB≠A1NNC，所以MN∥BC不成立，这与(*)矛盾，故错误．13．答案：平行解析：根据正方体

的几何性质可知AC∥A1C1，由于AC⊄平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以AC∥平面A1B1C1D1，由于AC⊂平面ACB1，平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l，所以AC∥l.14．答案：2解析：PA⊥平面ABCD，DQ⊂平面ABCD，故PA⊥

DQ，PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，故DQ⊥平面PAQ，AQ⊂平面PAQ，故AQ⊥DQ，在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即BC与以AD为直径的圆相切，AD∥BC，故AD，BC间的距离为半径，即为1，故a＝AD＝

2.15．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)解析：若①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n；②α⊥β；④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不

一定成立；若①m⊥n；③n⊥β；④m⊥α成立，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β或m⊂β，又m⊥α，所以α⊥β，即①③④⇒②；若②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α成立，因为α⊥β，n⊥β，所以n∥α或n⊂α，又m⊥α，所以m⊥n，

即②③④⇒①.16．答案：11解析：如图，连接A1B交AB1于点O，由三棱柱性质知，O为A1B的中点，连接OD1，∵BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，∴BC1∥OD

1，又在△A1BC1中，O为A1B的中点，故D1为A1C1的中点，所以A1D1D1C1＝1，若平面BC1D∥平面AB1D1，又平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，∴BC1∥OD1，同理AD1∥DC1，∴A1D1D1C

1＝A1OOB，A1D1D1C1＝DCAD，又A1OOB＝1，DCAD＝1，则ADDC＝1.17．解析：(1)因为ABCD为矩形，所以BC⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，所以BC⊥平面AEBF，又因为AE⊂平面AEBF，所以

BC⊥AE，因为∠AEB＝90°，即AE⊥BE，且BC、BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B，所以AE⊥平面BCE.又因为AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE；(2)因为BC∥AD，AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，所以B

C∥平面ADE.因为△ABF和△ABE均为等腰直角三角形，且∠BAF＝∠AEB＝90°，所以∠EAB＝∠ABF＝45°，所以AE∥BF，又AE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE，因为BC∩BF＝B，所

以平面BCF∥平面ADE.又因为BG⊂平面FBC，所以BG∥平面ADE.18．解析：(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，所以A1A⊥DE.因为DC＝2AA1＝2AD＝4AE＝4，所以AEAD＝ADDC，所以Rt△ADE∽Rt△DCA，则∠D

AC＝∠DEA.因为∠DEA＋∠ADE＝90°，所以∠DAC＋∠ADE＝90°，则DE⊥AC.又A1A∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE⊥平面AA1C1C，又DE⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面

AA1C1C.(2)由(1)知DE⊥平面AA1C1C，设AC与DE交于点F，连接A1F，C1F，则VC1­A1DE＝VD­A1C1F＋VE­A1C1F＝13EF·S△A1C1F＋13DF·S△A1C1F＝13DE·S△A1C1F.易知DE＝AD2＋AE2＝5，AC＝AB2＋BC

2＝25，在矩形AA1C1C中，易知S△A1FC1＝12SAA1C1C＝12×25×2＝25，所以VC1­A1DE＝13DE·S△A1C1F＝13×5×25＝103.考点过关检测31空间角1．答案：B解析：因为B1C1∥BC，所以AC与B1C1所成的角为∠ACB＝45°因为BC1∥

AD1，所以AC与BC1所成的角为∠CAD1＝60°因为DD1⊥平面ABCD，所以AC与DD1所成的角为90°，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1B1，因为B1D⊂平面

BDD1B1，所以AC⊥B1D，即AC与B1D所成的角为90°.2．答案：A解析：联接B1D，交AC1于O点，则O点为B1D的中点，取CD的中点E，则OE∥B1C异面直线AC1与B1C所成角即直线AC1与OE所成角，在△OAE中，OA＝1＋1＋22＝1，OE＝12B1C＝12×1＋2＝

32，AE＝12＋122＝52则cos∠AOE＝OA2＋OE2－AE22OA·OE＝1＋34－542×1×32＝36故异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为36.3．答案：B解析：在直角梯形OO1A

1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，

∴A1B＝3；连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2得：BC＝3；在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°.4．答案：B解析：取AB中点D，连接B1D，CD，∵三棱柱ABC­A

1B1C1为正三棱柱，∴△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，∵D为AB中点，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AB，CD⊥AA1，又AB，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面AA1B1B，∴B1C与平面AA1B1B所成角为∠CB1D，不妨

设AB＝a，则AA1＝BB1＝2a，∴CD＝32a，B1D＝172a，∴tan∠CB1D＝CDB1D＝5117，即B1C与平面AA1B1B所成角的正切值为5117.5．答案：A解析：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，由圆锥的结构特征知：cos60°＝rl

，即l＝2r，圆锥侧面积S＝πrl＝2πr2，则2πr2＝14π，r＝7，l＝27，圆锥的高h＝l2－r2＝(27)2－(7)2＝21，圆锥的体积为V＝13πr2h＝13π·(7)2·21＝7213π

.6．答案：B解析：设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，PC→＝(1,1，－1)，PD→＝(0,1，－1)

，设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，则m·PC→＝x＋y－z＝0m·PD→＝y－z＝0，取y＝1，则z＝1，得m＝(0,1,1)，平面ABP的法向量n＝(0,1,0)，设平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|m·n||m|·|n|＝12×1

＝22.7．答案：C解析：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，又AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面PBC＝l，所以AD∥l，而AD⊂平面PAD，l⊄平面PAD，所以l∥平面PAD，A正确

；PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，所以PD⊥l，B正确；直线PA与l所成角即∠PAD，在△PAD中tan∠PAD＝PDAD＝21＝2，C错；取PC中点F，因为E是PB中点，则EF∥BC，所以EF∥AD，EF即为直线l，连接BD，ABCD是矩形，S△ABD

＝S△BDC，则VP­ABD＝VP­BDC＝12VP­ABCD，EF是△PBC的中位线，所以S△PEF＝14S△PBC，所以VD­PEF＝14VD­PBC＝18VP­ABCD，AE是△PAB的中线，S△PAE＝S△ABE

，VD­PAE＝12VD­PAB＝14VP­ABCD，所以VP­AEFD＝VD­PEF＋VD­PAE＝38VP­ABCD，从而VABCDEF＝58VP­ABCD，所以VP­ADFEVABCDFE＝35.D正确．8．答案：A解析：由题意可得示意图，E为BD中点，∠AEC＝60°，∵

ABCD是菱形，AB＝BD＝2，∴AE＝CE＝AC＝3，即△AEC为等边三角形，则A到CE的高为h＝32，又BD⊥AE，BD⊥CE，AE∩CE＝E，有BD⊥面ACE，BD⊂面BDC，∴面ACE⊥面BDC，且面ACE∩面BDC＝CE，故h

为三棱锥A­BCD的高，∵S△BDC＝12BC·DC·sin60°＝3，∴VA­BCD＝13h·S△BDC＝32.9．答案：BCD解析：∵S­ABCD是正四棱锥，∴四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD

，AB⊥BC∴AC＝AB2＋BC2＝2|AB|，∵AC＝2,∴AB＝2，∵正四棱锥S­ABCD的侧棱长是底面边长的3倍∴SA＝SB＝SC＝SD＝6，故B正确；∵S­ABCD是正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OA，SO⊥OB，∵AC⊥

BD，∴OA⊥OB，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.在Rt△SAO中，SO⊥OA，SA＝6，OA＝1，∴SO＝SA2－A

O2＝5，故D正确；由题意A(1,0,0)，S(0,0，5)，C(－1,0,0)，E0，12，52∴AE→＝－1，12，52，CS→＝(1,0，5)．∴cos〈AE→，CS→〉＝AE→·CS→|AE→||CS→|＝－1＋5252×6＝1510，∴异面直线AE与SC所成角的余弦值

为1510，故C正确．10．答案：AC解析：作正四棱台如图所示：对于A，过A1作A1H⊥AB于H，过A1作A1M⊥AC于M，所以A1M⊥平面ABCD，AH⊥MH，AM＝A1A2－A1M2＝2，又因为AH＝MH，AH＝AM2－

MH2＝1，所以A1H＝22－12＝3，AB＝2AH＋1＝3，所以棱台的侧面积为4×(1＋3)·32＝83，所以A正确；对于B，上底面面积S′＝12＝1，下底面面积S＝32＝9，棱台的体积为V＝13h(S＋S′·S＋S′)＝13×2×13＝1323≠132，故B错误；对于C，因为AM为A

A1在底面的投影，所以∠A1AM为侧棱与底面所成角．cos∠A1AM＝AMA1A＝22，则∠A1AM＝π4，所以C正确；对于D，∠A1HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cos∠A1HM＝HMA1H＝13＝33，所以D错误．11．答案：ABC解析：过C作CE⊥BD于E，在平

面DBA内过E作BD的垂线EG，则∠CEG为二面角C­BD­A的平面角，如图，平面CEG⊥平面DBA，过C作CF⊥EG于F，则CF⊥平面DBA，在直角△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝1，CD＝2，CE＝BC·CDBD＝255，显然

CF≤CE，当且仅当点E与F重合时取“＝”，即点C到平面ABD距离的最大值为CE＝255，而S△DBA＝12AB·AD＝1，则三棱锥C－BDA的体积最大值为13CE·S△DBA＝2515，A正确；当CF取最大值255时，CF⊂平面BC

D，又CF⊥平面DBA，则平面BCD⊥平面DBA，即二面角C­BD­A为直二面角，三棱锥C­BDA的体积为2515，B正确；取BD中点O，连接AO，CO，显然有AO＝CO＝12BD＝BO＝DO，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO＝52为半径的球面上，显然，无论二面角C­BD­A如何变化，点A

，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为5π，C正确，D不正确．12．答案：ABD解析：因为AB＝2，BC＝23，AC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC，设AP＝a，根据等体积法VP­ABC＝VA­PBC，即13×12×2×23×

a＝13×12×23×a2＋4×455，解得a＝4，所以AP＝a＝4，故A选项正确；所以三棱锥P­ABC的外接球的半径与以BC，BA，AP为邻边的长方体的外接球的半径相等，所以三棱锥P­ABC的外接球的半径为2

2，所以三棱锥P­ABC的外接球的表面积为32π，故B选项正确；过点B作PA的平行线BD，则BD⊥平面ABC，所以以点B为坐标原点，BC，BA，BD所在边分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(0

,0,0)，C(23，0,0)，A(0,2,0)，P(0,2,4)，所以AB→＝(0，－2,0)，PC→＝(23，－2，－4)，所以cos〈AB→，PC→〉＝AB→·PC→||AB→||PC→＝42×42＝24，所以直线AB与直线PC所成角

的余弦值为24，故C选项错误；因为BC→＝(23，0,0)，BP→＝(0,2,4)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BP→＝0m·BC→＝0，即x＝0y＝－2z，令z＝1，

所以m＝(0，－2,1)，由于AB→＝(0，－2,0)故设AB与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈m，AB→〉|＝|AB→·m||m||AB→|＝42×5＝255.所以AB与平面PBC所成角的正弦值为255，故D选项正

确．13．答案：710解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(1，3，0)，M(32，32，2)，N(1,0,2)．∴AN→＝(－1,0,2)，BM→＝12，－32，2，∴cos〈AN→，BM→〉＝AN→

·BM→|AN→|·|BM→|＝－12＋45×5＝710.14．答案：45°解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有DD1⊥平面ABCD，直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，所以∠DAD1为直线AD1与平

面ABCD所成角，在Rt△DAD1中，AD＝DD1，所以∠DAD1＝45°.15．答案：233解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，O为AC的中点，又点F为PC的中点，所以OF∥AP，因为PA⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD

，以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3，所以O(0,0,0)，B32，0，0，F0，0，12，C0，12，0，OC→＝0，12，0，BC→＝－32，

12，0，FB→＝32，0，－12，易知OC→为平面BDF的一个法向量．设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BC→＝－32x＋12y＝0n·FB→＝32x－12z＝0，令x＝1，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，3，3

)，所以cos〈n，OC→〉＝217，sin〈n，OC→〉＝277，所以tan〈n，OC→〉＝233.由题图知二面角C­BF­D的平面角为锐角，故二面角C­BF­D的平面角的正切值为233.16．答案：60°45°解析：(1)因为AB∥CD，所以∠

PBA就是异面直线PB与CD所成的角或其补角，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，因为PA＝3，AB＝1，所以∠PBA＝60°；(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，所以∠PDA就是二面角P

­CD­A的平面角，因为PA＝AD＝3，所以∠PDA＝45°.所以二面角P­CD­A的大小为45°.17．解析：(1)连接BD交AC于点O，连接OE.在△PBD中，因为PE＝DE，BO＝DO，所以PB∥OE，因为O

E⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，则PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBA＝45°，又PA＝1，AD＝3，所以PA＝1＝AB，所以四棱锥P­ABCD的体积V

P­ABCD＝13×PA×AB×AD＝13×1×1×3＝33，所以四棱锥P­ABCD的体积为33.18．解析：(1)证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC

­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E是BC的中点，∴AE⊥BC，又BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面B1BCC1，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)由(1)知，AE⊥平面B1BCC1，则AE⊥BC，AE⊥EF，可得∠FEC为二面角

F­AE­C的平面角为45°，在Rt△FCE中，可得FC＝EC，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AE＝3，CE＝CF＝1，则三棱锥F­AEC的体积V＝13×12×1×3×1＝36.考点过关检测32立体几何中的向量方法(1)1．解析：(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，AD

∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB∥CD，所以CD⊥面PAD，AG⊂面PAD，CD⊥AG.又PA＝AD，G为PD的中点，所以AG⊥PD，而PD∩DC＝D，所以AG⊥平面PCD.(2)以A为坐标原点，AD→，AB→，AP→所在方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0

,0,0)，B(0,4,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，F(0,2,2)，G(2,0,2)．所以PC→＝(4,2，－4)，设PH→＝kPC→(0≤k≤1)，所以PH→＝(4k,2k，－4k)，则H(4k,2k，－4k＋4)

，所以GH→＝(4k－2,2k，－4k＋2)，FG→＝(2，－2,0)，设平面GHF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·GH→＝0，n·FG→＝0，即(4k－2)x＋2ky＋(－4k＋2)z＝02x－2y＝0，令x＝2k－1，则n＝

(2k－1,2k－1,3k－1)，由(1)可知AG→＝(2,0,2)为平面PCD的一个法向量，若平面GHF⊥平面PCD，则n·AG→＝0，即2k－1＋3k－1＝0，解得k＝25.即PH＝25PC时平面GHF⊥平面PCD.2．解析：(1)证明：连

接CB1，AB1，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以C，E，B1三点共线，且E是CB1中点，因为平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，且DE∥平面ABB1A1，DE⊂平面AB1C，所以DE∥AB1，所以D是CA中点，即DA＝

DC；(2)因为BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥BA，BB1⊥BC，因为平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，所以∠ABC是二面角A－BB1－C的平面角，因为平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，所以∠ABC＝π2，

所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，以BC→，BA→，BB1→为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，因为AC＝2AB，∠ABC＝π2，所以BA＝BC，设AC＝2，则BA＝BC＝2，BB1＝AA1＝AC＝2，B

(0,0,0)，C(2，0,0)，C1(2，0,2)，A(0，2，0)，A1(0，2，2)，D22，22，0，E22，0，1，所以DE→＝0，－22，1，BC1→＝(2，0,2)，BA1→＝(0，2，2)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则BC

1→·n＝0BA1→·n＝0，即2x＋2z＝0，2y＋2z＝0，取x＝2，得n＝()2，2，－1，设直线DE与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈DE→，n〉|＝|DE→·n||DE→|·|n|＝25×62＝23015，所以直线DE与平面A

1BC1所成角的正弦值为23015.3．解析：(1)取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，而AD＝2，QA＝5，故QO＝5－1＝2.在正方形ABCD中，因为AD＝2，故DO＝1，故CO＝5，因为QC＝3

，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，因为OC∩AD＝O，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如

图所示的空间坐标系．则D()0，1，0，Q()0，0，2，B()2，－1，0，故BQ→＝()－2，1，2，BD→＝()－2，2，0.设平面QBD的法向量n＝()x，y，z，则n·BQ→＝0n·BD→＝0即

－2x＋y＋2z＝0－2x＋2y＝0，取x＝1，则y＝1，z＝12，故n＝1，1，12.而平面QAD的法向量为m＝()1，0，0，故cos〈m，n〉＝11×32＝23.二面角B­QD­A的平面角为锐角，故其余弦值

为23.4．解析：(1)因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，又PA，AB为平面PAB内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；(2)解法一：由(1)可知，∠ABP为二面角P­BC­A的平面

角，所以∠ABP＝45°，又PA＝2，AC＝22，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝2，过点A作AM⊥PB于M，则AM⊥平面PBC且M为PB中点，连接MN，则∠ANM为直线AN与平面PBC所成的角，在Rt△ANM中，AM＝2，AN＝263，所以sin∠ANM＝AMAN＝32，故∠ANM＝60°

，所以直线AN与平面PBC所成的角为60°.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2,0,2)，C(0,2,0)，设N(x，y，z)，PN→＝λPC→(0<λ<1)

，则x＝2－2λ，y＝2λ，z＝2－2λ，因为AN⊥PC，AN→＝(x－2，y，z)，PC→＝(－2,2，－2)，所以－2(x－2)＋2y－2z＝0，解得λ＝13，所以N43，23，43，故AN→＝－2

3，23，43，设平面PBC的法向量为a＝(x，y，z)，因为BC→＝(0,2,0)，BP→＝(2,0,2)，由a·BC→＝0a·BP→＝0，得2y＝02x＋2z＝0，令x＝1，则z＝－1，所以a＝(1

,0，－1)为平面PBC的一个法向量，所以cos〈a，AN→〉＝－23－432×263＝－32，故直线AN与平面PBC所成的角的正弦值为32，所以直线AN与平面PBC所成的角为60°.考点过关检测33立体几

何中的向量方法(2)1．解析：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA⊥OB，因为OP⊥底面ABCD，所以OP⊥OA、OP⊥OB，所以OA、OB、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设M(x，y，z)，PM→＝(x，y，z－4)，MC→＝(－4－x

，－y，－z)，因为PM→＝λMC→(0<λ<1)，所以x＝λ(－4－x)y＝λ(－y)z－4＝λ(－z)，于是x＝－4λλ＋1y＝0z＝4λ＋1，所以M－4λλ＋1，0，4λ＋1，过M作MM1⊥OC于M1，过M作MN⊥OP于N，所以

VP­MBD＝VP­BCD－VM­BCD＝13·S△BCD·(OP－MM1)＝13·12·BD·OC·PN＝16·6·4·4－4λ＋1＝169，解得λ＝18.(2)由(1)知PA→＝(4,0，－4)，O

B→＝(0,3,0)，OM→＝－4λλ＋1，0，4λ＋1，设平面MBD的一个法向量为m＝(u，v，w)，OM→·m＝－4λλ＋1·u＋4λ＋1·w＝0OB→·m＝3v＝0，令u＝1，m＝(1,0，λ)，设直线PA与平

面MBD所成的角为θ，所以sinθ＝|PA→·m||PA→|·|m|＝4－4λ42·1＋λ2＝55，解得λ＝13或λ＝3(舍去)．2．解析：(1)证明：取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1＝60°，AB＝4，AA1＝2，C，C1分别为AB，A1

B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1＝O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1，∴AB1⊥CC1；(2)∵∠ABB1＝60°，AB＝4，

AA1＝2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC＝2，OA＝3，OB1＝3，若AB1＝6，则OA2＋OB21＝AB21，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，B1(0，3

，0)，C1(－1,0,0)，A(0,0，3)，则CC1→＝(－2,0,0)，则AA1→＝CC1→＝(－2,0,0)，AB1→＝(0，3，－3)，AC→＝(1,0，－3)，设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB1→＝0n·AC→＝0，即3y－3z＝0x－3z＝

