【文档说明】四川省广元市苍溪中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学含解析.docx，共(19)页，948.360 KB，由小赞的店铺上传

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苍溪中学校高2022级高一下期期中考试数学试卷满分：150分;考试时间：120分钟;命题人：冉淑华第I卷（选择题）一，选择题(每小题5分,共60分.1-8小题在每一题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求9-12小题每一题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分

选对的得2分,有选错的得0分.1．设集合2,3,4,5,6A=，24Bxx=−，则AB=（）A．2,3B．26x−C．2,3,4D．3,42．复数5i2−的共轭复数是（）A．2i+B．2i−+C．2i−−

D．2i−3．函数()11fxxx=+−的定义域是（）A．)()1,00,−+B．)1,−+C．RD．()(),00,−+4.已知e为单位向量，6a=，向量a，e的夹角为3π4，则a在e上的投影向量是（）A．23eB．0C．32e−

D．23e−5．已知3(4,)P−为角的终边上一点，则tan2=（）A．32−B．247C．247−D．127−6．在ABC中，设ABa=，ACb=，D为边BC上靠近C的一个三等分点，则AD=（）A．()12ab+B．1233ab+C．4133ab−D．

4133ba−7．函数()()sinfxx=+（0，π2）的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数()fx的图象（）A．关于直线π6x=对称B．关于直线π12x=对称C．关于点π(,0

)6对称D．关于点π(,0)12对称8．设锐角ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若,33Aa==，则2b2cbc++的取值范围为（）A．(1，9]B．(3，9]C．(5，9]D．(7，9]9．已知函数()ππsin2cos24

4fxxx=+++，则()fx（）A．为偶函数B．在区间π0,2单调递减C．最大值为2D．为奇函数10．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2上单调递减的是（）A．sinyx=B．cosyx=C．tanyx=−D．sin2xy=11

．已知函数()sincosfxxx=+，()22sincosgxxx=，则下列结论中正确的是（）A．两函数的图象均关于点,04−成中心对称B．两函数的图象均关于直线4x=−成轴对称C．两函数在区间,44−

上都是单调增函数D．两函数的最大值相同12．设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若4,3cC==，则下列选项正确的是（）A．ABC外接圆半径为433B．ABC面积的最大值为43C．4ab+最大值为87D．22ab+的最小值为32第II卷（非选择题）二、填空题(本

大题共4小题,每小题5分,共20分)13．半径为2cm,圆心角为60所对的弧长为_____cm.14．已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80的方向上，此时

B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为___________海里．15．若满足4ABC=，6AC=，BCk=的ABC恰有两个，则实数k的取值范围是________．16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经

》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，

设20DFAF+=，若ADABAC=+，则可以推出−=_________．三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．已知复数()13izaa=+R，23iz=−，且12zz−为纯虚数．(1)求a；(2)若2zz=，且1zz−为实数，求z

．18．已知向量()()1,3,1,2==−ab.(1)求ab；(2)求a与b夹角的大小；(3)若向量kab+与akb+互相平行，求k的值.19．已知函数23()cossin3cos,2fxxxxxR=−+（1）求()

fx的最小正周期；（2）求()fx在闭区间,44−上的最小值以及对应x的值20．在①()()3abcabcab+++−=，②tantan3tantan1ABAB+=−，③sincos2sinsincosCCBAA=−这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答

.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.(1)求tanC的值；(2)若D为边BC上一点，且6AD=，4BD=，8AB=，求AC.21．依据《广元市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基

地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF建成生态园林城，CD，DE，EF，FC为主要道路（不考虑宽度）．已知90FCD=，120CDE=，333FEEDCD===km．（1）求道路CF的长度；（2

）如图所示，要建立一个观测站A，并使得60FAC=，ABDC⊥，求AB两地的最大距离．22.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若sin3cosaBbA=.（1）求A；（2）若3c=，ABC的面积为332.（i）求a；（ii）ABC边BC上一点D，记ABD△面积为1S，ACD

面积为2S，当1214SS+达到最小值时，求AD的长.苍溪中学校高2022级高一下期期中考试数学试卷满分：150分;考试时间：120分钟;命题人：冉淑华第I卷（选择题）一，选择题(每小题5分,共60分.1-8小题在每一题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求9-12小

题每一题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.1．设集合2,3,4,5,6A=，24Bxx=−，则AB=（）A．2,3B．26x−C．2,3,4D．3

,4【答案】D【分析】根据集合的交集运算可得选项.【详解】解：因为集合2,3,4,5,6A=，24Bxx=−，所以AB=3,4，故选：D.2．复数5i2−的共轭复数是（）A．2i+B．2i−+C．2i−−D．2i−【

