【文档说明】四川省成都市嘉祥教育集团2021-2022学年高二下学期期中质量监测数学（理）试题 含解析.docx，共(22)页，1.213 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度高二下学期质量监测试题数学（理科）命题人：张路燕审题人：外聘专家一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数2i1i2−+的虚部为（）A.－2B.1C.iD.2i【答案】B【解析】【分析】利用复数

的除法法则进行化简，得到2i1ii2−=+，求出虚部.【详解】()()()()2i12i2i15iii2i22i5−−−===++−,所以2i1i2−+的虚部为1.故选：B2.已知空间点(3,1,4)P−−，则点P关于

y轴对称的点的坐标为（）A.(3,1,4)−−−B.(3,1,4)−−C.(3,1,4)−D.(3,1,4)【答案】D【解析】【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称特点求解作答.【详解】依题意，点(3,1,4)P−−关于y轴对称的点的坐标为(3,1,4).故选：D3.在极坐标系中，已知两

点A（2，π6），B（3，5π6），则线段AB的长为（）A.19B.19C.7D.7【答案】B【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的转换：cos,sinxy==，可得A、B两点坐标．的【详解】根据题意可得：在直角坐标中，()3333,1,,22AB

−∴22333311922AB=++−=故选：B．4.若()fx在R上可导，2()35(2)2fxxfx=−−则(1)f¢-=（）A.16B.54C.－25D.－16【答案】D【解析】【分析】先求导函数，即可求出(2)2f=，再根据导函数即

可求解.【详解】解：()65(2)fxxf=−，则(2)125(2)ff=−，解得：(2)2f=，()(1)611016f¢-=?-=-，故选:D.5.函数f（x）的图象如图所示，则()0xfx的解集为（）

A.()()320,1−−,B.()(),13,−−+C.()()2,10,−−+D.()(),31,−−+【答案】A【解析】【分析】根据函数图象，确定导函数的正负，进而求出()0xfx

的解集.【详解】由函数图象与导函数大小的关系可知：当()(),3,2,1xx−−−时，()0fx，当()()3,2,1,xx−−+时，()0fx，故当()()(),3,2,0,1,,xxx−−−+时，()0xfx

；当()0,1x时，()0xfx；当()3,2x−−时，()0xfx，故()0xfx的解集为()()320,1−−,.故选：A6.函数()sincosfxxxx=+的一个增区间是（）A.3,22−−B.()0,C

.,22−D.3,22【答案】A【解析】【分析】求导后，分别判断每个选项中导函数的正负，由此可确定单调性，进而得到结论.【详解】()sincossincosfxxxxxxx=+−=.对于A，当3,22x−−时，cos0x

，则()0fx，()fx在3,22−−上单调递增，A正确；对于B，当,2x时，cos0x，()0fx，()fx在,2ππ上单调递减，B错误；对于C，当,02

x−时，cos0x，()0fx，()fx在,02−上单调递减，C错误；对于D，当3,22x时，cos0x，()0fx，()fx在3,22上单调递减，D错误.

故选：A.7.函数()ln(1)fxxx=−−，当x=m时函数()fx取得极大值n，则m+n的值为（）A.－2B.2C.0D.1【答案】C【解析】【分析】利用导数探讨函数()fx的极值点、求出极大值即可计算作答.【详解】函数()ln(1)fxxx=−−的定义域为(1,)

+，求导得1()11fxx=−−，由()0fx=得2x=，当12x时，()0fx，当2x时，()0fx，因此，函数()fx在2x=处取得极大值(2)2f=−，所以2,2mn==−，则0mn+=.故选：C8.欧拉公式cossinixexix=+（i为虚数单位）

是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，3ie表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象

限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用欧拉公式cossinixexix=+，化简3ie的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．【详解】因为欧拉公式cossin(ixexixi=+为虚数单位），所以3cos3sin3iei=

+，因为3(2，)，cos30，sin30，所以3ie表示复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题．9.用数学归纳法证明“1111(2)2321nnn++++−”时，由nk=的假设