0令z＝1，则y＝1，x＝3，则n＝(3，1,1)，设平面A1B1A的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AA1→＝－2x＝0m·AB1→＝3y－3z＝0，令z＝1，则x＝0，y＝1，即m＝(0,1,1)，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝0＋1＋13＋1＋1·1＋1＝

25·2＝105.由于二面角C­AB1­A1是钝二面角，∴二面角C­AB1­A1的余弦值是－105.3．解析：(1)证明：取PA的中点F，连EF，DF，∵E为PB的中点，∴EF∥AB且EF＝12AB，又CD∥AB，且CD＝12AB，∴

EF∥CD，所以四边形CDFE为平行四边形，∴CE∥DF，又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，故直线CE∥平面PAD.(2)以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A­xyz，如图所示，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,

2,0)，C(1,1,0)．设E(x，y，z)，则PE→＝(x，y，z－1)，PB→＝(0,2，－1)．∵E在棱PB上，∴可设PE→＝λPB→(0<λ<1)．故(x，y，z－1)＝λ(0,2，－1)，解得

x＝0y＝2λz＝1－λ，即E(0,2λ，1－λ)，易知平面ACB的法向量为u＝(0,0,1)，设平面ACE的法向量v＝(x2，y2，z2)，AE→＝(0,2λ，1－λ)，AC→＝(1,1,0)，∴

v·AE→＝0v·AC→＝0，即(x2，y2，z2)·(0，2λ，1－λ)＝0(x2，y2，z2)·(1，1，0)＝0，即2λy2＋(1－λ)z2＝0x2＋y2＝0.取x2＝1，则y2＝－1，z2＝2λ1－λ2λ1－λ>0，故v＝

1，－1，2λ1－λ.因为二面角E­AC­B的平面角的余弦值为63，所以|cos〈u，v〉|＝63，即|u·v||u|·|v|＝63，即2λ1－λ2＝231＋1＋2λ1－λ2132λ1－λ2＝43⇒λ1－λ

2＝1⇒λ2＝1－2λ＋λ2，解得λ＝12.∴E0，1，12，AE→＝0，1，12.因为z轴⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．设AE与平面ABCD所成角为α，则sin

α＝|m·AE→||m|·|AE→|＝121×1＋122＝55.故AE与平面ABCD所成角的正弦值为55.4．解析：(1)在梯形CC1D1D中，因为CC1＝CD＝DD1＝12C1D1＝1.所以∠DD1C1＝π3，连接DC1，由余弦定理可得DC1＝3.∵DC21

＋DD21＝D1C21，∴DC1⊥DD1∵平面AA1D1D⊥平面CC1D1D且交于DD1，DC1⊂平面CC1DD1，∴DC1⊥平面AA1D1D，又∵AD⊂平面AA1D1D，∴AD⊥DC1.∵AD⊥DC，DC∩DC1＝D，∴AD⊥平面

CC1D1D.(2)连接A1C1，由(1)可知：A1D1⊥平面CC1D1D，以D1为原点，以D1A1→、D1C1→分别为x轴、y轴正半轴，过D1作垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：∵A1D1⊥平面CC1D1D，∴∠A1CD

1即为A1C与平面CC1D1D所成的角，∴∠A1CD＝π3.在Rt△A1CD1中，因为CD1＝3，所以A1D1＝3，则：D1(0,0,0)，A1(3,0,0)，D0，12，32，C0，32，32，C1(0,2,0)．所以A1C1→＝(－

3,2,0)，A1C→＝－3，32，32，DC→＝(0,1,0)．设平面AA1C1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1C1→＝0n·A1C→＝0，则－3x＋2y＝0－3x＋32y＋32z＝0，令

x＝2得：n＝(2,3，3)，故点D到平面AA1C的距离为：d＝|DC→·n||n|＝34＋9＋3＝34，所以点D到平面AA1C的距离为34.单元过关检测七立体几何与空间向量1．答案：D解析：当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；由等角定

理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面α，β垂直于同一个平面γ，且α∩β＝l，则在平面α、β内分别存在直线m，n垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知n∥m，再由线面平行的判定定理得m∥β，由线面平行

的性质得出m∥l，则l⊥γ，故D正确．2．答案：C解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl＝2πr，得l＝2r，又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，所以r2＝1，解得r＝1；所以圆锥的高为h＝l2－r2

＝22－12＝3，所以圆锥的体积为V＝13πr2h＝13π×12×3＝33π.3．答案：C解析：如图所示，在正方体中对于A：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，不妨取面ABCD为平面α，面ABB1A1为平面β，若取m为BC，n为A1B1，则直线m与n异面，故A错误；对于B：若m⊥α，n⊥β，α⊥β

，不妨取面ABCD为平面α，面ABB1A1为平面β，则直线m与n垂直，不可能平行，故B错误；对于C：若m⊥α，n∥α，因为n∥α，过n作平面β∩α＝l，则l∥n.因为m⊥α，所以m⊥l，又l∥n，所以m⊥n.故C正确；对于D：若m⊂α，n⊂β，α∥β，不妨

取面ABCD为平面α，面A1B1C1D1为平面β，则两个平面内的直线m与n可能平行，也可能异面．故D错误．4．答案：D解析：如图，设B1C∩BC1＝O，可得面BC1D1∩面B1CE＝OE，∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥E

O，∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1.5．答案：D解析：如图，在四面体A­BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝2，CB＝CD＝1，可得CD2＋BC2＝BD2，所以∠BCD＝90°，补形为长方体，则过一个顶点的三

条棱长分别为1,1，2，则长方体的对角线长为12＋12＋()22＝2，则三棱锥A­BCD的外接球的半径为1，其表面积为4π×12＝4π.6．答案：C解析：如图，设EF为圆柱下底面内与CD垂直的直径，记EF∩CD＝H，连接AH，BH，由对称性可知：AH⊥CD，B

H⊥CD，AH∩BH＝H，∴CD⊥平面ABH，设AM⊥BH，垂足为M，则CD⊥AM，CD∩BH＝H，∴AM⊥平面BCD，∴直线AB在平面BCD内的射影为BH，∴∠ABH为AB与平面BCD所成的角，∵2π·HF·BF＝23π·HF2

，∴BF＝3HF，∴∠ABH＝∠BHF＝π3，∴AB与平面BCD所成的角为π3.7．答案：B解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，A正确；AD∥A

1D1，且A1D1⊥平面DCC1D1，所以AD⊥平面DCC1D1，又平面DCC1D1与平面CB1D1不平行，所以AD与平面CB1D1不平行，B不正确；AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC，所以AC1⊥BD，C正确；

根据正方体的性质可得AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，由∠BCB1＝45°，所以异面直线AD与CB1所成的角为45°，D正确．8．答案：A解析：由AB＝BC＝4，

∠BAC＝30°，由旋转前后对应边，对应角相等可得：BD＝2，AD＝CD＝PD＝23，又二面角P­BD­C为60°，即∠PDC＝60°，故△PDC为等边三角形，作CD中点E，连接PE，可得PE⊥CD，又BD⊥CD，BD⊥PD，所以BD⊥平面P

CD，所以BD⊥PE，即PE⊥平面BCD，结合几何关系可得PE＝3，故VP­BDC＝13·12·BD·CD·PE＝16×2×23×3＝23.9．答案：BD解析：令平面α∩平面β＝直线l，对于A选项：当平面α⊥平面β时

，在平面β内作直线n⊥l，则n⊥α，而m⊥α，则n∥m，A错误；对于B选项：m⊥α，则m⊥l，则平面β内与l平行的所有直线都与直线m垂直，B正确；对于C选项：因直线m⊂α，则m与l重合时，即m⊂β，β内的所有直线都与m共面，C

错误；对于D选项：当m⊥β时，结论成立，直线m与β不垂直时，作与直线m垂直的平面γ，则γ必与β相交，所得交线与m垂直，D正确．10．答案：BD解析：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，知：对于A，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故A错

误；对于B，若b∥α，b⊂β，α∩β＝a，由线面平行的性质定理可得a∥b，故B正确；对于C，若a⊂α，b⊂β，a⊥b，无法得到α与β垂直，根据面面垂直的判定定理，需要a垂直平面α内两条相交直线，故C错误；对于D，若b⊥β，a∥b则a⊥β，又a∥α，所以α⊥β，故D正确．11．答案：BCD解析：对于

选项A，因为平面ABB1A1∥平面CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面CC1D1D＝D1F，所以BE∥D1F，同理可证D1E∥BF，所以四边形BFD1E是平行四边形，故A错误；对于选项B，由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；对

于选项C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D，当E、F分别为棱AA1，CC1的中点时，有AC∥EF，则EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD1E⊥平面BB1D，故C正确；对

于选项D，四边形BFD1E在平面ABCD内的投影是正方形ABCD，当E与A重合，F与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，此时S＝D1E·BE＝2·1＝2，故D正确．12．答案：BD解析：易知，点P在矩形BCC1B1内部(含边界)．对于A，当λ＝1时，BP→＝BC

→＋μBB1→＝BC→＋μCC1→，即此时P∈线段CC1，△AB1P周长不是定值，故A错误；对于B，当μ＝1时，BP→＝λBC→＋BB1→＝BB1→＋λB1C1→，故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1

∥平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；对于C，当λ＝12时，BP→＝12BC→＋μBB1→，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则BP→＝BQ→＋μQH→，所以P点轨迹为线段Q

H，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A132，0，1，P()0，0，μ，B0，12，0，则A1P→＝－32，0，μ－1，BP→＝0，－12，μ，A1P→·BP→＝μ()μ

－1＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均满足，故C错误；对于D，当μ＝12时，BP→＝λBC→＋12BB1→，取BB1，CC1中点为M，N.BP→＝BM→＋λMN→，所以P点轨迹为线段MN.设P

0，y0，12，因为A32，0，0，所以AP→＝－32，y0，12，A1B→＝－32，12，－1，所以34＋12y0－12＝0⇒y0＝－12，此时P与N重合，故D正确．故选BD.13．答案：

π解析：因为圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形，所以该正方形的边长为2π，又圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长，所以圆柱的底面圆半径为1，故该圆柱一个底面的面积为S＝πr2＝π·12＝π.14.答案：CG、DH、E

H、FG解析：如图，结合图象绘出正方体，结合正方体性质易知，棱CG、DH、EH、FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．15．答案：1或2解析：由已知得B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF，设AF

＝x(0<x<3)，则CF2＝x2＋4，DF2＝1＋(3－x)2，CD2＝12＋32＝10，所以由CF2＋DF2＝CD2得x2＋4＋1＋(3－x)2＝10，解得x＝1或2，所以当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF.16．答案：2686729π解析：该六面体是由两个全等的正

四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S­ABC中，取BC的中点D，连结SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD＝SD＝32，OD＝13AD＝36，SO＝SD2－OD2＝63，则该六面体的体积为V＝2VS－ABC＝2×

13×12×1×32×63＝26.当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，因为SO×OD＝SD×OE，所以球的半径OE＝SO×ODSD＝63×3632＝69，所以该球的体积为4π3·693＝86729π.1

7.解析：(1)证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，则在平行四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，又点D1为A1C1的中点，所以OD1∥BC1，又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1

∥平面AB1D1.(2)V1＝VA­A1B1D1＝12VA­A1B1C1＝16VABC­A1B1C1＝16V2，所以V1V2＝16.18．解析：(1)如图所示：连接BD与AC交于点O，连接OE.因为O，E为中点，所以OE∥BD1，又OE⊂平面

ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2，所以A(0,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，E(0,2,1)，AD→＝(0,2,0)，AC→＝(2,2,0)，AE→＝(0,2,1)，设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，

z)，所以n·AC→＝0n·AE→＝0⇒2x＋2y＝02y＋z＝0，令y＝－1，x＝1，z＝2，所以n＝(1，－1,2)，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值sinθ＝cos〈AD→，n〉＝n·AD→|n|·|AD→|＝－212＋(

－1)2＋22·2＝66.19．解析：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PA.四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.从而BC⊥AE，因为PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点﹐所以AE⊥PB.

因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面PBC.(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A­xyz，如图所示，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(

2,3,0)，D(0,3,0)，E(1,0,1)，EC→＝(1,3，－1)，AC→＝(2,3,0)，DC→＝(2,0,0)．设平面ACE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，由EC→·n＝0AC→·n＝0，得x1＋3y1－z1＝0，2x1＋3y1＝0不妨令x1＝3，可得n＝(3，

－2，－3)．设平面CED的法向量为m＝(x2，y2，z2)，由EC→·m＝0DC→·m＝0，得x2＋3y2－z2＝02x2＝0，不妨令y2＝1，可得m＝(0,1,3)．易知二面角A­CE­D为锐角，|cos〈n，m〉|＝n·m|n||m

|＝5510，所以二面角A­CE­D的余弦值为5510.20．解析：(1)证明：因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.(2)作EF⊥BD于F，

作FM⊥BC于M，连EM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO⊥CD，所以EF⊥BD，EF⊥CD，BD∩CD＝D，因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为FM⊥BC，FM∩EF＝F，所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME，则

∠EMF为二面角E­BC­D的平面角，∠EMF＝π4，因为BO＝OD，△OCD为正三角形，所以△BCD为直角三角形．因为BD＝2CD，所以FM＝12BF＝121＋13＝23，从而EF＝FM＝23，所以A

O＝1.因为AO⊥平面BCD，所以V＝13AO·S△BCD＝13×1×12×1×3＝36.21．解析：(1)由tan∠ADB＝22，tan∠ACD＝22，得∠ADB＝∠ACD，所以∠DAC＋∠ADB＝

∠DAC＋∠ACD＝π2，即AC⊥BD，又AC⊥PB，PB∩BD＝B，则有AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，又PD⊥BC，AC∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD.(2)如图所示，以

D为原点，DA→，DC→，DP→的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D－xyz，设DP＝h，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2，1,0)，C(0,2,0)，P(0,0，h)，PC→＝(0,2，－h)，BC→＝(－2，1,0)，设平面PB

C的法向量为n＝(x，y，z)，PC→·n＝2y－hz＝0，BC→·n＝－2x＋y＝0，取y＝2h，则x＝h，z＝22，所以n＝(h，2h,22)，而平面PBD的一个法向量为AC→＝(－2，2,0)，cos〈n，AC→〉＝n·A

C→|n||AC→|＝2h6·3h2＋8＝1717，解得h＝3，PB→＝(2，1，－3)，易知AD⊥平面PCD，所以DA→＝(2，0,0)是平面PCD的一个法向量，设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ

＝cos〈PB→，DA→〉＝33，故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为33.22．解析：(1)证明：取AE的中点为G，连接MG，BG，∵M是ED的中点，AD＝2BC，∴MG是△ADE的中位线，∴MG∥AD∥BC且MG＝BC，所以MGBC为平行四边形，∴CM

∥BG，因为CM⊄面ABE，BG⊂面ABE，所以CM∥平面ABE.(2)取AD的中点为H，连接HC，HE，其中HC＝AB＝3，EH＝1，由EC＝2可得HC⊥HE，显然EH⊥面ABCD，故以H为坐标原点，分别以HC，HA，HE所

在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，则E(0,0,1)，A(0,1,0)，D(0，－1,0)，B(3，1,0)，设存在点F(x，y，z)，EF→＝λEB→⇒(x，y，z－1)＝λ(3，1，－1)⇒x＝3λ，y＝λ，z＝1－

λ，易知面EAD的法向量可取HC→＝(3，0,0)，另外AF→＝(x，y－1，z)＝(3λ，λ－1,1－λ)，AD→＝(0，－2,0)，设面ADF的一个法向量为u＝(m，n，r)，则AF→·u＝0，

AD→·u＝0⇒(3λ，λ－1，1－λ)·u＝0(0，－2，0)·u＝0，3λm＋(λ－1)n＋(1－λ)r＝0－2n＝0可取一个法向量为u＝(λ－1,0，3λ)，则|cos〈HC→，u〉|＝3(λ－1)34λ2－2λ＋1＝1

2⇒λ＝12，F32，12，12为EB的中点．故存在F点为EB的中点．滚动过关检测六集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何1.答案：C解析：U＝{x∈N*|1≤x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，因为B＝{3,

4,5}，可得∁UB＝{1,2,6}，因为A＝{1,2,3,5}，所以A∩(∁UB)＝{1,2}．2．答案：A解析：由题得i＋z＝zi＋2z，∴z(1＋i)＝i，∴z＝i1＋i，所以z＝i(1－i)(1＋i)(1－i)

＝i＋12＝12＋12i，复数z对应的点为12，12，在第一象限．3．答案：B解析：因为当直线m垂直平面α内的所有直线时，才能得到m⊥α，所以由直线m垂直平面α内的无数条直线不一定能推出m⊥α，但是由m⊥α一定能推出直线m垂直平面α内的无数条直线，所以直线m垂直平面

α内的无数条直线是m⊥α的必要不充分条件．4．答案：D解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d＝10，所以a1＋a9＝2a1＋8d＝10，所以S9＝9(

a1＋a9)2＝902＝45.5．答案：A解析：由解析式知：f(－x)＝cos[π(－x)]e－x－e－(－x)＝－cos(πx)ex－e－x＝－f(x)且x≠0，则f(x)为奇函数，排除B、C；而当x→0时，cos(πx)→1，ex－e－x→0，所以f(x)→＋∞，排除D.6．答

案：B解析：由题意得f(x)＝2sin2x＋π3，所以函数的最小正周期T＝2π2＝π，故A错误；当x＝π12时，f(x)＝2sinπ6＋π3＝2，所以x＝π12是f(x)的一条对称轴，

故B正确；当x∈－π3，π6时，则2x＋π3∈－π3，2π3，所以f(x)在－π3，π6上的最大值为2，故C错误；当x∈－π3，π6时，则2x＋π3∈－π3，2π3，所以函数在－π3，π6不具有单调性，故D错误．7．答案：C解析：∵f(x)

＝3|x－m|－1(m为实数)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝3|x|－1，∴f(x)＝3|x|－1在(0，＋∞)上是单调增函数，∵a＝f(log0.53)＝f(log123)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(2m)＝f(0)，且log25>l

og23>0，∴f(log25)>f(log0.53)>f(0)，∴c<a<b.8．答案：B解析：在四棱锥P­ABCD中，因为侧面PCD⊥平面ABCD，面PCD∩平面ABCD＝CD，BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连

接AC交BD于O，连接MO，在△PAC中，OM∥PA，MO⊂面MBD，PA⊄面MBD，所以PA∥面MBD，所以选项B正确；取CD中点N，连接PN，在矩形ABCD中，易得AC＝6，OC＝3，ON＝3，在△PCD中，NM＝12PC＝6，在Rt△MNO中，MO＝ON2＋MN2＝3，所以OM

＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四棱锥M­ABCD外接球的球心，半径为3，所以其体积为36π，所以选项C不正确；四棱锥M­ABCD的体积是四棱锥P­ABCD的体积的一半，因为PN⊥CD，侧面PCD⊥平面ABCD，面PCD∩平面ABCD＝CD，所以PN⊥平面ABCD

，PN＝32，所以四棱锥M­ABCD的体积VM­ABCD＝12×13×23×26×32＝12，所以选项D错误．9．答案：ACD解析：根据解析式，可得y＝f(x)的初相位为π3，故A正确；若f(x)的最小正周期为π，则π＝2π2ω，解得ω＝1，故B不正确；若ω＝1，则f(x)＝sin2x＋

π3，当x＝π12时，2×π12＋π3＝π2，sinπ2＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π12对称，故C正确；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π12对称，则2ω×π12＋π3＝kπ＋π2，(k∈Z)，解得ω＝6k＋1，(k∈Z

)，又ω>0，所以ω的最小值为1，故D正确．10．答案：ABD解析：f(log23)＝11＋2log23＝11＋3＝14，A正确；y＝1＋2x恒正且在R上递增，故y＝11＋2x是R上的减函数，B正确；y＝1＋2

x的值域是(1，＋∞)，故f(x)＝11＋2x的值域是(0,1)，C错误；注意到f(x)＋f(－x)＝11＋2x＋11＋2－x＝11＋2x＋2x1＋2x＝1，故不等式f(1＋2x)＋f(x)>1等价于f(1＋2x)＋f(x)>f(x)＋f(－x)

