【文档说明】北京市东直门中学2024-2025学年高一上学期10月阶段考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，724.358 KB，由小赞的店铺上传

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北京市东直门中学2024—2025学年度第一学期阶段考试高一数学2024.10考试时间：120分钟总分150分第一部分一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1.已知集合{1,0,1}A=−，集合2N1Bxx==，那

AB=（）A.{1}B.{0,1}C.{1,1}−D.{1,0,1}−【答案】A【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】由于2N11Bxx===，所以AB={1}.故选：A2.命题“(0,)x+，3x”的否定是（）A.

(0,)+x，3xB.(0,)+x，3xC.(0,)x+，3xD.(0,)x+，3x【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定：将存在变任意并否定原结论，即可写出否定形式

.【详解】特称命题的否定为全称命题，∴“(0,)x+，3x”的否定是(0,)+x，3x.故选：B.3.已知全集U=R，集合{|34}=−Axx，25Bxx=，则()UBA=ð（）A.{|3xx−或2}xB.{|3xx−或4}x

C.35xx−D.24xx【答案】A【解析】【分析】先求出集合A的补集，再与集合B求并集．【详解】{|3UAxx=−ð或4}x，25Bxx=，所以(){|3UABxx=−ð

或2}x，故选：A．4.与yx=为同一函数的是（）A.()2yx=B.2yx=C.,0,0xxyxx=−D.2xyx=【答案】B【解析】【详解】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一

致．【解答】由题意可知：yx=的定义域为R，但()2yx=定义域为)0,+，,0,0xxyxx=−、2xyx=的定义域均为|0xx，故ACD错误；2yx=定义域为R，且2yxx==，所以2yx=与yx=是同一个函数，故B正确；故选：B.5.命题“1x”是命题“11x

”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件判定方法，即可求解.【详解】当1x时，1110xxx−−=，所以11x，故命题“1x”是命题“11x

”的充分条件，反之，当11x时，0x或1x，故故命题“1x”是命题“11x”的非必要条件，的的的所以命题“1x”是命题“11x”的充分不必要条件.故选：A6.不等式2112xx+−的解集为（）A.[3,2]−B.(,3]−−C.[3,2)−D.(,3](2,)−−+

【答案】C【解析】【分析】将不等式移项通分得到302xx+−，再转化为二次不等式即可得答案.【详解】21310022xxxx++−−−，即(3)(2)0(20)xxx+−−，解得：32x−，不等式

的解集为[3,2)−，故选：C.7.设全集U是实数集𝑅，25Mxx=，3Nxx=，则阴影部分所表示的集合为（）A.23xxB.23xxC.23xxD.23xx【答案】B【解析】【分析】由Venn图可知：阴影部分所表示的集合为

()UNMð，结合集合间的运算求解.【详解】由Venn图可知：阴影部分所表示的集合为()UNMð，因为25Mxx=，3Nxx=，则|3UNxx=ð，所以()|23UNMxx=Ið.故选：B.

8.已知0x，则44yxx=−+的最小值为（）A.8B.0C.1D.22【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求得最小值．【详解】因为0x，则424044yxxxx=−+−=，当且仅当4xx=，

即2x=时，等号成立，所以44yxx=−+的最小值为0.故选：B9.下列说法中，错误的是（）A.若22ab，0ab，则11abB.若22abcc，则abC.若0ba，0m，则amabmb++D.若ab，cd，则acbd−−【答案】A【解析】【分析】逐一检验

，对A，取3,2ab=−=−，判断可知；对B，20c，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.【详解】对A，取3,2ab=−=−，所以11ab，故错误；对B，由20c，22abcc，所以ab，故正确；对C,()()()mbaamaab

bmabambmbbbmbbm−++−−−==+++，由0ba，0m，所以()()0mbabbm−+，所以amabmb++，故正确；对D，由cd，所以cd−−，又ab，所以acbd−−故选：A10.若不等式22221463xmxmxx++++对一切实数x恒成立，则实数m的

取值范围是A.13mmB.3mmC.|1mm或2mD.R【答案】A【解析】【分析】根据分母恒正可将不等式转化为()()226230xmxm+−+−对xR恒成立，结合二次函数图象可得，解不等式求得结果.【详解】2

2334632024xxx++=++对xR恒成立原不等式等价于2222463xmxmxx++++对xR恒成立即()()226230xmxm+−+−对xR恒成立()()262830mm=−−

