【文档说明】【精准解析】江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题.pdf,共(26)页,431.815 KB,由小赞的店铺上传
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-1-2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第Ⅰ卷(必做题,共160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)1.已知集合{2,5},{3,5}AB,则AB____________.【答案】2,3,5【解析】【分析】根
据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集,知AB2,3,5.故答案为:2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算,属于容易题.2.已知复数z满足12iiz(i为虚数单位),则复数z的实部为
____________.【答案】2【解析】【分析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】21222iiziii,所以复数z的实部为2.故答案为:2【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.3.ABC,,
三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在B学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.【
答案】100【解析】【分析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.-2-【详解】设抽取的样本容量为x,由已知,30240160240400x,解得100x.故答案为:100【点睛】本题考查随机抽样中的
分层抽样,考查学生基本的运算能力,是一道容易题.4.根据如图所示的伪代码,若输入的x的值为2,则输出的y的值为____________.【答案】1【解析】【分析】满足条件执行34yx,否则执行22xy.【详解】本题实质是
求分段函数234,22,2xxxyx在2x处的函数值,当2x时,1y.故答案为:1【点睛】本题考查条件语句的应用,此类题要做到读懂算法语句,本题是一道容易题.5.某同学周末通过抛
硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.【答案】14【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概
率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为14.故答案为:14【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.-3-6.已
知数列na满足11a,且1130nnnnaaaa恒成立,则6a的值为____________.【答案】116【解析】【分析】易得1113nnaa,所以1{}na是等差数列,再利用等差数列的通
项公式计算即可.【详解】由已知,0na,因1130nnnnaaaa,所以1113nnaa,所以数列1{}na是以111a=为首项,3为公差的等差数列,故611(61)316a,所以6a116.故答案为:116【点睛】本题考
查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.7.已知函数()sin()0,0,||2fxAxA的部分图象如图所示,则0f的值为____________.【答案】3【解析】【分析】由图可得
()fx的周期、振幅,即可得,A,再将5(,2)12代入可解得,进一步求得解析式及0f.-4-【详解】由图可得2A,353()41234T,所以2T,即2,又5()212f,即52sin(2)212,52,62kkZ
,又||2,故3,所以()sin()fxx223,(0)2sin()33f.故答案为:3【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题.8.在平面直角坐标系xOy中,双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2
c,若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c,则双曲线的离心率为____________.【答案】2【解析】【分析】利用221||||2AOBSFOABc即可建立关于,,abc的方程.【详解】设双曲线右焦点为2F,过右焦点且与x轴垂直的直线与两条
渐近线分别交于AB、两点,则(,)bcAca,(,)bcBca,由已知,221||||2AOBSFOABc,即2bccca,所以ab,离心率21()2bea.故答案为:2【点睛】本题考查求双曲线的离心率,做此类题的关键是建立,,abc的方程或
不等式,是一道容易题.9.已知mn,为正实数,且mnmn,则2mn的最小值为____________.【答案】322【解析】【分析】-5-mnmn111mn,所以有2mn(2)mn112()3mnmn
nm,再利用基本不等式求最值即可.【详解】由已知,111mn,所以2mn(2)mn112()3322mnmnnm,当且仅当2mnmnmn,即2221,2mn时,等号
成立.故答案为:322【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题,采用的是“1”的替换,也可以消元等,是一道中档题.10.已知函数()|4|fxxx,则不等式(2)(3)faf的解集为____________.【答案】1,17,【解析】【分析】2
24,4()4,4xxxfxxxx,(3)3f,分类讨论即可.【详解】由已知,224,4()44,4xxxfxxxxxx,(3)3f,若(2)(3)3faf,则224(2)4
(2)3aaa或2(2)4(2)4(2)3aaa解得7a或11a,所以不等式(2)(3)faf的解集为1,17,.故答案为:1,17,【点睛】本题考查分段函数的应
用,涉及到解一元二次不等式,考查学生的计算能力,是一道中档题.11.如图,在一个倒置的高为2的圆锥形容器中,装有深度为h的水,再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平,则h的值为________
____.-6-【答案】32【解析】【分析】由已知可得到圆锥的底面半径,再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为r,体积为V,半球的体积为1V,水(小圆锥)的体积为2V,如图则,1,2,OArO
COBBEh,所以2rhED,2241rr,解得243r,所以218239Vr,123V,23211()329rhVhh,由12VVV,得3821939h,解得32h.