，即f(1＋2x)>f(－x)，又f(x)是R上的减函数，故1＋2x<－x，解得x<－13，D正确．11．答案：AD解析：∵a1010a1011>1，若q<0，则a1010a1011＝a21010q<0，矛盾；若q≥1，则a1011≥a1010≥a1>1，从而(a1010－1

)(a1011－1)>0，矛盾．综上，0<q<1，A正确；由A选项可知，0<q<1，则a1010>0且a1011>0，且a1011＝a1010q<a1010，因为(a1010－1)(a1011－1)<0，

则有a1010>1>a1011>0，故a1010a1012＝a21011<1，B错误；因为当n≤1010时，an>1，n≥1011时，an<1，则Tn的最大值为T1010，C错误；T2019＝(a1010)2019>1，T2020＝(a1

010a1011)1010>1，T2021＝(a1011)2021<1，D正确．12．答案：ABC解析：∵AP⊥PF，AP⊥PE，PE∩PF＝P，∴AP⊥平面PEF，∵EF⊂平面PEF，∴AP⊥EF，故A正确；设P在底面AEF上的射影为O，则PO⊥底面AEF，

∴PO⊥EF，由A知，PA⊥EF，连接AO并延长，交EF于G，∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，则AG⊥EF，同理可证EO⊥AF，∴点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心，故B正确；由B知，AG⊥EF，

∵AE＝AF，∴G为EF的中点，连接PG，又PE＝PF，∴PG⊥EF，则∠PGA为二面角A­EF­P的平面角．在等腰直角三角形PEF中，由PE＝PF＝1，得PG＝22，则AG＝322，在Rt△APG中，有cos∠PGA＝PGAG＝13，故C正确；由已知可得三棱锥P

­AEF的三条侧棱PA、PE、PF两两互相垂直，且PA＝2，PE＝PF＝1.把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为22＋12＋12＝6，则其外接球的表面积S＝4π×622＝6π，故D错误．13．答案：35解析：由题得a－λb＝(1－3

λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35.14．答案：3＋4310解析：∵α∈0，π2，∴α＋π3∈π3，56π，∵cos

α＋π3＝－45，∴sinα＋π3＝35，∴sinα＝sinα＋π3－π3＝sinα＋π3cosπ3－cosα＋π3sinπ3＝35×12－－45×32＝3＋4310.15．答案：2623π解析：圆台

的下底面半径为3，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝OQ2－O′Q2＝32－12＝22，据此可得圆台的体积：V＝13π×22×(32＋3×1＋12)＝2623π.16．答案：a＋b＝15＋26解析：由y＝ln(2x＋b)，得y

′＝22x＋b，因此曲线y＝ln(2x＋b)在切点处的切线的斜率等于2，∴22x＋b＝2，即x＝1－b2，此时y＝0.则切点为1－b2，0，所以相应的切线方程为y＝2x－1－b2＝2x－1＋b，则－a＝－1＋b，∴a＋b＝1.又a>0，b>0，∴2a＋3b＝

2a＋3b(a＋b)＝5＋2ba＋3ab≥5＋22ba·3ab＝5＋26.当且仅当2ba＝3ab时上式等号成立．17．解析：(1)因为(b－c)2＝a2－bc可得：b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得，cosA＝b

2＋c2－a22bc＝12，又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，4＝b2＋4b2－2b·2b×12，解得b＝233，c＝433.S△ABC＝12bcsinA＝12×233×433×32＝

233.18．解析：(1)∵BC＝1，BB1＝2，B1C＝3.∴BC2＋B1C2＝BB21，∴BC⊥B1C.∵AB⊥BC，AB∥A1B1，∴A1B1⊥BC.又∵B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴BC⊥平面A1B1C.∵A1C

⊂平面A1B1C，∴BC⊥A1C.(2)∵A1C＝2，A1B1＝AB＝1，B1C＝3，∴B1C2＋A1B21＝A1C2，∴B1C⊥A1B1，∴B1C⊥AB，由(1)可得BC⊥B1C，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴B1C⊥平面AB

C.∴VABC­A1B1C1＝B1C·S△ABC＝3×12×1×1＝32.19．解析：(1)证明：因为nSn＋1－(n＋1)Sn－32n2－32n＝0，所以nSn＋1－(n＋1)Sn＝32n(n＋1)，所以Sn＋1n＋1－Snn＝

32，S11＝a1＝1，所以数列Snn是以1为首项，32为公差的等差数列，Snn＝32n－12，所以Sn＝32n2－12n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n2－12n－32(n－1)2－12(n－1)＝3n－2，当n＝1时

，等式也成立，所以an＝3n－2；(2)bn＝2n·an＝(3n－2)·2n，Tn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)·2n,2Tn＝1×22＋4×23＋7×24＋…＋(3n－2)·2n＋1，两

式相减得－Tn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3·2n－(3n－2)·2n＋1＝3(2＋22＋23＋…＋2n)－4－(3n－2)·2n＋1＝－(3n－5)·2n＋1－10，所以Tn＝(3n－5)·2n＋1＋10.20.解析：(1)连接C1E，在上

底面过点E作直线l⊥C1E即可，则l⊥CE.理由：∵CC1⊥平面A1B1C1D1，且l⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥l.又∵l⊥C1E，C1E∩CC1＝C1，∴l⊥平面CC1E，∵CE⊂平面CC1E，∴l⊥CE；(2)以D为坐标原点，DA、

DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则C(0,2,0)，E23，43，2，∴CE→＝23，－23，2.又F(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，则FB1→＝(0,2,1)，FD1→＝(－2,0,1)．

设平面FB1D1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·FB1→＝0m·FD1→＝0，∴2y＋z＝0－2x＋z＝0，∴m＝(1，－1,2)．设CE与平面FB1D1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈CE→，m〉|＝CE→·m|

CE→||m|＝866，∴CE与平面FB1D1所成角的正切值为42.21．解析：(1)延长CB，DM，其交点为E，如图所示，因为点A，E既在平面ABC内，又在平面AMD内，所以直线AE为平面ABC与AMD的交线l，因为BD是∠ADC的平分线，

且BD⊥BC，所以B为EC的中点，取AC中点N，连接BN，则BN为△AEC的中位线，所以直线BN∥AE，即BN∥l，故N为棱AC的中点．(2)因为BM⊥AM，BM⊥MD，所以∠AMD＝60°，又因为AM＝MD，所以△AMD为等边三角形，取MD的中点O为坐标原点

，以OM所在直线为x轴，在平面BCDM内过点O且和MD垂直的直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以D(－1,0,0)，A(0,0，3)，C(－5,43，0)，B(1,23，0)所以

DA→＝(1,03)，DC→＝(－4,43，0)，DB→＝(2,23，0)，设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·DA→＝0m·DC→＝0，即x＋3z＝0－4x＋43y＝0，令z＝－3，则x＝3，y＝3，所以m＝

(3，3，－3)，设平面ABD的法向量为n＝(a，b，c)，则n·DA→＝0n·DB→＝0，即a＋3c＝02a＋23b＝0，令c＝－3，则a＝3，b＝－3，所以n＝(3，－3，－3)，设平面ABD和ACD所成锐二面角的大小为θ，所以cosθ＝

|3×3＋3×(－3)＋(－3)×(－3)|32＋(3)2＋(－3)2·32＋(－3)2＋(－3)2＝35，所以平面ABD和ACD所成锐二面角的余弦值为35.22．解析：(1)由函数的解析式可得：f′(x)＝x(ex－2a)，①当a≤0时，若

x∈(－∞，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；②当a>0时，令ex－2a＝0，则x＝ln(2a)当0<a<12时，若x∈(－∞，ln(2a))，则f′(x)>0，f(x)单调递增，若x∈(ln(2a)，

0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；当a＝12时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；当a>12时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x∈(0，ln(2a))，则f′(x)

<0，f(x)单调递减；若x∈(ln(2a)，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<12时，f(x)在(－∞，ln(2a))，(0，＋∞)单调递增，在(l

n(2a)，0)上单调递减；当a＝12时，f(x)在R上单调递增；当a>12时，f(x)在(－∞，0)，(ln(2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln(2a))上单调递减．(2)若选择条件①：由于12<a≤e22，故1<2a≤e2，则b>2a>1，f(0)＝b－1>0，而f(－b)＝(

－1－b)e－b－ab2－b<0，而函数在区间(－∞，0)上单调递增，故函数在区间(－∞，0)上有一个零点．f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b>2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2＝aln(2a)[2－l

n(2a)]，由于12<a≤e22，1<2a≤e2，故aln(2a)[2－ln(2a)]≥0，结合函数的单调性可知函数在区间(0，＋∞)上没有零点．综上可得，题中的结论成立．若选择条件②：由于0<a<

12，故2a<1，则f(0)＝b－1≤2a－1<0，当b≥0时，e2>4,4a<2，f(2)＝e2－4a＋b>0，而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点．当b<0时，构造函数H

(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增，注意到H(0)＝0，故H(x)≥0恒成立，从而有：ex≥x＋1，此时：f(x)＝(x－1)ex－ax2－b≥(x－1)(x＋1)

－ax2＋b＝(1－a)x2＋(b－1)，当x>1－b1－a时，(1－a)x2＋(b－1)>0，取x0＝1－b1－a＋1，则f(x0)>0，即：f(0)<0，f1－b1－a＋1>0，而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，

故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点．f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b≤2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2＝aln

(2a)[2－ln(2a)]，由于0<a<12，0<2a<1，故aln(2a)[2－ln(2a)]<0，结合函数的单调性可知函数在区间(－∞，0)上没有零点．综上可得，题中的结论成立．考点过关检测34直线方程与

圆的方程1．答案：A解析：由题意知：－(a＋1)(a－1)－(－3)×1＝0，整理得4－a2＝0，∴a＝±2.2．答案：D解析：因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－12，k2＝

2所以k1·k2＝－1，则两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．3．答案：A解析：由已知可得kBC＝1－54－5＝4，则BC边上的高AD所在的直线斜率kAD＝－14，则可得直线AD的方程为y－3＝－14

(x－1)，即x＋4y－13＝0.4．答案：C解析：圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心为(－2,0)，与直线x＋y＝0垂直的直线的斜率为1，所以所求直线为y－0＝1·(x＋2)，即x－y＋2＝0.5．答案：C解析：由题可得圆心为(0,0)，半径

为2，则圆心到直线的距离d＝|m|k2＋1，则弦长为|MN|＝24－m2k2＋1，则当k＝0时，弦长|MN|取得最小值为24－m2＝2，解得m＝±3.6．答案：A解析：将x2－ax＋y2－2y＋b＝0化为标准方程为x－a22＋(y－1)

2＝a24＋1－b.由题意知圆心E在直线x－y＝0上，所以a＝2.又l1，l2两直线间的距离d＝42＝22，且四边形ABCD是正方形，所以r2＝a24＋1－b＝2－b＝4，解得b＝－2，所以a＋b＝0.7．答案：A解析：圆M的圆心为M(0，a)，半径为r1＝a，a>0

，圆心M(0，a)到直线x＋y＝0的距离为a2，所以a22＋2222＝a2⇒a＝2，所以M(0,2)，r1＝2.圆N的圆心为N(3,6)，半径r2＝7，|MN|＝5＝r2－r1，所以两个圆

的位置关系是内切．8．答案：D解析：如图，S四边形APBC＝2S△PAC＝2×12·|AC|·|PA|＝|PC|2－1，要使四边形APBC的面积最小，只需|PC|最小，当PC垂直直线x－y＝0时，|PC|取最小值为|2－0|2＝2，四边形APBC的面积最小值为(2)2－1＝1，即四边形APB

C的面积的最小值为1.9．答案：AD解析：设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，过点P(1,2)，故c＝－1－2a所以直线l的方程为x＋ay－2a－1＝0，圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)，半径为2，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2

3，半弦长为3，则弦心距为1，圆心到直线的距离d＝|－2a－1|a2＋1＝1，解得a＝0或a＝－43.10．答案：AD解析：圆C1的圆心C1(0，a)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(0,0)，半径r2＝3，∵两圆有四条公切线，∴两圆

外离，又两圆圆心距d＝|a|，∴|a|>3＋1，解得a<－4或a>4.11．答案：AB解析：依题可知：圆心到直线的距离小于1，所以||－a42＋32<1⇒－5<a<5.12．答案：ACD解析：圆()x－52＋()y－52＝16的圆心为M()5，5，半径

为4，直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为||5＋2×5－412＋22＝115＝1155>4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155－4<2，最大值为1155＋4<1

0，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，||BM＝()0－52＋()2－52＝34，||MP＝4，由勾股定理可得||BP＝||BM2－||MP2＝32，C、D选项正确．故选ACD.13．答案：k≥34或k≤－4解析

：∵A(2，－3)，B(－3，－2)，P(1,1),∴直线PA的斜率为kPA＝1－(－3)1－2＝－4，同理可得PB的斜率为kPB＝34，∵直线l过点P(1,1)且与AB相交，∴直线l的斜率取值范围是k≥34或k≤－4.14．答案：(x－4)2＋y2＝4解析：由题意得，圆的半径r＝(a－3

)2＋(3)2＝(a－3)2＋3，直线的方程为：y－(－3)＝－33(x－3)，整理得：33x＋y＝0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝33a332＋1＝r＝(a－3)2＋3，所以|a|2＝4[](a－3)2＋3

，解得a＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4.15．答案：26解析：由于点A与点O在直线l：x－y＝2的同侧，设点O关于直线l：x－y＝2的对称点为O′(x′，y′)，∵kOO′＝－1，∴OO′所在直线方程为y＝－x，联立y＝－xx

－y＝2，解得x＝1y＝－1，即OO′的中点为(1，－1)，∴O′(2，－2)，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝(3－2)2＋(3＋2)2＝26.16．答案：(1,1)22解析：因为直线

l：ax＋by＝a＋b(a，b∈R)，即a(x－1)＋b(y－1)＝0，所以当x＝1，y＝1时，不论a，b为何值，a(x－1)＋b(y－1)＝0都成立，所以直线l所过的定点坐标是(1,1)；因为(1,1)在圆O：x2＋y2＝4内，所以当直线l

垂直于经过圆心和点(1,1)的直径时被圆O截得的弦长最小，因为圆心(0,0)到点(1,1)的距离为12＋12＝2，圆的半径r＝2，所以直线l被圆O截得的弦长最小值为2r2－(2)2＝22.考点过关检测35椭圆1．答案：C解析：由题意得a2＝4，b2＝p，则4－p＝1，

解得p＝3.2．答案：D解析：由椭圆x23＋y2＝1，得：a＝3，由题意可得△ABC的周长为：|AC|＋|CF2|＋|F2B|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a＝43.3．答案：D解析：当C焦点在x轴上，此时a＝3，b＝m

，则6－2m＝2，解得m＝4，此时焦距为2c＝2a2－b2＝25，当C的焦点在y轴上，此时a＝m，b＝3，则2m－6＝2，解得m＝16，此时C的焦距为2m－9＝27.4．答案：D解析：由图知椭圆C1的半长轴和半短轴分别为：a＝2，b＝1.5，椭圆C2的半长轴和半短轴分别

为：a＝4，b＝2，椭圆C3的半长轴和半短轴分别为：a＝6，b＝3，所以e1＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－1.522＝1.752，e2＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－242＝32，e3＝ca＝a2－b2a＝1－ba2

＝1－362＝32，所以e2＝e3>e1.5．答案：D解析：由题意，对于椭圆x225＋y29＝1，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝25－9＝4，则离心率e＝ca＝45，对于椭圆x29－k＋y225－k＝1，因为25－k＞9

－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝25－k≠5，b＝9－k≠3，所以c＝25－k－(9－k)＝4，则离心率e＝ca＝425－k≠45，故选项D正确，其他选项错误．6．答案：A解析：设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋

9m2－2×3m×m×cos60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.7．答案：D解析：如图所示，设|AF1|＝3t，则|AB|＝4t，|BF1|＝5t，所以，|AF1|2

＋|AB|2＝|BF1|2，所以，∠F1AF2＝90°，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝12t＝4a，∴t＝a3，∴|AF1|＝3t＝a，所以，|AF2|＝2a－|AF1|＝a，所以，△AF1F2为等腰直角三角形，可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴2a2＝

4c2，所以，该椭圆的离心率为e＝ca＝22.8．答案：A解析：直线l：x－y－3＝0中，令y＝0，可得x＝3，所以右焦点F(3，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的中点Px1＋x22，y1＋y22，联立x－y－3＝0x2a2＋y2b2

＝1，整理得(a2＋b2)y2＋23b2y＋3b2－a2b2＝0，所以y1＋y2＝－23b2a2＋b2，x1＋x2＝y1＋y2＋23＝23a2a2＋b2，所以kOP＝y1＋y2x1＋x2＝－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，c2＝3，所以a2＝6，b

2＝3，所以椭圆的方程为x26＋y23＝1.9．答案：AD解析：因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，且椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1中，a＝5，b＝3，即a2＝25，b2＝9

.10．答案：BC解析：设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，则2m＋m＝2a，即m＝2a3.因为a＋c≥m≥a－c，则a＋c≥2a3≥a－c，所以a≤3c.对A，a＝4，c＝1，不满足；对B，a＝3，c＝1，满足；对C，a＝5，c＝2，满足；对D，a＝6，

c＝3，不满足．11．答案：ACD解析：∵|AF|＝5>|BF|＝3，∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时|AF|＝a＋c＝5，|BF|＝a－c＝3，

解得a＝4，c＝1，b＝42－1＝15，椭圆方程为x216＋y215＝1，故D正确；②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时|AF|＝a＋c＝5，|BF|＝a＝3，解得a＝3，c＝2，b＝32－22＝5，椭

圆方程为x29＋y25＝1，故A正确；③A为上顶点时，B为左顶点时，此时|AF|＝a＝5，|BF|＝a－c＝3，解得a＝5，c＝2，b＝52－22＝21，椭圆方程为x225＋y221＝1，故C正确．12．答案：BC解析：由x29＋y24＝1可得

a＝3，b＝2，所以c＝a2－b2＝9－4＝5，根据对称性只需考虑PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2，当PF1⊥F1F2时，将x＝－5代入x29＋y24＝1可得y＝±43，如图：|F1F2|＝2c＝25，|PF1|＝43，所以△F1PF2的面积为12

×25×43＝453，当PF1⊥PF2时，由椭圆的定义可知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，由勾股定理可得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，所以20＝36－

2|PF1|·|PF2|，解得：|PF1|·|PF2|＝8，此时△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|＝4，综上所述：△F1PF2的面积为4或453.13．答案：10解析：由x2＋y2－6x＋8＝0得(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3

,0)，即椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点是(3,0)，所以a2－b2＝9，又2b＝8，得a2＝25，即a＝5，所以2a＝10，椭圆的长轴长为10.14．答案：5解析：由题得c＝6，由题得PF2⊥x轴，当x＝6时，69＋y23＝1，所以y＝±1，∴|PF2|＝1，所以|PF

1|＝2×3－|PF2|＝6－1＝5，所以|PF1|是|PF2|的5倍．15．答案：x225＋y29＝1解析：依题意c＝4,2c＝8，椭圆焦点在x轴上，三角形PF1F2的面积的最大值为12×8×b＝12⇒b＝3，所以a＝b2＋c2＝9＋

16＝5，所以椭圆方程为x225＋y29＝1.16．答案：1910515解析：如图所示，不妨设|QF1|＝1，因为|PF1||PF2||QF1|＝231，所以|PF1|＝2，|PF2|＝3，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝5，所以|QF2|＝4，在△PQF2中

，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝|PQ|2＋|PF2|2－|QF2|22×|PQ|×|PF2|＝32＋32－422×3×3＝19，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2－2×|PF1|×|PF

2|cos∠F1PF2＝22＋32－2×2×3×19＝353，所以离心率e＝ca＝3535＝10515.17．解析：(1)因为椭圆的离心率e＝12，所以ca＝12，即a2＝4c2⇒a2＝4(a2－b2)⇒3a2＝4b2，因为C经过点P(－2,0)，所以有4a2＝1，即a2＝