−，解得：13mm的取值范围为13mm故选A【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够将根据二次函数图象得到判别式小于零.11.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一

道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每

根的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱【答案】C【解析】【分析】根据题意设买大竹子x，每根单价为m，可得()()576781mxxm=+−−，由078x，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x，

每根单价为m，购买小竹子78x−，每根单价为1m−，所以()()576781mxxm=+−−，即78654mx+=，即()610913xm=−，因为078x，所以()10910913013610913789613mmmm−−9610913

13m，根据选项8m=，30x=，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.12.对任何非空有限数集S，我们定义其“绝对交错和”如下：设12,,,nSaaa=，*nN，

其中12naaa，则S的“绝对交错和”为()112341nnaaaaa−−+−++−；当Sa=时，S的“绝对交错和”为a.若数集2,0,π,5T=，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（）A.()852−B.85C.()8π5−D.8π【答案】D【解析】【分析】根据题意

列出0,2,5,πT=所有非空子集，然后逐个求出“绝对交错和”并求和，即可得到答案.【详解】2,0,π,50,2,5,πT==Q0,2,5,πT=的所有非空子集有：10=T、22=T、35=T、

4=T、52=0,T、65=0,T、7,=0T、85=2,T、9,=2T、105=T，、110,25=T，、120=,2,T、130=,5,T、142=,5,T、150,2,5,πT=若10=T则1T的“绝对交错和

”为0；若22=T则2T的“绝对交错和”为2；若35=T则3T的“绝对交错和”为5；若4=T则4T的“绝对交错和”为；若52=0,T则5T的“绝对交错和”为2；若65=0,T则6T的“绝对交错和”为5；若7,=0T则7T的“绝对交错和”为；

若85=2,T则8T的“绝对交错和”为25=52−−；若9,=2T则9T的“绝对交错和”为2−；若105=T，则10T的“绝对交错和”为5−；若110,25=T，则11T的“绝对交错和”为25=52−+−；若120=,2,T则12T的“绝对

交错和”为2−；若130=,5,T则13T的“绝对交错和”为5−；若142=,5,T则14T的“绝对交错和”为25=2+5−+−；若150,2,5,πT=则15T的“绝对交错和”为025=+25−+−−；T的所有非空子集的“绝

对交错和”的总和为：()()()5522525+2502525522−−+−−+−++++++++++++−+−−()()()4=522532=58+−++++−故选：D第二部分二、填空题：（本题有8道小题，每小题5分，共40分）13.函数1()1

2fxxx=+−−的定义域为_____________.【答案】)()1,22+，【解析】【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】解：根据题意，要使函数1()12fxxx=+−−有意义，则需

满足2010xx−−，解得1x且2x.所以函数的定义域为：)()1,22+，故答案为：)()1,22+，【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题.14.设xR，则不等式31x−的解集为_______．【答案】【

解析】【详解】试题分析：，故不等式的解集为.【点睛】解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，再进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.15.已知29Axyx==−，221Byyxx==−−+，则AB=___

______.【答案】[3,2]−【解析】【分析】由根式性质求定义域得集合A，根据二次函数性质求值域得集合B，再应用集合的交运算求结果.【详解】由题设{|33}Axx=−，2{|(1)22}Byyx==−+

+，所以[3,2]AB=−.故答案为：[3,2]−16.若存在xR使得220xxm++，则m可取的一个值为_____________．【答案】1（(,1−内的任一值均可）【解析】【分析】根据题意可知：函数2()2fxxxm=++有零点，则440

m=−，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解.【详解】因为存在xR使得220xxm++，也即函数2()2fxxxm=++有零点，则有440m=−，解得：1m≤，所以m可取(,1]−内的任意一个值，取1m=，故答案为：1.（(,1−内的任一值均可）17

.不等式20xaxb−−的解集是(2,3)，则不等式210bxax−−的解集为___________.【答案】11,23−−【解析】【分析】根据解集得到{2+3=𝑎2×3=−𝑏，解出,ab值，代入不等式解出即可.【详解】不等式20xaxb−−的解为

23x,一元二次方程20xaxb−−=的根为12x=,23x=,根据根与系数的关系可得:{2+3=𝑎2×3=−𝑏,所以5,6ab==−;不等式210bxax−−即不等式26510xx−−−,整理,得2