证明1nk=+时，不等式左边需增加的项数为（）A.12k−B.21k−C.2kD.21k+【答案】C【解析】【分析】当nk=成立，写出左侧的表达式，当1nk=+时，写出对应的关系式，观察计算即可．【详解】从nk=到1nk=+成立时，左边增加的项为1111,,,221

21kkk++−，因此增加的项数是121212kkk+−−+=，的故选：C10.直线ya=分别与曲线32yx=+，2lnyxx=+交于A，B两点，则||AB的最小值为（）A.12B.1C.32D.2【答案】B【解析】【

分析】设1(Ax，)a，2(Bx，)a，得到()212212ln33ABxxxx=−=−+，用导数法求解.详解】解：设1(Ax，)a，2(Bx，)a，则122322lnxxx+=+，()12212ln23xxx=+−，()212212ln33ABxx

xx=−=−+，令()12ln33yxx=−+，则11'13yx=−，函数(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，1x=时，函数的最小值为1，故选：B11.已知,,(0,1)abc，且3lnln3aa+=+，eln1bb+=+，2l

nln2cc+=+，则（）A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.a＜b＜c【答案】D【解析】【分析】变形给定的各个等式，构造函数，借助函数的单调性比较大小作答.【详解】依题意，3lnln3lnln33aaaa+=+−=−，lnlneebb−=−，lnln22cc−=−，

令()ln,0fxxxx=−，求导得：1()1fxx=−，当01x时，()0fx，当1x时，()0fx，因此，函数()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，显然，3e21，则(3)(e)(2)fff，又()(3

),()(e),()(2)faffbffcf===，于是得()()()fafbfc，又,,(0,1)abc，所以abc.故选：D12.在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且【在1

11DQDA=，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：①CN与QM共面；②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关；③当14=时，AM⊥QM；④当13=时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为422133+．其中正确的是（）A.①②③B.

①②④C.①③④D.②③④【答案】B【解析】【分析】对于①可得//MNCQ，可判断；对于②N到平面ABCD的距离为定值12，且ADM△的面积为定值可判断；③分别求出AMQMAQ，，的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;对

于④先将过A，Q，M的截面分析做出，再求周长可判断.【详解】解：在ACQ中，因为M，N为AC，AQ的中点，所以//MNCQ，所以CN与QM共面，所以①正确；由ADMNNADMVV−−=，因为N到平面ABCD的距离为定值12，且ADM△的面积为定值14，所以三棱锥ADMN−的体积跟的

取值无关，所以②正确；当14=时，134AQ=,可得212AM=，2221192511616AQAAAQ=+=+=，取11,ADAD的中点分别为,NE，连接,ENEM,则222114EMMNEN=+=+在直角三角形MEQ中,222222112112416QMMEEQ=+

=++=则222AMQMAQ+，所以AMQM⊥不成立，所以③不正确．当13=时，取11113DHDC=uuuuruuuur,连接HC,则11//HQAC,又11//ACAC所以//HQAC所以,,,,AMCHQ共面,即过A，Q，M三点的正方

体的截面为ACHQ，由413193AQCH==+=,则ACHQ等腰梯形,且111233QHAC==所以平面截正方体所得截面的周长为2442213221393l+=+++=，所以④正确；所以正确的命题是①②④，故选：B．

是第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.把直角坐标方程4224320xxyyy++−=化为极坐标方程为______．【答案】3sin=【解析】【分析】变形给定方程，利用极坐标与直角

坐标互化公式，化简作答.【详解】方程4224320xxyyy++−=，即2223()xyy+=，把222sinyxy=+=代入得：433sin=，则3sin=，所以所求极坐标方程

为3sin=.故答案为：3sin=14.已知曲线C的参数方程为sincos,1sin2,xy=−=−则曲线C的直角坐标方程为______．【答案】2yx=，2,2x−【解析】【分析】

