【文档说明】山东省德州市禹城市综合高中2023-2024学年高三10月月考考数学试题 word版含解析.docx，共(20)页，1.039 MB，由小赞的店铺上传

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高三10月份月考数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.1.设集合2340Axxx=+−，02Bxx=Z，则()RAB=ð（）A.1,1−B.2,1−−C.2,1,1−−D.2

,1,1,2−−【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据集合的特征求出集合B，然后利用集合的运算即可求解.【详解】集合2{|340}{|1Axxxxx=+−=或4}x−

，集合022,1,1,2Bxx==−−Z，所以R{|41}Axx=−ð，则R(){2,1,1}AB=−−ð，故选：C.2.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若EFxOCyOD=+，则2xy−=（）A.1B.2C.53D.3

2【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得12EFOCOD=−,进而求得,xy的值，进一步计算即可.【详解】如图：因为1111()2222EFOFOEOCCDOCODOC=−=−=−−12OCOD=−,所以11,,22,2xyxy==

−−=故选：B.3.设等比数列na的公比为q，则1q是na为单调递增数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】111111

(1)nnnnnaaaqaqaqq−−+−=−=−若11,0qa,则10nnaa+−,则na为单调递减数列所以1q是na为单调递增数列的不充分条件若na为单调递增数列,则10nnaa+−,则11(1)0naqq−−即110qa或1010qa

,所以故1q是na为单调递增数列的不必要条件故1q是na为单调递增数列既不充分也不必要条件故选：D4.已知向量()2,1a=r，()2,2b=−，向量a在向量b上的投影向量的坐标为（）A.()2,2−B.11,22−C.2

1,55D.22,22−【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可.详解】由题意易知22212ab=−=，()222222b=+−=，而a在b上的投影向量为：211cos,,822babbaabbbbb==

=−.的【故选：B5.八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A.ABACABAD=B.0OAOBOCOF+=C.EG和HD是一对相反向量D.

ABBCCDEFFGa−++−=【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由正八边形ABCDEFGH中，可得135ABCBCD==，则45KBCKCB==，所以90BKC=，即ABCD⊥，所以()0ABACABADA

BACADABDC−=−==，所以A正确；对于B中，由正八边形ABCDEFGH中，可得45AOB=，135AOD=，则cos45cos1350OAOBOCOFOAOBOAODaaaa+=+=+=，所以B正确；对

于C中，由EG和HD方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；对于D中，由0,0ABEFBCFG+=+=，可得ABBCCDEFFGCDa−++−==，所以D正确.故选：C.6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼

平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为1πsin0,0,32sAtA=+，若振幅是

2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点()1,2，则和的值分别为（）A.ππ,6B.π2π,3C.ππ,6−D.2π,3−【答案】A【解析】【分析】先由振幅得到2A=，再由最高点和最低点的距离为5结合勾股定理可得6T=，从而求得π=，再将()1,2B代入即可

求得π6=，问题得解.【详解】根据题意，由振幅是2易知2A=，故12sin3st=+，则()1,2B是12sin3st=+的最高点，不妨记B相邻的最低点为C，连接BC，过C作CDy⊥轴，过B作BD

CD⊥，交点为D，如图，则2TCD=，()224BD=−−=，5BC=，故222452T+=，得6T=，又因为2π13T=，故12π2ππ363T===，得π=，所以π2sin3st=+，因为()1,2B是π2sin3st=+的点，故π2sin23

+=，得ππ2π32k+=+，即()π2πZ6kk=+，因为π2，所以π6=，故π=，π6=.故选：A..7.已知定义在R上的函数()fx满足()()11fxfx−=+，且

()1fx−是偶函数，当13x时，()124xfx=+，则()2log40f=（）A.52B.94C.114D.3【答案】C【解析】【分析】根据()1fx−是偶函数和()()11fxfx−=+得到4是()fx

