【文档说明】【精准解析】江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题.doc，共(27)页，2.395 MB，由管理员店铺上传

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2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{2,5},{3,5}AB==，则AB=____

________.【答案】2,3,5【解析】【分析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知AB=2,3,5.故答案为：2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.2.已知复数z满

足12iiz+=（i为虚数单位），则复数z的实部为____________.【答案】2【解析】【分析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】21222iiziii+−===−，所以复数z的实部为2.故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查

学生的基本计算能力，是一道基础题.3.ABC，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样

本容量为____________.【答案】100【解析】【分析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，30240160240400x=++，解得100x=.故答案为：100【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.4

.根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值为____________.【答案】1【解析】【分析】满足条件执行34yx−，否则执行22xy−.【详解】本题实质是求分段函数234,22,2

xxxyx−−=在2x=处的函数值，当2x=时，1y=.故答案为：1【点睛】本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家

学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.【答案】14【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家学习只有1种情况，

即（正，正），故该同学在家学习的概率为14.故答案为：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知数列na满足11a=，且1130nnnnaaaa+++−=恒成立，则6a的值为_______

_____.【答案】116【解析】【分析】易得1113nnaa+−=，所以1{}na是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知，0na，因1130nnnnaaaa+++−=，所以1113nnaa+−=，所以数列1{}na是以111a=为首项，3为公差的等差数列，故611(61

)316a=+−=，所以6a=116.故答案为：116【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.7.已知函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象如图所示，则()0f的值为_______

_____.【答案】3−【解析】【分析】由图可得()fx的周期、振幅，即可得,A，再将5(,2)12代入可解得，进一步求得解析式及()0f.【详解】由图可得2A=，353()41234T=−

−=，所以2T==，即2=，又5()212f=，即52sin(2)212+=，52,62kkZ+=+，又||2，故3=−，所以()sin()fxx=−223，(0)2sin()33f=−=−.故答案为：3−【点睛】本题考查由图象求

解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221(0,0)xyabab−=的焦距为2c，若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c，则双曲线的离心率为____

________.【答案】2【解析】【分析】利用221||||2AOBSFOABc==即可建立关于,,abc的方程.【详解】设双曲线右焦点为2F，过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线分别交于AB、两点，则(,)bcAca，

(,)bcBca−，由已知，221||||2AOBSFOABc==，即2bccca=，所以ab=，离心率21()2bea=+=.故答案为：2【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,abc的方程或不等式，是

一道容易题.9.已知mn，为正实数，且mnmn+=，则2mn+的最小值为____________.【答案】322+【解析】【分析】mnmn+=111mn+=，所以有2mn+=(2)mn+112()3mnmnnm+=++，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】由已知，111mn+=，所以2mn+=(2)mn+112()3322mnmnnm+=+++，当且仅当2mnmnmn=+=，即2221,2mn+=+=时，等号成立.故答案为：322+【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“

1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.10.已知函数()|4|fxxx=−，则不等式(2)(3)faf+的解集为____________.【答案】()()1,17,−+【解析】【分析】224,4()4,4xxxfxxxx−=−+，(3)3f=，分类讨论即可.

【详解】由已知，224,4()44,4xxxfxxxxxx−=−=−+，(3)3f=，若(2)(3)3faf+=，则224(2)4(2)3aaa++−+或2(2)4(2)4(2)3aaa+−+++

解得7a或11a−，所以不等式(2)(3)faf+的解集为()()1,17,−+.故答案为：()()1,17,−+【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.11.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器

中，装有深度为h的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h的值为____________.【答案】32【解析】【分析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆

锥的底面半径为r，体积为V，半球的体积为1V，水（小圆锥）的体积为2V，如图则,1,2,OArOCOBBEh====，所以2rhED=，2241rr=+，解得243r=，所以218239Vr==，

123V=，23211()329rhVhh==，由12VVV=+，得3821939h=+，解得32h=.故答案为：32【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.12.如图,在梯形ABCD中，AD∥24BCABBCAD===，，，EF

，分别是BCCD，的中点，若1AEDE=−，则AFCD的值为___________.【答案】2【解析】【分析】建系，设设A=，由1AEDE=−可得3=，进一步得到CF、的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设A

=，则(4,0),(2cos,2sin),(12cos,2sin),(22cos,2sin)DBEC++，所以AE=(12cos,2sin)+，DE=uuur(2cos3,2sin)−，由1AED

E=−，得2(12cos)(2cos3)4sin1+−+=−，即1cos2=，又[0,]，所以3=，故73(3,3),(,)22CF,73(1,3),(,)22CDAF=−=,所以733222AF