由三角恒等变换消元可得．利用两角差的正弦公式及正弦函数性质得x的范围．【详解】22221sin2sincos2sincos(sincos)yx=−=+−=−=，又22sincos2(sincos)2sin()

[2,2]224x=−=−=−−，所以曲线方程为：2,[2,2]yxx=−．故答案为：2,[2,2]yxx=−．15.如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足P

M=PD，则点P的轨迹长度为______．【答案】142【解析】【分析】利用空间直角坐标系可知，平面A′C′D内的P满足0xyz+−=，PM=PD的P满足23xyz++=，则可得32333xyxz−=+=，P是△A′

C′D内（包括边界），则302x，点P的轨迹线段12PP．【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,2,0,2,2,1,2,1DACM()()2,0,2,0,2,2DADC==设平面DAC的法向量(),,nxyz=则有220220xzyz+=

+=，令1x=，则1,1yz==-则()1,1,1n=-设(),,Pxyz，则(),,DPxyz=∵nDP⊥，则0xyz+−=又∵PM=PD，则()()()222222121xyzxyz++=−+−+−整理得：23xyz++=联立方

程230xyzxyz++=+−=，则32333xyxz−=+=可得02320233023xxx−+，可得302x当0x=时，()10,1,1P，当32x=时，233,0,22P在空间中，满足PM=P

D的P为过MD的中点且与MD垂直的平面两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D12PP=，则12142PP=故答案为：142．16.若函()()321e523xfxxkxkx=−−+只有一个

极值点，则k的取值范围为______．【答案】40,4ee【解析】【分析】求出导函数()fx，()fx只有一个变号零点，然后对k分类讨论，0x=不是()0fx=根，采取分离变量法分离参数，引入新函数()gxexx=，由导数确定函数的单调性、极值

，由函数图象交点个数分类得结论．【详解】()fx只有一个极值点()fx只有一个变号零点．2()e(5)e4(e)(4)xxxfxxkxkxkxx=−+−+=−−，易知(4)0f=，(0)4f=−，首先()0fx=必有一个解4x=，0k时，由

e0xkx−=，0x=显然不是方程的解，因此exkx=，令e()=xgxx，2e(1)()−=xxgxx，0x或01x时，()0gx，1x时，()0gx，()gx在(,0)−和(0,1)上都递减，在(1,)+上递增，x→+时，(

)gx→+，0x+→（即从原点有右侧逼近，()gx→+，0x−→（即从原点有左侧逼近，()gx→−，大致图象如图所示：0k时，()gx的图象与直线yk=都有一个交点，与()fx仅有零点矛盾，舍去，当0k=时，()e(4)xfxx=−，4x时，()0fx，()

fx递减，4x时()0fx，()fx递增，()fx只有一个极值点，0ek时，e()=xgxx与直线yk=无交点，因此函数只有一个零点，e=k时，()(ee)(4)xfxxx=−−，()0fx=有两个解1x=和4x=，1x时，()0fx，14

x时，()0fx，4x时，()0fx，1x=不是函数的极值点，()fx只有4x=一个极值点．ek时，()gx的图象与直线yk=有两个交点，方程e0xkx−=有两个解，40x−=有一个解4x=，要使得()fx仅有一个

极值点，则4x=必为()0fx=的重根，所以4e4k=，综上，k的范围是4e[0,e]{}4．故答案为：4e[0,e]{}4．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.已知函数321()3fxxx=−+．（1）求曲线y=

f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；【答案】（1）1（2）()fx的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为(),0−，()2,+，极小值为0，极大值为43.【解析】【分析】（1）求导，求出()1121

f=−+=即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.【小问1详解】因为()22fxxx=−+，所以()1121f=−+=，因此曲线y=f（x）在点（1，23）处的切线的斜率为1；【小问2详解】令()220fxxx=−+=，

解得：x=0或2．x(),0−0()0,22()2,+()fx－0+0－()fx↘极小值↗极大值↘所以f（x）在(),0−，()2,+内是减函数，在()0,2内是增函数．因此函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=0，函数f（x）在x=2处取得极大值，且f（2）=43；综上