的一个周期，然后利用周期性求函数值即可.【详解】因为()1fx−是偶函数，所以()()11fxfx−=−−，则()()31fxfx−=−+，因为()()11fxfx−=+，所以()()31fxfx−=+，则4是()fx的一

个周期，因为222log32log40log64，所以25log406，21log4042−，()()2log40422140111log40log404241644ff−=−=+=+=.故选：C.8.已知tan，tan是方程23340xx++=的两根

，且ππ22−，ππ22−，则+的值为（）A.π3B.2π3−C.π3或2π3−D.π3−或2π3【答案】B【解析】【分析】由韦达定理得tantan33,tantan4+=−=，即tan0,tan0，得π0−+，

再根据两角和的正切公式解决即可.【详解】由题知，tan，tan是方程23340xx++=的两根，所以tantan33,tantan4+=−=，即tan0,tan0，因为ππ22−，ππ22−，所

以π02−，π02−，所以π0−+，因为tantan33tan()301tantan3+−+===−−，所以2π3+=−，故选：B二、多项选择题：9.已知函数()sincosfxxx=−则（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx在π0,2

上单调递增C.直线π4x=−是()fx图象的一条对称轴D.()fx的图象可由2sinyx=的图象向左平移π4个单位长度得到【答案】BC【解析】【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的性质判断ABC，结合函数图象变换判断D.【详解】()sincosfxxx=−可化为π()2sin4fx

x=−，函数π()2sin4fxx=−的最小正周期为2π，A错误；当π02x时，πππ444x−−，因为sinyx=在ππ,44−上单调递增，所以函数()fx在π0,2上单调递增，B正确；当π4x=−时，

ππ42x−=−，所以直线π4x=−是()fx图象的一条对称轴，C正确；函数2sinyx=的图象向左平移π4个单位长度得到函数π()2sin4gxx=+的图象，D错误.故选：BC.10.已知

定义在R上的奇函数(),,(0,)fxxy+，()()()fxyfxfy=+，且当1x时，()0fx，则（）A.()10f=B.()fx有2个零点C.()fx在(),0−上为减函数D.不等式(1)0xfx−的

解集是()1,2【答案】AD【解析】【分析】根据赋值法可判断A，根据奇函数的性质可判断CB,结合()fx的性质得()1fx−的图象，数形结合即可判断D.【详解】在()()()fxyfxfy=+中，令1xy==，得()()()()111,10ffff=+=，故A正确；又()fx为R上的奇函数，

()10f−=，()00f=，∴()fx至少有三个零点，故B错误；设x1，()20,x+，且12xx，则211xx，210xfx，()()()()2121111xfxfxfxfxfxx

−=−=−()221110xxffxfxx+=−，∴12()(),()fxfxfx在(0,)+上是增函数，由于()fx为奇函数，∴()fx在(),0−上也是增函数，故C错误：由题意，画出()1fx−

的图象如图，()10xfx−等价于()010xfx−或()010xfx−，由图可知不等式的解集为|12xx,故D正确.故选:AD11.已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，

c，且10c=，coscos2bCcB+=，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是ABC所在平面内一点，230OAOBOC++=，则下列说法正确的是（）A.若()0ABACBC+=，则6ABAC+=B.若CA在CB方

向上的投影向量为CB，则PQ的最小值为104C.若点P为BC中点，则20OPOQ+=D.若0ABACBCABAC+=，则()APABAC+为定值18【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据向量加法的运算法则及三角函

数的诱导公式化简计算；对于B，易知当PQBC⊥时，PQ取得最小值，计算可得；对于C，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于D，根据向量数量积运算律计算即可.【详解】解：如图，设BC的中点为E，连接QE，∵coscos

2bCcB+=，由余弦定理可得：222222222abcacbbcabac+−+−+=，∴2222aa=，∴2a=，又230OAOBOC++=，∴()2OAOCOBOC=−++，∴()222OQOE=−，∴2OQOE=−，对A选项，∵()