4，所以b2＝3，因此椭圆C的标准方程为：x24＋y23＝1；(2)因为P(－2,0)是椭圆的左顶点，所以由过点P的直线l交C于另一点A可知，该直线存在斜率，设为k，即直线l的方程为：y＝k(x＋2)，与椭圆方程联立为：y＝k(

x＋2)x24＋y23＝1⇒(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，设A(x1，y1)，所以有－2x1＝16k2－123＋4k2⇒x1＝6－8k23＋4k2，因为|PA|＝1227，所以1＋k2|x1－(－2)|＝1227⇒1＋

k26－8k23＋4k2＋2＝1227⇒121＋k23＋4k2＝1227⇒32k4－k2－31＝0⇒k2＝1或k2＝－3132(舍去)，即k＝±1.18．解析：(1)由题意知PQ→＝(a，－b)，PR→＝(－a，－b)，则PQ→·PR→＝－a2＋b2＝

－3，∵点S是PF2的中点，且|OS|＝1，∴|OS|＝12|PF2|＝12a＝1，∴a＝2，b＝1，故椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：x＝ty－1，联立方程组x＝ty－1x24＋y2＝1，得(4＋t2)y2－2ty－3＝0，∴y1＋y

2＝2t4＋t2，y1y2＝－34＋t2，|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4t2(4＋t2)2－4·－34＋t2＝4t2＋34＋t2，∴S△QMN＝12·|TQ|·|y1－y2|＝12×3×4t2＋34＋t2＝125，∴t＝±1.∴直线MN的方程为y＝x＋1或y＝－x－1，即直

线MN的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.考点过关检测36双曲线1．答案：D解析：由题意知4a＝2，所以a＝2，所以c＝4＋16＝25，所以|PF1|＝5<2＋25＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9.2．答案：

A解析：由渐近线y＝±bax＝±33x，结合双曲线方程，∴ba＝33，则b2a2＝mm＋1＝13，可得m＝12.3．答案：B解析：由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为x－3y＝0，c＝2，则ba＝33，c＝2，解得a2＝3，b2＝1.∴双曲线的标准方程

是x23－y2＝1.4．答案：D解析：由题意可得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b25－1＝5＋122，解得b2＝2，则b＝2，故该黄金双曲线C的虚轴长为2b＝22.5．答案：A解析：由题得椭圆x2a＋y2＝1(a>1)的半焦距为a－1，双曲线x2m－y

2＝1(m>0)的半焦距为m＋1，所以a－1＝m＋1，∴a－1＝m＋1，∴a＝m＋2.6．答案：C解析：双曲线y2m－x2m＋2＝1(m>0)的离心率为e＝m＋m＋2m＝2m＋2m＝2＋2m，因为m>0，所以e＝2＋2m>2，即C的离心率的取值范围为(2，＋∞)

．7．答案：C解析：双曲线C：x2－y28＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±22x，因|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线：x＝32上，则P点纵坐标y0有|y0|＝32，所以△PF1F2面积S△PF1F2＝1

2|F1F2|·|y0|＝92.8．答案：D解析：设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则OC＝a，因为AB＝BC＝CD，所以CD＝2OC，所以OD＝3OC＝3a，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以(32a，32a

)在双曲线上，代入y2a2－x2b2＝1可得92－9a22b2＝1，解得b2a2＝97，所以双曲线的离心率为e＝ca＝1＋b2a2＝1＋97＝477.9．答案：ACD解析：若m＝n>0，x2＋y2＝1m>0，表示圆，A正确；若m<0

，n<0时，mn>0，不表示椭圆，B错误；若mn<0，则表示焦点在x轴或y轴的双曲线，C正确；mn＝0，m＋n>0，m＝0，n>0或m>0，n＝0，则x＝±1m或y＝±1n，表示两条直线，D正确．10．答案：BC解析：因为a2＝1，b2＝6，所以c2＝1＋6＝7，c

＝7，焦距为27，所以A错误；因为2b2a＝262＝6，所以B正确；双曲线y26－x2＝1与双曲线C的渐近线方程均为y＝±6x，所以C正确；令y＝0，得x＝±1，所以双曲线的顶点坐标为(±1,0)，所以D错误．11．答案：ABD解析：由x2－4

y2＝1可得x2－y214＝1的渐近线方程为y＝±12x，即x±2y＝0，故选项A正确；由4y2－x2＝1可得y214－x2＝1的渐近线方程为y＝±12x，即x±2y＝0，故选项B正确；x2－y24＝1的

渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，故选项C不正确；x24－y2＝1的渐近线方程为y＝±12x，即x±2y＝0，故选项D正确．12．答案：ACD解析：设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝3t，离心率e＝|F1F2||AF

1|－|AF2|＝3，选项C正确，∴e＝1＋b1＝3，b＝2，选项A正确，|F1F2|＝21＋b＝23，选项B错误，设A为垂线与C的上交点，A(xA，yA)，将xA＝3代入得A(3，2)，△ABF1的面积为S＝12·|F

1F2|·2yA＝43，选项D正确．13．答案：y＝±3x解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝c2a2＝a2＋b2a2＝2，所以b2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±ba

x＝±3x.14．答案：233解析：根据渐近线的倾斜角为π6，可得ba＝tanπ6＝33，所以ca＝1＋ba2＝1＋13＝43＝233.15．答案：y2－x23＝1解析：解方程2x2－5x＋2＝0可得x1＝2，x2＝12，因为双曲线的离心率e>1，故e＝2，由已知可得c＝2，则e＝ca＝

2，∴a＝1，b＝c2－a2＝3，因为双曲线的焦点在y轴上，故双曲线的标准方程为y2－x23＝1.16．答案：y＝±3x12解析：由题意，双曲线C：x2－y23＝1，可得a＝1，b＝3，则c＝a2＋b2＝2

，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，又由过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，令x＝2，代入双曲线的方程，可得y＝±3，即P(2,3)，Q(2，－3)，所以△PF1Q的面积为S＝12|PQ|·|F1F2|＝12×6×4＝1

2.17．解析：(1)显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：y＝k(x＋1)，代入双曲线方程得：14－k2x2－2k2x－k2－1＝0.要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，只需

14－k2≠0Δ＝(－2k2)2－414－k2(－k2－1)>0－k2－114－k2<0，解得：－12<k<12.即斜率k的取值范围为－12，12.(2)双曲线C：x24－y2＝1左、右焦点分别为F1(－5

，0)，F2(5，0)．设P(x，y)，则|x|≥2，所以PF1→·PF2→＝(－5－x,0－y)·(5－x,0－y)＝x2－5＋y2＝x2－5＋x24－1＝5x24－6，因为|x|≥2，所以x2≥4，所以PF1→·PF2→＝5x24－6≥－1，即PF1→·PF2→的最小值为－1.18

．解析：(1)由题意可得：ba＝334a2－13b2＝1解得：a2＝3b2＝1，所以x23－y2＝1，所以双曲线C的标准方程为x23－y2＝1；(2)c2＝a2＋b2＝4，所以F(2,0)，设直线l：x＝my＋

2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋2x2－3y2＝3可得：(m2－3)y2＋4my＋1＝0，所以y1＋y2＝－4mm2－3，y1y2＝1m2－3，kAM＋kBM＝y1x1－32＋y2x2－32＝y1my1＋12＋y2my2＋

12＝y1my2＋12＋y2my1＋12my1＋12my2＋12＝2my1y2＋12(y1＋y2)m2y1y2＋12m(y1＋y2)＋14，所以2my1y2＋12(y1＋y2)＝2m×1m2－3＋12×－4mm2－3＝2m－2mm2

－3＝0，所以kAM＋kBM＝2my1y2＋12(y1＋y2)m2y1y2＋12m(y1＋y2)＋14＝0.考点过关检测37抛物线1．答案：A解析：由题意|AB|＝|AM|，AB⊥l，所以A点轨迹是以M为焦点，直线l为准线的抛物线

，由p2＝2得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.2．答案：A解析：因抛物线y＝mx2上一点(t,2)，所以m>0，因此抛物线的准线方程为：y＝－14m，由抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，故根据抛物线定义得：2＋14m＝3，解得m＝1

4.3．答案：B解析：∵PF的中点到y轴的距离为3，∴xP＋|OF|2＝3，即xP＋22＝3，解得xP＝4，代入抛物线方程可得P(4,42)，因为F点的坐标为(2,0)，所以直线PF的斜率为42－04－2＝22.4．答案：B解析：由

题意知(－8)2＝2p×2，解得p＝16，所以F(8,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由三角形的重心坐标公式得x1＋x2＋23＝8，化简得x1＋x2＝22，根据抛物线的定义，得|AF|＋|

BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝38.5．答案：D解析：由题意，抛物线为x2＝4y，则F(0,1)，即直线l为y＝x＋1，∴将直线方程代入抛物线整理得：x2－4x－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4，故线段AB的中点

的横坐标为x1＋x22＝2代入直线l，得：y＝3.∴线段AB的中点到x轴的距离是3.6．答案：A解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为M，N，设|BF|＝x，|AF|＝y，则|BN||BC|＝|BF||BC|＝|AM||AC|，∴yy＋x＋4x＝14，∴|AF||BF|＝yx＝53，故选A.7

．答案：C解析：由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)焦点在y轴上，准线方程为y＝－p2，设A(xA，yA)，则|AF|＝yA＋p2＝32＋p2，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝33，因为α∈[0，π)，所以α＝π6所以|AF|＝yA－p2sinα＝32－p2sin

α＝3－p2sinα＝3－p2×12＝3－p，所以3－p＝32＋p2，解得p＝1.8．答案：A解析：设T为(x0，y0)，则MT→＝(x0，y0－1)，又由Fp2，0，所以MF→＝(p2，－1)，因为MF

⊥MT，所以MF→·MT→＝0，可得p2x0－y0＋1＝0，由y20＝2px0，联立方程组，消去x0，可得y20－4y0＋4＝0，所以y0＝2，故T2p，2，又由|FT|＝x0＋p2＝52，所以52－p2＝2p，即p2－5p＋4＝

0，解得p＝1或p＝4，所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.9．答案：ACD解析：由题意知，p＝1，故A，D正确，B错误，又y＝12x2＋x，化简得(x＋1)2＝2y＋12，其图象与x2＝2y形状相同，所以C正确．10．答案：BC解析

：由抛物线方程为y2＝6x，∴焦点坐标F32，0，准线方程为x＝－32，A错B对；∵直线AF的斜率为－3，∴直线AF的方程为y＝－3x－32，当x＝－32时，y＝33，∴A－32，33，∵PA⊥l，A为垂足，∴点P的纵坐标为33，可得点P的坐

标为92，33，C对；根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝92－－32＝6，D错．11．答案：CD解析：抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程x＝－1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，由x＝my＋1y2＝4x得：y2－4

my－4＝0，y1，y2是此方程的两根，选项A，直线l⊥x轴，m＝0，y1＝2，y2＝－2，则|AB|＝4，即选项A错误；选项B，y1·y2＝－4，则x1·x2＝y214·y224＝(y1y2)216＝1，即选项B错误；选项

C，y1·y2＝－4，即选项C正确；选项D，如图中，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1A|，∴∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO＝12∠AFO，同理可得，∠BFB1＝∠B1FO＝12∠BFO，∴∠A1FB1＝∠A1FO＋∠B1

FO＝12(∠AFO＋∠BFO)＝π2，即选项D正确．12．答案：ABD解析：由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，即p2＝1，得p＝2，故选项A正确．因为p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)．因为直线l过抛物线的焦

点F(1,0)，所以直线l的方程为y＝k(x－1)．因为MA→·MB→＝0，所以M在以AB为直径的圆上．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y21＝4x1，y22＝4x2，两式相减可得y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝k.

设AB的中点为Q(x0，y0)，则y0＝2k.因为点Q(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2k2＋1，所以点Q2k2＋1，2k是以AB为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q的半径r＝AB2＝x1＋x2＋22＝2x0＋22＝2k2＋2.因

为|QM|2＝2k2＋22＋2k＋12＝r2，所以2k2＋22＋2k＋12＝2k2＋22，解得k＝－2，故选项B正确．因为k＝－2，所以弦长|AB|＝2r＝22k2＋2＝224＋2＝5，故

选项C不正确．因为k＝－2，所以直线l为y＋2(x－1)＝0，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离d＝|－4－1|12＋22＝5，所以S△MAB＝12·d·|AB|＝12×5×5＝552，故选项D正确．13．答案：4解析：依题意可

知点A(2,0)为该抛物线的焦点，则有p2＝2，得p＝4.14．答案：x＝－32解析：不妨设Pp2，p，∴Q6＋p2，0，PQ→＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以p2×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－32.15．答案：8解析：设A(x1

，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)，则|AF|－|BF|＝x1＋p2－x2＋p2＝x1－x2＝4，直线AB的方程为y＝3x－p2，由y＝3x－p2y2＝2px，得3x2－5px＋34p2＝0，所以x1＋x2＝53p，x1x2＝1

4p2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝169p2＝42，因为p>0，所以p＝3，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝83p＝8.16．答案：417解析：由抛物线的定义得4＋p2＝6∴p＝4，易知点P(4

,1)不在抛物线上，设切点A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵抛物线C的方程为：x2＝8y，∴y＝x28，∴y′＝x4，∴抛物线C在A处的切线方程为y－y1＝x14(x－x1)，将P(4,1)代入可得1－y1＝

x14(4－x1)，4－4y1＝4x1－x21，∵x21＝8y1，∴x1－y1－1＝0，同理：抛物线C在B处的切线方程为x2－y2－1＝0，∴直线AB的方程为x－y－1＝0，x－y－1＝0x2＝8y，∴y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，y1·y2＝1，∵|AF|＝y1

＋2，|BF|＝y2＋2，∴|AF|·|BF|＝(y1＋2)(y2＋2)＝y1·y2＋2(y1＋y2)＋4＝1＋2×6＋4＝17.17．解析：(1)由题意知，2＋p2＝52，则p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x.(2)∵点A在第一象限，∴A(2,2)，把点A的坐标代入l得4－2＋

m＝0，∴m＝－2，得l的方程为2x－y－2＝0.设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，直线l与抛物线C联立得2x2－5x＋2＝0，∴x1＋x2＝52，x1x2＝1.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝94，∴|AB|＝(1＋4)×94＝352.∵点F

12，0到直线l的距离为15＝55，∴△ABF的面积为12×352×55＝34.18．解析：(1)由已知，可设抛物线的方程为y2＝2px，又Q到焦点F的距离是1，∴点Q到准线的距离是1，又Q到y轴的距离是38，∴p2＝1－38，解得p＝54，则抛物线方程是y2＝5

2x.(2)假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，与y2＝52x联立可得交点A、B的坐标分别为3，302，3，－302，易得OA→·OB→＝32，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线l的斜率存在．设直线l为y－1＝k(x－3)，整理得y

＝kx－3k＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l与抛物线的方程得y＝kx－3k＋1y2＝52x，消去y，并整理得k2x2－6k2－2k＋52x＋9k2－6k＋1＝0，于是x1·x2＝9k2－6k＋1k2，x1＋x2＝6k2－2k＋52k2，∴y1·y2＝(kx1

－3k＋1)(kx2－3k＋1)＝k2x1x2－k(3k－1)(x1＋x2)＋(3k＋1)2＝－15k＋52k，又OA⊥OB，因此OA→·OB→＝0，即x1·x2＋y1·y2＝0，∴9k2－6k＋1k2＋－1

5k＋52k＝0，解得k＝13或k＝2.当k＝13时，直线l的方程是y＝13x，不满足OA⊥OB，舍去．当k＝2时，直线l的方程是y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，∴直线l的方程是2x－y－5＝0.考点过关检测3

8圆锥曲线的综合应用(1)1．解析：(1)由抛物线的定义知，|PF|＝y0＋p2＝5y04，故y0＝2p.又P(1，y0)在拋物线上，所以y0＝12p，则2p＝12p，解得p＝12，y0＝1.故抛物线C的标准方程为x2＝y.(2)证明：设A

(x1，x21)，B(x2，x22)，直线l的方程为y＝kx＋m，则kPA＝x21－1x1－1＝x1＋1，kPB＝x22－1x2－1＝x2＋1因为PA⊥PB，所以(x1＋1)(x2＋1)＝－1，即x1＋x2＋x1x2＋2＝0，将直线l的方程与抛物线方程联立可得，x2－kx－m＝0，则

x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以k－m＋2＝0，直线l的方程为y＝kx＋k＋2＝k(x＋1)＋2，则直线l过定点(－1,2)．2．解析：(1)因为椭圆的离心率为12，左顶点及右焦点分别为点A、F，且|AF|＝3，所以e

＝ca＝12a＋c＝3a2＝b2＋c2，解得a＝2，c＝1，b＝3，所以椭圆E的方程是x24＋y23＝1；(2)易知过点F的直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－1)，与椭圆方程联立y＝k(x－1)x24＋y23＝1，消去y得：(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－

12＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，因为|MF|·|PN|＝|NF|·|PM|，所以(1－x1)·(x0－x2)＝(x2－1)·(x0－x1)，整理得2x0＝(x

1＋x2)(1＋x0)－2x1·x2，所以2x0＝8k23＋4k2(1＋x0)－2×4k2－123＋4k2，解得x0＝4，所以点P在定直线x＝4上．3．解析：(1)设P(x，y)，依题意可得kPA·kPB＝－34，所以yx＋2·yx－2＝－34(x≠±2)，所以曲线E的方程为x24＋

y23＝1()x≠±2.(2)依题意，可设直线l：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由x＝my＋1x24＋y23＝1(x≠±2)，可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，则y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，因为直线AC的斜率k1

＝y1x1＋2，直线BD的斜率k2＝y2x2－2，因为my1y2＝32(y1＋y2)，所以k1k2＝y1(x2－2)y2(x1＋2)＝y1(my2－1)y2(my1＋3)＝my1y2－y1my1y2＋3y2＝32(y1＋y2)－y132(y1＋y2)＋3y2＝12y1＋32y232y1＋

92y2＝13，所以直线AC和BD的斜率之比为定值13.4．解析：(1)因为||MF1－||MF2＝2<||F1F2＝217，所以，轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为x

2a2－y2b2＝1()a>0，b>0，则2a＝2，可得a＝1，b＝17－a2＝4，所以，轨迹C的方程为x2－y216＝1()x≥1.(2)设点T12，t，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为y－t＝k1

x－12，即y＝k1x＋t－12k1，联立y＝k1x＋t－12k116x2－y2＝16，消去y并整理可得()k21－16x2＋k1()2t－k1x＋t－12k12＋16＝0，设点A()x1，y1，B()x2，y2，则x1>12且x2>12.由韦达定理可得

x1＋x2＝k21－2k1tk21－16，x1x2＝t－12k12＋16k21－16，所以，||TA·||TB＝()1＋k21·x1－12·x2－12＝()1＋k21·x1x2－x1＋x22＋14＝()

t2＋12()1＋k21k21－16，设直线PQ的斜率为k2，同理可得||TP·||TQ＝()t2＋12()1＋k22k22－16，因为||TA·||TB＝||TP·||TQ，即()t2＋12()1＋k21k21－16＝()t2＋12()1＋k22k22－16，整理可得k21

＝k22，即()k1－k2()k1＋k2＝0，显然k1－k2≠0，故k1＋k2＝0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.考点过关检测39圆锥曲线的综合应用(2)1．解析：(1)设直线AB的方程为x＝my＋1，

代入y2＝2x得y2－2my－2＝0，则yA·yB＝－2.(2)由(1)同理得yM·yN＝－2，设直线AN的方程为x＝ny＋2，代入y2＝2x得y2－2ny－4＝0，则yA·yN＝－4，又k1＝yN－yAxN－

xA＝yN－yAy2N2－y2A2＝2yN＋yA，同理k2＝2yM＋yB，则λ＝k2k1＝yA＋yNyB＋yM＝yA＋yN－2yA＋－2yN＝yAyN－2＝2，∴存在实数λ＝2，使得k2＝2k1成立．2．解析：(1)由题意得a＝2ca＝32，解得a＝2，c＝3

