【文档说明】重庆市南坪中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，718.692 KB，由管理员店铺上传

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2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置.2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走.一、单项选择题：本大题共

8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若集合1,2,3,4U=,集合1,2A=,2,3B=,则UAB=ðA2B.

1,3C.1,2,4D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】1,4UB=ð，1,2,4UAB=ð.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2.“0

2x”是“13x−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】02x时，一定有13x−，满足充分性，但13

x−时，如2.5x=，不满足02x，即不满足必要性，“02x”是“13x−”的为充分不必要条件．故选：A．.3.已知0ab，dc，则（）A.0acbdB.acbdC.acbd++D.0acbd++【答案】C【解析】【分析】取0dc，可判断A选

项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.【详解】对于A选项，若0dc，则0acbd，A错；对于B选项，取3a=，2b=，2c=−，3d=−，则acbd=，B错；对于C选项，因为

0ab，dc，由不等式的性质可得acbd++，C对；对于D选项，取3a=，2b=，2c=−，3d=−，则0acbd++，D错.故选：C.4.已知函数211,1()1,11xxfxxx−−=+，((2))ff=（）A.15−B.15C.1−D.1【答案】A【解析

】【分析】直接代入数据计算得到答案.【详解】211,1()1,11xxfxxx−−=+，11((2))55fff==−.故选：A【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.5.函数()()01132xfxxx+=+−−的定义域为（）A.

2,3+B.()2,11,3+C.()2,11,3+D.2,3+【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，即可解得函数的定义域.【详解】由题意对于()()01132xfxxx+

=+−−，得32010xx−−，解得23x且1x，故C正确.故选：C.6.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年

）满足二次函数关系：224098stt=−+−，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（）年．A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】表示出平均利润st，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.【详解】平均利润为2240989

898240224012stttttttt−+−==−++−+=，当且仅当982tt=，即7t=时取最大值.故选：A.7.已知函数()()4fxxx=+，且()()2230fafa+−，则实数a的取值范围是（）A.()3,0−B.()3,1−C.()1,1−D.(

)1,3−【答案】B【解析】【分析】分析可知()fx奇函数，且在R内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因为()fx的定义域为R，且()()()()()44fxxxxxfx−=−−+=−+=−，可

知函数()fx为奇函数，当0x，则()()244fxxxxx=+=+，且24yxx=+的开口向上，对称轴为2x=−，可知()fx在)0,+内单调递增，为由奇函数性质可知()fx在(,0−内单调递增，所以()fx在R内单调递增，若()()22

30fafa+−，则()()()22332fafafa−−=−，可得232aa−，即2230aa+−，解得31a−，所以实数a取值范围是()3,1−.故选：B.8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数()1,0,RxQfxxQ=ð被称为狄利克雷函数，

其中R为实数集，Q为有理数集，以下关于狄利克雷函数()fx的四个结论中，正确的个数是个.①函数()fx偶函数；②函数()fx的值域是0,1；③若0T且T为有理数，则()()fxTfx+=对任意的xR恒成立；④在()fx图象上存在不同的三个点A，B

，C，使得ABCV为等边角形.A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】当xQ时，Qx−，当RxCQ时，RxCQ−，函数为偶函数，①正确，函数()fx的值域是0,1，②正确，T为有理数，则当xQ时，xTQ+，当RxCQ时，RxTCQ+，故()()fxT

fx+=，③正确，()0,1，3,03−，3,03构成等边三角形，故④正确，得到答案.【详解】当xQ时，Qx−，当RxCQ时，RxCQ−，故()()fxfx=−，函数为偶函数，①正确；函数

()fx的值域是0,1，②正确；T为有理数，则当xQ时，xTQ+，当RxCQ时，RxTCQ+，故()()fxTfx+=，③正确；()01f=，303f−=，303f=，故()0,1，3,03−

，3,03构成等边三角形，故④正的确；故选：D.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.命题“1x，20xx−”的否定是“1x，20xx−”B.若ab，则22acbcC.命题“Zx，20x”是假命题D.函数21yx=是

偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.【答案】CD【解析】【分析】根据命题的否定，命题的充分必要性直接判断各选项，由函数单调性和奇偶性定义判断选项D.【详解】A选项：命题“1x，20xx−”的否定是“1x，20xx