0ABACBC+=，∴20AEBC=，∴AEBC⊥，又E为中点，∴11122BEBCa===，又10ABc==，∴221013AEABBE=−=−=，∴26ABACAE+==，故A选项正确；对B选项，∵CA在CB方向上的投影向量为CB，∴AB

BC⊥，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当的PQBC⊥时，PQ最小，此时11022PQAB==，故B选项错误；对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵2OQOE=−，∴2OQOP=−，∴20OPOQ+=，故C选项正确；对D选项，∵0ABACBCABAC+=，∴BAC

的平分线与BC垂直，∴ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴AEBC⊥，又由A选项分析知3AE=，∴根据向量数量积的几何意义知29APAEAE==，∴()()222918APABACAPAEAPAE+===

=，故D选项正确．故选：ACD．12.已知函数()ln1fxxxax=−+，则（）A.当0a=时，函数()fx最小值为11e−B.当1a=时，函数()fx的极大值点为1x=C.存在实数a使得函数()f

x在定义域上单调递增D.若()0fx恒成立，则实数a的取值范围为1a【答案】AD【解析】【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由()0fx在()0,x+上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数()1lngxxx=+求得其最小值，即可判断D.【详解】

因为函数()ln1fxxxax=−+，则()ln1fxxa=+−，其中()0,x+，当0a=时，则()ln1fxx=+，令()0fx=，可得1ex=，的当10,ex时，()0fx，则函数()fx单调递减，当1,ex+

时，()0fx¢>，则函数()fx单调递增，当1ex=时，()fx有极小值，即最小值111eef=−，故A正确；当1a=时，则()lnfxx=，令()0fx=，可得1x=，当()0,1x时，()0fx，则函数()fx单调递减，当()1,x+时

，()0fx¢>，则函数()fx单调递增，当1x=时，函数()fx有极小值，则1x=为极小值点，故B错误；假设存在实数a使得函数()fx在定义域上单调递增，则()0fx在()0,x+上恒成立，即ln10xa+−在()0,x+上恒

成立，所以()minln1ax+在()0,x+上恒成立，因为lnyx=的值域为R，所以函数ln1yx=+无最小值，故不存在实数a使得函数()fx在定义域上单调递增，故C错误；若()0fx恒成立，即ln10xxax−+在()0,x+上恒成立，即1lnaxx+在()0,x+上恒成立

，令()1lngxxx=+，则()22111xgxxxx−=−=，令()0gx=，则1x=，当()0,1x时，()0gx，则函数()gx单调递减，当()1,x+时，()0gx，则函数(

)gx单调递增，当1x=时，()gx有极小值，即最小值()()min11gxg==，所以1a，故D正确；故选：AD三.填空题（共4小题）13.已知向量(1,3),||2,|2|25abab==+=，则a与b夹角的大小为_____________．【答案】π4【解析

】【分析】根据题意可得2(2)20ab+=，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.【详解】由(1,3)a=，得2a=，由225ab+=，得2(2)20ab+=，即224420aabb++=，得4422cos,4220ab+

+=，所以2cos,2ab=，又,0,πab，所以π,4ab=，即a与b的夹角为π4.故答案为：π4.14.已知1ab，若10loglog3abba+=，baab=，则ab+=．【答案】43【解析】【详解】因为1

ab，所以log1ba，又10loglog3abba+=，110loglog3bbaa+=，整理得2103(log)10log3,3bbaa−+=解得log3ba=或1log3ba=（舍去）因此3ab=，因

为baab=，所以33bbbb=，33,1,3,33bbbba===，43ab+=15.已知函数()πsin2cos2fxxfx=+，则π3f=______．【答案】3122−【解析】【分析】先求导函数，解出π2f的值，代入函数即可求

得π3f.【详解】由已知，()π2cos2sin2fxxfx=−，则ππππ2cossin22222fff=−=−−所以，π12f=−，()sin2cosfxxx=−所以，πππ31sin2cos33322f

=−=−.故答案为：3122−.16.已知cos0，3sin2cos21−=，则tan2=______.【答案】340.75【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：()222