，∴b＝1所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由y＝x＋mx24＋y2＝1得，5x2＋8mx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8m5，x1x2＝4m2－45，∴|AB|＝1＋12·|x1－x2|＝2·(x1＋

x2)2－4x1x2＝2－8m52－4×4m2－45＝410－2m25，又点O(0,0)到直线y＝x＋m的距离为d＝|m|1＋12＝|m|2.所以△OAB的面积为S＝12·|AB|·d＝12×410－2m25×|m|2＝2(5－m2)m25≤5－m

2＋m25＝1，当且仅当5－m2＝m2即m＝±102时，△OAB的面积有最大值为1，此时直线l的方程为y＝x±102.3．解析：(1)由已知可得e＝ca＝2，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2＝4，解得：b2＝3a2①，又点P(2,3)在E上，∴4a2－9b2＝1②，由①②可得：a2＝1，b2

＝3，∴双曲线E的方程为x2－y23＝1；(2)当l的斜率为0时，此时A，B中有一点与Q重合，不符合题意．当l斜率不为0时，设l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x＝ty＋23x2－y2＝3得：(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，则

Δ＝36t2＋36>03t2－1≠0，解得：t2≠13.∴y1＋y2＝－12t3t2－1，y1y2＝93t2－1，∴QA→·QB→＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1

y2＋3t(y1＋y2)＋9＝9(t2＋1)3t2－1＋3t(－12t)3t2－1＋9＝0，∴QA⊥QB，则△QAB是直角三角形，AB是斜边，∵点M是斜边AB的中点，∴|MQ|＝12|AB|，即|AB|＝2|MQ|.4．解析：(1)由抛物线

定义，得|PF|＝2＋p2＝3，得p＝2，∴抛物线C的标准方程为x2＝4y；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋4，∴联立y＝kx＋4x2＝4y，消掉x，得x2－4kx－16＝0

，Δ>0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，设A，B处的切线斜率分别为k1，k2，则k1＝x12，k2＝x22，∴在点A的切线方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214①，同理，在点B的切线方程为y＝x2x2

－x224②，由①②得：xQ＝x1＋x22＝2k，代入①或②中可得：yQ＝kx1－x214＝y1－4－y1＝－4，∴Q(2k，－4)，即Q在定直线y＝－4上，设点G关于直线y＝－4的对称点为G′，则G′(0，－12)，由(1)知P(22，2)，∵|PQ|＋|GQ|＝

|PQ|＋|G′Q|≥|G′P|＝251，即P，Q，G′三点共线时等号成立，∴三角形PQG周长最小值为|GP|＋|G′P|＝251＋23.单元过关检测八平面解析几何1．答案：B解析：由已知条件可得1×2

－2m＝0，解得m＝1.2．答案：D解析：双曲线E：x23－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±33x，可得：b＝1，所以c＝a2＋b2＝3＋1＝2，所以焦距为2c＝4.3．答案：B解析：抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝

p2－0＋11＋1＝2，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.4．答案：A解析：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，且AB的中点在这条直线x＋2y＋c＝0上；由AB与直线x＋2y＋

c＝0垂直，可得3－(－1)1－t＝2，可解得t＝－1，则B(－1，－1)，故AB中点为(0,1)，且其在直线x＋2y＋c＝0上，代入直线方程可得，0＋2×1＋c＝0，可得c＝－2；故t＋c＝(－1)＋(－2)＝－3.5．答案：D解析：圆x2＋(y－2)2＝9与y轴的交点

为A(0，－1)、B(0,5)，抛物线x2＝2py(p≠0)的准线方程为y＝－p2，由题意可得－p2＝－1或－p2＝5，解得p＝2或－10.6．答案：A解析：F1的坐标为(－c,0)，设P点坐标为(－c，

y0)，易得(－c)2a2－y20b2＝1，解得y0＝b2a，因为直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，所以可得b2a＝a，则a2＝b2，即a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2，离心率为e＝2.7．答案：B解析：方法一：设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋

c2＝0的交点为A，则x＋2y＋1＝03x－4y＋c2＝0，解得x＝－c2＋25y＝c2－310，故A－c2＋25，c2－310，同理设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为B，则B－c1＋25，c1－310

，设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为C，则C－c1＋65，c1－910，设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为D，则D－c2＋65，c2－9

10，由菱形的性质可知BD⊥AC，且BD，AC的斜率均存在，所以kBD·kAC＝－1，则c2－310－c1－910－c2＋25＋c1＋65·c1－310－c2－910－c1＋25＋c2＋65＝－1，即36－(c2－c1)2

4[16－(c2－c1)2]＝－1，解得|c1－c2|＝25.方法二：由菱形两组对边间的距离相等，得|1－3|12＋22＝|c1－c2|32＋42，解得|c1－c2|＝25.8．答案：C解析：如图所示设椭圆的左焦点为

F′，则F(3,0)，F′(－3,0)|MF|＝32＋42＝5＝|MF′|，则|AF|＋|AF′|＝8，∵|AM|－|AF′|≤|MF′|，∴△APF的周长＝|AF|＋|AM|＋|MF|＝|AM|＋|MF|＋8－|AF′|≤5＋8＋5

＝18，当且仅当三点M，F′，A共线时取等号．∴△APF的周长最大值等于18.9．答案：ABD解析：双曲线标准方程为x216－y29＝1，a＝4，b＝3，|PF1|＝6<2a＝8，P在左支上，|PF2|＝6＋8＝14，△PF1

F2的周长为30，A正确；渐近线方程为x4±y3＝0，即3x±4y＝0，B正确；离心率为e＝ca＝54，C错；|PF1|＋|PF2|＝20，因此P在椭圆x2100＋y275＝1(此椭圆是以F1，F2为

焦点，长轴长为20的椭圆)上，D正确．10．答案：BC解析：对于A：若m＝－1，则n＝1，原方程为x2－1－y21＝1，此时曲线C不存在，故A不正确；对于B：由已知得x2m＋y2－n＝1，又m>0，n<0，且m＋n≠0，所以x2m＋y2－n＝1表示椭圆，故B

正确；对于C：若mn>0，则C是双曲线，但渐近线方程为y＝±nmx，故C正确；对于D：由已知得x2m＋y2－n＝1，又0<m<1，n<－1，所以－n>1，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以a2＝－n，b2＝m，c2＝a2－b2＝－n－m，其离心率为e＝－n－m－n＝1＋mn，故

D不正确．11．答案：ABD解析：圆心C()0，0到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A()a，b在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝||r，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A()a，b在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2

>||r，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A()a，b在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<||r，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A()a，b在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝||r，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.1

2．答案：BCD解析：因为焦点F到准线的距离为p＝2，所以抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，则选项A错误；当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1,2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，则选项B正确

；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，联立x＝my＋1，y2＝2px，消去y可得x2－(4m2＋2)x＋1＝0，消去x可得y2－4my－4＝0，所以x1＋x2＝4m2＋2，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，S

△OPQ＝12|OF||y1－y2|＝12×1×(y1＋y2)2－4y1y2＝12×16m2＋16≥2，当m＝0时成立，则选项C正确；又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝－3，则选项D正确．13．答

案：8解析：根据抛物线的定义知p4＋p2＝6，所以p＝8.14．答案：－15解析：易知圆C的圆心为C(－3,1)，半径r＝10－n，直线(2＋m)x＋(2m－1)y－5m＝0恒过点M(1,2)．又|MC|＝(－3－1)2＋(1－2)2＝17，当MC⊥

l时，所得弦最短，此时弦长为2r2－|MC|2＝2r2－17＝42，解得r＝5，所以10－n＝5，解得n＝－15.15．答案：x24－y2＝1解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，所以2c＝25，得c＝5，因为双曲线的一条渐近线与直

线2x＋y＝0垂直，所以ba·(－2)＝－1，即a＝2b，因为c2＝a2＋b2，所以5b2＝5，所以b＝1，a＝2，所以双曲线方程为x24－y2＝1.16．答案：53－2解析：∵P为AF2的中点，O为F1F2的

中点，∴|OP|＝12|AF1|＝b，且OP⊥AF2，∴|AF1|＝2b，|AF2|＝2|PF2|＝2c2－b2，由椭圆的定义知2b＋2c2－b2＝2a，化简得ba＝23，∴e＝ca＝1－b2a2＝53，tan∠OF2P＝OPPF2＝

bc2－b2＝2，∴直线l的斜率为－2.17．解析：(1)由题意Bp2，4，代入y2＝2px，得p2＝16，p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)当直线m的斜率不存在时，k1＋k2＝0与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y＝k(

x－1)代入到y2＝8x中，k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋8k2x1x2＝k2k2＝1，k1＋k2＝y1x1＋2＋y2x2＋2＝k(x1－1)

x1＋2＋k(x2－1)x2＋2＝k[2x1x2＋(x1＋x2)－4](x1＋2)(x2＋2)＝8k9k2＋16＝13∴k＝43，所以直线m的方程为4x－3y－4＝0.18．解析：(1)椭圆过点3，12，即3a2＋

14b2＝1，又2c＝23，得a2＝b2＋3，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为x24＋y2＝1；(2)由x24＋y2＝1y＝kx＋m，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km1＋4k

2，设AB的中点M为(x0，y0)，得x0＝－4km1＋4k2＝12，即1＋4k2＝－8km，所以y0＝kx0＋m＝12k－1＋4k28k＝－18k.所以AB的中垂线方程为y＋18k＝－1kx－12，即y＝－1kx－38，故AB的中垂线恒过点N38，0.19．解析

：(1)设M(x，y)，由题意可得，kAM·kBM＝yx＋2·yx－2＝y2x2－4＝－14(x≠±2)，化简可得x24＋y2＝1(x≠±2)，故曲线C的方程为x24＋y2＝1(x≠±2)；(2)设P(x，y

)(x>0，y>0)，且x24＋y2＝1(x≠±2)，①tan∠PBA＝y2－x，tan∠PAB＝yx＋2，因为∠PBA＝2∠PAB，所以tan∠PBA＝tan2∠PAB，即y2－x＝2·yx＋21－yx＋22，化简可得3x2＋4x－y2－4＝0，②由①②

可得，13x2＋16x－20＝0，解得x＝1013或x＝－2(舍)，此时y＝1213，所以第一象限内曲线C上存在点P1013，1213使得∠PBA＝2∠PAB.20．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意可得

2c＝2，3a2＋34b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)因为P(1，t)在椭圆C上，所以14＋t23＝1，解得|t|＝32.①当直线l的斜率为0时，|AB|＝2a＝4，则△PAB的面积为12|AB||t|＝12×4×32＝3

.因为△PAB的面积是927，所以直线l的斜率为0不符合题意．②当直线l的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立x＝my＋1，x24＋y23＝1，整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.则y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2

＝－93m2＋4.故|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝m2＋1·－6m3m2＋42－4×－93m2＋4＝12(m2＋1)3m2＋4.因为点P到直线l的距离d＝32|m|m2＋1＝3|m|2m2＋1

，所以12|AB|d＝12×12(m2＋1)3m2＋4×3|m|2m2＋1＝9|m|m2＋13m2＋4.因为△PAB的面积是927，所以9|m|m2＋13m2＋4＝927，整理得31m4＋m2－32＝0，解得m2＝1，即m＝±1.故直线l的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.21．解析：

(1)由点M到点F的距离比到y轴的距离大p，得点M到点F的距离与到直线x＝－p的距离相等．由抛物线的定义，可知点M在抛物线C上，所以4＝4p，解得p＝1所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)存在．由y2＝4x，

x－m(y＋2)－5＝0，得y2－4my－8m－20＝0.因为Δ＝16m2＋4(8m＋20)>0恒成立，所以直线l与抛物线C恒有两个交点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4(2m＋5)．因为MA→·MB

→＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝y214－1y224－1＋(y1－2)(y2－2)＝y21y2216－(y1＋y2)2－2y1y24＋y1y2－2(y1＋y2)＋5＝1

6(2m＋5)216－(4m)2＋8(2m＋5)4－4(2m＋5)－8m＋5＝0所以MA⊥MB，即△MAB为直角三角形．设d为点M到直线l的距离，所以|MA|·|MB|＝|AB|·d＝1＋m2·(y1＋y2)2－4y1y2·4|1＋m|1＋m2＝4|1＋m|16m2＋1

6(2m＋5)＝16|1＋m|(m＋1)2＋4＝642，所以(m＋1)4＋4(m＋1)2－32＝0，解得(m＋1)2＝4或(m＋1)2＝－8(舍)．所以m＝1或m＝－3.所以当实数m＝1或m＝－3时，|MA|·|MB|＝642.22．解析：(1)由椭圆C1：x23＋

y2＝1得到：a＝3，双曲线的渐近线方程为y＝33x，得到：ba＝33，解得：b＝1.则双曲线C2的方程x23－y2＝1.(2)若存在定值λ，使得||MN→·MN→＝λPQ→，∵MN→与PQ→同向，∴λ＝|MN→|2|PQ→|，∵F(2,

0)，设l1：x＝ty＋2，由x＝ty＋2x2－3y2＝3消去x整理得：(t2－3)y2＋4ty＋1＝0，∴y1＋y2＝－4tt2－3y1y2＝1t2－3，由l1交C2左右两支于P、Q两点，有t2－3≠0

16t2－4(t2－3)>0x1x2<0，即t2－3≠0(ty1＋2)(ty2＋2)<0，则t2－3>0，|PQ→|＝1＋t2|y1－y2|＝1＋t2(y1＋y2)2－4y1y2＝1＋t2－4tt2－32－4t2－3＝23(t2＋1)t2－3，由于

l2∥l1，可设l2：x＝ty，由x＝tyx2－3y2＝3消去x整理得：(t2－3)y2＝3，∴y2＝3t2－3，由此|MN→|2＝(1＋t2|y－(－y)|)2＝(1＋t2)·4y2＝12(1＋

t2)t2－3，∴λ＝|MN→|2|PQ→|＝23，故存在定值λ＝23，使得|MN→|·MN→＝λPQ→.滚动过关检测七集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、

立体几何、平面解析几何1.答案：B解析：∵A＝{}x|x2－6x＋5≤0＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}，∵U＝R，∴∁RB＝{x|x≥3}，∴()∁RB∩A＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤5}＝[3,5]．2．答案：B解析：(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z

＝3＋2i－2i＝(3＋2i)·i－2i·i＝－2＋3i2＝－1＋32i.3．答案：B解析：设等比数列的公比为q，则a1＋a2＝2a1q＋a2q＝4，解得q＝2，所以a9＋a10＝(a1＋a2)q8＝2×28＝29.4．

答案：A解析：因为BC→＝2CD→，E为BC的中点，所以AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋13BD→＝AB→＋13()AD→－AB→＝23AB→＋13AD→.5．答案：A解析：由题意可知，函数f(x)是

定义域为R的奇函数，所以flg15＝f(－lg5)＝－f(lg5)＝－25，所以f(lg5)＝25又当x>0时，f(x)＝10ax，所以f(lg5)＝10alg5＝10lg5a＝5a＝25，所以a＝2.6．答案：C解析：设F1(－c,0)、F2(c,0)，由已知可

得a21－1＝c2＝a22＋1，所以，a21＋a22＝2c2，则a21c2＋a22c2＝2，即1e21＋1e22＝2，变形可得e21＋e22＝2e21e22.7．答案：D解析：由题意得F(1,0)．又因为k＝tan30°＝33，故直线AB的方程为x＝3

y＋1，与抛物线方程y2＝4x联立，消x，得y2－43y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝43，所以x1＋x2＝3(y1＋y2)＋2＝14，所以Q(7,23)．过P作PH垂直于准线于点H，根据抛物线的定义，得|PF|＋|PQ|

＝|PH|＋|PQ|.当Q、P、H共线时，|QH|最小等于7＋1＝8，所以|PF|＋|PQ|的最小值为8.8．答案：A解析：如图，取CD的中点为E，则有OE⊥CD，PE⊥CD，PA＝AB＝2，可得OE＝1，PE＝3，故OP＝2，△PCD为正三角形，球心O在平面PCD上的投影M

即为△PCD的中心，OM＝OP·OEPE＝63，球的半径OF＝233，在Rt△OMF中，则截面圆半径MF＝OF2－OM2＝63，在正三角形PCD中，以点M为圆心，作半径为63的圆，圆与三角形截得的三部分，圆心角都为90°，故该球的球面与侧面PCD的交线长度为截面圆周长的14，即为14×2π×MF＝

66π.9．答案：BC解析：对于A，因为a<b<0，c>0，则1ac－1bc＝b－aabc>0，即1ac>1bc，故A错误；对于B，因为a>0，b>0，则a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b＝2aba＋b，当且仅当a＝b

时等号成立，故B正确；对于C，因为a＋b＝1，则a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a－122＋12≥12，当a＝b＝12时等号成立，故C正确；对于D，当a＝b＝1时，满足a>0，b>0，且ab＝1，但1a＋1b＋2a＋b＝3<4，故D错误．10．答案：BCD解析：当方

程x216＋k－y29－k＝1可表示圆时，16＋k＝k－9>0，无解，故A错误．当k>9时，x216＋k－y29－k＝x216＋k＋y2k－9＝1,16＋k>k－9，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确．当－16<k<9时，x216＋k－

y29－k＝1,16＋k>0,9－k>0，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确．当方程x216＋k－y29－k＝1表示双曲线时，c2＝16＋k＋9－k＝25；当方程x216＋k－y29－k＝1表示椭圆时，c2＝16＋k－(k－9)＝25，所以焦距均为10，故D正确．11．答案：ACD解析：因为

f(π2＋x)＝sinπ2＋x＋cosπ2＋x＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以π2是f(x)的一个周期，故B错误；当x∈0，π2时，f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以当x＝π4时，f(x)max＝2

，故A正确；因为f(π2－x)＝sinπ2－x＋cosπ2－x＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝π4对称，故C正确；当x∈π2，2π3时，f(x)＝sinx－cosx＝2s

inx－π4，因为x－π4∈π4，5π12，所以f(x)在π2，2π3上单调递增，故D正确．12．答案：CD解析：f(x)＝ex在[1，3]单调递增，设g(x)＝f(x)x＝exx，g′(x)＝ex(x－1)x2，x∈[1，3]，g′(x)＝ex(

x－1)x2>0，g(x)为增函数，故A错误；f(x)＝lnx在[1，3]单调递增，设h(x)＝f(x)x＝lnxx，h′(x)＝1－lnxx2，x∈[1，3]，h′(x)>0，h(x)为增函数，故B错误；f(x)＝x2－2x＋3在[1，3]单调递增，设k(x)＝f(x)x＝x－

2＋3x，k′(x)＝x2－3x2，x∈[1，3]，k′(x)<0，k(x)为减函数，故C正确；f(x)＝－x2＋23x＋3在[1，3]单调递增，设q(x)＝f(x)x＝－x＋23＋3x，q′(x)＝－1－

3x2，x∈[1，3]，q′(x)<0，q(x)为减函数，故D正确．13．答案：7解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝2，S7＝35，∴7a1＋21d＝35，∴d＝1，∴a6＝a1＋5d＝7.14．答案：255解析：根据题意，向量a＝(1，k)，

b＝(2－k,3)，则2a－b＝(k,2k－3)，若a⊥(2a－b)，则a·(2a－b)＝k＋k(2k－3)＝0，解可得：k＝0或k＝1，又由k≠0，则k＝1，所以a＝(1,1)，b＝(1,3)，则有|a|＝2，|b|＝10，a·b＝1＋

3＝4，故cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝42×10＝255.15．答案：(－∞，e)解析：由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a，f″(x)＝ex>0故f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝1－a，

当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝1>0，函数无零点成立，当a>1时，f′(0)＝1－a<0，所以令f′(x)＝0，x＝lna，故函数f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1>0且函数在(0，＋∞)无零点

，故f(lna)＝a－alna>0，解得a<e，即1<a<e，综上所述，a∈(－∞，e)．16．答案：(1,0)5－12解析：由抛物线的方程得，其焦点坐标为(1,0)，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点F(1,0)．且抛物线准线