6510xx++，即(2𝑥+1)(3𝑥+1)<0解之得1123x−−，不等式210bxax−−的解集是11,23−−,故答案为：11,23−−.18.若0a，则关于x的不等式()()10axxa−−的解集为______.【答案】xxa

或𝑥>1}【解析】【分析】解出方程()()10axxa−−=的两根，即可得解不等式的解集.【详解】因为0a，方程()()10axxa−−=的两根为1和a，所以不等式()()10axxa−−的解集为xxa或1x.故答案为：xxa或1x.19.李明自主创业，经营一家网店，每

售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型231mx=−+.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投______万元，获得总利润为______万元.【答案】①.3②.17【解析】【分

析】设李明获得的利润为()fx万元，求出()fx关于x的表达式，利用基本不等式可求得()fx的最小值及其对应的x的值，从而求出总利润.【详解】设李明获得的利润为()fx万元，则0x，则()()2161688324251111fxmxxxxxxx=−=−−=−−=−++

+++()162521581127xx=++−=−，当且仅当1611xx+=+，因为0x，即当3x=时，等号成立.此时总利润为17.故答案为：3；17.20.设A，B为两个非空有限集合，定义(),1ABJABA

B=−其中S表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为1S，2S，

3S，4S.已知1S={物理，化学，生物}，2S={地理，物理，化学}，3S={思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：①若()24,1JSS=，则4S={思想政治，历史，生物}；②若()()1214,,JSSJS

S=，则4S={地理，物理，化学}；③若4S={思想政治，物理，生物}，则()()()142434,,,JSSJSSJSS=；④若()()()142434,,,JSSJSSJSS=，则4S={思想政治，地理，化学}.其中所有正确结论的序号是____

______.【答案】①③【解析】【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到14SS必为偶数，讨论146SS=和144SS=两种情况下的求解即可；对于④：通过举例4S={物理，地理，历史}来说明.【详解】对于①：()242424,11SSJSSSS=−=，所以

240SS=，所以24SS=，又2S={地理，物理，化学}，所以4S={思想政治，历史，生物}，①正确；对于②：()()1214,,JSSJSS=，即121412142142SSSSSSSS===，所以14

142SSSS=，所以14SS必为偶数，又1436SS，当146SS=时，140SS==，不符合14142SSSS=，所以144SS=，且142SS=，此时4S情况较多，比如4S={物理，地理，生物}，②错误；对于③：若4S={思想政治，物理，生物}，则()

()()231444211414,1,,1,,1425555JSSJSSJSS=−==−==−=，所以()()()142434,,,JSSJSSJSS=，③正确；对于④：当4S={物理，地理，历史}时，()()()231444142121,1,,1,,1554242JSSJSSJS

S=−==−==−=，满足()()()142434,,,JSSJSSJSS=，但不是4S={思想政治，地理，化学}，④错误.故选：①③【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时

候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.三、解答题（本题有5小题，共62分）21.已知集合{|}{|}13240.{|}AxxBxxCxxa===，，（1）求ABAB，；（2）若AC，求实数a的取值范围.【

答案】（1）4{|}{|12}3ABxxABxx==，（2）{|}3aa【解析】【分析】（1）由交集和并集的定义求解即可；（2）利用集合的包含关系列不等式即可【小问1详解】已知集合}1{324{||}AxxBxx=

=，，∴{|}{|}{|}132414ABxxxxxx==，{|}{|}{|}132423ABxxxxxx==【小问2详解】因为}1.{|}0{|3AxxCxxa==，若AC，则3a，则实数a取值范围是{|}

3aa.22.已知集合34Axx=−，211Bxmxm=−+.（1）当1m=时，求()RABð：（2）若“xA”是“xB”的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）31xx−或24x（2）1mm−【解析】【分析】（1）根据题意，直接

由集合的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得BA，且BA，然后分B=与B讨论，即可得到结果.【小问1详解】当1m=时，12Bxx=，所以R1Bxx=ð或2x，又34Axx=−，所以()R31ABxx=−ð或24

x.【小问2详解】因为“xA”是“xB”必要非充分条件，则BA，且BA，当B=时，则121mm+−，即2m≥；当B时，12121314mmmm+−−−+，等号不同时成立，解得12m−，符合题意；综上所述，m的取值范围为1mm−.23.

