【文档说明】北京市第八中学2021-2022学年高二下学期期末练习数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.108 MB，由小赞的店铺上传

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北京八中2021－2022学年度第二学期期末练习高二数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设全集U是实数集R，{|2},{|13}MxxNxx==，则

图中阴影部分所表示的集合是（）A.{|21}xx−B.{|22}xx−C.{|12}xxD.{|2}xx【答案】C【解析】【详解】阴影部分表示的是，根据题意，或，则，所以，故选C.本题主要考查集合的运算.2.设a，b，c为非零实数，且abc则下列判断

中正确的是（）A.abc+B.2abcC.22acbcD.112abc+＜【答案】C【解析】【分析】利用特值可判断ABD，根据不等式的性质可判断C.【详解】因为abc，取2,3,4abc=−=−=−，则54abc+=−=−，故A错误；取

1,1,2abc==−=−，则214abc=−=，11201abc+==−，故BD错误；因为2,0abc，所以22acbc，故C正确.故选：C.3.已知函数()fx的图象如图所示，那么下列各式正确的是（）A.(1)(2)(3)0fff

B.(1)(2)(3)0fffC.(3)(2)(1)0fffD.(3)(2)(1)0fff【答案】A【解析】【分析】根据()fx的图象与导函数图象之间的关系判断

．【详解】由()fx图象知，()fx递减，即()0fx，但()fx图象的切线斜率随着x的增大而增大，导函数()fx是递增的，因此(1)(2)(3)0fff．故选：A．4.一个关于自然数n的命题，已经验证知1n=时命题成立，并在假设nk=（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2

nk=+时命题成立，那么综上可知，该命题对于（）A.一切自然数成立B.一切正整数成立C.一切正奇数成立D.一切正偶数成立【答案】C【解析】【分析】依据数学归纳法规则去判断即可解决【详解】已经验证知1n=时命题成立，并在假设nk=（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n

k=+时命题成立，那么综上可知，命题对13579n=，，，，，成立即该命题对于一切正奇数成立故选：C的5.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是A.34B.18C.78D.58【答案】D【解析】

【分析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概

率减法公式，代入求出答案．【详解】甲解决这个问题的概率是14，甲解决不了这个问题的概率是13144−=，乙解决这个问题的概率是12，乙解决不了这个问题的概率是11122−=则甲、乙两人均不能解决该

问题的概率为313428=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35188−=故选：D．【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均

不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．6.已知二次函数2()2(R)fxaxxcx=++的值域为[0,)+，则14ca+的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】A【解析】【分析】根据函数值域可推出1ac=，利用均值不

等式即可求解.【详解】因为二次函数2()2()fxaxxcxR=++的值域为[0,)+，所以0Δ440aac=−=，即1ac=，0,0ac，所以14142244caca+==，当且仅当14ca=，即1,22

ca==时等号成立，故选：A7.下列函数中，在(0,+∞)为增函数的是（）A.tanyx=B.1yx=C.1exy−=D.11yxx=++【答案】D【解析】【分析】根据基本函数的单调性判断ABC，利用导数判断D．【详解】对于A，ta

nyx=在每一个单调区间上单调递增，在()0,+不具有单调性，故A错误；对于B，1yx=在()0,+是减函数，故B错误；对于C，111e,1ee,1xxxxyx−−−==在(1,)+为

增函数，在(,1)−为减函数，故C错误；对于D，11yxx=++，()()()()2222211121111xxxyxxx+−+=−==+++，所以0x时0y，函数在()0,+为增函数，故D正确.故选：D．8.函数()

33cosxxyx−=−在区间ππ,22−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos,,22xxfxxx

−=−−，则()()()()()33cos33cosxxxxfxxxfx−−−=−−=−−=−，所以()fx为奇函数，排除BD；又当0,2x时，330,cos0xxx−−，所以()0fx，排除C.故选：A.9.设()()2ln,111fxaxx=+−

−是奇函数，则使()0fx＜的x的取值范围是（）A.(－1，0)B.(0，1)C.(－∞，0)D.()(),01,−+【答案】A【解析】【分析】由奇函数的性质求得a，再解对数不等式可得．【详解】()fx为奇函数，则(0)ln(2)0f

a=+=，1a=−，此时21()ln(1)ln11xfxxx+=−=−−，定义域是(1,1)−，1()ln()1xfxfxx−−==−+，满足题意，1()ln01xfxx+=−，1011xx+−，解得10x−．故选：