故答案为:32【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算,考查学生空间想象能力与计算能力,是一道中档题.12.如图,在梯形ABCD中,AD∥24BCABBCAD,,,EF,分别是BCCD,的中点,若1AEDE
,则AFCD的值为___________.【答案】2-7-【解析】【分析】建系,设设A,由1AEDE可得3,进一步得到CF、的坐标,再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A为坐标原点,AD为x轴
建立如图所示的直角坐标系,设A,则(4,0),(2cos,2sin),(12cos,2sin),(22cos,2sin)DBEC,所以AE(12cos,2sin),DEuuur(2cos3
,2sin),由1AEDE,得2(12cos)(2cos3)4sin1,即1cos2,又[0,],所以3,故73(3,3),(,)22CF,7
3(1,3),(,)22CDAF,所以733222AFCD.故答案为:2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积,考查学生的运算求解能力,是一道中档题.
13.函数fx满足4fxfx,当2,2x时,3223,2()1,2xxaxafxxax,若函数fx在0,2020上有1515个零点,则实数a的范围为___________.【答案】1,02【解析】
【分析】-8-由已知,fx在[2,2)上有3个根,分21a,01a,10a,21a四种情况讨论fx的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知,fx的周期为4,且至多在[2,2)上有4个根,而0,2020含
505个周期,所以fx在[2,2)上有3个根,设32()23gxxxa,'2()66gxxx,易知()gx在(1,0)上单调递减,在(,1),(1,)上单调递增,又(2)40ga,(1)50ga.若21a时,fx在(,2)a
上无根,fx在[2,]a必有3个根,则(1)0(0)0ff,即100aa,此时a;若01a时,fx在(,2)a上有1个根,注意到(0)0fa,此时fx在[2,]a
不可能有2个根,故不满足;若10a时,要使fx在[2,]a有2个根,只需(1)0()0ffa,解得102a;若21a时,fx在[2,]a上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意;综上,实数a的
范围为102a.故答案为:1,02【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题.14.已知圆22:4Oxy,直线l与圆O交于PQ,两点,2,2A,若2240APAQ,则弦PQ的长度的最大
值为___________.【答案】22【解析】【分析】取PQ的中点为M,由2240APAQ可得2216AMOM,可得M在20xy上,-9-当OM最小时,弦PQ的长才最大.【详解】设M为PQ的中点,22222(2)APAQAMPQ,即222222AP
AQAMMQ,即2224022AMOQOM,22204AMOM,2216AMOM.设,Mxy,则2222(2)(2)16xyxy,得20xy.所以min222OM,m
ax22PQ.故答案为:22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.
如图,已知在三棱锥PABC中,PA平面ABC,EFG,,分别为ACPAPB,,的中点,且2ACBE.(1)求证:PBBC;(2)设平面EFG与BC交于点H,求证:H为BC的中点.-10-【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)要做证明
PBBC,只需证明BC⊥平面PAB即可;(2)易得PC∥平面EFG,PC平面PBC,利用线面平行的性质定理即可得到GH∥PC,从而获得证明【详解】证明:(1)因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.因为2ACBE,所以BAB
C.又因为BAPAA,BA平面PAB,PA平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又因为PB平面PAB,所以PBBC.(2)因为平面EFG与BC交于点H,所以GH平面PBC.因为EF,分别为ACPA,的中点,所以EF∥PC.
又因为PC平面EFG,EF平面EFG,所以PC∥平面EFG.又因为PC平面PBC,平面PBC平面EFGGH,所以GH∥PC,又因为G是PB的中点,所以H为BC的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性
质定理,考查学生的逻辑推理能力,是一道容易题.16.在ABC中,角ABC,,所对的边分别为abc,,,若(,)mabc,sinsin,sinsinnABBC,(1,2)p,且mn
.(1)求角C的值;(2)求np的最大值.【答案】(1)3;(2)23.-11-【解析】【分析】(1)由正弦定理可得222abcab,再用余弦定理即可得到角C;(2)np3sin36A,再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【
详解】(1)因为mn,所以(sinsin)()(sinsin)0aABbcBC.在ABC中,由正弦定理得sinsinsinabcABC,所以()()()0aabbcbc,即222abcab.在ABC
中,由余弦定理得2221cos222abcabCabab,又因为(0,)C,所以3C.(2)由(1)得3C,在ABC中,ABC,所以1(sinsin)2(sinsin
)npABBC2sinsin33AA31sincossin322AAA33sincos322AA3sin36A.因为20,3A,所以5,666A
,所以当62A,即3A时,sin6yA有最大值1,所以np的最大值为23.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐
标运算,是一道容易题.17.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A,左、右焦点分别为12,FF,离心率为12,P是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且12PFF△的周长为6,点P
关于原点的对-12-称点为Q,直线2,APQF交于点M.(1)求椭圆方程;(2)若直线2PF与椭圆交于另一点N,且224AFMAFNSS△△,求点P的坐标.【答案】(1)22143xy;(2)135,24或135
,24【解析】【分析】(1)根据12PFF△的周长为22ac,结合离心率,求出,ac,即可求出方程;(2)设(,)Pmn,则(,)Qmn,求出直线AM方程,若2QF斜率不存在,求出,,MPN坐标,直接验证是否满足题意,若2QF斜率存在,求出
其方程,与直线AM方程联立,求出点M坐标,根据224AFMAFNSS△△和2,,PFN三点共线,将点N坐标用,mn表示,,PN坐标代入椭圆方程,即可求解.【详解】(1)因为椭圆的离心率为12,12PFF△的周长为6,设椭圆的焦距为2c,则222226,1,2,ac
cabca解得2a,1c,3b,所以椭圆方程为22143xy.(2)设(,)Pmn,则22143mn,且(,)Qmn,所以AP的方程为(2)2nyxm①.-13-若1m,则2QF的方程为1
x②,由对称性不妨令点P在x轴上方,则31,2P,31,2Q,联立①,②解得1,9,2xy即91,2M.2PF的方程为3(1)4yx,代入椭圆方程得2293(1)124xx,整理得276130xx,1
x或137x,139,714N.222219|227419|21||4AFMAFNAFSSAF△△,不符合条件.若1m,则2QF的方程为(1)1nyxm,即(1)1nyxm③.联立①,③可解得34,3,xmyn所以(34,3
)Mmn.因为224AFMAFNSS△△,设(,)NNNxy所以2211|42|||2MNAFyAFy,即4MNyy.又因为,MN位于x轴异侧,所以34Nny.因为2,,PFN三点共线,即2FP应与2FN共线,223(1,),(1,)4NnFPm
nFNx所以31(1)4Nnnxm,即734Nmx,所以2273344143mn,又22143mn,所以2272839mm,解得12m,所以354n,
-14-所以点P的坐标为135,24或135,24.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论思想和计算求解能力,属于较难题.18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内
壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为Lcm的清洁棒在弯头内恰好处于AB位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,0,2).(1)请用角表示清洁棒的长L;(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段
圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.【答案】(1)278,0,sincos2;(2)1313cm.【解析】【分析】(1)过A作PC的垂线,垂足为C,易得27,sinAP8cosBP,进一步可得L;(2)利用导数求278(),0,sincos2L
得最大值即可.【详解】(1)如图,过A作PC的垂线,垂足为C,在直角APC△中,APC,27ACcm,所以27cmsinAP,同理8cmcosBP,278,0,sincos2L.-15-(2)设278(),0,sinco
s2L,则33'222227cos8sin8sin27cos()sincossincosL,令'0L,则327tan8,即3tan2.设00,2,且0
3tan2,则当00,时,'3tan,()02L,所以()L单调递减;当0,2时,'3tan,()02L,所以()L单调递增,所以当0时,()L取得极小值,所以min0()LL
.因为03tan2,所以003sincos2,又2200sincos1,所以204cos13,又00,2,所以02cos13,所以03sin13,所以0
002781313()sincosLcm,所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.19.已知等差数列na和等比数列nb的各项均为整数,它们的前n项和分别为,nnST,且11
22ba,232254,11bSaT.(1)求数列na,nb的通项公式;-16-(2)求112233nnnMabababab;(3)是否存在正整数m,使得1mmmmSTST恰好是数列na或nb中的项?若存在,求出所有满足条件的m的
值;若不存在,说明理由.【答案】(1)121,23nnnanb;(2)2(1)32nnMn;(3)存在,1.【解析】【分析】(1)利用基本量法直接计算即可;(2)利用错位相减法计算;(3)21*121313mmmmmmSTmN
STm,令21*213,13mmmLLNm可得2(1)1(3)3mLmL,13L,讨论即可.【详解】(1)设数列na的公差为d,数列nb的公比为q,
因为11232222,54,11babSaT,所以2(33)5412211qddq,即(1)928qddq,解得32qd,或325qd(舍去).所以121,23nnnanb.(2)2111
2233123235232123nnnnMababababn,213123323(23)23(21)23nnnMnn,所以21224333(21)23nnnMn,13(13)24(42)
34(44)313nnnnn所以2(1)32nnMn.(3)由(1)可得2nSn,31nnT,所以21121313mmmmmmSTmSTm.-17-因为1mmmmSTST是数列na或nb中的一项,所以21*213
,13mmmLLNm,所以2(1)1(3)3mLmL,因为210,30mm,所以13L,又*LN,则2L或3L.当2L时,有213mm,即2113mm,令21()3mmfm.则22211(1)11223(1)()333mmmmm