CD=−=.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.13.函数()fx满足()()4fxfx=−，当)2,2x−时，3223,2()1,2xxaxafxxax++−=

−，若函数()fx在)0,2020上有1515个零点，则实数a的范围为___________.【答案】1,02−【解析】【分析】由已知，()fx在[2,2)−上有3个根，分21a，01a，10a−

，21a−−四种情况讨论()fx的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，()fx的周期为4，且至多在[2,2)−上有4个根，而)0,2020含505个周期，所以()fx在[2,2)−上有3个根，

设32()23gxxxa=++，'2()66gxxx=+，易知()gx在(1,0)−上单调递减，在(,1)−−，(1,)+上单调递增，又(2)40ga−=−，(1)50ga=+.若21a时，()fx在(,2)a上无根，()fx在[2,]a−必有3

个根，则(1)0(0)0ff−，即100aa+，此时a；若01a时，()fx在(,2)a上有1个根，注意到(0)0fa=，此时()fx在[2,]a−不可能有2个根，故不满足；若10a−时，要使()fx在[2,]a−有2个根，

只需(1)0()0ffa−，解得102a−；若21a−−时，()fx在[2,]a−上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数a的范围为102a−.故答案为：1,02−【点睛】本题考查利用导数研

究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14.已知圆22:4Oxy+=，直线l与圆O交于PQ，两点，()2,2A，若2240APAQ+=，则弦PQ的长度的最大值为___________.【答案】22【解析】【分析】取PQ的中点为M，由2240APAQ+=可

得2216AMOM−=，可得M在20xy++=上，当OM最小时，弦PQ的长才最大.【详解】设M为PQ的中点，()22222(2)APAQAMPQ+=+，即222222APAQAMMQ+=+，即()2224022AMOQOM=+−，22204AMOM=+−，2216AMOM−=.

设(),Mxy，则()2222(2)(2)16xyxy−+−−+=，得20xy++=.所以min222OM==，max22PQ=.故答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本

大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，已知在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，EFG，，分别为ACPAPB，，的中点，且2ACBE=.（1）求证：PBBC⊥；（2）设平面

EFG与BC交于点H，求证：H为BC的中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要做证明PBBC⊥，只需证明BC⊥平面PAB即可；（2）易得PC∥平面EFG，PC平面PBC，利用线面平行的性质定理即可得到GH∥PC，从而

获得证明【详解】证明：（1）因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PABC⊥.因为2ACBE=，所以BABC⊥.又因为BAPAA=，BA平面PAB，PA平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又因为PB平面

PAB，所以PBBC⊥.（2）因为平面EFG与BC交于点H，所以GH平面PBC.因为EF，分别为ACPA，的中点，所以EF∥PC.又因为PC平面EFG，EF平面EFG，所以PC∥平面EFG.又因为PC平面PBC，平面PBC平

面EFGGH=，所以GH∥PC，又因为G是PB的中点，所以H为BC的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.16.在ABC中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，若(,)mabc=−，()sinsin,sinsinnA

BBC=−+，(1,2)p=，且mn⊥.（1）求角C的值；（2）求np的最大值.【答案】（1）3；（2）23.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得222abcab+−=，再用余弦定理即可得到角C；（2）np3sin36A=++，再利用求正弦型函数值域的

方法即可得到答案.【详解】（1）因为mn⊥，所以(sinsin)()(sinsin)0aABbcBC−+−+=.在ABC中，由正弦定理得sinsinsinabcABC==，所以()()()0aabbcbc−+−+=，即222abcab+−=.在ABC中，由余弦定理得22

21cos222abcabCabab+−===，又因为(0,)C，所以3C=.（2）由（1）得3C=，在ABC中，ABC++=，所以1(sinsin)2(sinsin)npABBC=−++2sinsin33AA=+−+31sinco

ssin322AAA=+++33sincos322AA=++3sin36A=++.因为20,3A，所以5,666A+，所以当62A+=，即3A=时，sin6yA=+有最大值1，所以np的最大值为2

3.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.17.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点为A，左、右焦点分别为12,FF，离心率为12，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重

合），且12PFF△的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线2,APQF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AFMAFNSS=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143xy+=；（2）135,24或135,24−【解

析】【分析】（1）根据12PFF△的周长为22ac+，结合离心率，求出,ac，即可求出方程；（2）设(,)Pmn，则(,)Qmn−−，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,MPN坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求