A．10.在数列na中，已知()2Nnannn=+，则“12aa”是“na是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别求出当12aa、“na

是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】已知()2Nnannn=+，若12aa，即124++，解得3−.若数列na是单调递增数列，对任意的Nn，1nnaa+，即()()2211nnnn++++，所以，

21n−−对任意的Nn恒成立，故3−，因此，“12aa”是“na是单调递增数列”的充要条件.故选：C.11.已知关于x的方程||10xekx−+−=有2个不相等的实数根，则k的取值范围是.A.(1,0)(0,1)−B.(1,0)−C.(2,0

)−D.(2,0)(0,2)−【答案】A【解析】【分析】将问题转化为直线ykx=与函数()1xfxe−=−的图象有两个公共点问题，并且可发现直线ykx=与曲线()yfx=有一个公共点原点，考虑临界位置，即直线ykx=与曲线()yfx=的图象切于原点时，利

用导数求出临界k值，结合图象观察直线斜率变化，求出k的取值范围．【详解】由10xekx−+−=，得1xkxe−=−，令()1xfxe−=−，则问题转化为：当直线ykx=与曲线()1xfxe−=−有两个公共点时，求k的取值范围．由于0010ek

−+−=，所以，直线ykx=与曲线()1xfxe−=−有公共点原点，如下图所示：易知()1,01,0xxexfxex−−=−，①先考虑直线ykx=与曲线1xye=−切于原点时，k的取值，对函数1xye=−求导得xye=−，当直线ykx=

与曲线1xye=−切于原点时，01xky===−，结合图象知，当10k−时，直线ykx=与函数()yfx=的左支有两个公共点；②考虑直线ykx=与曲线1xye−=−切于原点时，k的取值，对函数1xye=−求导得xye−=，当直线y

kx=与曲线1xye=−切于原点时，01xky===，结合图象知，当01k时，直线ykx=与函数()yfx=的右支有两个公共点．因此，实数k的取值范围是()()1,00,1−U，故选A．【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的

取值范围问题，对于这类问题，一般是转化为两曲线的交点个数问题，本题是转化为直线与曲线有两个公共点，而且有一个明显的公共点，所以要考虑直线与曲线有公共点这个临界位置，并利用导数求出临界位置的参数值，借助图形观察直线斜率的变化，从而求出参数的取值范围，属于难题．12

.已知数列na的各项均为正数，且满足21nnaad+−=(d为常数，1,2,)n=．给出下列四个结论：①对给定的数列na，设nS为其前n项和，则nS有最小值；②若数列na是递增数列，则0d；③若数列

na周期数列，则最小正周期可能为2；④若数列na是常数列，则14d−其中，所有正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】利用数列na的各项均为正数以及前

n项和表达式判断①；若数列na是递增数列，则有1nnaa+，进而根据已知条件化简式子求出d的取值情况判断②；若数列na是最小正周期为2的数列，则有2nnaa+=，对d和na取特殊值验证判断③；若数列n

a是常数列，设1nnaat+==，则2ttd−=，从函数的角度求d的取值情况判断④.【详解】对于①，在数列na的各项均为正数的情况下，设nS为其前n项和，是则12nnSaaa=+++，易知nS递增，因此nS有最小值1a，①正确；

对于②，若数列na是递增数列，则1nnaa+成立，又1nnaad+=+，nnada+成立，即21142nda−+−成立，则14d−，②错误；对于③，若数列na是最小正周期为2的数列，则2nnaa+=，即1nn

nadadda++=++=成立，当0d=，1na=时，上式成立，数列na是最小正周期为2的数列，③正确；对于④，若数列na是常数列，设1nnaat+==，则2ttd−=，令()()20ftttt=−，则()21124ftt=−−，()min1124

fxf==−，21,4dtt=−−+，④正确.综上所述，所有正确结论的个数是3个.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．13.函数()22xfxx−=的定义域为__________．【答案】)(2,00,2−【解析

】【分析】求出使函数式有意义自变量的范围．【详解】由题意2200xx−，解得22x−且0x，所以定义域为)(2,00,2−．故答案为：)(2,00,2−．14.已知0.51.2a=，1.50.5b=，22c=，则a，b，c按从小到大排列为__

_________．【答案】b<c<a【解析】【分析】根据指数函数性质比较大小．的【详解】0.51.21，1.51.50.51120.5()()1222==，所以b<c<a．故答案为：b<c<a．15.已知3个等差数列{na

}，{nb}，{nc}，其中数列{nc}的前n项和记为nS，已知nnnabS=，写出一组符合条件的{na}与{nb}的通项公式___________．【答案】12nan=，1nbn=+（答案不唯一）．