方程为x＝－1，椭圆左焦点为(－1,0)，联立x＝－c与椭圆x2a2＋y2b2＝1，可得|yA|＝|yB|＝b2a，因为△AOB是直角三角形，所以b2a＝c，即b2＝ac，又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，左右同除a2可得e2＋e－1＝0，解得e＝

－1±52，又e∈(0,1)，所以椭圆D的离心率e＝5－12.17．解析：(1)∵2cos2A＋4cos(B＋C)＋3＝0，由二倍角公式得到2(2cos2A－1)－4cosA＋3＝0，化简得到4cos2A－4cosA

＋1＝0⇒cosA＝12，∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)根据余弦定理得到cosA＝12＝b2＋c2－a22bc⇒b2＋c2－3＝bc，配方得到：(b＋c)2－3＝3bc⇒bc＝2，b＋c＝3，解得：b＝2，c＝1或b＝1，c＝2.18．解

析：(1)根据题意，2(a3＋2)＝a2＋a4⇒2(2q2＋2)＝2q＋2q3，则(q－2)(q2＋1)＝0⇒q＝2，所以an＝2n，bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)由(1)，bnan＝2n－12n＝(2

n－1)12n，所以Tn＝1×121＋3×122＋5×123＋…＋(2n－1)12n……①则12Tn＝1×122＋3×123＋5×124＋

…＋(2n－1)12n＋1……②，①－②得，12Tn＝12＋2122＋123＋…＋12n－(2n－1)12n＋1＝32－(2n＋3)12n＋1，所以Tn＝3－(2n＋3)12n<

3.19．解析：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为p2，0，准线方程为x＝－p2，由抛物线定义得：5＝4＋p2，所以p＝2.(2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x，设直线AB：x＝my＋1，与y2＝4x联立，消去x，整理得：y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x

2，y2)，有y1＋y2＝4my1y2＝－4，则弦长|AB|＝x1＋x2＋2＝my1＋my2＋4＝4m2＋4，弦AB中点(2m2＋1,2m)故弦AB的垂直平分线方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)令x＝－1得y＝

2m3＋4m，即P(－1,2m3＋4m)故点P到直线AB的距离d＝|－1－m(2m3＋4m)－1|1＋m2＝2m4＋4m2＋21＋m2.所以2m4＋4m2＋21＋m2＝4m2＋4，所以m＝±3，直线方程为x＝±3y＋1，即x±3y－1＝0.20．解析：(1)证明：由AB＝AC，则有A1B

1＝A1C1.∵D为B1C1的中点，∴A1D⊥B1C1.由BC＝2，则有B1D＝1，BB1＝2，∵∠C1B1B＝∠BCC1＝π3，∴BD＝B1B2＋B1D2－2B1B·B1Dcosπ3＝22＋12－2×2×1×

12＝3，∴BD2＋B1D2＝BB21，∴BD⊥B1C1，∵A1D∩BD＝D，∴B1C1⊥平面A1DB.(2)取BC中点为E，连接AE，C1E，由AB⊥AC，得AE＝12BC＝1，由题意得C1E＝BD＝3，∴AE2＋C1E2＝4＝

AC21，∴AE⊥C1E，又可知AE⊥BC，AE∩C1E＝E，则AE⊥平面BB1C1C，如图，以E为坐标原点，EC1→，EB→，EA→分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，－1,0)，B1(3，2,0)，A1

(3，1,1)，B(0,1,0)，D(3，1,0)，由A1D∥AE，得A1D⊥平面BB1C1C，∴BD⊥B1C1，∵BD⊥B1C1，A1D∩B1C1＝D，∴BD⊥平面A1B1C1，∴平面A1B1C1的法向量BD→＝(3，0,0)，设平面A1B1C的法向量n＝(x，y，z)，

则n·CB1→＝3x＋3y＝0n·CA1→＝3x＋2y＋z＝0，不妨取x＝－3，得n＝(－3，3，3)，设二面角C1­A1B1­C的平面角为θ，由图示θ为锐角．则cosθ＝|n·BD→||n|×|BD→|＝|－33＋0＋0||3|×|9＋3＋3|＝155，∴

二面角C1­A1B1­C的余弦值为155.21．解析：(1)因为f(x)＝xsinx，所以f′(x)＝sinx＋x·cosx，因为0<x<π2，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在区间0，π2上为增函数．(2)设h(x)＝f

′(x)，则h′(x)＝cosx＋cosx－x·sinx＝2cosx－x·sinx，当π2<x<π时，h′(x)<0，所以h(x)在π2，π上为减函数，又h(π2)＝1>0，h(π)＝－π<0，所以存在唯一x0∈π2，π，使得h(x0)＝0，即存在唯一x0∈π2，π

，使得f′(x0)＝0，f(x)与f′(x)在区间π2，π内的变化情况如下：xπ2，x0x0(x0，π)f′(x)＋0－f(x)增函数极大值减函数所以函数f(x)在π2，π内有且只有一个极值点．(

3)由(1)(2)知，f(x)在(1，x0)内单调递增，在(x0，π)内单调递减，又因为f(1)＝sin1>0，f(π)＝0，所以当x∈(1，π]时，f(x)＋1≥1，又因为当x∈(1，π]时，0<lnx≤lnπ，所以g(x)＝f(x)＋1lnx≥1lnπ，当且仅当x＝π时等号成

立，所以g(x)在(1，π]上的最小值为1lnπ.22．解析：(1)由题意，椭圆半焦距c＝2且e＝ca＝63，所以a＝3，又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为x23＋y2＝1；(2)由(1)得，曲线为x2＋y2＝

1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－2)即kx－y－

2k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得|2k|k2＋1＝1，解得k＝±1，联立y＝±(x－2)x23＋y2＝1可得4x2－62x＋3＝0，所以x1＋x2＝322，x1·x2＝34，所以|MN|＝1＋1·(x1＋x

2)2－4x1x2＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋b，(kb<0)即kx－y＋b＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得|b|k2＋1＝1，所以b2＝k2＋1，联立y＝kx＋bx2

3＋y2＝1可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，所以x1＋x2＝－6kb1＋3k2，x1·x2＝3b2－31＋3k2，所以|MN|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1·x2＝1＋k2·－6kb1＋3k22－4·3b2－31＋3k2＝1＋k2·24k21＋3k

2＝3，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，所以k＝1b＝－2或k＝－1b＝2，所以直线MN：y＝x－2或y＝－x＋2，所以直线MN过点F(2，0)，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，

N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.考点过关检测40排列组合与二项式定理1．答案：C解析：根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有A66×2＝1440种，而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有A55×2×2＝480种，

故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440－480＝960种．2．答案：C解析：由题意可得C23·C23·A22＝3×3×2＝18.3．答案：B解析：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C13C34

＝12种分工方法；若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C23种分工方法；综上，共有12＋3＝15种分工方法．4．答案：C解析：由题意得：甲、乙都

不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3×3×A33＝3×3×3×2×1＝54种不同的情况．5．答案：C解析：x3－2x7展

开式中，通项Tk＋1＝Ck7()x37－k－2xk＝()－2kCk7x21－4k.令21－4k＝5，得k＝4，故展开式中x5项的系数为()－24C47＝16×35＝560.6．答案：B解析：在2x＋13xn的二项展开式中，令x＝1得所有项

的系数和为3n＝81，解得n＝4，于是得2x＋13x4展开式的通项为Tk＋1＝Ck4()2x4－k·13xk＝24－k·Ck4x4－43k，k∈N，k≤4，令4－43k＝0，得k＝3，常数项为2C34＝8.7．答案：B解析：

将x＋1x2看成一个整体，展开得到：Tk＋1＝Ck4x＋1x24－k(－1)k.x＋1x24－k的展开式为：Tm＋1＝Cm4－kx4－k－m·x－2m＝Cm4－kx4－k－3m.取4－k－3m＝0，当m＝0时，k＝4系数为：C4

4×C00×(－1)4＝1，当m＝1时，k＝1系数为：C14×C13×(－1)1＝－12，常数项为1－12＝－11.8．答案：B解析：(x－a)(1＋2x)5＝x(1＋2x)5－a(1＋2x)5，x(1＋2x)5的展开式通项为Ar＋1＝xCr5·(2x)r＝C

r5·2r·xr＋1，a(1＋2x)5的展开式通项为Bk＋1＝aCk5·(2x)k＝a·2kCk5·xk，所以，(x－a)(1＋2x)5的展开式通项为Tr＋1，k＋1＝Cr5·2r·xr＋1－a·2kCk5·xk，由r＋1＝3k＝3可得r＝2k

＝3，由题意可得C25·22－a·23·C35＝40－80a＝20，解得a＝14.9．答案：BCD解析：对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有A22A44＝48种，所

以A不正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有A33A24＝72种，所以B正确；对于C,5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有12A55＝60种，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，

则剩下的4人全排列有A44＝24种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即A13A13A33＝54，由分类加法原理可知共有24＋54＝7

8种，所以D正确．10．答案：BD解析：对于A,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，共有C26C24＝15×6＝90种分法，A错误；对于B,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，共有C16C15A22·A33＝15×6＝90种分法，B正确；对于C,6本

不同的书分给甲、乙每人各2本，丙、丁每人各1本，共有C26C24C12＝180种分法，C错误；对于D,6本不同的书，分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，共有C26C24C12A22A22·A44

＝45×24＝1080种分法，D正确．11．答案：AD解析：A选项：当a＝2时，Tk＋1＝Ck6(2x)6－k－x－12k＝(－1)kCk626－kx6－32k，其中k为整数，且0≤k≤6，令6－32k＝0，

解得：k＝4，此时(－1)kCk626－k＝15×4＝60，故常数项为60，A正确；B选项：Tk＋1＝Ck6(ax)6－k－x－12k＝(－1)kCk6a6－kx6－32k，其中k为整数，且0≤k≤6，当k＝0时，6－32k＝6，当k＝2时，6－32k＝3，当k＝4时，6－32k＝

0，当k＝6时，6－32r＝－3，满足有理项要求，故有4项，故B错误；C选项：令ax－1x6中的x＝1得：(a－1)6＝64，所以a＝3或a＝－1，故C错误；D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确．1

2．答案：ABC解析：对于A，令x＝0，可得a0＝－1，故A正确；对于B，左右两边分别求导得：5×(2x－1)4×2＝5a5x4＋4a4x3＋3a3x2＋2a2x1＋a1，令x＝1，得5a5＋4a4＋3a3＋2a

2＋a1＝10，故B正确；对于C，a3＝C25×23×(－1)2＝80，故C正确；对于D，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，而a0＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2，故D错误．13．

答案：14解析：当个位是0时，共有A33＝6种结果，当个位不是0时，共有C12C12A22＝8种结果，所以共有6＋8＝14种结果．14．答案：36解析：由题意可得：5名志愿者分三组：第一种情况：甲乙一组、从余下的3人中选2人一组、余下的1人一组，此时共有C23C11×A33＝3×3×2＝1

8种，第二种情况：从3人中选1人和甲乙一组，余下的每组1人，此时共有C13C12C11A22×A33＝18种，所以共有18＋18＝36种不同的参加方法．15．答案：90解析：在x＋3xn的展开式中，令x＝1得展开式各项系数和为4n

，又二项式系数和为2n，各项系数和与二项式系数之比为32，即4n2n＝2n＝32，∴n＝5，在x＋3x5的展开式中，通项公式为Tk＋1＝Ck5x5－k3xk＝Ck5x5－32k3k.令5－3k2＝2，求得k＝2，∴x2的系数为C25·32＝90.16

．答案：32－210解析：由题意可知a5为展开式x5的系数，由二项式定理可得：(2x－1)5的通项公式为Tk＋1＝Ck525－k(－1)kx5－k，所以令k＝0，得a5＝C0525(－1)0＝32，所以a5＝32.因为(2x－1

)5＋(x＋2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－2－1)5＋(－1＋2)3＝－242，所以a0－a1＋a2－a3＋a4＝－24

2＋a5＝－242＋32＝－210.考点过关检测41概率1．答案：B解析：在0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，基本事件总数n＝5×5＝25，取到的整数十位上数字比个位上数字大包含的基本事件有：m＝5＋4＋3＋2＋1＝15，则取到的整

数十位上数字比个位上数字大的概率是P＝mn＝1525＝35.2．答案：B解析：在排列2,4,3,1,5中任取两数，构成排列的基本事件有：(2,4)，(2,3)，(2,1)，(2,5)，(4,3)，(4,1)，(4,5)，(3,2)，(3,5)，(1,5)，共

10个，这组数是逆序包含的基本事件有：(2,1)，(4,3)，(4,1)，(3,2)，共4个，则这组数是逆序的概率是P＝410＝25.3．答案：C解析：三双不同的鞋子共有6只，共有C36＝20种，三只鞋子中有两只可以是一双，则可以是三双中的一双，其余一只为剩余4只中任意一只，共有C1

3C14＝12种，则概率为P＝1220＝35.4．答案：A解析：p＝420×0.9＋820×0.7＋720×0.5＋120×0.2＝0.645.5．答案：D解析：记事件A：电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件B：电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，则P(AB)＝0.

6，P(A)＝0.8，所以，已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.60.8＝0.75.6．答案：B解析：该选手闯过第一关的概率为P1＝23＋13×23＝89，闯过第二关

的概率为P2＝34＋14×34＝1516，所以该选手能进入第三关的概率为P＝89×1516＝56.7．答案：B解析：将A，B，C分别记为第1，第2，第3个品牌，设事件Mi表示“取到的球是第i个品牌(i＝1

,2,3)，事件N表示“取到的是一个合格品”，其中M1，M2，M3两两互斥，所以P(N)＝P(M1N)＋P(M2N)＋P(M3N)＝P(M1)P(N|M1)＋P(M2)P(N|M2)＋P(M3)P(N|M3)＝0.9

8×0.2＋0.99×0.6＋0.97×0.2＝0.984，所以它是合格品的概率为0.984.8．答案：D解析：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，则ab·1－12＋12a(1－b)＋12b(1－a)＝15，所以12(a＋b)

－12ab＝15，所以a＋b－ab＝25，所以该同学一个社团都不进入的概率P＝(1－a)(1－b)·1－12＝12[1－(a＋b)＋ab]＝12{1－[(a＋b)－ab]}＝12×1－25＝310.9．答案：CD解析：P(MN)≠0，故事件M与事件

N不互斥，A错误；P(MN)≠0，故事件M与事件N不对立，B错误；P(MN)表示事件M与事件N同时发生的概率，此时向上的点数为1，此时P(MN)＝16，C正确；P(M＋N)表示事件向上的点数为1,3,4,5的概率，P(M＋N)＝23，故

D正确．10．答案：ACD解析：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12，2个球都是红球的概率为13×12＝1

6，A选项正确；2个球不都是红球的概率为1－13×12＝56，B选项错误；至少有1个红球的概率为1－23×12＝23，C选项正确；2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D选项正确．11．答案：AB解析：8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为C48

·C44＝70，A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为270＝135，对，B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为C26·C44＝15，其概率为1570＝314，对，C选项，有且只有3位女同学分到同一组C34·C14·2＝32种，则有且只有3位女同学分到同一组的概率为

3270＝1635，错，D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为170，则4位男同学不同时分到甲组的概率为1－170＝6970，错．12．答案：ABC解析：P(A)＝C13C15＝35，故A正确；P(AB)＝C13C12C15C14＝310，故B正确

；P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12，故C正确；P(A－)＝C12C15＝25，P(A－B)＝C12C13C15C14＝310，P(B|A－)＝P(A－B)P(A－)＝31025＝34，故D错误．13．答案：15解析：小明随机地

填涂了至少一个选项，共有C14＋C24＋C34＋C44＝15种填涂法，得分的填涂法由3种，所以他能得分的概率为P＝315＝15.14．答案：0.034解析：不合格品可能来自四条生产线的任一条，因此所求概率为：P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.9

6)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.15．答案：34解析：前3局中，因第1局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，是乙第二局当裁判的事件A1与乙第三局当裁判的事件A2的和，它们互斥，乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，则P

(A1)＝12；乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则P(A2)＝12·12＝14，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝12＋14＝34.16．答案：516解析：由题知前两小孩为一男一女，记Ai为乙的第i个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼

的性别情况有(A－1，A2，A3，A4)，(A－1，A2，A3，A－4)，(A－1，A2，A－3，A4)，(A1，A－2，A－3，A4)，(A1，A－2，A3，A－4)，(A1，A－2，A3，A4)，共6种

，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为56×45×14＝16.17．解析：设事件Ai为“甲是A组的第i株植物”，事件Bi为“乙是B组的第i株植物”，事件Ci为“丙是C

组的第i株植物”，i＝1、2、…、7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝P(Ci)＝17，i＝1、2、…、7.(1)设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意知D＝C1∪C2，又C1与C2互斥，所以事件D的概率P()D＝P(C1∪C2)＝P(C

1)＋P(C2)＝27；(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知E＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A6B3∪A7B3∪A7B4.所以事件E的概率P(E)＝P(A4B1)＋P

(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A6B3)＋P(A7B3)＋P(A7B4)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝1049.18．解析：(1)用a，b表示两个红球，用1,2表示两

个白球，甲不放回取两球的所有结果：ab，ba，a1,1a，a2,2a，b1,1b，b2,2b,12,21，共12个不同结果，它们等可能，令事件A为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba,1a,2a,1b,2b，共6个，令事件B为

“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1,1a，a2,2a，b1,1b，b2,2b，共8个，于是得P(A)＝612＝12，P(B)＝812＝23，显然，12<23，为了尽可能获胜，应该选择猜法二．(2)由(1)知，乙选

择猜法二，每一轮乙获胜的概率为P＝23，游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，于是得P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝

23×23＋13×23×23＋23×13×23＝2027，所以乙获得游戏胜利的概率是2027.考点过关检测42离散型随机变量的分布列、均值与方差1．答案：A解析：由正态分布的对称性知，(2c＋1)－3＝3－(2c－1)，得c＝32.2．答案：D解析：E(ξ)＝12P，所以E(2ξ－3)＝2E

(ξ)－3＝2×12P－3＝5，所以P＝13，故D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12×13×1－13＝24.3．答案：A解析：由题得最多1人被感染的概率为C04454＋C1415453＝256＋256625＝51262

5.4．答案：D解析：由题意可知五场中获胜的场次X～B5，23，所求选手能参加决赛的概率P＝C45·234·1－23＋C55·235·1－230＝112243.