出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AFMAFNSS=△△和2,,PFN三点共线，将点N坐标用,mn表示，,PN坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PFF△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，

则222226,1,2,accabca+==+=解得2a=，1c=，3b=，所以椭圆方程为22143xy+=.（2）设(,)Pmn，则22143mn+=，且(,)Qmn−−，所以AP的方程为(2)2nyxm=++①.若1m=−，则2QF的方程为1x=

②，由对称性不妨令点P在x轴上方，则31,2P−，31,2Q−，联立①，②解得1,9,2xy==即91,2M.2PF的方程为3(1)4yx=−−，代入椭圆方程得2293(1)124xx+−=，整理得27613

0xx−−=，1x=−或137x=，139,714N−.222219|227419|21||4AFMAFNAFSSAF==△△，不符合条件.若1m−，则2QF的方程为(1)1nyxm−=−−−，即(1)1nyxm=−+③.联立①，③可解得34,3,xmyn=+

=所以(34,3)Mmn+.因为224AFMAFNSS=△△，设(,)NNNxy所以2211|42|||2MNAFyAFy=，即4MNyy=.又因为,MN位于x轴异侧，所以34Nny=−.因为2,,PFN三点共线，即2FP应与2FN共线，223(1,),(1,)4NnFPmnFN

x=−=−−所以()31(1)4Nnnxm−=−−，即734Nmx−=，所以2273344143mn−−+=，又22143mn+=，所以2272839mm−−=，解得12m=，所以354n=，所

以点P的坐标为135,24或135,24−.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示

的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lcm的清洁棒在弯头内恰好处于AB位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，0,2）.（1）请用角表示清洁棒的长L；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清

洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.【答案】（1）278,0,sincos2+；（2）1313cm.【解析】【分析】（1）过A作PC的垂线，垂足为C，易得27,sinAP=8cosB

P=，进一步可得L；（2）利用导数求278(),0,sincos2L=+得最大值即可.【详解】（1）如图，过A作PC的垂线，垂足为C，在直角APC△中，APC=，27ACcm=，所以27cmsinAP=，同理8cmcosBP=，278,

0,sincos2L=+.（2）设278(),0,sincos2L=+，则33'222227cos8sin8sin27cos()sincossincosL−=−+=，令()'0L=，则327tan8=，即3tan2=.设

00,2，且03tan2=，则当()00,时，'3tan,()02L，所以()L单调递减；当0,2时，'3tan,()02L，所以()L单调递增，所以当0=时，()L取得极小值，所以()min0()LL=.因为

03tan2=，所以003sincos2=，又2200sincos1+=，所以204cos13=，又00,2，所以02cos13=，所以03sin13=，所以()0002781313()sincosLc

m=+=，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.19.已知等差数列na和等比数列nb的各项均为整数，它们的

前n项和分别为,nnST，且1122ba==，232254,11bSaT=+=.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求112233nnnMabababab=++++；（3）是否存在正整数m，使得1mmmmSTST+++恰好是数列na或nb中的项？若存在，求出所有满足条件的m

的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）121,23nnnanb−=−=；（2）2(1)32nnMn=−+；（3）存在，1.【解析】【分析】（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3）21*121313mmmmmmSTmN

STm+++−+=+−+，令21*213,13mmmLLNm+−+=−+可得()2(1)1(3)3mLmL−−=−，13L„，讨论即可.【详解】（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q，因为11232222,54,11babSaT===+=，所以2(33)541

2211qddq+=+++=，即(1)928qddq+=+=，解得32qd==，或325qd==（舍去）.所以121,23nnnanb−=−=.（2）()21112233123235232123nnnnMababab

abn−=++++=++++−，213123323(23)23(21)23nnnMnn−=+++−+−，所以()21224333(21)23nnnMn−−=++++−−，13(13)24

(42)34(44)313nnnnn−−=+−−=−−−−所以2(1)32nnMn=−+.（3）由（1）可得2nSn=，31=−nnT，所以21121313mmmmmmSTmSTm+++−+=+−+.因为1mmmmSTST+++是数列na或nb中的一

项，所以21*213,13mmmLLNm+−+=−+，所以()2(1)1(3)3mLmL−−=−，因为210,30mm−…，所以13L„，又*LN，则2L=或3L=.当2L=时，有()213mm−=，即(

)2113mm−=，令21()3mmfm−=.则22211(1)11223(1)()333mmmmmmmfmfm+++−−−−+−=−=−.当1m=时，(1)(2)ff；当2m时，()()10fmfm+−，即(1)(2)(3