某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米

宽的通道．设温室的一边长度为x米，如下图所示．（1）用x表示两个养殖池的总面积y，并求出x的取值范围；（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？的的【答案】（1）()150035yxx=−−，3300xx（2）30米，1215平方米．【解析】【分析】（1）根据

题意求出矩形养殖场的长和宽，即可求得面积的表达式，继而求得x的取值范围；（2）结合y的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【小问1详解】依题意设温室的一边长度为x米，得温室的另一边长为1500x米，则矩形养殖池长为(3)x−米，宽为1500(5)x−米，因此养

殖池的总面积()150035yxx=−−，因为150030,50xx−−，所以3300x，所以x取值范围为3300xx．【小问2详解】()150045003515155yxxxx=−−=−+

450015152515153001215xx−=−=，当且仅当45005xx=，即30x=时上式等号成立，当温室的边长x为30米时，总面积y取最大值为1215平方米．24.已知关于x的一元二次方程2230xmxm−+−

=.（1）若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；（2）若方程两根之差的绝对值为5，试求m的值；（3）若方程两不等实根都小于5，试求m的取值范围.【答案】（1）6m或2m；（2）1m=或7m=；（3）2m或2263m.【解析】【分析】（1）由

0求参数范围即可；（2）由12||5xx−=，结合韦达定理列关于m的方程，即可求参数值.（3）令2()23fxxmxm=−+−，则有052(5)0mf，即可求参数范围.【小问1详解】由题设22()4(23)8120mmm

m=−−−=−+，所以6m或2m.【小问2详解】若方程两根为12,xx，则12||5xx−=，且12xxm+=，1223xxm=−，所以222121212()()48125xxxxxxmm−=+−=−+=，即2870mm−+=，所以1m=或7m=，经

检验满足0，故1m=或7m=.【小问3详解】若2()23fxxmxm=−+−，则(2)(6)052(5)2230mmmfm=−−=−，可得2m或2263m.25.对于正整数集

合()*12,,,,3nAaaanNn=，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,iain=之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”.（1）判断集合1,2,3,4,5和

1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”（不必写过程）；（2）求证：五个元素的集合12345,,,,Aaaaaa=一定不是“可分集合”；（3）若集合()*12,,,,3nAaaanNn=是“可分集合”.①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值.【答案

】（1）集合1,2,3,4,5不是“可分集合”，集合1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7【解析】【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设12345aaaaa，若去掉的元素为2a，则有1534aaa

a+=+①，或者5134aaaa=++②；若去掉的元素为1a，则有2534aaaa+=+③，或者5234aaaa=++④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；（3）①设集合12,,,nAaaa=所有元素之和为M，由题可知，()1,2,,iMain−=均为偶数，因此()1,2,,iain=L均

为奇数或偶数.分类讨论M为奇数和M为偶数的情况，分析可得集合A中元素个数n为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当3n=时，当5n=时，当7n=时集合A是否为“可分集合”，从而证明结论.【详解】（1）集合1,2,3,4,5不是“可分集合”，集合1,3,5,7,9,11,1

3是“可分集合”；（2）不妨设12345aaaaa，若去掉的元素为2a，将集合1345,,,aaaa分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534aaaa+=+①，或者5134aaaa=++②；若去掉的元素为1a，将集合2345

,,,aaaa分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534aaaa+=+③，或者5234aaaa=++④.由①、③，得12aa=，矛盾；由①、④，得12aa=−，矛盾；由②、③，得12aa=−，矛盾；由②、④，得12aa=，矛盾.因此当5n=时，集合A一

定不是“可分集合”；（3）①设集合12,,,nAaaa=所有元素之和为M.由题可知，()1,2,,iMain−=均为偶数，因此()1,2,,iain=L均为奇数或偶数.如果M为奇数，则()1,2,,iain=L也均为奇数，

由于12nMaaa=+++，所以n为奇数.如果M为偶数，则()1,2,,iain=L均为偶数，此时设2iiab=，则12,,,nbbb也是“可分集合”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可

分集合”.此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数.综上所述，集合A中元素个数为奇数.②当3n=时，显然任意集合123,,aaa不是“可分集合”.当5n=时，第（2）问已经证明集合12345,,,

,Aaaaaa=不是“可分集合”.当7n=时，集合1,3,5,7,9,11,13A=，因为：3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，1+9

+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，则集合A是“可分集合”.所以集合A中元素个数n的最小值是7.【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将

新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.