5．答案：D解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在()9.9，10.1内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布

密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在()9.9，10.0的概率与落在()10.2，10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9，10.2的概率与落在

()10，10.3的概率不同，故D错误．故选D.6．答案：C解析：从袋中六个小球一次性摸出三个小球，有C36＝6×5×43×2×1＝20种情况；三个号码的和是3的倍数有：(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,

5,6)共8种情况，所以摸一次中奖的概率P＝820＝25.有4人参与摸球游戏，恰好2人获奖的概率为：C24252352＝216625.7．答案：B解析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝C1x·C110－xC210＝x(

10－x)45＝1645，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为210＝20%.8．答案：A解析：由题知P(X＝0)＝13，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝12－a，因此E(X)＝0×13＋1×a＋2×(12－a)＋3×16＝54，解得a＝14，因此离散型随

机变量X的分布列如下：X0123P13141416则D(X)＝13×0－542＋14×1－542＋14×2－542＋16×3－542＝1916，因此D(4X－3)＝16D(X)＝19

.9．答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为x

max－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．10．答案：BD解析：设答对的题目数为Y，则Y～B5，23，得分X＝20Y－10(5－Y)＝

30Y－50.该选手恰好答对2道题的概率为P＝C25×232×133＝40243，故A错误；E(Y)＝5×23＝103，则E(X)＝E(30Y－50)＝30×E(Y)－50＝30×103－50＝50，故B正确；D(Y)＝5×23×13＝10

9，则D(X)＝D(30Y－50)＝302×D(Y)＝900×109＝1000，故C错误；P(X>60)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C45×234×13＋235＝112243，故D正确．11．答案：AD解析：由题意知，b－a＋b＋a＝2b

＝1，即b＝12，又a≥012－a≥0，则0≤a≤12，所以E(ξ)＝0·(b－a)＋b＋2a＝2a＋12∈12，32，A对；D(ξ)＝2a＋12－0212－a＋2a＋12－12×12＋2a＋12－22×a＝－4a2

＋2a＋14＝－4a－142＋12，又0≤a≤12，所以当a＝14时，D(ξ)有最大值12，当a＝0或12时，D(ξ)有最小值14.12．答案：AC解析：5次都没投中的概率为125＝1

32.所以游戏者闯关成功的概率为1－132＝3132，故A正确．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况．

共有C15C310＋C25C210＋C35C110＋C45＝1155种情况．而C15C314＝1820，所以其中至少有一名女生的概率为：C15C310＋C25C210＋C35C110＋C45C415≠C15C314C415，故B不

正确．由P(X＝i)＝ai(i＋1)(i＝1,2,3)，则a12＋16＋112＝1，解得a＝43，所以P(X＝2)＝43×12×3＝29，故C正确．由随机变量η～N(2，σ2)，则P(η<2)＝0.5，E(η

)＝2，所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正确．13．答案：2713解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a·13k，k＝1,2,3，所以根据分布列的性质有a·13＋a·132＋a·133＝1，所以a·

13＋19＋127＝a×1327＝1，所以a＝2713.14．答案：0.77解析：由题意，随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，可得对称轴x＝10，则8＋122＝10，因为P(X<8)＝0.23，根据正态分布曲线的对称性，可得P

(X<12)＝1－P(X<8)＝0.77.15．答案：516解析：设5次三分损益中有k次三分损一，所以243×23k×435－k＝128，解得k＝3.故所求概率为C35×125＝1032＝516.16．答案：1276解析：恰好有1个红球的概率P＝C1

1·C13C24·C22C23＋C23C24·C11·C12C23＝12×13＋12×23＝12，取出的4个球中红球的个数X的可能取值为：0,1,2，P(X＝0)＝C23C24×C22C23＝16，P(X＝1)＝12，P

(X＝2)＝C11C13C24·C11C12C23＝13，分布列如下表：X012P161213期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×13＝76.17．解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.P()X＝0＝1－0.8＝0.2；P()X＝20＝0.8()1－0.6＝0.32；

P()X＝100＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E()X＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B问题，记Y为小明的累

计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.P()Y＝0＝1－0.6＝0.4；P()Y＝80＝0.6()1－0.8＝0.12；P()X＝100＝0.8×0.6＝0.48.所以E()Y＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6

.因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．18．解析：(1)甲同学选考政治学科原始分为86分，根据等比例转换赋分公式：98－8686－81＝100－TT－86得T＝90.乙同学选考化学学科原始分为93分，根据等比例转换赋分公式

：100－9393－90＝100－TT－86得T＝90，故甲乙两位同学的转换分都为90分．从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：①从已知可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是90分，因此高考这种“等级转换赋

分法”具有公平性与合理性．②甲同学与乙同学原始分差7分，但转换后都是90分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．(2)该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式：100－9393－90＝100－TT－86，得T＝90，即原始分低于93分的转换分低于90分，所以转换分不

低于90分的有3人，低于90分的有5人，ξ的所有取值有0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C35C38＝528，P(ξ＝1)＝C13C25C38＝1528，P(ξ＝2)＝C23C15C38＝1556，P(ξ＝3)＝C33C38＝156，ξ的分布列为：ξ0123P528152

81556156E(ξ)＝0×528＋1×1528＋2×1556＋3×156＝98.考点过关检测43统计与统计案例1．答案：C解析：设高三抽取的人数为x人，则630＝x20，即x＝4.2．答案：A解析：12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，正好一半，因此可根据

中位数判断小明是否能进入决赛．3．答案：C解析：100人一周的人均体育锻炼次数为4×20100＋5×50100＋6×30100＝5.1.4．答案：B解析：由题意，根据条形图，可得甲户教育支出占12002000＋1200×2＋1600＝20%，由饼形图，可得乙户教育支出

占25%.所以乙户比甲户大．5．答案：C解析：对于神舟十二号太空之旅，关注航天员是怎样选的占46.6%，不是极少数，故A错误；对于神舟十二号飞行乘组出征太空，受访青少年认为开启空间站新时代占64.6%，没有超过七成，故

B错误；对于神舟十二号太空之旅，青少年关注航天员在太空的工作和生活的比值最大，因此青少年关注最多，故C正确；对于神舟十二号飞行乘组出征太空，受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步占75.3%，没有超过八成，故D错误

．6．答案：B解析：由题意可知：x－＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y－＝3.4＋7.5＋9.1＋13.8＋m5＝33.8＋m5，样本中心3，33.8＋m5，代入经验回归方程可得33.8＋m5＝3×3＋1.解得m＝16.2.7．答案：A解析：χ2＝200×(12

5×15－25×35)2160×40×50×150＝4.167>3.841，根据临界值知有95%的把握认为“经常用流行语”与“年轻人”有关系．8．答案：D解析：选项A中，甲的平均分为10＋10＋10＋20＋05＝10，丙的平均分为10＋10＋15＋15＋105＝12，故

甲的平均得分比丙的平均得分低，故错误；选项B中，乙的得分极差为15－5＝10，丁的得分极差为20－0＝20，乙的得分极差比丁的得分极差小，故错误；选项C中，不清楚两题的具体分值是否相同，所以不能通过平均分判断第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好，故错误；选项D中

，第3题得分的平均值为10＋5＋15＋104＝10，故方差为(10－10)2＋(5－10)2＋(15－10)2＋(10－10)24＝12.5，第5题得分的平均分为0＋10＋10＋204＝10，故方差为(0－10)2＋(10－10)2＋(10－10

)2＋(20－10)24＝50，故第3题得分的方差比第5题得分的方差小，故正确．9．答案：ABD解析：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数

字特征的估计值，所以B正确；两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以C错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，所以D正确．10．答案：AC解析：因为被调查的男女生人数相同，由等高条形统计图可知，喜欢登山的男生占80%，喜欢登山的女生占30

%，所以A正确，B错误；设被调查的男女生人数均为n，则由等高条形统计图可得2×2列联表如下：男女合计喜欢0.8n0.3n1.1n不喜欢0.2n0.7n0.9n合计nn2n由公式可得χ2＝2n×(0.8n×0.7n－0.3n×0.2n)21.1n×0.9n×n×

n＝50n99.当n＝100时，χ2＝500099>6.635，所以有99%的把握认为喜欢登山和性别有关；当n＝10时，χ2＝50099<6.635，所以没有99%的把握认为喜欢登山和性别有关，显然χ2的值与n的取值有关，所以C正确，D错误．11．答案：BC解析：由表格数据，随着价格

x的增加，需求量y随之减少，所以y与x负相关．因为x－＝10＋15＋20＋25＋305＝20，y－＝11＋10＋8＋6＋55＝8，故样本中心为()20，8由回归直线y^＝b^x＋14.4必过样本点的中心()20，8，所以有8＝b^×20＋14.4，解得b^＝－

0.32，所以当x＝35时，y^＝－0.32×35＋14.4＝3.2，日需求量大约为3.2kg，不是3.4kg.12．答案：CD解析：由直方图知：(x＋0.0086)×100＝1，可得x＝0.0014，∴[500,

600)万元的中小企业有0.0014×100×100＝14家，A错误；由图知：前三组的频率0.0056×100＝0.56>0.5>0.003×100＝0.3，易知中位数在[300,400)区间，B错误；由图知

：当地中小型企业年收入的平均数[0.001×150＋0.002×250＋0.0026×(350＋450)＋0.0014×550＋0.0004×650]×100＝376万元，C正确；[500,700]内0.0018×1

00×100＝18，D正确．13．答案：3.5解析：因为数据－3,2a,4,5－a,1,9的平均数为3，所以－3＋2a＋4＋5－a＋1＋9＝3×6，解得a＝2，所以这组数据分别是－3,4,4,3,1,9，按从小到大排列分别为－3,1,3,4,

4,9，故中位数为3＋42＝3.5.14．答案：0.0044解析：由50×(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)＝1得x＝0.0044.15．答案：818.6解析：由已知x－＝5000＋4000＋3500＋3000＋25005＝3600，y－＝5000

×0.8＋4000×0.9＋3500×0.8＋3000×0.8＋2500×0.845＝2980，所以2980＝0.8135×3600＋a^，则a^＝51，即y^＝0.8135x＋51，x＝10000时，y^＝0.8135×10000＋51＝8186

，估计应补贴8186×0.1＝818.6(万元)．16．答案：y^＝3.7x－1.1有解析：由题意，计算x－＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y－＝15×(3＋6＋10＋13＋18)＝10，所以b^＝i＝15x

iyi－5x－·y－i＝15x2i－5·x－2＝187－5×3×1055－5×9＝3710＝3.7，a^＝y－－b^x－＝10－3.7×3＝－1.1，所以y关于x的经验回归方程为y^＝3.7x－1.1，由列联表数据可得χ2＝100(45×20－5×30)275×25×50×50＝12，因为

12>10.828，所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．17．解析：(1)由题可知，落在区间[25,40)，[40,55)，[55,70)，[70,85)，[85,100]的频率分别为：120，225，17100，720，

720，这200位顾客所打分数的平均值为：120×32.5＋225×47.5＋17100×62.5＋720×77.5＋720×92.5＝75.55，故这200位顾客所打分数的平均值为75.55.(2)根据所给数据，可得2×2列联表：满意不满意男性顾客

8020女性顾客6040根据列联表得χ2＝200×(80×40－20×60)2100×100×140×60≈9.524.因为9.524>6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．解析：(1)根据散点图知y＝c＋k·x－1更适合作为

y关于x的回归方程．(2)令z＝1x，则y＝c＋k·z，则k＝i＝110ziyi－10z－y－i＝110z2i－10z－2＝350－10×10×3100－10×32＝5，c＝y－－k·z－＝－5，y＝－5＋5x，∴y关于x

的回归方程为y＝－5＋5x.(3)一天利润为T＝y·(x－0.20)＝5x－5(x－0.2)＝6－5x＋0.2x≤6－100.2≈1.5.(当且仅当x＝0.2x即x＝0.45时取等号)，∴每月的利润为30×1.5＝45.00(万元)，∴预计定价为0.45万元

/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．考点过关检测44概率与统计的综合(1)1．解析：(1)2×2列联表如下：关注没关注合计男303060女122840合计4258100所以χ2

＝100×(30×28－12×30)242×58×40×60＝800203≈3.941>3.841，所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；(2)因为随机选一个高三的女生，对此事关注的

概率为P＝1240＝310，又因为X～B3，310，所以随机变量X的分布列为：X0123P343100044110001891000271000故E(X)＝np＝910.2．解析：(1)由题意知x－＝15(1＋

2＋3＋4＋5)＝3，y－＝15(12＋15＋20＋25＋28)＝20，i＝15(xi－x－)(yi－y－)＝16＋5＋0＋5＋16＝42，i＝15(xi－x－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，所以b^＝4210＝4.2，a^＝y－－b

^x－＝20－4.2×3＝7.4，故所求经验回归方程为y^＝4.2x＋7.4；(2)由题可知，P(76<X≤79)＝0.9973－0.95452＝0.0214，该地参与社区养老的老人有321÷0.0214＝

15000(人)，该地参与社区养老的老人约有15000人．3．解析：(1)由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为2÷0.05＝40.因为0.050＋0.325＋0.450＋m＋0.075＝1，所以m＝0.100所以这次培训考核

等级为优秀的女志愿者人数为40×(0.100＋0.075)＝7.因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是80－40＝40.由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为(0.010

＋0.015)×5＝0.125，则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为40×0.125＝5；(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C35C312＝10220＝122，P(X＝1)＝C25C17C312＝70220＝722，P(X＝2)＝C15C27C312＝10

5220＝2144，P(X＝3)＝C37C312＝35220＝744，X的分布列为X0123P1227222144744故E(X)＝0×122＋1×722＋2×2144＋3×744＝74.4．解析：(1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司

的效益为随机变量X，Y，Z，则随机变量X的分布列为：Xaa－100×104P1－11051105随机变量Y的分布列为：Yaa－100×104P1－21052105随机变量Z的分布列为：Zbb－50×104P1－11041104保险公司期望收益为E(X)＝a×1－1105＋(a－100×10

4)×1105＝a－10，E(Y)＝a×1－2105＋(a－100×104)×2105＝a－20，E(Z)＝b×1－1104＋()b－50×104×1104＝b－50，根据要求(a－10)×500

00×0.6＋(a－20)×50000×0.3＋(b－50)×50000×0.1－20×104≥(a×50000×0.6＋a×50000×0.3＋b×50000×0.1)×0.15，整理可得(9a＋b)×85≥21000，所以153a＋17b≥4200得证；(2)若该企业不与保险公司合作，则安全支

出，即赔偿金的期望值为：50000×0.6×1105×100×104＋0.3×2105×100×104＋0.1×1104×50×104＋35×104＝100×104；若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为50000×(0.6×a＋0.3×a＋0.1×b)×0.8＝(0.9a

＋0.1b)×40000，由a＝35，b＝60，(0.9a＋0.1b)×40000＝150×104>100×104，所以方案一总支出较少，故选方案一．考点过关检测45概率与统计的综合(2)1．解析：(1)由图知：v－＝(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.

03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5千米/时．∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时．(2)由①及题设知：v～N(70.5,210.25)，则μ＝70.5，σ＝14.5，①P(v≥85)＝P(v≥μ＋σ)＝1－P(μ－σ≤v≤μ＋σ)2＝0

.15865，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数10000×0.15865≈1587辆．②由①知：车速低于85千米/时的概率为P＝1－0.15865＝0.84135，故X～B(10,0.84135)，∴E(X)＝10×0.84135＝8.

4135.2．解析：(1)由直方图知，自身免疫力指标在(40,50]内的人数为0.008×10×100＝8，在(50,60]内的人数为0.002×10×100＝2，则X的可能取值为1,2,3.其中P(X＝1)＝C18C22C310＝115，P(X＝2)＝C28C12C31

0＝715，P(X＝3)＝C38C02C310＝715.所以X的分布列为X123P115715715E(X)＝1×115＋2×715＋3×715＝125.(2)由散点图知，5组样本数据(x，y)分别为(10,30)，(30,50)，(50,60)，(70,70)，(90,9

0)，且x与y具有线性相关关系．因为x－＝50，y－＝60，则b＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90－5×50×60102＋302＋502＋702＋902－5×502＝710，a＝60－710×50＝25，所以经验回归方程为y^＝0.7

x＋25.由直方图知，免疫力指标的平均值为15×26100＋25×40100＋35×24100＋45×8100＋55×2100＝27.由y^≤27×3＝81，得0.7x＋25≤81，解得x≤80.据此估计，疫苗

注射量不应超过80个单位．3．解析：(1)根据2×2列联表中的数据可得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(25×30－25×20)250×50×45×55＝10099≈1.01<2.706，根据临界值表可知，没有90%的把握认为近视与性别有关．(

2)由题意可知男生近视的概率为12，女生近视的概率为35，X的可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C02×122×C02×252＝125，P(X＝1)＝C12×122×C02×

252＋C02×122×C12×25×35＝15，P(X＝2)＝C22×122×C02×252＋C02×122×C22×352＋C12×122×C12×25×35＝37100，P(X＝3)＝C22×122×C12×25

×35＋C12×122×C22×352＝310，P(X＝4)＝C22×122×C22×352＝9100，所以X的分布列如下：X01234P12515371003109100于是E(X)＝0×125＋1×15＋2×37100＋3×310＋4×9100＝115

.4．解析：(1)设甲市场需求量为x的概率为P(x)，乙市场需求量为y的概率为P(y)，则由题意得P(x＝8)＝0.3，P(x＝9)＝0.4，P(x＝10)＝0.3；P(y＝8)＝0.2，P(y＝9)＝0.5

，P(y＝10)＝0.3.设两个市场总需求量为X的概率为P(X)，则由题意得X所有可能的取值为16,17,18,19,20，且P(X＝16)＝P(x＝8，y＝8)＝0.3×0.2＝0.06，P(X＝17)＝P(x＝8，y＝9)＋P(x

＝9，y＝8)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23，P(X＝18)＝P(x＝8，y＝10)＋P(x＝10，y＝8)＋P(x＝9，y＝9)＝0.3×0.3＋0.3×0.2＋0.4×0.5＝0.35，P(X＝19)＝P(x＝9，y＝

10)＋P(x＝10，y＝9)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27，P(X＝20)＝P(x＝10，y＝10)＝0.3×0.3＝0.09.所以X的分布列如下表.X1617181920P0.060.230.350.270.09(2)由题意得，当X≥19时，T＝

500×19＝9500，当X<19时，T＝500X－(19－X)×100＝600X－1900.所以T＝9500，X≥19，600X－1900，X<19.设A＝“销售利润不少于8900元”，则

当X≥19时，T＝500×19＝9500>8900，当X<19时，T＝600X－100×19≥8900，解得X≥18.由(1)中X的分布列可知，P(A)＝P(X≥18)＝0.71.(3)由(1)知，P(X＝16)＝0.06，P(X＝17)＝0.23

.当n＝17时，T的分布列为：XX＝16X≥17T500×16－(17－16)×100500×17P0.060.94所以E(T)＝[500×16－(17－16)×100]×0.06＋500×17×0.