)(4)ffff.由1(1)0,(2)3ff==，知()2113mm−=无整数解.当3L=时,有210m−=，即存在1m=使得21213313mmmm+−+=−+是数列na中的第2项，故存在正整

数1m=，使得1mmmmSTST+++是数列na中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.20.已知函数4()1,()1()xa

fxegxaRxx=−=−（e是自然对数的底数，2.718e）.（1）求函数()fx的图象在1x=处的切线方程；（2）若函数()()fxygx=在区间4,5上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数()()()hxfxx=

+在区间(0,)+上有两个极值点()1212,xxxx，且()1hxm恒成立，求满足条件的m的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.【答案】（1）4yexe=−；（2）(5,)+；（3）4−.

【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）2'2(4)340()xxaxaeyax−−+++=−在4,5上恒成立，只需2(4)340xaxa−+++„，注意到[4,5]a；（3）

()2440xxxea−+−=在(0,)+上有两根，令()2()44xmxxxea=−+−，求导可得()mx在()0,2上单调递减，在(2,)+上单调递增，所以(0)40(2)0mama=−=−且()12111

(0,2),44xxxxea−+=，2(2,3)x，()()11131xhxxe=−−，求出()1hx的范围即可.【详解】（1）因为4()1xfxex=−，所以'244()1xfxexx=−+，当1x=时，'(1)3,(1)fefe=−=，所以切

线方程为(3)(1)yeex−−=−，即4yexe=−.（2）()(4)()xfxxeygxax−==−，2'2(4)34()xxaxaeyax−−+++=−.因为函数()()fxygx=在区间4,5上单

调递增，所以[4,5]a，且'0y恒成立，即2(4)340xaxa−+++„，所以224(4)43405(4)5340aaaa−+++−+++，即492aa，又(,4)(5,

)a−+，故5a，所以实数a的取值范围是(5,)+.（3）()2'244(4)()()()(),()xxxxeaxeaxhxfxgxhxxx−+−−+−=+==.因为函数()()()hxfxgx=+在区间(0,)+上有两个极值点，所以方程()'0hx=在(0,)+上有两不等实根，即

()2440xxxea−+−=.令()2()44xmxxxea=−+−，则()'2()2xmxxxe=−，由()0mx，得2x，所以()mx在()0,2上单调递减，在(2,)+上单调递增，所以(0)40(2)0mama=−

=−，解得04a且()12111(0,2),44xxxxea−+=.又由33(3)280meaaa=−−=−，所以2(2,3)x，且当()10,xx和()2,x+时，()()0hxhx，单调递增，当()12,xxx时，()()'0hxhx，单调递减，12,xx是

极值点，此时()()()()()111121111111111444431xxxxxexxexxeaxhxxexx−+−+−−+−===−−令()(3)1((0,2))xnxxex=−−，则'()(2)0xnxxe=−，所以(

)nx在()0,2上单调递减，所以()1(0)4hxh=−.因为()1hxm恒成立，所以4m−.若124m−−，取114mx=−−，则144mx=−−，所以()()1111343xhxmxex−=−++.令()(3)43(0)xHxxexx=−++

，则'()(2)4xHxxe=−+，''()(1)xHxxe=−.当(0,1)x时，()''0Hx；当(1,)x+时，()''0Hx.所以''min()(1)40HxHe==−+，所以()(-3)43xHxxex=++在(0,)+上单调递增，所以

()()00HxH=，即存在114mx=−−使得()1hxm，不合题意.满足条件的m的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）

选做题:请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换21.已知矩阵1(,R)4aMabb−=不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量11a

==，求ab，的值.【答案】41ab==−【解析】【分析】由M不存在逆矩阵，可得4ab=−，再利用特征多项式求出特征值3，0，3M=，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为M不存在逆矩阵，1det()0

4aMb−==，所以4ab=−.矩阵M的特征多项式为221()3434afabb+−==−−−=−−−，令()0f=，则3=或0=，所以3M=，即113413ab−=，所以1343ab−+=+=，所以41ab=

=−【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.选修4-4：坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线1C:sin24+=−

，曲线2cos2:sinxCy==（为参数），求曲线12CC，交点的直角坐标.【答案】()1,1−−【解析】【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为sin24+=−，所以sincos2+=−，所

以曲线1C的直角坐标方程为20xy++=.由cos2sinxy==，得212sinsinxy=−=，所以曲线2C的普通方程为212,[1.1]xyy=−−.由22012xyxy++==−，得2230yy−−=，所以1231,2yy=−=（舍），