mmfmfm.当1m时,(1)(2)ff;当2m时,10fmfm,即(1)(2)(3)(4)ffff.由1(1)0,(2)3ff,知2113mm无整数解.当3L时,有210m,
即存在1m使得21213313mmmm是数列na中的第2项,故存在正整数1m,使得1mmmmSTST是数列na中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用,涉及到等差、等比数列的通项,错位相减法求数列的前n项和,
数列中的存在性问题,是一道较为综合的题.20.已知函数4()1,()1()xafxegxaRxx(e是自然对数的底数,2.718e).(1)求函数fx的图象在1x处的切线方程;(2)若函数()
()fxygx在区间4,5上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若函数hxfxx在区间(0,)上有两个极值点1212,xxxx,且1hxm恒成立,求满足条件的m的最小值(极值点是指函数取极值
时对应的自变量的值).【答案】(1)4yexe;(2)(5,);(3)4.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义计算即可;(2)2'2(4)340()xxaxaeyax在4,5上恒成立,只需2(4)340xaxa,注意
到[4,5]a;-18-(3)2440xxxea在(0,)上有两根,令2()44xmxxxea,求导可得mx在0,2上单调递减,在(2,)上单调递增,所以(0)40(2)0mama且12111(0,
2),44xxxxea,2(2,3)x,11131xhxxe,求出1hx的范围即可.【详解】(1)因为4()1xfxex,所以'244()1xfxexx
,当1x时,'(1)3,(1)fefe,所以切线方程为(3)(1)yeex,即4yexe.(2)()(4)()xfxxeygxax,2'2(4)34()xxaxaeyax
.因为函数()()fxygx在区间4,5上单调递增,所以[4,5]a,且'0y恒成立,即2(4)340xaxa,所以224(4)43405(4)5340aaaa,即492aa,又(,4)(5,)a,故
5a,所以实数a的取值范围是(5,).(3)2'244(4)()()()(),()xxxxeaxeaxhxfxgxhxxx.因为函数()()()hxfxgx在区间(0,)上有两个极值点,所以方程
'0hx在(0,)上有两不等实根,即2440xxxea.令2()44xmxxxea,则'2()2xmxxxe,由0mx,得2x,所以mx在0,
2上单调递减,在(2,)上单调递增,所以(0)40(2)0mama,解得04a且12111(0,2),44xxxxea.又由33(3)280meaaa,所以2(2,3)x,且当10,xx和2,
x时,0hxhx,单调递增,-19-当12,xxx时,'0hxhx,单调递减,12,xx是极值点,此时111121111111111444431xxxxxexxexxeaxhxxexx
令()(3)1((0,2))xnxxex,则'()(2)0xnxxe,所以nx在0,2上单调递减,所以1(0)4hxh.因为1hxm恒成立,所以4m.若124m,取114mx,则144mx
,所以1111343xhxmxex.令()(3)43(0)xHxxexx,则'()(2)4xHxxe,''()(1)xHxxe.当(0,1)x时,''0Hx;当(1,)x时,''0Hx.所以''min()(1)40HxHe
,所以()(-3)43xHxxex在(0,)上单调递增,所以00HxH,即存在114mx使得1hxm,不合题意.满足条件的m的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成
立等知识,是一道难题.第Ⅱ卷(附加题,共40分)选做题:请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.选修4-2:矩阵与变换21.已知矩阵1(,R)4aMabb不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量11a
,求ab,的值.【答案】41ab-20-【解析】【分析】由M不存在逆矩阵,可得4ab,再利用特征多项式求出特征值3,0,3M,利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为M不存在逆矩阵,1det(
)04aMb,所以4ab.矩阵M的特征多项式为221()3434afabb,令()0f,则3或0,所以3M,即113413ab,所以1343ab
,所以41ab【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力,是一道容易题.选修4-4:坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的
长度单位,建立极坐标系,已知曲线1C:sin24,曲线2cos2:sinxCy(为参数),求曲线12CC,交点的直角坐标.【答案】1,1【解析】【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为sin24
,所以sincos2,所以曲线1C的直角坐标方程为20xy.-21-由cos2sinxy,得212sinsinxy,所以曲线2C的普通方程为21
2,[1.1]xyy.由22012xyxy,得2230yy,所以1231,2yy(舍),所以11x,所以曲线12CC,的交点坐标为1,1.【点睛】本题考查极坐标方程
与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.选修4-5:不等式选讲23.已知凸n边形123nAAAA的面积为1,边长1(1,2,,1)iiiAAain,1nnAA
a,其内部一点P到边1(1,2,,1)iiiAAain的距离分别为123,,,,ndddd.求证:2121212222()nnnnaaanaaaddd.【答案】证明见解析【解析】【分析】
由已知,易得11222nnadadad,所以121212122222nnnnaaaaaadddddd12112212nnnnaaaadadadddd利