−”，A选项错误；B选项：当0c=时，22acbc=，B选项错误；C选项：当0x=时，满足Zx，此时20x=，不满足20x，所以命题“Zx，20x”是假命题，C选项正确；D选项：数21yx=的定义域为()(),00,−+，定义

域关于原点对称，因为()()()2211fxfxxx−===−，所以21yx=是偶函数，当𝑥∈(0,+∞)时，设120xx，则2212xx，所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=1𝑥12−1𝑥22=𝑥22−𝑥12𝑥12𝑥22>0，所以21yx=在(0,+∞)上单调递减，故D正确

；故选：CD.10.下列选项中正确的有（）A.已知函数()fx是一次函数，满足()()98ffxx=+，则()fx的解析式可能为()34fxx=−−B.||()xfxx=与1,0()1,0xgxx=−表

示同一函数C.函数()241fxxx=+−的值域为(,4]−D.定义在R上的函数()fx满足2()()1fxfxx−−=+，则()13xfx=+【答案】ACD【解析】【分析】对于A：利用待定系数法求函数解析式；对于B：根据函数定义域分析判断；对于B：根据题意结合二次函数求值域；对于

D：用x−替换x可得2()()1fxfxx−−=−+，解方程即可.【详解】对A，设()(0)fxaxba=+，则()()()()98ffxfaxbaaxbbx=+=++=+，即298aabb=+=，解得32ab==或34ab=−=−，所以()fx的解析式可能为()34f

xx=−−，故A正确；对B，||()xfxx=定义域为|0xx，1,0()1,0xgxx=−定义域为R，两者定义域不同。所以不是同一函数，故B错误；对于C，因为10x−，则函数22()2(1)4122(11)44fxxxx=−−+−+=−−−+

，当且仅当11x−=，即0x=时取等号，所以函数()fx的值域为(,4]−，故C正确.对于D，因为定义在R上的函数()fx满足2()()1fxfxx−−=+①，用x−替换x可得2()()1fxfxx−−=−+②，由①2+②，得3()3fxx=+，所以()13xfx

=+，故D正确.故选：ACD.11.下列命题中正确的是（）A.若0a，0b，21ab+=，则ab的最大值为24B.已知0a，0b，32ab+=，则12abab+++的最小值是222−C.若0ab，则444

1abab++的最小值为4D.若0a，0b，31132abab+=++，则2+ab的最小值为165【答案】CD【解析】【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式

求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D.【详解】对于A，2122abab+=，解得122ab，平方得18ab，当且仅当2ab=，即11,42ab==时取等号，所以ab的最大值为18，故A错误；对于B，由32ab+=，可得230ba=−，得023a，则1111224

222(42)22222222abaaaabaaa++=+−=+−−−−=−+−−−，当且仅当1422aa=−−，即222a=−，故等号不成立，故B错误；对于C，24244141114244abaabababababa

bb+++=+=，当且仅当222ab=且14abab=，即2222,24ab==时取等号，所以4441abab++的最小值为4，故C正确；对于D，31313(2)2[(3)(2)]()255325(3))3(3)5(2abababababababbaba++=++++=++

+++++3(2)16225(3)5(2)53(3)babababa++++=+，当且仅当3(2)5(3)5(2)3(3)bababbaa++=++，即84,55ab==时取等号，所认2+ab的最小

值为165，故D正确.故选：CD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合21,2,1Aaaa=−−−，若1A−，则实数a=______【答案】0【解析】【分析】利用元素与集合的关系，得到关于a的方程，解之即可得解.【详解】因为21,2,1

Aaaa=−−−，1A−，所以21a−=−或211aa−−=−，当21a−=−时，1a=，此时1,1,1A=−−，不满足互异性，舍去；当211aa−−=−时，0a=或1a=（舍去），此时1,2,1A=−−，满足题意；综上，0a=.故答案为：0