【解析】【分析】任意写出一个等差数列{}nc，求出和nS，再由nS的表达式得出,nnab．【详解】例如：ncn=，1(1)2nSnn=+，12nan=，1nbn=+．故答案为：12nan=，1nbn=+（答案不唯一）．16.若函数sin

()cosaxfxx−=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a的取值范围是_________．【答案】[2,)+【解析】【详解】试题分析：因为函数sin()cosaxfxx−=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0

fx在区间ππ(,)63恒成立，22cossin(sin)(sin)sin1()coscosxxaxxaxfxxx−−−−−==因为2cos0x，所以sin10ax−在区间ππ(,)63恒成立所以1sin

ax因为(,)63x，所以13231sin2223sinxx所以a的取值范围是[2,)+考点：1．恒成立问题；2．导函数的应用．17.已知函数222,()2,.xxxafxxxxa−=−−，给出下列四个结论：①存在实数a，使函数()fx为奇函数；②对任意实

数a，函数()fx既无最大值也无最小值；③对任意实数a和k，函数()yfxk=+总存在零点；④对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数()fx在区间(1,)m−上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.【答案】①②④【解析】【分析】分别作出0a=，0

a和a<0的函数()fx的图象，由图象即可判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为0a=，0a和a<0时函数()fx的图象，对于①：当0a=时，222,0()2,0xxxfxxxx−=−−，()fx图象如图1关于原点对称，所以存在0a=

使得函数()fx为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当x→−时，y→−，当x→+时，y→+，所以函数()fx既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图2和图3中存在实数k使得函数()yfx=图象与yk=−没有交点，此时函数(

)yfxk=+没有零点，所以对任意实数a和k，函数()yfxk=+总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图2，对于任意给定的正实数m，取1am=+即可使函数()fx在区间(1,)m−上单调递减，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，

涉及二次函数的图象，要讨论0a=，0a和a<0即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三、解答题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．18.已知数列{na}，其n项和为nS，满足✮．请你从①11a=，14nnaa+=+；②21nnSa=−；③11

a=，12nnaa++=．这三个条件中任选一个，补充在上面的“✮”处，并回答下列问题：（1）求数列{na}的通项公式；（2）当100nS，求n的最大值．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）若选①，则可得数列{na}是4为公差，1为首项的等差数列，从而可求出其通项公式，若

选②，利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求解通项公式，若选③，则可得数列{na}为常数列，从而可求出其通项公式，（2）若选①，则利用等差数列的求和公式求出nS，然后解不等式可得答案，若选②

，则利用等比数列的求和公式求出nS，然后解不等式可得答案，若选③，则求出常数列的前n项和，然后解不等式可得答案，【小问1详解】若选①，因为14nnaa+=+，所以14nnaa+−=，所以数列{na}是4为公差，1为首

项等差数列，所以1(1)14(1)43naandnn=+−=+−=−，若选②，当1n=时，1121aa=−，得11a=，当2n时，由21nnSa=−，得1121nnSa−−=−，所以1122nnnnSSaa−−−=−，得12nnaa−=，所以数列{na}是以2为公比，1为首项的等

比数列，所以1112nnnaaq−−==，的若选③，因为12nnaa++=，所以12(2)nnaan−+=，所以110nnaa+−−=（2n），即11nnaa+−=（2n），因为11a=，12nnaa++=，所以121aa==，所以数列{na}为常数列，所以1na=【小问2详解】若选①，由

（1）可知数列{na}是4为公差，1为首项的等差数列，所以21(1)2(1)22nnnSnadnnnnn−=+=+−=−，当100nS时，22100nn−，即221000nn−−，解得7n（*Nn），所以

n的最大值为7，若选②，由（1）可知数列{na}是以2为公比，1为首项的等比数列，所以122112nnnS−==−−，当100nS时，21100n−，解得6n（*Nn），所以n的最大值为6，若选③，由（1）可知数列{na}为常数列，

且1na=，所以nSn=，当100nS时，100n（*Nn），所以n的最大值为10019.某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业

额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下96.5199.514.516.520.512.5日营业额线上日营业额11.591217192321.515若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称

该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．

（各门店的营业额之间互不影响）（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望

；（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1和2，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为21s和22s．试判断1和2的大小，以及21s和22s的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）156；（2）分布列见解析，32；（3）221212,ss=.【解析】【分析