答案】B【解析】55(i2)2ii25−−==−−−,故5i2−的共轭复数为2i−+，故选：B3．函数()11fxxx=+−的定义域是（）A．)()1,00,−+B．)1,−+C．RD．()(),00,−+【答案】A【分析】由给定函数有意义直接列出不等式组求解即得.【详解】函数()

11fxxx=+−有意义，则100xx+，解得1x−且0x，所以原函数定义域是：)()1,00,−+.故选：A4.已知e为单位向量，6a=，向量a，e的夹角为3π4，则a在e上的投影向量是（）A．23eB．0C．

32e−D．23e−【答案】C【分析】根据投影向量定义计算即可.【详解】e为单位向量，则1e=，则向量a在向量e上的投影向量为3πcos6cos324eaeee==−.故选：C.5．已知3(4,)P−为角的终边上一点，则tan2=（）A．32−B

．247C．247−D．127−【答案】C【分析】利用三角函数的定义和二倍角的正切公式求解.【详解】因为3(4,)P−为角的终边上一点，所以3tan4=−，所以22tan24tan21tan7==−−，故选：C6．在ABC中，设ABa=，ACb

=，D为边BC上靠近C的一个三等分点，则AD=（）A．()12ab+B．1233ab+C．4133ab−D．4133ba−【答案】B【解析】如图所示：23ADABADBCBB==++，()1322123333==+−+=+ABACAB

ABACab，故选：B7．函数()()sinfxx=+（0，π2）的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数()fx的图象（）A．关于直线π6x=对称B．关于直线π12x=对称C．关于点π(,0)6对称D．关于点π(,0)12对称【答案】D【分析】先

利用周期公式求出值，再利用图象平移和奇偶性求得值，再利用π6f、π12f的值判定是否具有对称性.【详解】因为()()sinfxx=+的最小正周期为π，所以2π=πT=，解得2=，即()()sin2fxx

=+，将()()sin2fxx=+的图象向左平移π3个单位后得到π2πsin2sin233yxx=++=++的图象，因为2πsin23yx=++是偶函数，所以2ππ=π32k++，Zk，即ππ6k=−+

，Zk，又因为π2，所以π6=−，即()πsin26fxx=−，因为ππ1sin=662f=，所以选项A、C错误；因为πsin0=012f=，所以函数()fx的图象关于点π(,0)12对称，即选项D正确.故选：D.8．设锐角AB

C的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若,33Aa==，则2b2cbc++的取值范围为（）A．(1，9]B．(3，9]C．(5，9]D．(7，9]【答案】D【分析】由正弦定理求出22sin,2sin3bBcB==−

，再由余弦定理可得2b2cbc++28sinsin33BB=−+，化为54sin26B+−，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.【详解】因为,33Aa==，由正弦定理可得322sinsi

n3sin32abcABB====−，则有22sin,2sin3bBcB==−，由ABC的内角,,ABC为锐角，可得0,220,32BB−，512sin2124sin2462666266BBBB

−−−，由余弦定理可得222222cos3,abcbcAbcbc=+−=+−因此有2223bcbcbc++=+28sinsin33BB=−+243sin

cos4sin3BBB=++23sin22cos25BB=−+(54sin27,96B=+−故选：D.【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知

道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9．已知函数()ππsin2cos244fxxx=+++，则()fx（）A．为偶函数B．在区间π0,2单调递减C．

最大值为2D．为奇函数【答案】AB【分析】化简()fx解析式，由此对选项逐一分析，从而确定正确答案.【详解】()πππ2sin22sin22cos2442fxxxx=++=+=，所以()fx是偶函数，

A正确，D错误.π2π22ππππ,2kxkkxkkZ++，当0k=时，减区间为π0,2，所以B正确.()fx最大值为2，C错误.故选：AB10．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2上单调递减的是（）A．sinyx=B．cosyx=C．t

anyx=−D．sin2xy=【答案】AC【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间,2ππ上单调性，即可选择判断.【详解】|sin|yx=最小正周期为，在区间,2ππ上|

sin|sinyxx==单调递减；cosyx=最小正周期为2，在区间,2ππ上单调递减；tanyx=−最小正周期为，在区间,2ππ上单调递减；sin2xy=最小正周期为4，在区间,2ππ上单调递增；故选：AC11．已知

函数()sincosfxxx=+，()22sincosgxxx=，则下列结论中正确的是（）A．两函数的图象均关于点,04−成中心对称B．两函数的图象均关于直线4x=−成轴对称C．两函数在区间,44−上都是单调增函数D．两函数的