：()fx的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为(),0−，()2,+，极小值为0，极大值为43.18.已知数列na各项均为正数，满足2333(1)122nnan++++=．（1）求1a，2a，3a的值；（2）猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法证明

你的结论．【答案】（1）11a=，22a=，33a=；（2）猜想：nan=；证明见解析.【解析】【分析】（1）分别代入1,2,3n=，根据0na，解方程可求得结果；（2）猜想nan=，验证1n=时成立；假设nk=时成立，则1nk=+时，利用假设可证得结论成立，从而证得结果.【

详解】（1）当1n=时，231212a=，又0na11a=当2n=时，23323122a+=，解得：22a=当3n=时，2333341232a++=，解得：33a=(2)猜想：nan=证明：（1）当1n=时，由（1）可知结论成立；（2）假设当n

k=时，结论成立，即kak=成立，则当1nk=+时，由()23331122kakk++++=与()()2313321212kakk++++++=得：()()()()()2222311212112222kkkakakakkkk++++++

+=−=−()()()()()()()2322222221241114412kakkkkkkkkk++=+++=+++=++又0na11kak+=+成立根据（1）、（2）猜想成立，即：nan=【点睛】本题考查数列中的项的求解、利用数

学归纳法证明问题.利用数学归纳法证明时，要注意在证明1nk=+时结论成立时，必须要用到nk=时假设成立的结论，属于常规题型.19.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossin3cos3sinxy=+=−（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos24+=−．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）已知点()1,1P−，直线l和曲线C相交于M、N两点，求11PMPN+的值【答案】（1）22126xy+=，20xy−+=；（2）6【解析】【分析】（1）消去参数得普通方程，

利用公式cossinxy==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线方程化为标准参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，利用参数几何意义计算．【小问1详解】由cossin3cos3sinxy=+=−

得3cos233sin23xyxy+=−=利用22sincos1+=，得22126xy+=，即为C的普通方程，由cos24+=−，得(coscossinsin)244−=−，即cossin2

−=−，即2xy−=−，直线l的直角坐标方程为20xy−+=；【小问2详解】点()1,1P−在直线l上，可得其参数方程为212212xtyt=−+=+（t为参数），把212212xtyt=−+=

+代入22126xy+=得，2210tt−−=，所以122tt+=，121tt=−，12,tt不同号．()2121212121212411116ttttttPMPNtttttt+−−+=+===．20.设函数

f（x）=ex－ax－3，a∈R，其导函数为()fx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，()()10xkfxx−++，求k的最大值．【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出对应的单调区间；（2

）参变分离得到11xxkxe++−在x＞0上恒成立，构造函数1()1xxgxxe+=+−，求导得到其最小值的取值范围，从而求出k的最大值.【小问1详解】f（x）的定义域为R，()exfxa=−．当0a时，则()0fx，f（x）在R上单

调递增；当a＞0时，则()0fx=，解得：x=lna．当x变化时，()fx，f（x）变化如下表：x(),lna−lna()ln,a+()fx－0+f（x）单调减极小值单调增综上，当0a时，f（x）在R上单调递增

；当a＞0时，f（x）的单调减区间是（－∞，lna），增区间是（lna，+∞）．【小问2详解】由于a=1，∴()()1()(e1)1xxkfxxxkx−++=−−++．故当x＞0时，()()10xkfxx−++等价于11xxkxe++−①，令1()1xxgxx

e+=+−，则2e(e2)()(e1)xxxxgx−−−=．由（1）知，函数()e2xxhx=−−在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，∴h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故()gx在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为m，则()1,2

m．当()0,xm时，()gx＜0；当(),xm+时，()gx＞0，∴g（x）在（0，+∞）的最小值为g（m）．又由()0gm=，可得：e2mm=+，∴()()112,3e1mmgmmm+