】（1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可.（2）由二项分布的概率公式运算即可得解；（3）根据数据进行计算然后直接判断即可.【详解】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7所以所求的概率为3338156CC=（2）由题意，日营业总额达标的概率为12，X的所

有可能取值为：0，1，2，3，所以()330112108PXC−===，()13211138212PXC−===，()23211122328PXC−===，()33312

138PXC===，所以X的分布列为X0123P18383818所以()13322EX==；（3）196.5199.514.516.520.512.513.58+++++++==211.591217192321.515168+++++++==()()()()(

)()()()2222222221913.56.513.51913.59.513.514.513.516.513.520.513.512.513.58s−+−+−+−+−+−+−+−=所以21175.58s=()

()()()()()()()222222222211.516916121617161916231621.51615168s−+−+−+−+−+−+−+−=所以22175.58s=所以221212,ss

=20.已知函数()(1)ln()afxaxaRx=−−.（1）若1a=−，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）曲线()yfx=在直线2yx=−的上方，求实数a的取值范围.【答案】（1）340xy−−=（2）()1,e【解析】【分析】（1）由1a=

−，得到2112()2ln,'()fxxfxxxx=−+=+，进而求得'(1),(1)ff，写出切线方程；（2）将问题转化为0,x">(1)ln2aaxxx−−−恒成立，令()(1)ln2,agxaxxx=−−+−其中0x，用导数法求

解.【小问1详解】解：1a=−时，2112()2ln,'()fxxfxxxx=−+=+.'(1)3,(1)1,ff==−所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为13(1),yx+=−即340xy−−=.【小

问2详解】曲线()yfx=在直线2yx=−的上方，即0,x">(1)ln2aaxxx−−−恒成立，设()(1)ln2,agxaxxx=−−+−其中0x.2222(1)(1)(1)()'()1.aaxaxaxxagxxxxx−−

−−+−=−−+==①若0,a'()0,()gxgx在(0,)+上单调递增.因为(1)10,ga=−所以0a不满足条件.②若0,a令'()0,.gxxa==当(0,)xa时，'()0,()gxgx在(0,)+上单调递减，当(,)xa+时，'()0,()gxgx

在(0,)+上单调递增，所以min()()1(1)ln2(1)(1ln).gxgaaaaaa==−−+−=−−令min()(1)(1ln)0gxaa=−−，解得1e.a综上，实数a的取值范围为(1,e).21.已知函数()()2exfxxaxa=++R，其中e是自然对数的底数．（

1）若f(x)在1x=处取得极小值，求a的值；（2）若存在12,xx12()xx，使得()()12fxfx=，且122xx+=，求a的取值范围．【答案】（1）e2a=−−（2）e2a−−【解析】【分析】（1）求导数()fx，由()01f=求得a，代入函数检验1x=是极小值

点即得；（2）问题进行转化，设11xt=−，21(0)xtt=+，转化方程(1)(1)ftft−=+有正数解，构造函数()(1)(1)gtftft=+−−，求导函数()gx，需要多次求导得出()gt的最小值

，然后分类讨论得出()0gt=有正数解时参数范围．【小问1详解】()e2xfxxa=++，由题意(1)e20fa=++=，e2a=−−，此时()e2e2xfxx=+−−，易知()fx是增函数，又()01f=

，所以1x时，()0fx，()fx递减，1x时，()0fx，()fx递增．所以(1)f极小值，满足题意．所以e2a=−−；【小问2详解】若存在12,xx12()xx，使得()()12fxfx=，且122xx+=，设11xt=−，21(0)xtt=+，则(1)(1)ftft−=+

，所以方程1212e(1)(1)e(1)(1)tttattat−++−+−=++++在(0,)+上有解．设11()ee(42)(0)ttgtatt+−=−++，11()ee42ttgta+−=+++，设()()h

tgt=，则11()eettht+−=−，设()()tht=，则11()ee0ttt+−=+，所以()t，即()ht是增函数，()(0)0hth=，所以()ht即()gt是增函数，(0)2

e42ga=++，若(0)2e420ga=++，即e2a−−，则()0gt恒成立，()gt是增函数，()(0)0gtg=，()0gt=无正数解，不合题意．若(0)2e420ga=++，即e2a−−，则存在00t，使得0