所以11x=−，所以曲线12CC，的交点坐标为()1,1−−.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.选修4-5：不等式选讲23.已知凸n边形123nAAAA的面积为1，边长1(1,

2,,1)iiiAAain+==−，1nnAAa=，其内部一点P到边1(1,2,,1)iiiAAain+==−的距离分别为123,,,,ndddd.求证：2121212222()nnnnaaanaaaddd+++.【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知，易得112

22nnadadad+++=，所以121212122222nnnnaaaaaadddddd+++=+++()12112212nnnnaaaadadadddd=++++++利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸n边形的面积为1

，所以11222nnadadad+++=，所以121212122222nnnnaaaaaadddddd+++=+++()12112212nnnnaaaadadadddd=++++++

212112212()nnnnaaaadadadddd+++…（由柯西不等式得）()212naaa=+++212()nnnaaa…（由均值不等式得）【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题

.必做题：第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是直角梯形且AD∥22BCABBCABBCAD⊥===，，，侧面PAB为等边三角形，且平面PAB⊥

平面ABCD.（1）求平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小；（2）若(01)CQCP=剟，且直线BQ与平面PDC所成角为3，求的值.【答案】（1）4；（2）336.【解析】【分析】（1

）分别取ABCD，的中点为OE，，易得OPOEOB，，两两垂直，以OEOBOP，，所在直线为xyz，，轴建立空间直角坐标系，易得(1,0,0)AD=为平面PAB的法向量，只需求出平面PDC的法向量为n，再利用||

cos|cos|||||nADnADnAD==计算即可；（2）求出BQ，利用|cos,|sin3nBQ=计算即可.【详解】（1）分别取ABCD，的中点为OE，，连结POEO，.因为AD∥BC，所以OE∥BC.因为ABBC⊥，所以ABOE⊥.因为侧面PA

B为等边三角形，所以ABOP⊥又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，OP平面PAB，所以OP⊥平面ABCD，所以OPOEOB，，两两垂直.以O为空间坐标系的原点，分别以OEOBOP，，所在直线为xyz，，轴建立如图所示的空间直角坐

标系，因为22ABBCAD===，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,3)OABCDP−−，()1,2,0DC=，(2,1,3)PC=−.设平面PDC的法向量为(,,)nxyz=，则00nD

CnPC==，即20230xyxyz+=+−=.取1y=，则2,3xz=−=−，所以(2,1,3)n=−−r.又(1,0,0)AD=为平面PAB的法向量，设平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小为，则222||22cos|c

os|2||||(2)1(3)nADnADnAD====−++−，所以平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小为4.（2）由（1）得，平面PDC的法向量为(2,1,3),(2,1,3)nPC=−−=−，所以成(22,,3)(01)BQBCCP=+=−+−剟.又

直线BQ与平面PDC所成角为3，所以|cos,|sin3nBQ=，即||32||||nBQnBQ=，即222222|443|32(2)1(3)(22)()(3)−−−=−++−−++−+，化简得26610

−+=，所以336=，符合题意.【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.25.如图，正方形AGIC是某城市的一个区域的示意图，阴影

部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~AI处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I处骑行到A处（不考虑AI，处的红绿灯），出发时的两条路线（IFIH→→，）等可

能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路

线？【答案】（1）6种；（2）1164；（3）IFCBA→→→→.【解析】【分析】（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过E处，共有4条路线，即IHEDA→→→→，IHEBA→→→→，IFEDA→→→→，IFEBA→→→

→，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C=条.（2）

小明途中恰好经过E处，共有4条路线：①当走IHEDA→→→→时，全程不等红绿灯的概率11313124432p==；②当走IHEBA→→→→时，全程不等红绿灯的概率2131132444128p==；③

当走IFEDA→→→→时，全程不等红绿灯的概率31111124432p==；④当走IFEBA→→→→时，全程不等红绿灯的概率4113132444128p==.所以途中恰好经过E处,且全程不等信号灯的概

率1234331311321283212864ppppp=+++=+++=.（3）设以下第i条的路线等信号灯的次数为变量iX，则①第一条：13,~1,4IHEDAXB→→→→，则()134

EX=；②第二条：23,~3,4IFCBAXB→→→→，则()239344EX==；③另外四条路线：;IHGDAIHEBA→→→→→→→→；IFEDA→→→→；3,~2,(3,4,5,6)4iIFEBAXBi

→→→→=，则()332(3,4,5,6)42iEXi===综上，小明上学的最佳路线为IHEDA→→→→；应尽量避开IFCBA→→→→.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题

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