.13.已知函数()2fxxxx=−+，则()fx的单调增区间为____________【答案】(1,1)−（开闭都对）【解析】【分析】将函数改写成分段函数，再画出函数图象，结合函数图象即可判断；【详解】解：因为函数222,0()22,0xx

xfxxxxxxx−+=−+=+，作出函数()fx的图象，如图所示：由图可知，函数的单调递增区间为(1,1)−；故答案为：(1,1)−（开闭都对）14.若定义在(,0)(0,)−+上的函数()fx同时满足；①()fx为

奇函数；②对任意的1x，2(0,)x+，且12xx，都有211212()()0xfxxfxxx−−.则称函数()fx具有性质P.已知函数()fx具有性质P，则不等式2(4)(2)2fxfxx−−+的解集为______.【答案】(,3)(1,2)−−−【解析】【分析】不妨设1

20xx，根据题意，转化为()()1212fxfxxx，构造函数()()fxgxx=，得到函数()gx在(0,)+上为单调递减函数，且为偶函数，再分20x−和20x−，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解.【

详解】因为对任意的1x，2(0,)x+，且12xx，都有211212()()0xfxxfxxx−−，不妨设120xx，则120xx−，可得()()21120xfxxfx−，则()()1212fxfxxx，构造函数

()()fxgxx=，则120xx，()()12gxgx，所以函数()gx在(0,)+上为单调递减函数，又因为()fx为奇函数，所以()()()()fxfxgxgxxx−−===−，所以函数()gx为(,0)(0,)−+上的偶函数，所以函数()gx在(,0)−为单调递增函数，当

20x−时，即2x时，有240x−，由2(4)(2)2fxfxx−−+，可得22(2)(4)24fxfxxx−−−−，所以224xx−−，解得2x−，此时无解；当20x−时，即2x时，由2(4)(

2)2fxfxx−−+，可得22(2)(4)24fxfxxx−−−−，所以224xx−−，解得3x−或12x−，综上可得，不等式2(4)(2)2fxfxx−−+的解集为(,3)(1,2)−−−.故答案为

：(,3)(1,2)−−−.【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题：1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，

再利用单调性解决相关问题；2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解；3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻

辑关系，提升逻辑推理能力；4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合27|Axx=−，|121Bxmxm=+−．（1）当4m=时，求AB，AB，()RBAð；（2）若ABB=，求实数m的取值范围．【答案】（1）57ABxx=，(2,7]AB=−，()()R2,5BA=−ð（2）(),4−【解析】【分析】

（1）根据集合交集、并集和补集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可.【小问1详解】当4m=时，可得集合27Axx=−，57Bxx=，所以57ABxx=

，(2,7]AB=−.()()R,57,B=−+ð，()()R2,5BA=−ð.【小问2详解】由ABB=，可得BA，①当B=时，可得121mm+−，解得2m；②当B时，则满足12112217mmmm+−+−−，解得24m，综上实数m的取值

范围是(),4−.16.已知关于x不等式2200xmx−−的解集为2|xxn−．（1）求m，n的值；（2）正实数a，b满足2namb+=，求115ab+的最小值．【答案】（1）8m=，10n=.（2）9【解析】【分析】（1）问题转化为2−，n是方程2200xm

x−−=的两个不同的根求解.（2）根据基本（均值）不等式求和的最小值.【小问1详解】由题意：2−是方程2200xmx−−=的根，所以42200m+−=8m=.因为n是方程28200xx−−=的另外1根，所以220n−=−10n=的【小问2详解】由题

意：1082ab+=541ab+=（0a，0b）所以：115ab+()11545abab=++4555baab=++455295baab+=（当且仅当455baab=即11516ab==时取“=”）.17.已知幂函数()()2157mfxmmx−

=−+为偶函数．（1）求()fx的解析式；（2）若()()3gxfxax=−−在1,3上是单调函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）()2fxx=（2）2a或6a【解析】【分析】（1）根据函数()fx为幂函数得2571mm−+=，从而求出m代入解

析式检验，进而可求出()fx的解析式；（2）求出()23gxxax=−−的对称轴，然后由()gx在1,3上是单调函数，得12a或32a，从而可求出实数a的取值范围.【小问1详解】由题意2571mm−+=，解得2m=或3，若()

fx是偶函数，代入检验可得3m=，故()2fxx=；【小问2详解】()()233gxfxaxxax=−−=−−，()gx对称轴是2ax=，若()gx在1,3上是单调函数，则12a或32a，解得2a或6a．所以实数a的取值范围为2a或6a．18.已知函数()31xfxxx=