最大值相同【答案】CD【分析】根据题意，先化简两函数解析式，再结合正弦函数的图像性质，一一判断即可.【详解】根据题意得，()2sin4fxx=+，()2sin2gxx=.对于选项AB，因2sin0444f−=−+=，2

sin2042g−=−=−，所以函数()yfx=的图象关于点,04−成中心对称，而函数()ygx=的图象关于直线4x=−成轴对称，故AB都错；对于选项C，当,44x−时

，0,42x+，2,22x−，因sinyx=在,22−上单调递增，所以两函数在区间,44−上都是单调增函数，故C正确；对于选项D，因()2sin4fxx=+

，()2sin2gxx=，所以()()maxmax2fxgx==，故D正确.故选：CD.12．设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若4,3cC==，则下列选项正确的是（）A．ABC外接圆半径为433B．ABC面积的最大值为43C．4ab+最大值为87D．

22ab+的最小值为32【答案】ABC【解析】在ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若4,3cC==，对于A中，由正弦定理得832sin3cRC==，可得ABC外接圆半径为433R=，所以A正确；对于B中，由余弦定理得2222cosca

babC=+−，即22162ababababab=+−−=，当且仅当ab=时，等号成立，即16ab，所以ABC面积的最大值为max116sin4323S==，所以B正确；对于C中，因为3C=，可得23AB+=，可得23BA=−，则231sinsin()cossin322BAAA=−

=+又由正弦定理，可得8332342sin42sinsinsin33abRARBAB+=+=+8332331sin(cossin)83sin16cos3322AAAAA=++=+87sin()A=+，（其中21cos7=且203A），当2A+=时，4

ab+取得最大值，最大值为87，所以C正确；对于D中，由余弦定理得222222221622ababababab++=+−+−=，所以2232ab+，当且仅当ab=时，等号成立，所以22ab+的最大值为32，所以D错误.故选：ABC.第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分

,共20分)13．半径为2cm,圆心角为60所对的弧长为_____cm.【分析】根据弧度制下的弧长公式，将圆心角化成弧度制后，代入公式即可求解.【详解】由题意，圆心角3=，根据弧长公式lR=，则()2233lcm==14．已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40的

方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为___________海里．【答案】7【分析】根据题意，画出示意图，利用余

弦定理求解.【详解】根据题意，画出示意图，如图，由已知可得，5,8,180408060ACBCACB===−−=，由余弦定理可得2222cosABCACBCACBACB=+−，所以222158

258492AB=+−=，所以7AB=，故答案为：715．若满足4ABC=，6AC=，BCk=的ABC恰有两个，则实数k的取值范围是________．【答案】(6,62)【解析】由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC=+−，

即22262cos4ABkABk=+−，化简得222360ABkABk−+−=，因为满足条件的三角形有两个，所以关于AB的方程222360ABkABk−+−=有两个不相等的正根，所以222Δ(2)4(36)0360

0kkkk=−−−−，解得662k，即实数k的取值范围是(6,62)，故答案为：(6,62)16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图

”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设20DFAF+=，若ADABAC

=+，则可以推出−=_________．【答案】613【解析】设1AF=，则3,1ADBDAF===如图：由题可知：120ADB=o，由2222cos13ABADBDADBDADB=+−=所以13A

B=，则13ACAB==所以()133913,0,,22BC，()0,0A又39sinsinsin26BDABBADBADADB==所以2713cos1sin26BADBAD=−=所以()cos,sinDADADBADBAD，即21

13339,2626D所以()2113339,13,026,26ADAB==，1339,22AC=又ADABAC=+，所以2113139132621333393913262=+=

==，所以613−=故答案为：613.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．已知复数()13izaa=+R，23iz=−，且12zz−为纯虚数．(1)求a；(2)若2zz

=，且1zz−为实数，求z．【答案】(1)3(2)13i+或13i−+【解析】(1)复数13zai=+，23iz=−，()1234izza−=−+又12zz−为纯虚数，30a−=解得：3a=(2)由（1）知133i=+z，23iz=−，设izab=+2zz=2210ab+=即：2210a

b+=，1zz−为实数()()133izzab−=−+−30b−=解得：3b=1a=，13iz=+或13iz=−+.18．已知向量()()1,3,1,2==−ab.(1)求ab；(2)求a与b夹角的大小；(3)若向量kab+与akb+互相平行，求k的值.【答案】(1)5−(2)3π4

(3)【解析】(1)()()1,3,1,2ab==−()11325ba=+−−=(2)()()1,3,1,2ab==−221310a=+=，()22125b=+−=r由（1）知：5ab=−5