=+=+−．由于①式等价于()kgm，故整数k的最大值为2．【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种很重要的方法，适合于容易参变分离且分离后的函数容易求导，容易研究其单调性等性质.21.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60，四边形ACFE为矩形

，且平面ACFE⊥平面ABCD，CF=2．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面BCF所成锐二面角的平面角为，满足217cos17=？若不存在，请说明理由；若存在

，求出FM的长度．【答案】（1）证明见解析（2）存在，31FM=−【解析】【分析】(1)分析图中的几何关系，求出AB，即可证明；(2)建立空间坐标系，用空间向量求二面角.【小问1详解】依题意做ABCD的平面图如下：在底面四边形ABCD中，过点D作DGCB∥交A

B于G，则四边形BCDG为平行四边形（实质上是一个内角为60°的菱形），△ADG为等边三角形，∴2AB=，在△ABC中，22212212cos603AC=+−=，∴222ACBCAB+=，于是有90ACB=，ACC

B⊥，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面ABCD=AC，BC平面ABCD，∴BC⊥ACFE；【小问2详解】如上图所示，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，()3,0,0A，()0,1,0B，设(),0,2Ma，于是()3,1,0AB=−uuur，(

),1,2MBa=−−，设平面ABM的法向量(),,mxyz=，则·0·0mABmMB==即3020xyaxyz−+=−+−=，于是，取31,3,2am−=，取平面BCF的法向量()1,0,0n=，由21217cos173132mnm

na===−++，及0,3a，解得31a=-，因此在线段EF上存在点()31,0,2M−，使得平面MAB与平面BCF所成锐二面角的平面角为，且满足217cos17=，31FM=−；综上，存在M点，

使得217cos17=，31FM=−.22.已知函数211()ln2fxxaxxa=−++，其中0a.（1）当1a=时，求函数()yfx=在区间(0,e]上的最大值；（2）若10,2a，证明对任意()12121,,12xxxx，()()12

221212fxfxxx−−恒成立.【答案】（1）21e2e12−+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导后可判断()fx在区间(0,e]为单调递增函数，从而可求出其最大值，（2）对函数求导，可判断出()fx在1,12内是减函数，不妨设12112xx

，则122212()()12−−fxfxxx，等价于22112211()()22fxxfxx−−，令21()()2gxfxx=−，所以只要判断()gx在1,12内是减函数即可【小问1详解】当

1a=时，则函数22111()(1)ln2ln212=−++=−+fxxxxxxx，其定义域为(0,)+则22121(1)()20−+−=−+==xxxfxxxxx在(0,)+上恒成立，所以()fx在区间(0,e]为单调递增函数，所以

当ex=时()fx有最大值为：2max1()(e)e2e12fxf==−+；【小问2详解】由函数211()()ln2=−++fxxaxxa，则1()()11()()(0)xaxafxxaxaxx−−=−++=，令()0fx=，xa=，1xa=，

又1(0,)2a，11022aa，当1,12x时，()0fx，所以()fx在1,12内是减函数，因为12xx，不妨设12112xx，则2212xx.于是122212()()12−−fxfxxx，等价于22121211()()22fxfxxx−

−，即22112211()()22fxxfxx−−，令211()()ln()(0)2gxfxxxaxxa=−=−+，因11()()=−+gxaxa在1,12内是减函数，故111()()2()2202gxgaaaa=−+−=，从而()gx在1,12

内是减函数，∴对任意12112xx，有12()()gxgx，即22112211()()22fxxfxx−−，∴当1(0,)2a时，对任意12121,,1()2xxx

x，122212()()12−−fxfxxx恒成立.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数判断函数的单调性，第（2）问解题的关键是由导数可得()fx在1,12内是减函数，不妨设12112xx，从而将问题转化为2

2112211()()22fxxfxx−−成立，构造函数211()()ln()(0)2gxfxxxaxxa=−=−+，只要能说明此函数在1,12内是减函数即可得结论，考查数学转化思想，属于较难题获得更多资源请扫码加入享学资源网

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