()0gt=，在0(0,)t上，()0gt，()gt递减，在0(,)t+上，()0gt，()gt递增，又(0)0g=，则0()0gt，显然t→+时，()gt→+，是所以存在0tt，即0t，使得()0gt=．综上，e2

a−−．【点睛】难点点睛：本题考查由函数的极值点求参数值，用导数研究方程有解问题，难点是问题的转化，设121,1(0)xtxtt=−=+，问题转化为方程(1)(1)ftft−=+有正数解，然后再构造函数，由导数研究函数的单调性得结论．解题思想是消元：二元化一元．22.设A为非空集合，令()

,|,AAxyxyA=，则AA的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如0,1,2A=时，1R={0，2}，2R=AA，3R=，1R={(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：①(自反性)若x

A，有(),xxR，则称R在A上是自反的；②(对称性)若(),xyR，有(),yxR，则称R在A上是对称的；③(传递性)若()(),,,xyyzR，有(),xzR，则称R在A上是传递的；如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．（1）已知0,1,2A

=，按要求填空：①用列举法写出AA=______________________；②A上的关系有____________个(用数值做答)；③用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}

，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5个．（2）设1R和2R是某个非空集合A上的关系，证明：①若1R，2R是自反的和对称的，则12RR也是自反的和对称的；②若1R，2R是传递的，则12RR

也是传递的．（3）若给定的集合A有n个元素(4n)，1A，2A，．．．，()2mAmn为A的非空子集，满足12...mAAAA=且两两交集为空集．求证：()()1122...)(mmRAAAAAA=为A上的等价关系．【答案】（1）①答案见解析；②512；③答案见解析；（2

）①证明见解析；②证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）①根据AA的定义直接写出；②求出AA的子集的个数即得；③由等价关系的定义求解；（2）①根据自反和对称的定义证明；②利用传递的定义证明；（3）根据定义证明R具有自反性，

对称性、传递性．【小问1详解】①由题意{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}AA=；②由①知AA中有9个元素，它的子集个数为92512=，所以A上的关系有512个；③A上的所有等价关系：{(0，0)，(1

，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2

，1)}，{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}，共5个．【小问2详解】①因为1R，2R是在A上自反的，所以xA，1(,)xxR，

2(,)xxR，因此12(,)xxRR，所以12RR是自反的，设12(,)xyRR，则1(,)xyR或2(,)xyR，因为12,RR都在A上是对称的册，所以1(,)yxR或2(,)yxR，从而12(,)yxRR，所以12RR在A上是对称的；②若12,RR

都是传递的，设12(,)xyRR，12(,)yzRR，则1(,)xyR且2(,)xyR，1(,)yzR且2(,)yzR，因为12,RR都是传递的，所以1(,)xzR且2(,)xzR，从而12(,)xzRR，所以12RR也是传递的；【小问3详解】①对任意的xA，因为1A，2A，．

．．，()2mAmn为A的非空子集，满足12...mAAAA=且两两交集为空集．则1xA或2xA，…，或mxA，其中有且仅有一个正确，设(ixAi是1,2，…，m中的一个），则(,)iixxAA，而()()1122...)(mmRA

AAAAA=，所以(,)xxR，所以R是A上自反的，②因为1A，2A，…，()2mAmn为A的非空子集，满足12...mAAAA=且两两交集为空集．所以11AA，22AA，…，mmAA的两两交集为空集，设(

,)xyR，则(,)xy属于11AA，22AA，…，mmAA中的一个集合，设(,)iixyAA（i是1,2，…，m中的一个），则(,)iiyxAA，从而()()1122..)((,).mmRAAAAAyxA=，所以R是A上对称的

；③设(,)xyR，(,)yzR，由②知(,)xy属于11AA，22AA，…，mmAA中的一个集合，设(,)iixyAA（i是1,2，…，m中的一个），(,)yz属于11AA，22AA，…，mmAA中的一个集合，设(,)iixyAA（i是1,2，…，m中的一个），不妨设(,

)iixyAA，(,)jjyzAA，所以,ixyA，,jyzA，而1A，2A，．．．，()2mAmn为A的非空子集，满足12...mAAAA=且两两交集为空集．所以ij=，即,,ixyzA，从而(,)iixzA

A，所以(,)xzR，所以R是A上传递的．综上，()()1122...)(mmRAAAAAA=为A上的等价关系．【点睛】本题集合的新定义，集合的新运算．解题关键是正确理解新定义并运用新定义解决问题．证

明问题的思路就是根据自反性、对称性、传递性的定义一一检验证明即可．考查了学生的创新意识．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com