2cos2105baba−===−0,π3π4=(3)依题意得：()1,32kabkk+=+−，()1,32akbkk+=+−向量kab+与akb+互相平行()()()()1323210

kkkk+−−−+=解得1k=19．已知函数23()cossin3cos,2fxxxxxR=−+（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx在闭区间,44−上的最小值以及对应x的值【答案】（1）最小正周期为

；（2）当12x=−时，有()min1fx=−.【分析】（1）利用三角恒等变形化为()sin23fxx=−的形式，根据三角函数的周期性求得；（2）先求得23x−的取值范围，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）

由函数213()sin2(2cos1)22fxxx=−−13sin2cos222xx=−sin23x=−,22T==，函数()fx的最小正周期为;（2）由（1）可知()sin23fxx=−,5,,2,44366xx−

−−,由sinyt=的图象可知当2,3212xx−=−=−时有min()1fx=−,综上当12x=−时，有min()1fx=−.20．在①()()3abcabcab+++−=，②tantan3tant

an1ABAB+=−，③sincos2sinsincosCCBAA=−这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.(1)求tanC的值；(2)若D为边BC上一点，且6AD=，4BD=，8AB=，

求AC.【答案】(1)tan3C=(2)35AC=【解析】(1)选择①，由()()3abcabcab+++−=，可得222abcab+−=，于是得1cos2C=，即3C=，所以tan3C=；选择②，由tantan3tantan1ABAB+=−，有tantantantan()3tant

an1ABCABAB+=−+==−，于是得tan3C=；选择③，由sincos2sinsincosCCBAA=−，有sincos2sincoscossinCABCCA=−，即sin()2sincosACBC+=，即sin2sincosBBC=，又因为0

B，所以sin0B，于是得1cos2C=，即3C=，所以tan3C=.(2)由在ABD△中，6AD=，4BD=，8AB=，由余弦定理得3616641cos2644ADB+−==−，所以15sinsin4ADBADC==，在ADC中，由正弦定理有sinsinACADADCC=

，得35AC=.21．依据《广元市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF建成生态园林城，CD，DE，EF，FC为主要道路（不考虑宽度）．已知90FCD=，120CDE=，333FEED

CD===km．（1）求道路CF的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A，并使得60FAC=，ABDC⊥，求AB两地的最大距离．【答案】（1）23km；（2）()23+km.【分析】（1）先利用余弦定理²²²2cos120ECEDDCEDDC=+−，可得3EC=，再在ECF△中，由2

22cos2ECCFEFECFECCF+−=，即得解；（2）设FCA=，在CFA△中，利用正弦定理可得，()4sin60AC=+，再利用//ABCF，可得()cos4sin60cosABAC==+，利用

三角恒等变换化简结合090，即得解.【详解】（1）连接EC，由余弦定理可得²²²2cos1203ECEDDCEDDC=+−=，所以3EC=，由DCED=，120CDE=，所以30ECD=，因为90DCF=，所以60ECF=，在ECF△中，222cos2EC

CFEFECFECCF+−=，所以²360CFCF−−=，解得23CF=，即道路CF的长度为23km；（2）设FCA=，在CFA△中，由正弦定理可得()()234sinsin60sin6032CFACACFAC===+

+，所以()4sin60AC=+，因为ABDC⊥，所以90ABC=，所以//ABCF，CAB=，则()cos4sin60cosABAC==+，所以()223cos2sincos3cos2sin232sin2603AB=+=++

=++，因为090，所以60260240+，所以当26090+=，即15=，AB取最大值为23+，故AB两地的最大距离为()23km+．22.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,ab

c，若sin3cosaBbA=.（1）求A；（2）若3c=，ABC的面积为332.（i）求a；（ii）ABC边BC上一点D，记ABD△面积为1S，ACD面积为2S，当1214SS+达到最小值时，求AD的长.解：（1）由正弦定理以及sin3cosaBbA=可得，sinsin

3sincosABBA=.因为sin0B，所以tan3A=.又()0,πA，所以π3A=.（2）（i）由已知可得，11333sin32222ABCSbcAb===V，所以2b=.由余弦定理可知，2222cosabcbcA=+−14922372=+−=，所以，7

a=.（ii）设7BDm=，7CDn=，则1mn+=.所以77ABDABCSmmS==，则1ABDABCSSmS==，所以111239ABCSmSm==.同理可得，211239ABCSnSn==.所以1214238399SSmn+=+()23142

31499mnmnmn=+=++2342345252399nmnmmnmn=+++=.当且仅当4nmmn=，即23n=，13m=时取等号.所以，2

73CD=.又在ABC中，有2227497cos214227abcCab+−+−===，在ACD中，有2222cosADACCDACCDC=+−2272775242233149=+−=，所以，2133A

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