94＝8464；当n＝18时，T的分布列为：XX＝16X＝17X≥18T500×16－(18－16)×100500×17－(18－17)×100500×18P0.060.230.71所以E(T)＝[500×1

6－(18－16)×100]×0.06＋[500×17－(18－17)×100]×0.23＋500×18×0.71＝8790.因为8790>8464，所以应选n＝18.单元过关检测九概率与统计1．答案：B解析：由统计图可得

，众数为M＝5；共有2＋3＋10＋6＋3＋2＋2＋2＝30个数据，处在中间位置的两个数据为5,6，所以中位数为N＝5＋62＝5.5；平均数P＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97，所以M<N<P.2．答案：C解析：

因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为12，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个

问题回答“是”的概率为186365≈0.51，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%.3．答案：B解析：由题意，本次调查的人

数为50÷10%＝500人，其中合唱比赛所占的比例为200500＝0.4＝40%，所以机器人所占的比例为1－10%－20%－15%－40%＝15%，所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为500×15%

＝75人．4．答案：B解析：因为8个人排成两排，每排4人，共A88种结果，其中甲、乙不同排共2C14C14A66种结果，所以甲、乙不同排的概率为2C14C14A66A88＝47.5．答案：B解析：P(甲)＝16，

P(乙)＝16，P(丙)＝536，P(丁)＝636＝16，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝136＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故选B.6．答案

：A解析：由题意事件A＝{两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36－6＝30.至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种，2号是6点，1号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出

现一个6点的情况是11种，至少出现一个6点且两个点数不相同的情况有10种，∴P(A|B)＝＝1011.7．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①学生甲不能分配到A社区，则甲有4种安排方法，②剩下的4人安排到其余4个社区，则有A44＝24种分配方法，则有4×24＝96种分配

方法．8．答案：C解析：依题意P(A)＝24＝12，P(B)＝24＝12，P(C)＝12×12＋12×12＝12，故选项A，B不正确；因为A，B为相互独立事件，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14，故选项C正确；又因为事件A、B、C不可能

同时发生，所以P(ABC)＝0，故选项D不正确．9．答案：AC解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平

均数考查的是数据的集中趋势．10．答案：AD解析：对于A，甲必选物理，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选2门，则甲的不同选科方法种数为C25＝10，故A正确；对于B，甲在选物理的条件下，还需从化学、生物

、政治、历史、地理中选2门，共C25＝10种，其中选化学的有C14＝4种，则甲在选物理的条件下选化学的概率是410＝25，故B错误；对于C，乙、丙两人至少一人选化学包含乙、丙两人全选化学，故C错误；对于D，乙选物理的概率为C2

5C36＝12，丙选物理的概率为C25C36＝12，因为乙选物理和丙选物理相互独立，所以乙、丙两人都选物理的概率是12×12＝14，故D正确；故选AD.11．答案：ABD解析：对于A，若随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(X≤4)＝0.79，则P(X≥

4)＝0.21，P(X≤－2)＝P(X≥4)＝0.21，故A正确；对于B，若随机变量X服从二项分布：X～B4，14，则D(2X＋3)＝4D(X)＝4×4×14×34＝3，故B正确；对于C，相关指数R2的值越大，表示回归模型的拟合效果越好，故C错误；对于D，若相关系数r

的绝对值越接近于1，表示相关性越强，故D正确．12．答案：BD解析：对于A，(2－3x)6展开式通项公式为：Tk＋1＝Ck6·26－k·(－3x)k，令k＝3，则a3＝C36×23×(－3)3＝－4803，

A错误；对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a6＝(2－3)6；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋3)6；∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－

…＋a6)＝[(2－3)×(2＋3)]6＝1，B正确；对于C，令x＝0得：a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－3)6－26，C错误；对于D，∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a0＝26＝64，a2＝C26×24×3

＝720，a4＝C46×22×32＝540，a6＝33＝27，∴展开式中系数最大的为a2，D正确．13．答案：25解析：由题意，可知A社区总人数为450＋750＋900＝2100，样本容量为70，所以抽样比为702100＝130，故从46

岁至55岁的居民中随机抽取的人数为750×130＝25.14．答案：－56解析：x－1x8的通项公式为：Tk＋1＝Ck8x8－k－1xk＝(－1)kCk8x8－2k，当8－2k＝2时，k＝3，此时(－1)3C38＝－56.15．答案：0.78解析：设抽到一等

品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则P(A)＋P(B)＝0.93P(A)＋P(C)＝0.85P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，解得P(A)＝0.78P(B)＝0.15P(C)＝0.07，所以抽

到一等品的概率为0.78.16．答案：065解析：由题意知X的所有可能取值为－2，－1,0,1,2，且P(X＝－2)＝C22C12C36＝110，P(X＝－1)＝C22C12＋C22C12C36＝15，P(X＝0)＝C12C12C12C36＝25，P(

X＝1)＝C22C12＋C22C12C36＝15，P(X＝2)＝C22C12C36＝110，则E(X)＝(－2)×110＋(－1)×15＋0×25＋1×15＋2×110＝0.D(X)＝110×(－2)2＋15×

(－1)2＋25×0＋15×12＋110×22＝65.17．解析：(1)由题设可得样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)

，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，Ω中共有20个基本事件．事件C＝“两个球颜色相同”中含有的基本事件为：(1,2)，(2,1)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5

)，(5,3)，(5,5)，共8个基本事件，故P(C)＝820＝25，P(C－)＝1－25＝35.(2)事件A＝“第一次摸到白球”，包括的基本事件为：{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}共8个基本事件，事件

B＝“第二次摸到黑球”包含的基本事件为：{(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)}，共12个基本事件．设事件AB＝“第一次摸到白球”，“第二次

摸到黑球”，包括的基本事件为：{(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}共6个基本事件，∴P(A∪B)＝8＋12－620＝1420＝710，P(AB)＝620＝310.18．解析：(1)16×23＋26×23＋36×23＝23；(2)由题意可知：X～

B3，13，X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝130×233＝827；P(X＝1)＝C13131×232＝49；P(X＝2)＝C23132×231＝

29；P(X＝3)＝133＝127，分布列为X0123P8274929127期望E(X)＝3×13＝1.19．解析：(1)2×2列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800(2)从低学历被调查者中按对

数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有150×8400＝3人，了解数字人民币的有250×8400＝5人，从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率P＝1－C25C28＝91

4.(3)根据列联表得χ2＝800×(125×250－150×275)2275×525×400×400＝800231≈3.463<3.841.故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．20．

解析：(1)由表易得x－＝5，y－＝50，i＝15(xi－x－)(yi－y－)＝(－2)×19＋(－1)×7＋0×4＋1×(－10)＋2×(－20)＝－95，i＝15(xi－x－)2＝10，i＝15(yi－y－)2＝192＋72＋

42＋(－10)2＋(－20)2＝926，所以，r＝i＝15(xi－x－)(yi－y－)i＝15(xi－x－)2i＝15(yi－y－)2＝－9510×926＝－9522315≈－0.9872，由于r的绝对值接近于1，故x，y具有很好的线性相关关系．因为b^＝i＝15(xi－x－)(yi

－y－)i＝15(xi－x－)2＝－9.5，所以a^＝y－－b^x－＝50＋9.5×5＝97.5，y关于x的经验回归方程是y＝97.5－9.5x.(2)设商家的日利润为z元，则z＝y(x－2)＝(97.5－9.5x)(x－2)

＝－9.5x2＋116.5x－195.该二次函数的对称轴方程为x＝116.519，因为6<116.519<6.5，所以当售价为每件6元时，商家可获得最大利润．21．解析：(1)因为X服从正态分布N(65,152)，所以P(X≥80)＝P(X≥65＋15)≈1－0.68272＝0.15865.因为

2000×0.15865≈317，所以进入面试环节的人数约为317人；(2)记该应聘者第i(i＝1,2)题答对为事件Ai，第3题优秀为事件B.Y的可能取值为5,15,25,35.则P(Y＝5)＝P(A－1

A－2B－)＝P(A－1)P(A－2)P(B－)＝1－232×1－12＝118，P(Y＝15)＝P(A1A－2B－)＋P(A－1A2B－)＋P(A－1A－2B)＝2×23×1－23×1－12＋1－232×12＝518，P(Y＝25)＝P(A1A

2B－)＋P(A1A－2B)＋P(A－1A2B)＝232×1－12＋2×23×1－23×12＝49，P(Y＝35)＝P(A1A2B)＝232×12＝29，所以Y的分布列为Y5152535P118

5184929所以Y的数学期望为E(Y)＝5×118＋15×518＋25×49＋35×29＝703.22．解析：(1)由题意知分数在[70,80)的学生有4名，分数在[80,90)的学生有5名，由题图可知，分数在[70,80)的频率为0.008×10＝0.08，则n＝40.08＝50，所以

x＝550×10＝0.01，y＝1－(0.04×2＋0.08×2＋0.1＋0.12＋0.16＋0.24)10＝0.014，样本中可能被专科院校录取的人数为50×(0.004＋0.008)×10＝6.抽取的50人中，可能被专科院校录取的频率是650＝325，所以从该校高三

年级学生中任取1人可能被专科院校录取的概率为325.(2)选取的样本中可能被专科院校录取的人数为6，可能被自招院校录取的人数为50×(0.012＋0.008＋0.004)×10＝12，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，所以P(ξ＝0)＝

C36C318＝20816＝5204；P(ξ＝1)＝C26C112C318＝180816＝1568；P(ξ＝2)＝C16C212C318＝396816＝3368；P(ξ＝3)＝C312C318＝220816＝5520

4.∴随机变量ξ的分布列为ξ0123P52041568336855204所以E(ξ)＝0×5204＋1×1568＋2×3368＋3×55204＝2.滚动过关检测八集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何、概率与统计

1.答案：C解析：∵A＝x12≤2x≤8，∴2－1≤2x≤23，∴A＝{x|－1≤x≤3}，∵B＝{x|y＝ln(2－x)}，∴2－x>0，∴B＝{x|x<2}，∴A∩B＝{x|－1≤

x≤3}∩{x|x<2}＝[－1,2)．2．答案：D解析：依题意可得，a2－1＝0a＋1≠0，解得a＝1.3．答案：A解析：由题得从4个选项里选两个选项，共有C24＝6种方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有C23＝3

种方法．由古典概型的概率公式得所求的概率为P＝36＝12.4．答案：A解析：由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，可得：sin2α＝－cos2α＋π2＝－cos

2α＋π4＝sin2α＋π4－cos2α＋π4＝sin2α＋π4－cos2α＋π4sin2α＋π4＋cos2α＋π4＝tan2α＋π4－1tan2α＋π4＋1＝(－3)2－1

(－3)2＋1＝45.5．答案：B解析：∵a＝33＞b＝(3)3＝332＝33＞5，c＝log393＝log3(3)5＝5，∴a＞b＞c.6．答案：B解析：x－1x(1－x)n＝x(1－x)n－1x(1－x)n，(1－

x)n的展开式的通项为Ckn(－1)kxk，x(1－x)n中x4的系数为C3n(－1)3，1x(1－x)n中x4的系数为C5n(－1)5，故x－1x(1－x)n的展开式中x4的项系数为C3n(－1)3－C5n(－1)5＝0，故C3n＝

C5n，故n＝8.7．答案：D解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝9与圆O1：(x－2)2＋(y－3)2＝16，即x2＋y2－4x－6y－3＝0，联立可得：x2＋y2＝9x2＋y2－4x－6y－3＝0，可得：2x＋3y－3＝0，即AB所在直线的方程为2x＋3y－3

＝0，圆O：x2＋y2＝9，圆心为(0,0)，半径r＝3，圆心O到直线AB的距离d＝|3|4＋9＝31313，则|AB|＝2×r2－d2＝123913.8．答案：D解析：∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD＝BD，BF⊥BD，

∴BF⊥平面ABCD，可得BF⊥AB，BF⊥BC，∴AF＝AB2＋BF2，CF＝BC2＋BF2，又AB＝BC，∴AF＝CF，在正方形ABCD中，AC＝22，BD＝22，在△AFC中，由AF＝CF，∠AFC＝60°，知△AFC为正三角形，∴AF

＝AC＝22，则BF＝AF2－AB2＝(22)2－22＝2.S矩形BDEF＝BD×BF＝42，∴VABCDEF＝VA­BDEF＋VC­BDEF＝13×42×22＝163.9．答案：ACD解析：A.等比数列{an}，a2＝4，a10＝8，所以a26＝a2a10＝32，则a6＝±

42，又a6＝a2q4>0，所以a6＝42，故A错误；B．抛物线y＝－4x2化成标准式得：x2＝－14y，所以其焦点F0，－116，故B正确；C．命题“∀x>0,2x>x2”的否定是：“∃x>0,2x≤x2”，故C错误；D

．两个事件A，B，若A与B互斥，则A与B不一定相互对立，但若A与B相互对立，则A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故D错误．10．答案：ABD解析：因为Z～N(82.5,5.42)，所以μ＝82.5，σ＝5.4，由正态分布概念可知：年级平均成绩

μ＝82.5，故A正确；因为95＋702＝82.5＝μ，所以成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等，故B正确；因为77≈82.5－5.4＝μ－σ，所以P(Z＜77)≈P(Z＜μ－σ)＝1－0.68272＝0.

15865，因为1000×0.15865≈159＞150，所以成绩不超过77分的人数多于150人，故C错误；因为82.5＋5.4×3＝98.7≈99，所以P(Z≥99)≈P(Z≥μ＋3σ)＝1－0.99732＝0.00135，因为1000×0.00135≈1，所以超过98分的人数

为1人，故D正确．11．答案：AB解析：由题意知：T2＝π3－－π6＝π2，则T＝π，故ω＝2πT＝2，故A正确；函数图象由y＝Asinωx的图象向左平移π6而得，故f(x)＝Asin2x＋π6

＝Asin2x＋π3，故φ＝π3，故B正确；f(0)＝Asinπ3＝1，解得：A＝233，故C错误；x＝5π6时，2x＋π3＝2π，f(x)不取最小值，故D错误．12．答案：BD解析：对于A，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故

A错误；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD＝F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′＝B，

∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角(或所成角的补角)，∵A′C＝16－9＝7，∴A′F＝374，DF＝9－3742＝94，AF＝9＋942＝1

54，AA′＝1542＋3742＝32，∴cos∠ADA′＝9＋9－182×3×3＝0，∴∠ADA′＝90°，∴A′D与BC所成角为90°，故C错误；对于D，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E＝BE＝DE＝CE＝

42＋322＝52.∴三棱锥A′­BCD的外接球直径为5，故D正确．13．答案：x25－y220＝1解析：由双曲线的定义知，|MF1|－|MF2|＝2a，∵|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，又M在以F1

F2为直径的圆上，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即16a2＋4a2＝100，∴a2＝5，∵|F1F2|＝10＝2c，∴c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－5＝20，∴双曲线的标准方程为x25－y220＝1.14．答案：

44解析：分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有(3×3×1×1)×4＝36；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2×1×1)×4＝8.所以总数36＋8＝44.15．答案：512解析：如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DO，EO，因点O

为△ABC的外心，于是得DO⊥AB，EO⊥AC，AC→·AB→＝|AC→|·|AB→|cosA＝6，AO→＝AD→＋DO→＝12AB→＋DO→，AO→·AB→＝12AB→＋DO→·AB→＝12AB→2＝8，AO→＝AE→＋EO→＝12AC→＋EO→

，AO→·AC→＝12AC→＋EO→·AC→＝12AC→2＝92，依题意，AO→·AB→＝(λAB→＋μAC→)·AB→＝λAB→2＋μAC→·AB→＝16λ＋6μ＝8，AO→·AC→＝(λAB→＋μAC→)·AC→＝λAB→·AC→＋μAC→2＝6λ＋9μ＝92，解得λ＝5

12，μ＝29，所以λ＝512.16．答案：122＋1解析：∵函数f(x)＝|log2(x－1)|，x>1(x＋1)2，x≤1，画出函数f(x)的图象和直线y＝m，f(x)＝m(m∈R)恰有四个不相等的实数根x1

，x2，x3，x4且满足x1＜x2＜x3＜x4，故0＜m≤4，∴x1，x2满足：(x＋1)2＝m⇒x1＋x2＝－2，x3，x4满足|log2(x－1)|＝m⇒x3＝1＋2－m，x4＝1＋2m，∴1x3＋1x4＝11＋2－m＋11＋2m＝2m1

＋2m＋11＋2m＝1，x1＋x2＋2x3＋x4＝－2＋2(1＋2－m)＋1＋2m＝22m＋2m＋1≥222m·2m＋1＝22＋1，当且仅当22m＝2m即m＝12时，等号成立．17．解析：(1)选①：因为a1＝2，Sn＝n2＋n，当n≥2时，an＝S

n－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，等式也成立所以an＝2n，n∈N*；选②：由a1＝2，an＋1－2＝an，所以数列{an}是以2为首项2为公差的等差数列，所以an＝2n，n∈N

*；选③：由a1＝2，a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2，可得数列{an}为等差数列，设公差为d，则d＝a4－a14－1＝2，所以an＝2n，n∈N*；(2)bn＝1a2n－1＝14n2－1＝1212n－1－12n＋1，Tn＝121－13＋

1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.18．解析：(1)因为sinB－sinC＝sinC－3cosB，所以

sinB＋3cosB＝2sinC，即sinB＋π3＝sinC，因为b>c，所以B>C，所以B＋π3＋C＝π，B＋C＝2π3，即A＝π3.(2)因为△ABC的面积为32，所以12bcsinA＝32，又因为A＝π3，所

以sinA＝32，bc＝2，又由余弦定理可得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝(b＋c)2－2bc－32bc＝12，所以12＝(b＋c)2－4－34，可得b＋c＝3，所以三角形ABC周长为3＋3.19．解析：(1)证明：取CD的中点M，

则DM＝AB且DM∥AB，所以四边形ABMD为平行四边形，故BM∥AD，所以BM⊥CD，又BS⊥CD，BM∩BS＝B，BM，BS⊂平面BSM，所以CD⊥平面BSM，又SM⊂平面BSM，所以CD⊥SM，因为SM∥PD，所以CD⊥PD，又AD⊥PD，CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD

，所以PD⊥平面ABCD；(2)延长CB，DA交于点N，连结SN与PB交于点Q，因为B为CN的中点，S为PC的中点，所以Q为△PNC的重心，所以PQ→＝2QB→，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设AB＝1，则B(1,1,0)，P(0,0,1

)，设Q(x，y，z)，且PQ→＝2QB→，则有x＝2(1－x)y＝2(1－y)z－1＝2(－z)，解得x＝23y＝23z＝13，所以CQ→＝23，－43，13，因为AD⊥PD，A

D⊥CD，且PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，则平面PCD的一个法向量为DA→＝(1,0,0)，所以|cos〈CQ→，DA→〉|＝|CD→·DA→||CQ→||DA→|＝231×219＝22121，故CQ与平面PCD所成角的正弦

值为22121.20．解析：(1)列联表如下：体育不合格体育合格合计男10060160女11030140合计21090300χ2＝300×(100×30－110×60)2210×90×140×160≈9.184<10.828，所以不

能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关；(2)易知，所抽取的9名学生中，男生为9×6090＝6名，女生为3名．X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝C33C39＝184，P(X＝1)＝C16C23C39＝314，P(X＝2)＝C26

C13C39＝1528，P(X＝3)＝C36C39＝521.所以X的分布列为：X0123P1843141528521所以E(X)＝0×184＋1×314＋2×1528＋3×521＝2.21．解析：(1)∵f(x)＝(x＋1)(2ex－1)，f(－1)＝0，∴f′(x)＝(x＋2)·2ex－1，f

′(－1)＝2e－1，∴切线方程是：y－0＝2e－1(x＋1)，即y＝2e－1x＋2e－1；(2)证明：由(1)记g(x)＝f′(x)＝(x＋2)·2ex－1，g′(x)＝(x＋3)·2ex，令g′(x)>0，解得：x>－3，令g′(x)<0

，解得：x<－3，故f′(x)在(－∞，－3)递减，在(－3，＋∞)递增，故f′(x)min＝f′(－3)＝－2e－1<0，当x<－3时，f′(x)＝(x＋2)·2ex－1<0，当x>－3时，f′－12＝3e－1>0，f′(－1)＝2e－1<0，∴f′(x)存在唯一零点x0∈－1

，－12，故f′(x0)＝0即(x0＋2)·2ex0＝1，故f(x)在(－∞，x0)递减，在(x0，＋∞)递增，∴f(x)极小值＝f(x0)，f(x)有唯一的极值点x0，f(x0)<f(－1)＝0<1e－12，f(x0)＝(x0＋1)(2ex0－1)＝(x0＋2)·2ex0－(

x0＋1)－2ex0＝－x0－2ex0，显然h(x)＝－x－2ex在－1，－12单调递减，x0∈－1，－12，h(x0)>h－12h(x0)>h－12＝12－2e>12－23＝－16，所以f(x0)＝－x0－2ex0>－16.∴f(x)有唯一的极值点x0

，且－16<f(x0)<1e－12.22．解析：(1)由已知，定点A(2,3)到焦点F与到准线l：x＝－p2的距离之和等于7.有2－p22＋32＋2＋p2＝7，则p＝4，即抛物线的方程y2＝8x.(2)当直线PM的斜率存在时，设P(x1，y1)，M(

x2，y2)，N(x3，y3)，则kPM＝y1－y2x1－x2＝y1－y2y218－y228＝8y1＋y2，同理：kMN＝8y2＋y3，kPN＝8y1＋y3，由kMN＝8y2＋y3＝43知：y2＋y3＝6，即y2＝6－y3，①直线PM

：y－y1＝8y1＋y2(x－x1)，即(y1＋y2)y－y1y2＝8x过A(2,3)求得y2＝16－3y13－y1，②同理求直线PN方程(y1＋y3)y－y1y3＝8x，③由①②得y1y3＝3(y1＋y

3)－2，代入③得(y1＋y3)y－3(y1＋y3)＋2＝8x，即(y1＋y3)(y－3)＋2－8x＝0，故y＝3且2－8x＝0时，直线PN恒过点14，3.当直线PM的斜率不存在时，其方程为x＝2，可得P(2,4)，M(2，－4

)或P(2，－4)，M(2,4)．当P(2,4)，M(2，－4)时，直线MN的方程为y＋4＝43(x－2)与y2＝8x联立得y2－6y－40＝0得y1＝10，y2＝－4，所以N(12.5,10)，则直线PN的方程为y－4＝10－412.5－2(x－2)，可知过点

14，3.当P(2，－4)，M(2,4)时，同理可得直线PN过点14，3.综上可知，直线PN过定点14，3.