用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸n边形的面积为1,所以11222nnadadad,所以121212122222nnnnaaaaaadddddd
12112212nnnnaaaadadadddd212112212()nnnnaaaadadadddd(由柯西不等式得)-22-212naaa212()nnnaaa(由均值不等式得)【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证
明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题.必做题:第24题、第25题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.24.如图,在四棱锥PABCD-中,底面ABCD是直角梯形且AD∥22BCABBCABBCAD,
,,侧面PAB为等边三角形,且平面PAB平面ABCD.(1)求平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小;(2)若(01)CQCP,且直线BQ与平面PDC所成角为3,求的值.【答案】(1)4;(2)336.【解析】【分析】(1)分别取ABCD,的中
点为OE,,易得OPOEOB,,两两垂直,以OEOBOP,,所在直线为xyz,,轴建立空间直角坐标系,易得(1,0,0)AD为平面PAB的法向量,只需求出平面PDC的法向量为n,再利用||cos|cos|||||
nADnADnAD计算即可;(2)求出BQ,利用|cos,|sin3nBQ计算即可.【详解】(1)分别取ABCD,的中点为OE,,连结POEO,.因为AD∥BC,所以OE∥BC.因为ABBC,所以ABOE
.因为侧面PAB为等边三角形,-23-所以ABOP又因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,OP平面PAB,所以OP平面ABCD,所以OPOEOB,,两两垂直.以O为空间坐标系的
原点,分别以OEOBOP,,所在直线为xyz,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为22ABBCAD,则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,3)OABCDP
,1,2,0DC,(2,1,3)PC.设平面PDC的法向量为(,,)nxyz,则00nDCnPC,即20230xyxyz.取1y,则2,3
xz,所以(2,1,3)nr.又(1,0,0)AD为平面PAB的法向量,设平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小为,则222||22cos|cos|2||||(2)1(3)n
ADnADnAD,所以平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小为4.(2)由(1)得,平面PDC的法向量为(2,1,3),(2,1,3)nPC,所以成(22,,3)(01)BQBCCP
.-24-又直线BQ与平面PDC所成角为3,所以|cos,|sin3nBQ,即||32||||nBQnBQ,即222
222|443|32(2)1(3)(22)()(3),化简得26610,所以336,符合题意.【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角,涉及到面面垂直的性质定理的应用,做好此类题的关键是准确
写出点的坐标,是一道中档题.25.如图,正方形AGIC是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,~AI处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响
,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I处骑行到A处(不考虑AI,处的红绿灯),出发时的两条路线(IFIH,)等可能选择,且总是走最近路线.(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提
下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过E处,且全程不等红绿灯的概率;(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?【答案】(1)6种;(2)
1164;(3)IFCBA.【解析】【分析】(1)从4条街中选择2条横街即可;(2)小明途中恰好经过E处,共有4条路线,即IHEDA,IHEBA,IFEDA,IFEBA,分别对4条路线进行分析计算概率;-25-(3)分别对小明上学
的6条路线进行分析求均值,均值越大的应避免.【详解】(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街,即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C条.(2)小明途中恰好经过E处,共有4条路线:①当走IH
EDA时,全程不等红绿灯的概率11313124432p;②当走IHEBA时,全程不等红绿灯的概率2131132444128p;③当走IFEDA时,全程不等红绿灯的概率31111124432p;④当走IFEBA
时,全程不等红绿灯的概率4113132444128p.所以途中恰好经过E处,且全程不等信号灯的概率1234331311321283212864ppppp.(3)设以下第i
条的路线等信号灯的次数为变量iX,则①第一条:13,~1,4IHEDAXB,则134EX;②第二条:23,~3,4IFCBAXB,则239344EX;③另外四条路线:;IHGDAIHEB
A;IFEDA;3,~2,(3,4,5,6)4iIFEBAXBi,则332(3,4,5,6)42iEXi综上,小明上学的最佳路线为IHEDA;应尽量避开IFCBA.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用
问题,考查学生逻辑推理与运算能力,是一道有一定难度的题.-26-