22sin2cos21sin23sin21110sin26sin203sin2cos21+=+−=−=−=，当sin20,cos21==−，此时1cos2cos02+==，不合题意；当34sin2,cos255==，符合题意；所以sin23tan2cos2

4==.故答案为：34四.解答题（共6小题）17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且:1:2BEEC=，直线DE与AB的延长线交于点F，记ABa=，ADb=．（1）试用a，b表示MA、MB；（2）试用a，b表示DF．【答案】（1）1122MAab=−−

，1122MBab=−；（2）32DFab=−.【解析】【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出MA，再利用向量减法法则求出MB作答.（2）利用平行线的性质探求出32AFAB=，再利用向量减法法则求解作答.【小问1详解】平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，11111()()22

222MACACDDAABADab==+=−−=−−，1111()2222MBDBABADab==−=−.【小问2详解】点E在BC上，且:1:2BEEC=，//BEAD，则BEFADF∽，于是13BFBEBEAFADBC===

，即13BFAF=，3322AFABa==，所以32DFAFADab=−=−18.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cbabac+=++．（1）求角A的大小；（2）若AD平分BAC并交BC于D，且=2AD，=3a，求ABC的面积．

【答案】（1）3A=；（2）332.【解析】【分析】（1）变形给定的等式，再利用余弦定理求解作答.（2）根据给定条件，结合（1），利用三角形面积定理求出+bc，进而求出bc计算作答.【小问1详解】因1cbabac+=++，则()()()()cacba

bacab+++=++，整理得：222bcabc+−=，.在ABC中，由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+−==，而0A，所以3A=.【小问2详解】在ABC中，AD平分BAC并交BC于D，则6BADCAD==，而=2AD，显然有BADCADABCSSS+=，即111si

nsinsin222cADBADbADCADbcBAC+=，则1sinsinsin6623cbbc+=，整理得：32bcbc+=，又=3a，由（1）知，22()3bcabc+−=，即有23()3904bcbc−−

=，而0bc，解得6bc=，所以ABC的面积11333sin62222ABCSbcBAC===.19.设数列na的前n项和为nS，已知1a，na，nS成等差数列，且432aS=+.（1）求na的通项公式；（2）若2212231loglognnnbaa++=，nb的前n项和为

nT，若对任意正整数n，不等式nT恒成立，求的最小值.【答案】（1）2nna=（2）16【解析】【分析】（1）根据1a，na，nS成等差数列，可得12nnaaS=+，再根据na与nS的关系求通项即可；（2）利用裂项相消法求出nT，从而可求得

nT的范围，即可求出的范围，即可得解.【小问1详解】解：因为1a，na，nS成等差数列，所以12nnaaS=+，即12nnSaa=−，当2n时，1122nnnnnaSSaa−−=−=−，即12nnaa−=，由432aS=+，得0na，所以数列

na是以2为公比的等比数列，则4312322aSaaa=+=+++，即11118242aaaa=+++，所以12a=，所以2nna=；【小问2详解】解：()()22122311111loglog212322123

nnnbaannnn++===−++++，则1111111111123557212323236nTnnn=−+−++−=−+++，因为nT恒成立，所以16

，所以的最小值16.20.已知数列na的前n项和为()11,1,221nnnSSSannn−=−=−（1）求数列na的通项公式；（2）令2nnnab=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）43nan=−（2）4552nnnT+=−【解析】【分析】（1）根据等差数列的定

义可得数列nSn是等差数列，从而求得nS，然后利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求得na；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】因为()111,221nnSSannn−=−=−，11111Sa==，所以数列n

Sn是首项为1，公差为2的等差数列，则21nSnn=−，所以22nSnn=−，当2n时，()()221221143nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−，当1n=时，上式也成立，所以43nan=−；【小问2详解】4322nnnn

anb−==，23159432222nnnT−=++++，234111594743222222nnnnnT+−−=+++++，两式相减得2341114444432222222nnnnT+−=+++++−1111143212212nnn−+−−=+−−154522nn++=