++.（1）证明：函数()fx是奇函数；（2）用定义证明：函数()fx在()0,+上是增函数；（3）若关于x不等式()()2310faxaxfax++−对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

0,1【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；（3）根据题意，得到函数()fx为定义域R上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为231

axaxax+−对于任意实数x恒成立，分0a=和0a，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】证明：由函数()31xfxxx=++，可得其定义域为R，关于原点对称，又由()()3(3)11xxfxxxfxxx−=−−=−+=−−++

，所以函数()fx为定义域R上的奇函数.【小问2详解】证明：当(0,)x+时，()133111xfxxxxx=+=+−++，任取12,(0,)xx+，且12xx，可得()()1212121221111131(31)3()()1111fxfxxxxxxxxx−=+−−+−

=−+−++++()()()()121212212113()()[3]1111xxxxxxxxxx−=−+=−+++++因为12,(0,)xx+，且12xx，可得120xx−，()()21110xx++，所以()()120fxfx−，

即()()12fxfx，所以函数()fx在(0,+∞)上是增函数.的【小问3详解】因为函数()fx为定义域R上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，所以函数()fx在(),0−上也是增函数，又因为()00f

=，所以函数()fx在R上是增函数，又由()()2310faxaxfax++−，可得()()231(1)faxxfaxfax+−−=−，因为不等式()()2310faxaxfax++−对于任意实数x恒成立，即不等式()23(1)faxaxfax+−对于任意实数x恒

成立，可得不等式231axaxax+−对于任意实数x恒成立，即不等式2210axax++≥对于任意实数x恒成立，当0a=时，不等式即为10恒成立，符合题意；当0a时，则满足()20Δ240aaa=−，解得01a，综上可得，01a，即实数a的取

值范围[0,1].19.已知函数()()()2,2fxxxgxxx=+−=−.（1）证明：()()222fxgx=+，并求函数()fx的值域；（2）已知a为非零实数，记函数()()()xxhfgxa=−的最大值为()ma.①求()ma；②求满足()1mama=的所有实数a.【答

案】（1）证明见解析，函数()fx的值域为2,2（2）①()()12,,00,2112,,22222,,2aamaaaaa−+−=++；②1a=

−或222a【解析】【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，再求出函数()gx的值域，从而可得出答案；（2）①由（1）得()()212fxgx=−，令(),2,2tfxt=，分0a，102a，22a和1222a四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案；（

2）求出1ma，再分0a，102a，1222a，222a，22a和2a六种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：由函数()2fxxx=+−，得020xx−，解得02x，所以

函数()fx的定义域为0,2，由函数()()2gxxx=−，得()20xx−，解得02x，所以函数()gx的定义域为0,2，所以()()()222222fxxxxxgx=+−+−=+，()()()2211gxxxx=−=−−+，因为0,2x

，所以()2110,1x−−+，所以()0,1gx，所以()22,4fx，又()0fx，所以函数()fx的值域为2,2；【小问2详解】解：①由（1）得()()212fxgx=−，则()()()()()22a

hffaxxxxxafg=−+−+=，令(),2,2tfxt=，则()2,2,22ahtttat=−++，对称轴为1ta=，当0a时，则10a，所以()()max22htha==−+，当12a

，即102a时，()()max22htha==−+，当102a，即22a时，()()max22hth==，当122a，即1222a时，()max112hthaaa==+，综上

所述，()()12,,00,2112,,22222,,2aamaaaaa−+−=++；②因为()()12,,00,2112,,22222,,2aamaaaaa

−+−=++，所以())()(12,,02,11,2,222,0,2aaamaaaa−+−+=+，当0a时，122aa−+=−+，解得1a=−（1a=舍

去），当102a时，22a−+=，解得22a=−（舍去），当1222a时，122aa+=，解得22a=（舍去），当222a时，()12mama==，当22a时，122aa=+，解得2a=（舍去），当2a时，122a

=−+，解得222a+=（舍去），综上，1a=−或222a.【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论.