−，所以4552nnnT+=−.21.已知函数()lnafxxaxx=−+存在两个极值点12,xx.（1）求a的取值范围；（2）求()()123fxfxa+−的最小值.【答案】（1）()4,+（2）2e−【解析】【分析】（1）根据极值点

的定义可知()0fx=，即()20gxxaxa=−+−=有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得a的取值范围；（2）由（1）可知1212xxxxa+==，由此化简()()123fxfxa+−为ln3aaa−，令

()()ln34haaaaa=−，利用导数可求得()minha，即为所求的最小值.【小问1详解】由题意知：()fx定义域为()0,+，()2221aaxaxafxxxx−+−=−−+=；令()2gxxaxa=−+−，则()0gx=有两个

不等正根12,xx，21212Δ4000aaxxaxxa=−+==，解得：4a，实数a的取值范围为()4,+.【小问2详解】由（1）知：4a，12,xx是()0gx=的两根，则1212xxxxa+==；()

()121122123lnln3aafxfxaxaxxaxaxx+−=−++−+−()()()12121212ln3ln3axxxxaxxaaaaxx+=−++−=−；令()()ln34haaaaa=−，则()ln2haa=−，当()

24,ea时，()0ha；当()2e,a+时，()0ha；()ha在()24,e上单调递减，在()2e,+上单调递增；()()2222mine2e3eehah==−=−，即()()123fxfxa+−的最小值为2e

−.22.设函数23ln2()2,()2,eexxxxfxaxaxgxaxax=+−=++R．（1）讨论()fx的单调性;（2）若[1,0)a−，求证：()43+gxa．【答案】（1）单调性见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()()112exfxxa

=−−，再0a和0a两种大情况讨论，在0a时根据导函数的两根的大小关系讨论分析即可；（2）整理所证不等式为()232lne2xxaxaxxx+−−，再根据（1）结论得出212eexxaxax+−，再构造证明()33ln22xx−即可【小问1详解】由

题，()()112212eexxxfxaxaxa−=+−=−−①当0a时，120xae−，令()0fx=则1x=，故当(),1x−时，()0fx¢>，()fx单调递增；当()1,x+时，()0fx

，()fx单调递减；②当0a时，令()0fx=则11x=，2ln2xa=−：当ln21a−，即12ea时，在当(),ln2xa−−和()1,+时，()0fx¢>，()fx单调递增；当()ln2,1xa−时，()0fx，()fx

单调递减；当ln21a−=，即12ea=时，()0fx，()fx单调递增；当ln21a−，即102ea时，在当(),1x−和()ln2,a−+时，()0fx¢>，()fx单调递增；当()1,ln2xa−时，()0fx，()

fx单调递减；综上所述，当0a时，()fx在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减；当12ea时，()fx在(),ln2a−−和()1,+上单调递增，在()ln2,1a−上单调递减；当12ea=时，()fx单调递增；当102ea时，()fx在(),1−和()ln2,a

−+上单调递增，在()1,ln2a−上单调递减【小问2详解】由题，即证3ln2243,[1,0)exxaxaax+++−，即233ln22e2xxxaxax+++，得()232lne2xxaxaxxx+−−.由（1）可得当[1,0)a

−时()22exxfxaxax=+−()fx在(),1−上单调递减，在()1,+上单调递增，故2111122eeeexxaxaxaaa+−+−=−，当且仅当1x=时取等号.设()()3ln2hxxx=−，则()()312xhxx−=，故在()0,1

上()0hx，()hx单调递减；在()1,+上()0hx，()hx单调递增.故()()312hxh=，即()33ln22xx−，故()21332lnee22xxaxaxxx+−−，故()232lne2xxaxaxxx+−−即得证【点睛】本题主要考查了求导分类讨论分析函

数单调性的问题，同时也考查了构造函数证明不等式的问题，需要联系前问的结论化简不等式再证明，属于难题获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com